Courant Alternatif contre Courant Continu

Contexte : Le transport de l'énergie électrique.

L'un des défis majeurs de l'ingénierie électrique est de transporter l'énergie d'un point de production (centrale) à un point de consommation (usine, domicile) avec le moins de pertes possible. Ces pertes se produisent principalement dans les câbles sous forme de chaleur, un phénomène appelé l'effet JouleDissipation d'énergie sous forme de chaleur dans un conducteur lorsqu'il est parcouru par un courant électrique. Perte = R * I².. Historiquement, une "guerre des courants" a opposé les partisans du Courant Continu (DC)Direct Current (DC). Un courant électrique où le flux d'électrons se déplace constamment dans la même direction. et du Courant Alternatif (AC)Alternating Current (AC). Un courant électrique où le sens du flux d'électrons change périodiquement. C'est le standard de nos prises domestiques..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à quantifier les pertes par effet Joule pour une même puissance délivrée, en courant continu et en courant alternatif. Vous comprendrez pourquoi le facteur de puissanceNoté cos(φ). En AC, c'est le rapport entre la puissance active (utile) et la puissance apparente (totale). Un facteur de 1 est idéal, un facteur bas (< 1) signifie plus de courant "inutile" circulant, causant plus de pertes. est un concept crucial en régime alternatif.

Objectifs Pédagogiques

Calculer un courant en régime continu (DC) à partir de la puissance.
Calculer un courant (efficace) en régime alternatif (AC) à partir de la puissance active et du facteur de puissance.
Appliquer la loi de Joule (\(P_J = R \cdot I^2\)) pour quantifier les pertes en ligne.
Comprendre l'impact du facteur de puissance (\(\cos(\phi)\)) sur l'intensité du courant et les pertes.
Comparer l'efficacité énergétique des deux modes de transmission pour cet exemple.

Données de l'étude

Une usine consomme une puissance active \(P_{\text{load}}\) de \(100 \text{ kW}\). Elle est alimentée sous une tension \(V_{\text{load}}\) de \(400 \text{ V}\) par une ligne électrique (câble aller-retour) ayant une résistance totale \(R_{\text{cable}}\) de \(0.5 \, \Omega\).

Nous allons comparer les pertes dans la ligne si l'usine est alimentée :

En courant continu (DC).
En courant alternatif (AC) monophasé, avec un facteur de puissance \(\cos(\phi)\) de \(0.85\).

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type d'étude	Comparaison de pertes en ligne
Charge (Usine)	Réceptive et inductive (en AC)
Tension nominale (charge)	400 V

Schéma de principe de la liaison

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Puissance active (charge)	\(P_{\text{load}}\)	100	kW
Tension (à la charge)	\(V_{\text{load}}\)	400	V
Résistance de la ligne	\(R_{\text{cable}}\)	0.5	Ω
Facteur de Puissance (en AC)	\(\cos(\phi)\)	0.85	(sans unité)

Questions à traiter

Cas DC : Calculer le courant \(I_{\text{DC}}\) circulant dans la ligne.
Cas DC : Calculer les pertes par effet Joule \(P_{\text{loss, DC}}\) dans la ligne.
Cas AC : Calculer le courant efficace \(I_{\text{AC}}\) circulant dans la ligne.
Cas AC : Calculer les pertes par effet Joule \(P_{\text{loss, AC}}\) dans la ligne.
Conclusion : Comparer les pertes des deux systèmes. Calculer le rendement \(\eta\) (efficacité) pour chaque cas et conclure.

Les bases de l'électricité : Continu vs. Alternatif

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser les concepts de puissance électrique dans les deux régimes.

1. Régime Continu (DC)
En courant continu, la tension et le courant sont constants.

Loi d'Ohm : \(V = R \cdot I\)
Puissance consommée : \(P = V \cdot I\)
Pertes par effet Joule : \(P_J = R \cdot I^2\)

La puissance est simple, il n'y a qu'une seule composante.

2. Régime Alternatif (AC) Monophasé
En courant alternatif, tension et courant varient dans le temps. On utilise leurs valeurs efficaces (\(V_{\text{eff}}\) et \(I_{\text{eff}}\), souvent notées V et I).

Puissance Active (P) : La puissance "utile", transformée en travail ou chaleur. Se mesure en Watts (W). \[ P = V \cdot I \cdot \cos(\phi) \]
Puissance Apparente (S) : La puissance "totale" que le réseau doit fournir. Se mesure en Volt-Ampères (VA). \[ S = V \cdot I \]
Facteur de Puissance (\(\cos(\phi)\)) : Le rapport \(P/S\). Il mesure l'efficacité de l'installation.
Pertes par effet Joule : Elles ne dépendent que du courant réel circulant (efficace) et de la résistance. \[ P_J = R \cdot I_{\text{eff}}^2 \]

Correction : Comparaison Courant Alternatif contre Courant Continu

Question 1 : Cas DC : Calculer le courant \(I_{\text{DC}}\)

Principe

Pour trouver le courant en continu, nous utilisons la formule de la puissance électrique de base, car nous connaissons la puissance consommée par la charge (l'usine) et la tension à ses bornes.

