Comportement du Condensateur Sous Tension

Correction Exercice: Comportement du Condensateur Sous Tension

Comportement du Condensateur Sous Tension

Comprendre le Comportement du Condensateur Sous Tension

Un condensateur est un composant électronique capable d'emmagasiner de l'énergie sous forme de charges électriques. Lorsqu'il est connecté à une source de tension continue, il se charge jusqu'à ce que la tension à ses bornes soit égale à celle de la source (s'il n'y a pas d'autres composants limitant la tension).

Objectif

Calculer la charge électrique et l'énergie emmagasinée par un condensateur une fois qu'il est complètement chargé par une source de tension continue.

Données

Tension de la source d'alimentation (pile) : \(V_S = 9 \, \text{V}\)
Capacité du condensateur : \(C = 100 \, \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6} \, \text{F}\)

Schéma d'un condensateur connecté à une source de tension via un interrupteur.

Questions

Rappelez la relation entre la charge électrique \(Q\) emmagasinée par un condensateur, sa capacité \(C\), et la tension \(U_C\) à ses bornes.
Lorsque le condensateur est complètement chargé par la source de tension \(V_S\), quelle est la tension \(U_C\) à ses bornes ?
Calculez la charge électrique \(Q\) emmagasinée par le condensateur lorsqu'il est complètement chargé. Exprimez le résultat en Coulombs (C) et en microcoulombs (\(\mu\text{C}\)).
Rappelez la formule de l'énergie électrique \(E\) emmagasinée par un condensateur. Calculez cette énergie lorsque le condensateur est complètement chargé. Exprimez le résultat en Joules (J).
Si une résistance était placée en série entre la source et le condensateur, quel serait son rôle principal pendant la phase de charge du condensateur ? Modifierait-elle la charge finale ou l'énergie finale emmagasinée (en supposant qu'on attende suffisamment longtemps) ?

Correction : Comportement du Condensateur Sous Tension

1. Relation Charge, Capacité, Tension (\(Q, C, U_C\))

La charge électrique \(Q\) emmagasinée par un condensateur est directement proportionnelle à la tension \(U_C\) à ses bornes et à sa capacité \(C\).

Formule

Q = C \times U_C

\(Q\) : charge électrique en Coulombs (C)
\(C\) : capacité du condensateur en Farads (F)
\(U_C\) : tension aux bornes du condensateur en Volts (V)

Résultat

La relation est \(Q = C \times U_C\).

2. Tension aux Bornes du Condensateur Chargé (\(U_C\))

Lorsque le condensateur est connecté à une source de tension continue \(V_S\) et qu'il est complètement chargé, aucun courant ne circule plus dans le circuit de charge (en l'absence de fuite). La tension aux bornes du condensateur devient alors égale à la tension de la source.

Données pour cette étape

Tension de la source : \(V_S = 9 \, \text{V}\)

Détermination

Une fois le condensateur complètement chargé, le courant de charge cesse. S'il n'y a pas d'autres composants en série qui provoquent une chute de tension (comme une résistance où le courant serait nul à la fin de la charge), la tension aux bornes du condensateur est égale à la tension de la source.

U_C (\text{chargé}) = V_S = 9 \, \text{V}

Résultat

Lorsque le condensateur est complètement chargé, la tension à ses bornes est \(U_C = 9 \, \text{V}\).

3. Calcul de la Charge Électrique Emmagasinée (\(Q\))

Nous utilisons la formule \(Q = C \times U_C\) avec la tension du condensateur complètement chargé.

Données pour cette étape

Capacité : \(C = 100 \, \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Tension aux bornes (chargé) : \(U_C = 9 \, \text{V}\)

Calcul

\begin{aligned} Q &= C \times U_C \\ &= (100 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (9 \, \text{V}) \\ &= 900 \times 10^{-6} \, \text{C} \\ &= 9 \times 10^{-4} \, \text{C} \end{aligned}

Conversion en microcoulombs (\(\mu\text{C}\)) : \(1 \, \text{C} = 10^6 \, \mu\text{C}\).

