Construction du Diagramme de Fresnel

Comprendre le Diagramme de Fresnel

En analyse de circuits en courant alternatif (AC), les tensions et les courants sont des grandeurs sinusoïdales. Le diagramme de Fresnel est une représentation graphique qui permet de visualiser ces grandeurs sous forme de vecteurs tournants dans un plan complexe. La longueur de chaque vecteur représente l'amplitude (efficace ou maximale) de la grandeur, et l'angle qu'il forme avec l'axe de référence représente son déphasage. Cet outil est extrêmement utile pour additionner des tensions ou des courants et pour comprendre les relations de phase dans un circuit.

Données de l'étude

On considère un circuit RLC série alimenté par une source de tension sinusoïdale \(u(t)\) de valeur efficace \(U_e = 50 \, \text{V}\) et de fréquence \(f = 50 \, \text{Hz}\).

Résistance : \(R = 20 \, \Omega\)
Inductance : \(L = 100 \, \text{mH}\)
Capacité : \(C = 50 \, \mu\text{F}\)

Schéma du Circuit RLC Série

Questions à traiter

Calculer l'impédance totale (\(\underline{Z}\)) du circuit (module et argument).
Calculer le courant efficace (\(I\)) dans le circuit et son déphasage par rapport à la tension d'entrée.
Calculer les tensions efficaces (\(U_R\), \(U_L\), \(U_C\)) aux bornes de chaque composant.
Construire le diagramme de Fresnel des tensions, en prenant le courant comme référence de phase.
Vérifier graphiquement et par le calcul que la somme vectorielle des tensions est égale à la tension de la source (\(\vec{U_e} = \vec{U_R} + \vec{U_L} + \vec{U_C}\)).

Correction : Construction du Diagramme de Fresnel

1. Impédance Totale (\(\underline{Z}\))

Principe :

L'impédance totale d'un circuit RLC série est la somme complexe de la résistance et des réactances inductive et capacitive. La réactance inductive \(X_L\) augmente avec la fréquence, tandis que la réactance capacitive \(X_C\) diminue.

Formule(s) utilisée(s) :

X_L = 2\pi fL \quad ; \quad X_C = \frac{1}{2\pi fC} \quad ; \quad \underline{Z} = R + j(X_L - X_C)

Calcul :

Calcul des réactances :

\begin{aligned} X_L &= 2\pi \times 50 \, \text{Hz} \times 0.100 \, \text{H} \\ &\approx 31.42 \, \Omega \end{aligned}

\begin{aligned} X_C &= \frac{1}{2\pi \times 50 \, \text{Hz} \times (50 \times 10^{-6} \, \text{F})} \\ &= \frac{1}{0.0157} \\ &\approx 63.66 \, \Omega \end{aligned}

Calcul de l'impédance (module et argument) :

\underline{Z} = 20 + j(31.42 - 63.66) = (20 - j32.24) \, \Omega

\begin{aligned} |Z| &= \sqrt{20^2 + (-32.24)^2} \\ &= \sqrt{400 + 1039.4} \\ &\approx 37.94 \, \Omega \end{aligned}

\begin{aligned} \phi_z &= \arctan\left(\frac{-32.24}{20}\right) \\ &\approx -58.2^\circ \end{aligned}

Résultat : L'impédance totale est \(\underline{Z} \approx 37.94 \, \Omega\) avec un angle de \(\phi_z \approx -58.2^\circ\).

2. Courant du Circuit (\(I\))

Principe :

Le courant est obtenu par la loi d'Ohm appliquée à l'ensemble du circuit. Le déphasage du courant par rapport à la tension est l'opposé du déphasage de l'impédance (\(\phi_i = -\phi_z\)).

Formule(s) utilisée(s) :

I = \frac{U_e}{|Z|}

Calcul :

\begin{aligned} I &= \frac{50 \, \text{V}}{37.94 \, \Omega} \\ &\approx 1.32 \, \text{A} \end{aligned}

Le déphasage du courant par rapport à la tension est \(\phi_i = -(-58.2^\circ) = +58.2^\circ\). Le courant est en avance sur la tension (comportement capacitif).

Résultat : Le courant efficace est \(I \approx 1.32 \, \text{A}\), en avance de \(58.2^\circ\) sur la tension d'entrée.