Mini-Cours

En régime continu, la puissance \(P\) (en Watts) est le produit de la tension \(V\) (en Volts) et du courant \(I\) (en Ampères). \[ P = V \cdot I \] Nous pouvons donc isoler le courant : \[ I = \frac{P}{V} \]

Remarque Pédagogique

En courant continu, le calcul est direct. Il n'y a pas de notion de déphasage ou de facteur de puissance. Toute la puissance est "active".

Normes

Ce calcul est basé sur les lois fondamentales de l'électricité (Loi de Joule, Loi d'Ohm) et ne fait pas appel à une norme de construction spécifique à ce stade.

Formule(s)

Formule du courant continu

I_{\text{DC}} = \frac{P_{\text{load}}}{V_{\text{load}}}

Hypothèses

On suppose que le système est en régime établi (les valeurs sont stables) et que la tension de 400 V est bien la tension aux bornes de la charge.

Régime continu établi.
Les pertes en ligne n'affectent pas la tension à la charge (la source s'adapte pour fournir 400V à la charge).

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé relatives à la charge.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Puissance active (charge)	\(P_{\text{load}}\)	100	kW
Tension (à la charge)	\(V_{\text{load}}\)	400	V

Astuces

Attention aux unités ! La puissance est donnée en kiloWatts (kW). Pour un calcul cohérent avec des Volts, il faut la convertir en Watts (W). \(1 \text{ kW} = 1000 \text{ W}\).

Schéma (Avant les calculs)

Nous modélisons la charge comme une simple résistance consommant 100 kW sous 400 V.

Modélisation DC (Charge)

Calcul(s)

Nous allons appliquer les formules étape par étape, en partant de la conversion des unités jusqu'au calcul final du courant.

Étape 1 : Conversion de la puissance

La puissance est donnée en kiloWatts (kW). Pour être cohérent avec les Volts (V), nous devons la convertir en Watts (W).

P_{\text{load}} = 100 \text{ kW} = 100 \times 1000 \text{ W} = 100 \, 000 \text{ W}

Notre puissance de charge est donc de 100 000 W.

Étape 2 : Calcul du courant

Nous utilisons la formule de la puissance en DC : \(I = P / V\). Nous substituons les valeurs connues (P en Watts, V en Volts) :

\begin{aligned} I_{\text{DC}} &= \frac{P_{\text{load}}}{V_{\text{load}}} \\ I_{\text{DC}} &= \frac{100 \, 000 \text{ W}}{400 \text{ V}} \\ I_{\text{DC}} &= 250 \text{ A} \end{aligned}

Le courant circulant dans la ligne en régime continu est de 250 Ampères.

Schéma (Après les calculs)

Le courant nécessaire pour alimenter l'usine en DC est de 250 A.

Réflexions

Un courant de 250 Ampères est un courant considérable. La section du câble nécessaire pour transporter un tel courant sans surchauffe excessive serait importante. C'est ce courant qui, en passant dans la résistance du câble, va générer les pertes.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est l'oubli de la conversion des kiloWatts (kW) en Watts (W). Si vous aviez calculé \(100 / 400\), vous auriez obtenu \(0.25 \text{ A}\), un résultat minuscule et incohérent pour une usine.

Points à retenir

En DC, la formule de la puissance est \(P = V \cdot I\).
La cohérence des unités (W, V, A) est fondamentale.

Le saviez-vous ?

Thomas Edison fut un fervent défenseur du courant continu (DC) pour la distribution d'électricité. Cependant, le DC souffrait de pertes en ligne très élevées car il était difficile de changer son niveau de tension, ce qui imposait de transporter de forts courants.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le courant nécessaire en alimentation continue (DC) est de \(I_{\text{DC}} = 250 \text{ A}\).

A vous de jouer

Si l'usine consommait \(P = 200 \text{ kW}\) sous la même tension de \(400 \text{ V}\), quel serait le courant \(I_{\text{DC}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Puissance en DC.
Formule Essentielle : \(I = P / V\).
Point de Vigilance Majeur : Conversion kW \(\rightarrow\) W.

Question 2 : Cas DC : Calculer les pertes par effet Joule \(P_{\text{loss, DC}}\)

Principe

Maintenant que nous connaissons le courant \(I_{\text{DC}}\) qui traverse la ligne, nous pouvons calculer la puissance qu'il dissipe sous forme de chaleur en passant à travers la résistance \(R_{\text{cable}}\) de la ligne. C'est la loi de Joule.