Q = (9 \times 10^{-4} \, \text{C}) \times (10^6 \, \mu\text{C/C}) \] \[ Q = 900 \, \mu\text{C}

Résultat

La charge électrique emmagasinée par le condensateur est \(Q = 9 \times 10^{-4} \, \text{C}\), soit \(900 \, \mu\text{C}\).

4. Calcul de l'Énergie Électrique Emmagasinée (\(E\))

L'énergie électrique \(E\) emmagasinée dans un condensateur est donnée par la formule : \[ E = \frac{1}{2} C U_C^2 \] Alternativement, on peut utiliser \(E = \frac{1}{2} Q U_C\) ou \(E = \frac{Q^2}{2C}\).

Données pour cette étape

Capacité : \(C = 100 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Tension aux bornes (chargé) : \(U_C = 9 \, \text{V}\)
Charge emmagasinée : \(Q = 9 \times 10^{-4} \, \text{C}\)

Calcul

\begin{aligned} E &= \frac{1}{2} C U_C^2 \\ &= \frac{1}{2} \times (100 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (9 \, \text{V})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times (100 \times 10^{-6}) \times 81 \, \text{J} \\ &= 50 \times 10^{-6} \times 81 \, \text{J} \\ &= 4050 \times 10^{-6} \, \text{J} \\ &= 4.05 \times 10^{-3} \, \text{J} \end{aligned}

Convertissons en millijoules (mJ) : \(1 \, \text{J} = 1000 \, \text{mJ}\).

E = (4.05 \times 10^{-3} \, \text{J}) \times (1000 \, \text{mJ/J}) \] \[ E = 4.05 \, \text{mJ}

Résultat

L'énergie électrique emmagasinée par le condensateur est \(E = 4.05 \times 10^{-3} \, \text{J}\), soit \(4.05 \, \text{mJ}\).

5. Rôle d'une Résistance en Série lors de la Charge

Si une résistance \(R\) était placée en série entre la source de tension \(V_S\) et le condensateur \(C\), son rôle principal pendant la phase de charge serait de limiter le courant de charge initial.

Limitation du courant : Au moment où l'interrupteur est fermé (\(t=0\)), un condensateur déchargé se comporte initialement comme un court-circuit. Sans résistance, le courant de charge pourrait être théoriquement infini (en pratique limité par la résistance interne de la source et des fils), ce qui pourrait endommager la source ou le condensateur. La résistance \(R\) limite ce courant initial à \(I_{max} = V_S / R\).
Constante de temps : La résistance, avec la capacité, définit la constante de temps \(\tau = RC\) du circuit de charge. Cette constante de temps détermine la rapidité avec laquelle le condensateur se charge. Un \(\tau\) plus grand signifie une charge plus lente.

Concernant la charge finale et l'énergie finale emmagasinée (en supposant qu'on attende suffisamment longtemps, c'est-à-dire plusieurs constantes de temps, typiquement \(t > 5\tau\)) :

Charge finale (\(Q_{final}\)) : La résistance en série ne modifie pas la charge finale emmagasinée par le condensateur. Une fois le condensateur complètement chargé, le courant dans le circuit de charge devient nul (\(I=0\)). Par conséquent, il n'y a plus de chute de tension aux bornes de la résistance (\(V_R = R \times I = 0\)). La tension aux bornes du condensateur est alors égale à la tension de la source (\(U_C = V_S\)). La charge finale reste donc \(Q_{final} = C \times V_S\).
Énergie finale (\(E_{final}\)) : De même, puisque la tension finale aux bornes du condensateur n'est pas modifiée par la présence de la résistance (après un temps de charge suffisant), l'énergie finale emmagasinée reste \(E_{final} = \frac{1}{2} C V_S^2\).

Conclusion

Une résistance en série lors de la charge d'un condensateur limite le courant de charge initial et augmente le temps de charge (via la constante de temps \(\tau = RC\)). Cependant, elle ne modifie pas la charge électrique finale ni l'énergie finale emmagasinée par le condensateur, à condition d'attendre que le processus de charge soit complet.

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