3. Tensions aux Bornes des Composants

Principe :

On applique la loi d'Ohm à chaque composant pour trouver la tension à ses bornes. Il faut tenir compte du déphasage propre à chaque composant par rapport au courant qui les traverse.

Formule(s) utilisée(s) :

U_R = R \times I \quad ; \quad U_L = X_L \times I \quad ; \quad U_C = X_C \times I

Calcul :

\begin{aligned} U_R &= 20 \, \Omega \times 1.32 \, \text{A} = 26.4 \, \text{V} \quad (\text{en phase avec } I) \\ U_L &= 31.42 \, \Omega \times 1.32 \, \text{A} \approx 41.47 \, \text{V} \quad (\text{en avance de } 90^\circ \text{ sur } I) \\ U_C &= 63.66 \, \Omega \times 1.32 \, \text{A} \approx 84.03 \, \text{V} \quad (\text{en retard de } 90^\circ \text{ sur } I) \end{aligned}

Résultat : \(U_R = 26.4 \, \text{V}\), \(U_L \approx 41.5 \, \text{V}\), \(U_C \approx 84.0 \, \text{V}\).

4. Construction du Diagramme de Fresnel

Principe :

On place le vecteur du courant \(\vec{I}\) sur l'axe horizontal (phase 0). On place ensuite les vecteurs tensions : \(\vec{U_R}\) colinéaire à \(\vec{I}\), \(\vec{U_L}\) à +90° par rapport à \(\vec{I}\), et \(\vec{U_C}\) à -90° par rapport à \(\vec{I}\). La somme vectorielle de ces trois tensions, construite "bout à bout", donne le vecteur de la tension de la source \(\vec{U_e}\).

Diagramme de Fresnel des Tensions

5. Vérification de la Loi des Mailles

Principe :

Selon la loi des mailles de Kirchhoff, la somme (vectorielle) des tensions aux bornes des composants d'une maille est égale à la tension de la source. On vérifie que \(\underline{U_e} = \underline{U_R} + \underline{U_L} + \underline{U_C}\).

Calcul :

On choisit le courant comme référence (phase 0). Les tensions complexes sont :

\begin{aligned} \underline{U_R} &= 26.4 \angle 0^\circ = 26.4 \\ \underline{U_L} &= 41.47 \angle 90^\circ = j41.47 \\ \underline{U_C} &= 84.03 \angle -90^\circ = -j84.03 \end{aligned}

Somme vectorielle :

\begin{aligned} \underline{U_{\text{total}}} &= 26.4 + j41.47 - j84.03 \\ &= 26.4 - j42.56 \, \text{V} \end{aligned}

Module de la tension totale calculée :

\begin{aligned} |U_{\text{total}}| &= \sqrt{26.4^2 + (-42.56)^2} \\ &= \sqrt{696.96 + 1811.35} \\ &\approx 50.08 \, \text{V} \end{aligned}

Ce résultat est bien égal à la tension de la source \(U_e = 50 \, \text{V}\) (aux arrondis près).

Résultat : La loi des mailles est vérifiée.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un circuit RLC série, si la tension aux bornes de l'inductance (\(U_L\)) est supérieure à celle du condensateur (\(U_C\)), le circuit a un comportement global...

Capacitif (courant en avance).
Inductif (courant en retard).
Purement résistif.
Nul.

2. Sur un diagramme de Fresnel avec le courant en référence, la tension aux bornes d'une résistance est représentée par un vecteur...

Vertical vers le haut (\(+90^\circ\)).
Vertical vers le bas (\(-90^\circ\)).
Horizontal (en phase).
Opposé au courant (\(180^\circ\)).

Glossaire

Diagramme de Fresnel: Représentation vectorielle des grandeurs sinusoïdales (tensions, courants) d'un circuit AC. La longueur des vecteurs représente l'amplitude et leur angle représente le déphasage.
Impédance (\(\underline{Z}\)): Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. C'est une grandeur complexe qui inclut la résistance et la réactance.
Réactance (\(X\)): Partie imaginaire de l'impédance, due aux inductances (\(X_L\)) et aux capacités (\(X_C\)). Elle représente l'opposition d'un composant au changement de courant ou de tension.
Déphasage (\(\phi\)): Décalage angulaire (ou temporel) entre deux grandeurs sinusoïdales de même fréquence, typiquement entre la tension et le courant.