Mini-Cours

L'effet Joule stipule que tout conducteur de résistance \(R\) (en Ohms) traversé par un courant \(I\) (en Ampères) dissipe une puissance \(P_J\) (en Watts) sous forme de chaleur. \[ P_J = R \cdot I^2 \] Cette puissance est une "perte", car elle n'est pas utilisée par la charge (l'usine) mais chauffer le câble.

Remarque Pédagogique

Notez la relation en carré (\(I^2\)). Cela signifie que si vous doublez le courant, vous ne doublez pas les pertes, vous les quadruplez (\(2^2 = 4\)). C'est pourquoi la réduction du courant est l'objectif principal du transport d'énergie à haute tension.

Normes

Le calcul des pertes par effet Joule est fondamental pour les normes d'installation (comme la NF C 15-100 en France ou l'IEC 60364) car il détermine l'échauffement des câbles. Les normes imposent une section de câble minimale pour s'assurer que cet échauffement ne fasse pas fondre l'isolant et ne crée pas un risque d'incendie.

Formule(s)

Formule des pertes par effet Joule

P_{\text{loss, DC}} = R_{\text{cable}} \cdot I_{\text{DC}}^2

Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons une hypothèse importante :

La résistance du câble (\(R_{\text{cable}} = 0.5 \, \Omega\)) est constante. En réalité, si un câble chauffe (à cause de l'effet Joule), sa résistance augmente, ce qui augmenterait encore les pertes ! Nous négligeons cet auto-échauffement pour simplifier le calcul.

Donnée(s)

Nous utilisons la résistance de l'énoncé et le courant de la Q1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance de la ligne	\(R_{\text{cable}}\)	0.5	Ω
Courant continu	\(I_{\text{DC}}\)	250	A

Astuces

Vérifiez toujours la cohérence de vos calculs. Le courant \(I_{\text{DC}}\) vient d'être calculé. Si vous avez fait une erreur à la Q1, l'erreur se propagera ici. Prenez une seconde pour revérifier le \(I_{\text{DC}} = 250 \text{ A}\) avant de l'injecter dans cette nouvelle formule.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma représente le courant \(I_{\text{DC}}\) de 250 A traversant la résistance \(R_{\text{cable}}\) de 0.5 Ω.

Modélisation des pertes DC

Calcul(s)

Le calcul se fait en deux temps : l'application de la loi de Joule pour trouver les pertes en Watts, puis la conversion en kiloWatts pour une meilleure lisibilité.

Application de la loi de Joule

Nous appliquons la formule \(P_J = R \cdot I^2\) avec la résistance du câble (\(R_{\text{cable}}\)) et le courant (\(I_{\text{DC}}\)) trouvé précédemment.

\begin{aligned} P_{\text{loss, DC}} &= R_{\text{cable}} \cdot I_{\text{DC}}^2 \\ P_{\text{loss, DC}} &= 0.5 \, \Omega \cdot (250 \text{ A})^2 \end{aligned}

Calcul du carré :

\begin{aligned} & \quad (250)^2 = 62 \, 500 \end{aligned}

Calcul final :

\begin{aligned} P_{\text{loss, DC}} &= 0.5 \cdot 62 \, 500 \\ P_{\text{loss, DC}} &= 31 \, 250 \text{ W} \end{aligned}

Les pertes dans la ligne sont de 31 250 Watts.

Conversion du résultat

Pour une lecture plus facile, nous convertissons les Watts en kiloWatts (kW) en divisant par 1000.

P_{\text{loss, DC}} = \frac{31 \, 250 \text{ W}}{1000} \] \[ P_{\text{loss, DC}} = 31.25 \text{ kW}

Les pertes par effet Joule en DC sont donc de 31.25 kW.

Schéma (Après les calculs)

Le calcul montre que les pertes sont de 31 250 W. C'est une puissance considérable, équivalente à plus de 30 radiateurs électriques !

Résultat des pertes DC

Réflexions

Les pertes s'élèvent à \(31.25 \text{ kW}\). C'est énorme ! L'usine demande \(100 \text{ kW}\), mais pour lui fournir cette puissance, nous perdons \(31.25 \text{ kW}\) en route dans le câble. La puissance totale que la source doit fournir est donc de \(100 + 31.25 = 131.25 \text{ kW}\).

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de mettre le courant au carré (\(I^2\)). Une autre erreur serait d'utiliser la tension \(V_{\text{load}}\) dans cette formule (par ex. \(P = V^2 / R\)). C'est faux, car \(V_{\text{load}}\) est la tension aux bornes de la charge, pas aux bornes de la résistance du câble.

