Calcul du Flux Électrique à Travers un Cube
Comprendre le Flux Électrique et le Théorème de Gauss
Le flux électrique (\(\Phi_E\)) quantifie le nombre de lignes de champ électrique qui traversent une surface. Pour une surface fermée, le théorème de Gauss établit une relation simple entre le flux électrique total sortant de cette surface et la charge électrique nette \(Q_{\text{int}}\) contenue à l'intérieur de la surface : \(\Phi_E = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0\), où \(\varepsilon_0\) est la permittivité du vide. Ce théorème est un outil puissant pour calculer le champ électrique dans des situations de haute symétrie ou pour déterminer le flux à travers des surfaces complexes sans avoir à effectuer l'intégration directe du champ.
Données de l'étude
- Permittivité du vide : \(\varepsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\) (ou \(\text{C}^2/(\text{N} \cdot \text{m}^2)\))
Schéma : Charge au Centre d'un Cube
Charge ponctuelle Q placée au centre d'un cube.
Questions à traiter
- En utilisant le théorème de Gauss, calculer le flux électrique total \(\Phi_{\text{tot}}\) sortant à travers la surface totale du cube.
- En raison de la symétrie de la configuration (charge au centre du cube), quel est le flux électrique \(\Phi_{\text{face}}\) à travers une seule face du cube ?
- Si la charge \(Q\) était déplacée en un point quelconque à l'intérieur du cube (mais pas sur une face ou une arête), comment cela affecterait-il le flux total \(\Phi_{\text{tot}}\) à travers la surface du cube ? Expliquer.
- Si une deuxième charge ponctuelle \(Q' = -Q\) était ajoutée au centre du cube avec la charge \(+Q\) initiale, quel serait le nouveau flux total \(\Phi'_{\text{tot}}\) à travers la surface du cube ?
- Considérons maintenant que la charge \(Q\) est retirée, et qu'un champ électrique uniforme \(\vec{E} = (200 \, \hat{i}) \, \text{N/C}\) est appliqué. Le cube est toujours centré à l'origine avec ses faces parallèles aux plans de coordonnées. Calculer le flux électrique à travers la face du cube située en \(x = +a/2\) et à travers la face située en \(x = -a/2\). Quel est le flux total à travers le cube dans ce cas ?
Correction : Calcul du Flux Électrique à Travers un Cube
Question 1 : Flux électrique total \(\Phi_{\text{tot}}\) à travers le cube
Principe :
Le théorème de Gauss stipule que le flux électrique total \(\Phi_E\) à travers une surface fermée est égal à la charge totale \(Q_{\text{int}}\) enfermée par cette surface, divisée par la permittivité du vide \(\varepsilon_0\).
Formule(s) utilisée(s) (Théorème de Gauss) :
Données spécifiques :
- Charge enfermée \(Q_{\text{int}} = Q = +8,854 \, \text{nC} = +8,854 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
- Permittivité du vide \(\varepsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
Calcul :
Question 2 : Flux électrique \(\Phi_{\text{face}}\) à travers une seule face
Principe :
La charge \(Q\) est au centre du cube. Par symétrie, le flux électrique se répartit équitablement entre les six faces identiques du cube.
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(\Phi_{\text{tot}} = 1000 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}\)
- Nombre de faces du cube = 6
Calcul :
Quiz Intermédiaire 1 : Si la charge Q était placée dans un coin du cube au lieu du centre, le flux total à travers le cube serait :
Question 3 : Effet du déplacement de la charge à l'intérieur du cube
Principe :
Le théorème de Gauss stipule que le flux total à travers une surface fermée ne dépend que de la charge totale enfermée, et non de la position de cette charge à l'intérieur de la surface (tant qu'elle reste à l'intérieur).
Question 4 : Flux total avec une charge additionnelle \(-Q\)
Principe :
Le théorème de Gauss s'applique à la charge nette (totale) enfermée à l'intérieur de la surface fermée.
