Conception de Filtres RC Passe-Bas et Passe-Haut

Comprendre les Filtres RC

Les filtres sont des circuits électroniques conçus pour laisser passer certaines fréquences d'un signal tout en en atténuant d'autres. Les filtres les plus simples sont réalisés avec une résistance (R) et un condensateur (C). L'impédance d'un condensateur dépend de la fréquence, ce qui est la clé du fonctionnement du filtre. En changeant la position de R et C, on peut créer deux types de filtres fondamentaux :

Filtre passe-bas : Laisse passer les basses fréquences et atténue les hautes fréquences.
Filtre passe-haut : Laisse passer les hautes fréquences et atténue les basses fréquences.

La fréquence charnière entre la bande passante et la bande atténuée est appelée la fréquence de coupure (\(f_c\)).

Données de l'étude

On se propose d'étudier deux circuits filtres RC. La tension d'entrée est un signal sinusoïdal d'amplitude constante \(U_e = 10 \, \text{V}\).

Partie 1 : Filtre Passe-Bas

Résistance : \(R_1 = 1.5 \, \text{k}\Omega\)
Condensateur : \(C_1 = 100 \, \text{nF}\)

Partie 2 : Filtre Passe-Haut

Résistance : \(R_2 = 3.3 \, \text{k}\Omega\)
Condensateur : \(C_2 = 10 \, \text{nF}\)

Schémas des Filtres RC

Questions à traiter

Pour la Partie 1 (Passe-Bas) ET la Partie 2 (Passe-Haut) :

Calculer la fréquence de coupure (\(f_c\)) du filtre.
Calculer le gain en tension (\(G\)) et le gain en décibels (\(G_{\text{dB}}\)) à la fréquence de coupure.
Calculer le gain en décibels pour une fréquence \(f = 0.1 \times f_c\).
Calculer le gain en décibels pour une fréquence \(f = 10 \times f_c\).
Sur la base des résultats, confirmer la nature (passe-bas ou passe-haut) de chaque filtre.

Correction : Conception de Filtres RC Passe-Bas et Passe-Haut

Partie 1 : Filtre Passe-Bas (R₁ = 1.5 kΩ, C₁ = 100 nF)

1.1. Fréquence de Coupure (\(f_{c1}\))

Principe :

La fréquence de coupure d'un filtre RC est la fréquence pour laquelle la réactance du condensateur (\(X_C\)) est égale à la résistance (R). C'est à cette fréquence que la tension de sortie est atténuée de 3 dB (soit environ 70.7% de la tension d'entrée).

Formule(s) utilisée(s) :

f_c = \frac{1}{2\pi RC}

Calcul :

\begin{aligned} f_{c1} &= \frac{1}{2\pi \times (1.5 \times 10^3 \, \Omega) \times (100 \times 10^{-9} \, \text{F})} \\ &= \frac{1}{2\pi \times 1.5 \times 10^{-4}} \\ &\approx 1061 \, \text{Hz} \end{aligned}

Résultat : La fréquence de coupure du filtre passe-bas est \(f_{c1} \approx 1061 \, \text{Hz}\).

1.2. Gain à la Fréquence de Coupure

Principe :

Le gain en tension G est le rapport \(U_s / U_e\). À la fréquence de coupure, pour un filtre RC du premier ordre, ce gain est toujours égal à \(1/\sqrt{2}\). Le gain en décibels se calcule avec la formule \(G_{\text{dB}} = 20 \log_{10}(G)\).

Calcul :

\begin{aligned} G(f_{c1}) &= \frac{1}{\sqrt{1 + (f_{c1}/f_{c1})^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &\approx 0.707 \end{aligned}

\begin{aligned} G_{\text{dB}}(f_{c1}) &= 20 \log_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ &= -3.01 \, \text{dB} \end{aligned}

Résultat : À \(f_c\), le gain est \(G \approx 0.707\) et \(G_{\text{dB}} \approx -3 \, \text{dB}\).

1.3. Gain à 0.1 × \(f_{c1}\)

Principe :

Pour une fréquence bien en dessous de la fréquence de coupure dans un filtre passe-bas, l'atténuation est très faible. Le gain devrait être proche de 1 (ou 0 dB).

Calcul :

\begin{aligned} G &= \frac{1}{\sqrt{1 + (0.1f_{c1}/f_{c1})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0.1^2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1.01}} \approx 0.995 \end{aligned}

\begin{aligned} G_{\text{dB}} &= 20 \log_{10}(0.995) \\ &\approx -0.043 \, \text{dB} \end{aligned}

Résultat : À \(0.1 f_{c1}\), le gain est \(G_{\text{dB}} \approx 0 \, \text{dB}\). Le signal passe presque intégralement.

1.4. Gain à 10 × \(f_{c1}\)

Principe :

Pour une fréquence bien au-dessus de la fréquence de coupure, le filtre passe-bas doit fortement atténuer le signal. Le gain devrait être très faible.