Points à retenir

Les pertes en ligne sont calculées avec la formule \(P_J = R \cdot I^2\).
Ces pertes ne dépendent que de la résistance du câble et du carré du courant qui le traverse.

Le saviez-vous ?

La loi de Joule est à la base de nombreux appareils (grille-pain, radiateur, ampoule à incandescence) mais c'est l'ennemi n°1 de l'efficacité énergétique. La recherche sur les supraconducteurs vise à créer des matériaux avec \(R = 0\), ce qui annulerait totalement les pertes par effet Joule (\(P_J = 0 \cdot I^2 = 0\)).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Les pertes en ligne pour le cas DC s'élèvent à \(P_{\text{loss, DC}} = 31.25 \text{ kW}\).

A vous de jouer

Si la résistance du câble (\(R_{\text{cable}}\)) était de \(1 \, \Omega\) (par exemple, un câble plus long), quelles seraient les pertes (en W) ? (Gardez \(I_{\text{DC}} = 250 \text{ A}\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Pertes par effet Joule.
Formule Essentielle : \(P_J = R \cdot I^2\).
Point de Vigilance : Ne pas confondre la tension de la charge et la tension perdue.

Question 3 : Cas AC : Calculer le courant efficace \(I_{\text{AC}}\)

Principe

En courant alternatif, la puissance "utile" (active) est \(P = V I \cos(\phi)\). L'usine demande la même puissance active (\(100 \text{ kW}\)) sous la même tension efficace (\(400 \text{ V}\)), mais le facteur de puissance \(\cos(\phi)\) de \(0.85\) entre en jeu.

Mini-Cours

Le facteur de puissance \(\cos(\phi)\) représente le déphasage entre la tension et le courant, dû aux moteurs (bobines) de l'usine. Un \(\cos(\phi)\) inférieur à 1 signifie que pour fournir une puissance active \(P\) donnée, le courant \(I\) doit être plus élevé que s'il n'y avait pas de déphasage (comme en DC). \[ I = \frac{P}{V \cdot \cos(\phi)} \]

Remarque Pédagogique

Comparez cette formule à celle du DC : \(I = P/V\). Vous voyez que le courant AC est le courant DC "divisé" par le \(\cos(\phi)\). Puisque \(\cos(\phi) \le 1\), le courant AC sera toujours supérieur (ou égal) au courant DC pour la même puissance active.

Normes

Les distributeurs d'électricité (comme Enedis en France) imposent aux industriels un facteur de puissance (\(\cos(\phi)\)) minimal (souvent > 0.93) ou, plus précisément, un ratio de puissance réactive (tangente \(\phi\)). S'ils ne respectent pas cela, ils paient des pénalités sur leur facture, car ils "tirent" plus de courant (et causent plus de pertes) sur le réseau pour le même service rendu.

Formule(s)

Formule du courant efficace AC

I_{\text{AC}} = \frac{P_{\text{load}}}{V_{\text{load}} \cdot \cos(\phi)}

Hypothèses

Nous supposons ici un régime sinusoïdal parfait.

La tension et le courant sont parfaitement sinusoïdaux (pas d'harmoniques).
La tension \(V_{\text{load}} = 400 \text{ V}\) est la valeur efficace de la tension à la charge.
Le facteur de puissance \(\cos(\phi) = 0.85\) est constant.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Puissance active	\(P_{\text{load}}\)	100	kW
Tension efficace	\(V_{\text{load}}\)	400	V
Facteur de puissance	\(\cos(\phi)\)	0.85

Astuces

Un bon moyen de vérifier votre intuition : un \(\cos(\phi)\) "mauvais" (inférieur à 1) est un "handicap" pour le système. Le courant doit "travailler plus" pour fournir la même puissance utile. Attendez-vous donc à trouver un \(I_{\text{AC}}\) *supérieur* à \(I_{\text{DC}}\). Si vous trouvez moins, vous avez probablement multiplié au lieu de diviser.

Schéma (Avant les calculs)

Le triangle des puissances illustre la relation entre la Puissance Active (P, utile), la Puissance Réactive (Q, "magnétisante") et la Puissance Apparente (S, "totale"). Le \(\cos(\phi)\) est le rapport \(P/S\).

Triangle des Puissances (AC)

Calcul(s)

Nous suivons une démarche similaire à la Q1, mais en intégrant le facteur de puissance \(\cos(\phi)\) dans la formule de la puissance.

Étape 1 : Conversion de la puissance

La puissance active (utile) est la même que dans le cas DC, donc nous la convertissons en Watts.

P_{\text{load}} = 100 \text{ kW} = 100 \, 000 \text{ W}

La puissance à fournir reste 100 000 W.