Données spécifiques :
- Charge initiale : \(+Q\)
- Charge ajoutée : \(Q' = -Q\)
Calcul :
La charge totale nette enfermée est \(Q_{\text{int}} = Q + Q' = Q + (-Q) = 0\).
Question 5 : Flux dû à un champ uniforme à travers les faces du cube
Principe :
Le flux à travers une surface plane dans un champ uniforme est \(\Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{A} = EA \cos\theta\), où \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{E}\) et le vecteur normal \(\vec{A}\) à la surface. Le cube a des faces parallèles aux plans de coordonnées. Côté \(a = 0,20 \, \text{m}\), donc aire d'une face \(A_{\text{face}} = a^2 = (0,20 \, \text{m})^2 = 0,04 \, \text{m}^2\).
Données spécifiques :
- Champ électrique uniforme \(\vec{E} = (200 \, \hat{i}) \, \text{N/C}\)
- Aire d'une face \(A_{\text{face}} = 0,04 \, \text{m}^2\)
Calcul :
Face en \(x = +a/2 = +0,10 \, \text{m}\) : La normale sortante est \(\vec{A}_1 = A_{\text{face}} \hat{i} = 0,04 \hat{i} \, \text{m}^2\).
Face en \(x = -a/2 = -0,10 \, \text{m}\) : La normale sortante est \(\vec{A}_2 = -A_{\text{face}} \hat{i} = -0,04 \hat{i} \, \text{m}^2\).
Pour les autres faces (celles parallèles aux plans xy et xz), leurs normales sont selon \(\hat{k}\), \(-\hat{k}\), \(\hat{j}\), \(-\hat{j}\). Le produit scalaire de \(\vec{E} = 200 \hat{i}\) avec ces normales sera nul car \(\hat{i} \cdot \hat{j} = 0\) et \(\hat{i} \cdot \hat{k} = 0\). Donc, le flux à travers ces quatre faces est nul.
Flux total à travers le cube :
Ceci est attendu par le théorème de Gauss, car il n'y a pas de charge nette enfermée dans le cube pour ce champ uniforme externe.
- Flux à travers la face en \(x = +a/2\) : \(\Phi_1 = +8,0 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}\)
- Flux à travers la face en \(x = -a/2\) : \(\Phi_2 = -8,0 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}\)
- Flux total à travers le cube pour le champ uniforme : \(0 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}\)
Quiz Intermédiaire 2 : Le théorème de Gauss est particulièrement utile pour calculer le champ électrique lorsque :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. Le flux électrique à travers une surface fermée :
2. Si un champ électrique uniforme est parallèle à une surface plane :
3. L'unité SI du flux électrique peut être exprimée en :
Glossaire
- Flux Électrique (\(\Phi_E\))
- Mesure du nombre de lignes de champ électrique traversant une surface. Mathématiquement, \(\Phi_E = \int_S \vec{E} \cdot d\vec{A}\). Unité : \(\text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}\) ou \(\text{V} \cdot \text{m}\).
- Champ Électrique (\(\vec{E}\))
- Champ vectoriel créé par des charges électriques, décrivant la force électrique par unité de charge. Unité : N/C ou V/m.
- Vecteur Surface (\(d\vec{A}\) ou \(\vec{A}\))
- Vecteur dont la magnitude est égale à l'aire (ou l'élément d'aire \(dA\)) et dont la direction est perpendiculaire (normale) à la surface, orientée vers l'extérieur pour une surface fermée.
- Théorème de Gauss
- Loi fondamentale de l'électrostatique qui stipule que le flux électrique net à travers n'importe quelle surface fermée hypothétique (surface de Gauss) est égal à \(1/\varepsilon_0\) fois la charge électrique nette \(Q_{\text{int}}\) à l'intérieur de cette surface fermée : \(\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0\).
- Permittivité du Vide (\(\varepsilon_0\))
- Constante physique fondamentale qui représente la capacité du vide à permettre la formation d'un champ électrique. \(\varepsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\).
- Surface Fermée
- Surface qui délimite un volume clos, sans "trous" ni bords.
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