Calcul :

\begin{aligned} G &= \frac{1}{\sqrt{1 + (10f_{c1}/f_{c1})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 10^2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{101}} \approx 0.0995 \end{aligned}

\begin{aligned} G_{\text{dB}} &= 20 \log_{10}(0.0995) \\ &\approx -20 \, \text{dB} \end{aligned}

Résultat : À \(10 f_{c1}\), le gain est \(G_{\text{dB}} \approx -20 \, \text{dB}\). Le signal est fortement atténué.

1.5. Conclusion pour la Partie 1

Le circuit laisse passer les basses fréquences (gain proche de 0 dB) et atténue les hautes fréquences (gain de -20 dB par décade). Il s'agit bien d'un filtre passe-bas.

Partie 2 : Filtre Passe-Haut (R₂ = 3.3 kΩ, C₂ = 10 nF)

2.1. Fréquence de Coupure (\(f_{c2}\))

Formule(s) utilisée(s) :

f_c = \frac{1}{2\pi RC}

Calcul :

\begin{aligned} f_{c2} &= \frac{1}{2\pi \times (3.3 \times 10^3 \, \Omega) \times (10 \times 10^{-9} \, \text{F})} \\ &= \frac{1}{2\pi \times 3.3 \times 10^{-5}} \\ &\approx 4823 \, \text{Hz} \end{aligned}

Résultat : La fréquence de coupure du filtre passe-haut est \(f_{c2} \approx 4.82 \, \text{kHz}\).

2.2. Gain à la Fréquence de Coupure

Principe :

Comme pour le filtre passe-bas, le gain à la fréquence de coupure pour un filtre passe-haut du premier ordre est également de -3 dB.

Calcul :

\begin{aligned} G(f_{c2}) &= \frac{f_{c2}/f_{c2}}{\sqrt{1 + (f_{c2}/f_{c2})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &\approx 0.707 \end{aligned}

\begin{aligned} G_{\text{dB}}(f_{c2}) &= 20 \log_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ &\approx -3 \, \text{dB} \end{aligned}

Résultat : À \(f_c\), le gain est \(G_{\text{dB}} \approx -3 \, \text{dB}\).

2.3. Gain à 0.1 × \(f_{c2}\)

Principe :

Pour une fréquence bien en dessous de la fréquence de coupure dans un filtre passe-haut, le signal doit être fortement atténué.

Calcul :

\begin{aligned} G &= \frac{0.1f_{c2}/f_{c2}}{\sqrt{1 + (0.1f_{c2}/f_{c2})^2}} = \frac{0.1}{\sqrt{1 + 0.1^2}} \\ &= \frac{0.1}{\sqrt{1.01}} \approx 0.0995 \end{aligned}

\begin{aligned} G_{\text{dB}} &= 20 \log_{10}(0.0995) \\ &\approx -20 \, \text{dB} \end{aligned}

Résultat : À \(0.1 f_{c2}\), le gain est \(G_{\text{dB}} \approx -20 \, \text{dB}\). Le signal est fortement atténué.

2.4. Gain à 10 × \(f_{c2}\)

Principe :

Pour une fréquence bien au-dessus de la fréquence de coupure, le filtre passe-haut doit laisser passer le signal avec une atténuation minimale.

Calcul :

\begin{aligned} G &= \frac{10f_{c2}/f_{c2}}{\sqrt{1 + (10f_{c2}/f_{c2})^2}} = \frac{10}{\sqrt{1 + 10^2}} \\ &= \frac{10}{\sqrt{101}} \approx 0.995 \end{aligned}

\begin{aligned} G_{\text{dB}} &= 20 \log_{10}(0.995) \\ &\approx -0.043 \, \text{dB} \end{aligned}

Résultat : À \(10 f_{c2}\), le gain est \(G_{\text{dB}} \approx 0 \, \text{dB}\). Le signal passe presque intégralement.

2.5. Conclusion pour la Partie 2

Le circuit atténue les basses fréquences (gain de -20 dB) et laisse passer les hautes fréquences (gain proche de 0 dB). Il s'agit bien d'un filtre passe-haut.

Glossaire

Filtre Passe-Bas: Circuit qui laisse passer les signaux de basse fréquence mais atténue les signaux dont la fréquence est supérieure à la fréquence de coupure.
Filtre Passe-Haut: Circuit qui laisse passer les signaux de haute fréquence mais atténue les signaux dont la fréquence est inférieure à la fréquence de coupure.
Fréquence de Coupure (\(f_c\)): Fréquence à laquelle la puissance du signal de sortie est la moitié de la puissance du signal d'entrée. Pour un filtre du premier ordre, cela correspond à une atténuation de la tension de -3 dB.
Gain en Tension (G): Rapport de l'amplitude de la tension de sortie sur l'amplitude de la tension d'entrée (\(G = U_s / U_e\)). C'est un nombre sans dimension.
Gain en Décibels (\(G_{\text{dB}}\)): Expression logarithmique du gain en tension, définie par \(G_{\text{dB}} = 20 \log_{10}(G)\). Elle permet de représenter de grandes plages de gain sur une échelle plus petite.

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