Étape 2 : Calcul du courant efficace

Nous partons de la formule de la puissance active AC : \(P = V \cdot I \cdot \cos(\phi)\). Nous isolons le courant \(I\) :

\begin{aligned} I_{\text{AC}} &= \frac{100 \, 000 \text{ W}}{400 \text{ V} \cdot 0.85} \end{aligned}

Calcul du dénominateur :

\begin{aligned} & \quad 400 \times 0.85 = 340 \end{aligned}

Calcul final :

\begin{aligned} I_{\text{AC}} &= \frac{100 \, 000}{340} \\ I_{\text{AC}} &\approx 294.1176... \text{ A} \end{aligned}

En arrondissant, le courant efficace AC est d'environ 294.12 Ampères. C'est bien supérieur aux 250 A du cas DC.

I_{\text{AC}} \approx 294.12 \text{ A}

Schéma (Après les calculs)

Diagramme vectoriel (phasoriel) montrant le courant \(I_{\text{AC}}\) en retard (déphasé) par rapport à la tension \(V\). L'angle entre eux est \(\phi = \arccos(0.85) \approx 31.8^\circ\). J'ai ajouté les projections pour montrer la composante "active" du courant (\(I \cos \phi\)) et la composante "réactive" (\(I \sin \phi\)).

Diagramme Vectoriel (Vecteurs de Fresnel)

Réflexions

Le courant en AC (\(294.12 \text{ A}\)) est significativement plus élevé que le courant en DC (\(250 \text{ A}\)) pour fournir *exactement la même puissance utile* de \(100 \text{ kW}\). C'est le "coût" d'avoir un mauvais facteur de puissance.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'oublier le \(\cos(\phi)\) et de refaire le même calcul qu'en DC. Le facteur de puissance est la différence fondamentale entre les deux calculs de puissance active.

Points à retenir

La puissance active en AC est \(P = V I \cos(\phi)\).
Un \(\cos(\phi) < 1\) augmente le courant nécessaire (\(I\)) pour une même puissance active (\(P\)).

Le saviez-vous ?

Pour corriger un mauvais \(\cos(\phi)\) dû à des moteurs (charges inductives), les usines installent des batteries de condensateurs (charges capacitives). Les condensateurs "fournissent" la puissance réactive dont les moteurs ont besoin, ce qui évite de la "tirer" depuis le réseau et réduit le courant total \(I_{\text{AC}}\) dans la ligne.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le courant efficace nécessaire en alimentation alternative (AC) est \(I_{\text{AC}} \approx 294.12 \text{ A}\).

A vous de jouer

Que se passerait-il si l'usine améliorait son installation pour avoir un \(\cos(\phi) = 1\) (cas parfait) ? Quel serait le courant \(I_{\text{AC}}\) (en A) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Puissance active AC.
Formule Essentielle : \(I = P / (V \cdot \cos(\phi))\).
Point de Vigilance : Ne pas oublier le \(\cos(\phi)\).

Question 4 : Cas AC : Calculer les pertes par effet Joule \(P_{\text{loss, AC}}\)

Principe

Exactement comme pour la question 2, nous utilisons la loi de Joule. La seule différence est que nous utilisons la valeur du courant alternatif efficace (\(I_{\text{AC}}\)) que nous venons de calculer.

Mini-Cours

La loi de Joule \(P_J = R \cdot I^2\) s'applique parfaitement au régime alternatif, à condition d'utiliser la valeur efficace du courant (\(I_{\text{eff}}\), que nous notons \(I_{\text{AC}}\)). La valeur efficace est justement la valeur du courant alternatif qui produirait le même échauffement (effet Joule) qu'un courant continu de même valeur.

Remarque Pédagogique

Puisque les pertes dépendent du *carré* du courant, et que nous avons déjà vu que \(I_{\text{AC}} > I_{\text{DC}}\), nous nous attendons *obligatoirement* à ce que \(P_{\text{loss, AC}} > P_{\text{loss, DC}}\). C'est le cœur de la comparaison.

Normes

Les normes de dimensionnement des câbles (ampacité) sont basées sur ce calcul. Un câble est dimensionné pour un courant maximal admissible. Si une usine a un mauvais \(\cos(\phi)\), son courant \(I_{\text{AC}}\) est plus élevé, et elle doit donc installer des câbles de plus grosse section (plus chers) pour éviter la surchauffe, même si la puissance *utile* est la même.

Formule(s)

Formule des pertes par effet Joule (AC)

P_{\text{loss, AC}} = R_{\text{cable}} \cdot I_{\text{AC}}^2

Hypothèses

Nous faisons une simplification importante :

Nous supposons que \(R_{\text{cable}}\) est la même en AC qu'en DC. En réalité, en AC, le courant a tendance à circuler à la surface du conducteur (c'est l'effet de peau), ce qui augmente légèrement la résistance effective. Nous négligeons cet effet ici.

