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Circuit RLC Série en Régime Alternatif

Circuit RLC Série en Régime Alternatif

Circuit RLC Série en Régime Alternatif

Comprendre l'Analyse d’un Circuit RLC Série

Le circuit RLC série est un circuit fondamental en électrotechnique, composé d'une résistance (R), d'une bobine (inductance L) et d'un condensateur (capacité C) connectés en série. Lorsqu'il est soumis à une tension alternative, son comportement dépend de la fréquence du signal. La bobine et le condensateur introduisent des déphasages entre la tension et le courant, qui s'opposent. L'analyse de ce circuit implique le calcul des réactances, de l'impédance totale et la compréhension du déphasage qui en résulte, ce qui est crucial pour des applications comme le filtrage ou l'étude de la résonance.

Données de l'étude

Un circuit RLC série est alimenté par une source de tension sinusoïdale.

Caractéristiques du système :

  • Tension efficace de la source (\(V\)) : 120 V
  • Fréquence (\(f\)) : 50 Hz
  • Résistance (\(R\)) : 20 Ω
  • Inductance (\(L\)) : 150 mH
  • Capacité (\(C\)) : 100 µF
Schéma du Circuit RLC Série
V = 120V, 50Hz R = 20Ω L = 150mH C = 100µF

Questions à traiter

  1. Calculer la pulsation (fréquence angulaire) \(\omega\) du circuit.
  2. Calculer la réactance inductive \(X_L\) et la réactance capacitive \(X_C\).
  3. Déterminer l'impédance totale \(\underline{Z}\) du circuit sous forme rectangulaire et polaire.
  4. Le circuit est-il globalement inductif, capacitif ou résistif ? Justifier.
  5. Calculer le courant total \(\underline{I}\) traversant le circuit (en module et phase).
  6. Calculer les tensions efficaces aux bornes de chaque composant (\(V_R\), \(V_L\) et \(V_C\)).
  7. Calculer les puissances active (\(P\)), réactive (\(Q\)), apparente (\(S\)) et le facteur de puissance (FP) du circuit.

Correction : Circuit RLC Série en Régime Alternatif

Question 1 : Pulsation (\(\omega\))

Principe :

La pulsation \(\omega\), ou fréquence angulaire, est une mesure de la vitesse de rotation du vecteur de phase. Elle est directement proportionnelle à la fréquence \(f\) du signal et est exprimée en radians par seconde (rad/s).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \omega = 2 \pi f \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \omega &= 2 \pi \times 50 \, \text{Hz} \\ &\approx 314.16 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La pulsation du circuit est d'environ 314.16 rad/s.

Question 2 : Réactances Inductive (\(X_L\)) et Capacitive (\(X_C\))

Principe :

La réactance est l'opposition d'un composant au passage d'un courant alternatif due à son inductance ou sa capacité. La réactance inductive (\(X_L\)) augmente avec la fréquence, tandis que la réactance capacitive (\(X_C\)) diminue lorsque la fréquence augmente.

Calcul :
\[ \begin{aligned} X_L &= \omega L \\ &= 314.16 \, \text{rad/s} \times 0.150 \, \text{H} \\ &\approx 47.12 \, \Omega \\ \\ X_C &= \frac{1}{\omega C} \\ &= \frac{1}{314.16 \, \text{rad/s} \times 100 \times 10^{-6} \, \text{F}} \\ &= \frac{1}{0.031416} \, \Omega \\ &\approx 31.83 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : \(X_L \approx\) 47.12 Ω et \(X_C \approx\) 31.83 Ω.

Quiz Intermédiaire 1 : Si la fréquence du signal augmentait significativement, que se passerait-il ?

Question 3 : Impédance Totale (\(\underline{Z}\))

Principe :

Dans un circuit série, l'impédance totale est la somme vectorielle de la résistance et des réactances. La réactance totale est la différence entre la réactance inductive et la réactance capacitive (\(X_L - X_C\)).

Calcul :

Forme rectangulaire :

\[ \begin{aligned} \underline{Z} &= R + j(X_L - X_C) \\ &= 20 + j(47.12 - 31.83) \, \Omega \\ &= 20 + j15.29 \, \Omega \end{aligned} \]

Forme polaire :

\[ \begin{aligned} |\underline{Z}| &= \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \\ &= \sqrt{20^2 + 15.29^2} \\ &= \sqrt{400 + 233.78} \\ &\approx 25.17 \, \Omega \\ \\ \phi &= \arctan\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right) \\ &= \arctan\left(\frac{15.29}{20}\right) \\ &\approx 37.4^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'impédance totale est \(\underline{Z} \approx 20 + j15.29 \, \Omega\) ou \(\underline{Z} \approx 25.17 \angle 37.4^\circ \, \Omega\).

Question 4 : Nature du Circuit

Principe :

La nature globale du circuit est déterminée par le signe de la réactance totale (\(X_L - X_C\)). Si \(X_L > X_C\), la réactance est positive et le circuit est dit inductif. Si \(X_C > X_L\), la réactance est négative et le circuit est capacitif. Si \(X_L = X_C\), le circuit est purement résistif (à la résonance).