Donnée(s)

Nous utilisons la résistance de l'énoncé et le courant de la Q3.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance de la ligne	\(R_{\text{cable}}\)	0.5	Ω
Courant efficace AC	\(I_{\text{AC}}\)	~294.12	A

Astuces

Pour un calcul précis, essayez de garder la valeur non arrondie de \(I_{\text{AC}}\) en mémoire (ex: \(100000 / 340\)). \(P_{\text{loss, AC}} = 0.5 \cdot (100000 / 340)^2 \approx 43253 \text{ W}\). Cela évite les erreurs d'arrondi en cascade.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma est identique à celui de la Q2, mais le courant est plus élevé, ce qui laisse présager des pertes (chaleur) plus importantes.

Modélisation des pertes AC

Calcul(s)

Le calcul des pertes AC suit la même logique que le calcul des pertes DC : nous utilisons la loi de Joule \(P_J = R \cdot I^2\).

Application de la loi de Joule

Nous utilisons la résistance du câble (\(R_{\text{cable}}\)) et le courant efficace AC (\(I_{\text{AC}}\)) que nous venons de calculer (Q3). Il est préférable d'utiliser la valeur non arrondie (\(100000 / 340\)) pour la précision.

\begin{aligned} P_{\text{loss, AC}} &= R_{\text{cable}} \cdot I_{\text{AC}}^2 \\ P_{\text{loss, AC}} &= 0.5 \, \Omega \cdot (294.1176... \text{ A})^2 \end{aligned}

Calcul du carré :

\begin{aligned} & \quad (294.1176...)^2 \approx 86 \, 506.57 \end{aligned}

Calcul final :

\begin{aligned} P_{\text{loss, AC}} &= 0.5 \cdot 86 \, 506.57 \\ P_{\text{loss, AC}} &\approx 43 \, 253.28 \text{ W} \end{aligned}

Les pertes en régime alternatif sont de 43 253 Watts, ce qui est nettement supérieur aux 31 250 W du régime continu.

Conversion du résultat

Nous convertissons le résultat en kiloWatts (kW) pour le comparer plus facilement à la puissance de la charge.

P_{\text{loss, AC}} = \frac{43 \, 253.28 \text{ W}}{1000} \] \[ P_{\text{loss, AC}} \approx 43.25 \text{ kW}

Les pertes par effet Joule en AC sont donc de 43.25 kW.

Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme nos craintes : les pertes sont bien plus élevées, à 43 253 W. Le câble chauffe beaucoup plus.

Résultat des pertes AC

Réflexions

Les pertes en AC (\(43.25 \text{ kW}\)) sont bien plus élevées que les pertes en DC (\(31.25 \text{ kW}\)). C'est la conséquence directe du courant plus élevé (\(294 \text{ A}\) vs \(250 \text{ A}\)) requis par l'installation AC à cause du mauvais facteur de puissance. Les pertes sont proportionnelles au *carré* du courant, donc une petite augmentation du courant provoque une grande augmentation des pertes.

Points de vigilance

N'oubliez pas l'effet de peau (skin effect) ! Nous l'avons négligé, mais en AC, la résistance \(R_{\text{AC}}\) est en fait *supérieure* à \(R_{\text{DC}}\), surtout à haute fréquence. Si nous en avions tenu compte, les pertes AC seraient encore plus importantes que ce que nous avons calculé.

Points à retenir

La formule \(P_J = R \cdot I^2\) est universelle (elle fonctionne en DC et en AC avec \(I_{\text{eff}}\)).
Un mauvais facteur de puissance (\(\cos(\phi) < 1\)) augmente le courant et donc, de façon quadratique, les pertes en ligne.

Le saviez-vous ?

Pour contrer l'effet de peau dans les câbles à haute fréquence ou grande puissance, on n'utilise pas un fil de cuivre massif. On utilise des câbles de Litz, qui sont composés de centaines de petits brins de cuivre isolés les uns des autres et tressés d'une manière spécifique, forçant le courant à se répartir uniformément dans toute la section.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Les pertes en ligne pour le cas AC s'élèvent à \(P_{\text{loss, AC}} \approx 43.25 \text{ kW}\).

A vous de jouer

Si l'usine avait un \(\cos(\phi) = 1\) (voir votre réponse au Q3 "A vous de jouer" : \(I_{\text{AC}}=250 \text{ A}\)), quelles seraient les pertes \(P_{\text{loss, AC}}\) (en W) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Pertes AC et \(\cos(\phi)\).
Formule Essentielle : \(P_J = R \cdot I_{\text{eff}}^2\).
Conséquence : \(\cos(\phi)\) bas \(\rightarrow\) \(I\) haut \(\rightarrow\) \(P_J\) très haut.

Question 5 : Conclusion : Comparer les pertes et calculer le rendement \(\eta\)

Principe

Le rendement (ou efficacité) \(\eta\) d'un système de transmission est le rapport entre la puissance utile qui arrive à la charge (\(P_{\text{load}}\)) et la puissance totale qui doit être fournie par la source (\(P_{\text{source}}\)). \[ \eta = \frac{P_{\text{load}}}{P_{\text{source}}} = \frac{P_{\text{load}}}{P_{\text{load}} + P_{\text{loss}}} \] Nous allons calculer cela pour les deux cas (DC et AC).

Mini-Cours

Le rendement, noté \(\eta\) (lettre grecque "eta"), est un nombre entre 0 et 1 (ou 0% et 100%) qui quantifie l'efficacité d'un système.

\(\eta = 1\) (100%) : Système parfait, aucune perte.
\(\eta = 0.75\) (75%) : Système qui délivre 75% de l'énergie fournie, et en perd 25%.

La puissance totale fournie par la source doit compenser la puissance utile ET les pertes : \(P_{\text{source}} = P_{\text{load}} + P_{\text{loss}}\).

Remarque Pédagogique

En comparant les deux rendements, vous ne comparez pas seulement les pertes (un chiffre absolu en kW), mais leur *importance relative* par rapport à la puissance totale mise en jeu. C'est le meilleur indicateur de performance.

Normes

Des directives internationales et nationales (comme la directive européenne sur l'écoconception ou les normes ISO 50001 sur le management de l'énergie) poussent les industriels à maximiser le rendement de leurs installations pour réduire la consommation d'énergie globale et l'impact environnemental.

Formule(s)

Formule du rendement

\eta = \frac{P_{\text{load}}}{P_{\text{load}} + P_{\text{loss}}}

Hypothèses

Nous supposons que les seules pertes du système sont les pertes par effet Joule dans la ligne.

Nous négligeons les pertes à la source (centrale).
Nous négligeons les pertes à la charge (par ex. chaleur dégagée par l'usine elle-même).
Nous nous concentrons *uniquement* sur le rendement de la *transmission*.

Donnée(s)

Nous synthétisons tous nos résultats précédents.

Paramètre	Cas DC	Cas AC (\(\cos\phi=0.85\))
Puissance utile (\(P_{\text{load}}\))	100 kW	100 kW
Pertes (\(P_{\text{loss}}\))	31.25 kW	43.25 kW

Astuces

Pour convertir un ratio en pourcentage (ex: 0.7619), il suffit de le multiplier par 100. Assurez-vous d'utiliser des unités cohérentes (kW et kW) dans votre fraction ; le rendement \(\eta\) est un nombre sans dimension.

Schéma (Avant les calculs)

Diagramme de Sankey (flux d'énergie) pour le cas DC. La largeur des flèches est proportionnelle à la puissance.

Flux d'énergie (Sankey) - Cas DC

Calcul(s)

Nous appliquons la formule du rendement \(\eta = P_{\text{utile}} / P_{\text{source}}\), où \(P_{\text{source}} = P_{\text{utile}} + P_{\text{perdue}}\). Nous le faisons pour les deux scénarios.

Étape 1 : Calcul du rendement DC

Nous utilisons la puissance de charge (100 kW) et les pertes DC (31.25 kW). Les unités (kW) s'annulent.

\begin{aligned} \eta_{\text{DC}} &= \frac{P_{\text{load}}}{P_{\text{load}} + P_{\text{loss, DC}}} \\ \eta_{\text{DC}} &= \frac{100 \text{ kW}}{100 \text{ kW} + 31.25 \text{ kW}} \\ \eta_{\text{DC}} &= \frac{100}{131.25} \\ \eta_{\text{DC}} &\approx 0.7619 \end{aligned}

Converti en pourcentage (en multipliant par 100), le rendement DC est de 76.19%.

Étape 2 : Calcul du rendement AC

Nous faisons le même calcul avec les pertes AC (43.25 kW).

\begin{aligned} \eta_{\text{AC}} &= \frac{P_{\text{load}}}{P_{\text{load}} + P_{\text{loss, AC}}} \\ \eta_{\text{AC}} &= \frac{100 \text{ kW}}{100 \text{ kW} + 43.25 \text{ kW}} \\ \eta_{\text{AC}} &= \frac{100}{143.25} \\ \eta_{\text{AC}} &\approx 0.6981 \end{aligned}

Converti en pourcentage, le rendement AC est de 69.81%.

Schéma (Après les calculs)

Diagramme de Sankey pour le cas AC. La puissance de source \(P_{\text{source}}\) est plus grande, et la flèche des pertes est visiblement plus épaisse.