Analyse :

Nous avons calculé \(X_L \approx 47.12 \, \Omega\) et \(X_C \approx 31.83 \, \Omega\).
Puisque \(X_L > X_C\), le circuit est globalement inductif. L'angle de l'impédance (\(\phi \approx +37.4^\circ\)) est positif, ce qui confirme que le courant sera en retard sur la tension.

Résultat Question 4 : Le circuit est inductif.

Question 5 : Courant Total (\(\underline{I}\))

Principe :

Le courant total est trouvé en appliquant la loi d'Ohm à l'ensemble du circuit, en utilisant la tension de la source et l'impédance totale. Il est plus simple d'utiliser les formes polaires pour la division.

Calcul :

On prend la tension de la source comme référence d'angle (0°).

\[ \begin{aligned} \underline{I} &= \frac{\underline{V}}{\underline{Z}} \\ &= \frac{120 \angle 0^\circ \, \text{V}}{25.17 \angle 37.4^\circ \, \Omega} \\ &\approx 4.77 \angle -37.4^\circ \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le courant total est \(I \approx\) 4.77 A, déphasé de -37.4° par rapport à la tension.

Question 6 : Tensions aux bornes des composants

Principe :

On calcule la chute de tension efficace aux bornes de chaque composant en multipliant le module du courant total par la résistance ou la réactance de chaque élément.

Calcul :
\[ \begin{aligned} V_R &= I \times R \\ &= 4.77 \, \text{A} \times 20 \, \Omega = 95.4 \, \text{V} \\ \\ V_L &= I \times X_L \\ &= 4.77 \, \text{A} \times 47.12 \, \Omega \approx 224.8 \, \text{V} \\ \\ V_C &= I \times X_C \\ &= 4.77 \, \text{A} \times 31.83 \, \Omega \approx 151.8 \, \text{V} \end{aligned} \]

Note : La somme arithmétique \(V_R + V_L + V_C\) est supérieure à la tension de source. C'est normal car les tensions ne sont pas en phase. La somme vectorielle \( \underline{V}_R + \underline{V}_L + \underline{V}_C \) est bien égale à la tension de source \(\underline{V}\).

Résultat Question 6 : \(V_R \approx\) 95.4 V, \(V_L \approx\) 224.8 V, et \(V_C \approx\) 151.8 V.

Question 7 : Puissances et Facteur de Puissance

Principe :

La puissance active P (W) est dissipée par la résistance. La puissance réactive Q (VAR) est échangée par la bobine et le condensateur. La puissance apparente S (VA) est la puissance totale fournie par la source. Le facteur de puissance (FP) est le rapport entre la puissance active et la puissance apparente.

Calcul :
\[ \begin{aligned} P &= V \times I \times \cos(\phi) \\ &= 120 \, \text{V} \times 4.77 \, \text{A} \times \cos(37.4^\circ) \approx 454.5 \, \text{W} \\ \\ Q &= V \times I \times \sin(\phi) \\ &= 120 \, \text{V} \times 4.77 \, \text{A} \times \sin(37.4^\circ) \approx 347.5 \, \text{VAR} \\ \\ S &= V \times I \\ &= 120 \, \text{V} \times 4.77 \, \text{A} \approx 572.4 \, \text{VA} \\ \\ \text{FP} &= \cos(\phi) = \frac{P}{S} \\ &= \cos(37.4^\circ) \approx 0.79 \, \text{inductif} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : \(P \approx\) 454.5 W, \(Q \approx\) 347.5 VAR, \(S \approx\) 572.4 VA et FP \(\approx\) 0.79 inductif.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. À la résonance dans un circuit RLC série, quelle affirmation est vraie ?

2. Le déphasage \(\phi\) de l'impédance est positif. Cela signifie que...

3. Quelle puissance est facturée par le fournisseur d'électricité et mesurée par un compteur standard ?

Glossaire

Impédance (\(\underline{Z}\))
Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. C'est une grandeur complexe qui inclut la résistance (partie réelle) et la réactance (partie imaginaire). Mesurée en Ohms (Ω).
Réactance (\(X\))
Opposition au courant due aux éléments capacitifs (\(X_C\)) ou inductifs (\(X_L\)) d'un circuit. Elle dépend de la fréquence.
Pulsation (\(\omega\))
Vitesse angulaire du signal, mesurée en radians par seconde (rad/s). Elle est liée à la fréquence par \(\omega = 2\pi f\).
Résonance (série)
Condition dans un circuit RLC où la réactance inductive est égale à la réactance capacitive (\(X_L = X_C\)). À la résonance, l'impédance est minimale (égale à R) et le courant est maximal.
Puissance Active (\(P\))
Puissance moyenne réellement consommée par le circuit pour effectuer un travail. Seule la résistance dissipe de la puissance active. Mesurée en Watts (W).
Puissance Réactive (\(Q\))
Puissance échangée sans être consommée par les éléments réactifs (bobine, condensateur). Mesurée en Volt-Ampères Réactifs (VAR).
Puissance Apparente (\(S\))
Produit de la tension efficace et du courant efficace totaux. C'est la puissance totale que la source doit fournir au circuit. Mesurée en Volt-Ampères (VA).
Facteur de Puissance (FP)
Rapport de la puissance active à la puissance apparente (\(P/S\)). Il indique l'efficacité avec laquelle la puissance fournie est utilisée. Un FP inductif signifie que le courant est en retard sur la tension.
Circuit RLC Série

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