Flux d'énergie (Sankey) - Cas AC

Réflexions

Comparaison : Le système AC a des pertes (\(43.25 \text{ kW}\)) qui sont \( (43.25 / 31.25) \approx 1.38 \), soit 38% plus élevées que le système DC.
Conclusion : Pour cette configuration (même tension, même puissance active), le transport en courant continu est nettement plus efficace (Rendement de 76.2%) que le transport en courant alternatif avec un mauvais facteur de puissance (Rendement de 69.8%). L'usine "paie" pour son mauvais \(\cos(\phi)\) en gaspillant plus d'énergie dans les câbles.

Points de vigilance

L'erreur de calcul la plus fréquente est d'inverser la fraction (\(P_{\text{source}} / P_{\text{load}}\)) ou de mal définir la base. Le rendement est toujours \(\text{Ce qui est utile} / \text{Ce qui a été payé}\). "Ce qui a été payé" (la puissance source) est *toujours* plus grand que "ce qui est utile" (la puissance à la charge).

Points à retenir

C'est la raison pour laquelle les fournisseurs d'électricité pénalisent les industries qui ont un mauvais facteur de puissance : elles les obligent à surdimensionner leur réseau et causent des pertes supplémentaires pour tout le monde. Les usines installent alors des "batteries de condensateurs" pour "relever" leur \(\cos(\phi)\) et le ramener proche de 1.

Le saviez-vous ?

Si l'AC est si mauvais ici, pourquoi a-t-il gagné la "guerre des courants" ? Car l'AC a un avantage immense : on peut changer sa tension très facilement avec un transformateur. On transporte l'électricité à très haute tension (ex: 400 000 V) pour avoir un courant très faible (\(I = P/V\)), ce qui réduit les pertes (\(R \cdot I^2\)) à presque rien. On ne peut pas faire ça facilement en DC. Aujourd'hui, pour les très longues distances, on utilise des lignes spéciales DC à haute tension (HVDC) qui redeviennent compétitives.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le rendement DC est \(\eta_{\text{DC}} \approx 76.2 \%\).
Le rendement AC est \(\eta_{\text{AC}} \approx 69.8 \%\).
Le système DC est plus efficace dans ce cas précis.

A vous de jouer

Calculez le rendement \(\eta_{\text{DC}}\) (en %) si la résistance du câble était de \(1 \, \Omega\) (voir Q2 "A vous de jouer" où \(P_{\text{loss, DC}} = 62.5 \text{ kW}\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Rendement de transmission.
Formule : \(\eta = P_{\text{utile}} / (P_{\text{utile}} + P_{\text{perdue}})\).
Conclusion : À tension égale, le DC est plus efficace. L'AC gagne grâce aux transformateurs.

Outil Interactif : Simulateur de Pertes

Cet outil vous permet de voir l'impact de la résistance du câble et du facteur de puissance sur les pertes en ligne AC et DC, pour la charge de 100 kW / 400 V de l'exercice.

Paramètres d'Entrée

Résistance de la ligne (\(R_{\text{cable}}\)) (Ω) 0.5 Ω

Facteur de Puissance (\(\cos(\phi)\)) 0.85

Résultats Clés (Pertes)

Pertes en DC (kW) -

Pertes en AC (kW) -

Glossaire

Courant Alternatif (AC): Courant électrique dont le sens change périodiquement. C'est le standard de nos prises domestiques. On utilise des valeurs "efficaces" pour le calculer.
Courant Continu (DC): Courant électrique dont le sens est constant (il va toujours du + vers le -). C'est le courant des piles, batteries, et panneaux solaires.
Effet Joule (\(P_J = R \cdot I^2\)): Phénomène physique où le passage d'un courant \(I\) dans une résistance \(R\) dissipe de l'énergie sous forme de chaleur (\(P_J\)). Ce sont les "pertes" dans un câble.
Facteur de Puissance (\(\cos(\phi)\)): En AC, rapport entre la puissance active (utile, en W) et la puissance apparente (totale, en VA). Un \(\cos(\phi)\) de 1 est parfait (type radiateur). Un \(\cos(\phi)\) bas (type moteur) signifie plus de courant "inutile" circulant pour la même puissance utile, ce qui augmente les pertes.
Puissance Active (P): La puissance "réellement" consommée par un appareil pour produire un travail, de la lumière ou de la chaleur (utile). Se mesure en Watts (W).
Puissance Apparente (S): La puissance "totale" que le réseau doit fournir à une installation AC (\(S = V \cdot I\)). Elle inclut la puissance active (P) et la puissance réactive (Q). Se mesure en Volt-Ampères (VA).
Rendement (\(\eta\)): Rapport entre la puissance utile à l'arrivée et la puissance totale fournie au départ. \(\eta = P_{\text{sortie}} / P_{\text{entrée}}\). Un rendement de 100% (\(\eta=1\)) signifierait aucune perte.