Influence des Composants sur la Fréquence

Énoncé : Influence des Composants sur la Fréquence

Les circuits LC (composés d'une bobine d'inductance L et d'un condensateur de capacité C) sont la base de nombreux oscillateurs et circuits résonants en électronique. La fréquence à laquelle ces circuits oscillent ou résonnent dépend directement des valeurs de L et C.

Contexte

La capacité à déterminer et ajuster la fréquence de résonance est essentielle dans des domaines comme la radio (pour sélectionner une station), les télécommunications (pour définir les canaux), ou encore les systèmes de détection (comme les portiques antivol). En modifiant la valeur de l'inductance ou de la capacité, on peut "accorder" le circuit sur une fréquence désirée.

Schéma simplifié d'un circuit LC parallèle.

Données du Problème

On considère un circuit LC parallèle idéal (sans résistance).

Inductance initiale : \(L_1 = 25 \, \text{mH} = 25 \times 10^{-3} \, \text{H}\)
Capacité initiale : \(C_1 = 100 \, \text{nF} = 100 \times 10^{-9} \, \text{F}\)

Questions

Rappeler la formule de la fréquence de résonance (ou fréquence propre) \(f_0\) d'un circuit LC idéal.
Calculer la fréquence de résonance initiale \(f_{0,1}\) du circuit avec les valeurs \(L_1\) et \(C_1\). Donner le résultat en Hertz (Hz) puis en kilohertz (kHz).
On remplace la bobine \(L_1\) par une nouvelle bobine d'inductance \(L_2 = 100 \, \text{mH}\), en gardant la capacité \(C_1\). Quelle est la nouvelle fréquence de résonance \(f_{0,2}\) ? Comment a-t-elle varié par rapport à \(f_{0,1}\) ?
On revient à la bobine initiale \(L_1\), mais on remplace le condensateur \(C_1\) par un nouveau condensateur de capacité \(C_3 = 25 \, \text{nF}\). Quelle est la nouvelle fréquence de résonance \(f_{0,3}\) ? Comment a-t-elle varié par rapport à \(f_{0,1}\) ?
En partant du circuit initial (\(L_1, C_1\)), quelle valeur de capacité \(C_4\) faudrait-il utiliser (en gardant \(L_1\)) pour obtenir une fréquence de résonance \(f_{0,4} = 10 \, \text{kHz}\) ?

Correction : Influence des Composants sur la Fréquence

1. Formule de la Fréquence de Résonance \(f_0\)

La fréquence de résonance (ou fréquence propre) \(f_0\) d'un circuit LC idéal est la fréquence pour laquelle les effets de l'inductance et de la capacité s'équilibrent. Elle est donnée par la formule de Thomson.

Formule

\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \] Où \(L\) est l'inductance en Henry (H) et \(C\) est la capacité en Farad (F).

Résultat

La formule de la fréquence de résonance est \( f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \).

2. Calcul de la Fréquence de Résonance Initiale \(f_{0,1}\)

On applique la formule de Thomson avec les valeurs initiales \(L_1\) et \(C_1\).

Données pour cette étape

\(L_1 = 25 \times 10^{-3} \, \text{H}\)
\(C_1 = 100 \times 10^{-9} \, \text{F}\)
\(\pi \approx 3,14159\)

Calcul

\begin{aligned} f_{0,1} &= \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1 C_1}} \\ &= \frac{1}{2\pi\sqrt{(25 \times 10^{-3} \, \text{H}) \times (100 \times 10^{-9} \, \text{F})}} \\ &= \frac{1}{2\pi\sqrt{2500 \times 10^{-12} \, \text{H} \cdot \text{F}}} \\ &= \frac{1}{2\pi\sqrt{2,5 \times 10^{-9} \, \text{s}^2}} \\ &= \frac{1}{2\pi \times (5 \times 10^{-5} \, \text{s})} \\ &= \frac{1}{3,14159 \times 10^{-4} \, \text{s}} \\ &\approx 3183,1 \, \text{Hz} \\ &\approx 3,18 \, \text{kHz} \end{aligned}

Résultat

La fréquence de résonance initiale est \(f_{0,1} \approx 3183 \, \text{Hz}\), soit \(f_{0,1} \approx 3,18 \, \text{kHz}\).

3. Nouvelle Fréquence \(f_{0,2}\) avec \(L_2 = 100 \, \text{mH}\)

On recalcule la fréquence de résonance avec la nouvelle inductance \(L_2\) et la capacité initiale \(C_1\).

Données pour cette étape

\(L_2 = 100 \, \text{mH} = 100 \times 10^{-3} \, \text{H} = 0,1 \, \text{H}\)
\(C_1 = 100 \times 10^{-9} \, \text{F}\)

Calcul

\begin{aligned} f_{0,2} &= \frac{1}{2\pi\sqrt{L_2 C_1}} \\ &= \frac{1}{2\pi\sqrt{(0,1 \, \text{H}) \times (100 \times 10^{-9} \, \text{F})}} \\ &= \frac{1}{2\pi\sqrt{10 \times 10^{-9} \, \text{s}^2}} \\ &= \frac{1}{2\pi \times (1 \times 10^{-4} \, \text{s})} \\ &= \frac{1}{6,28318 \times 10^{-4} \, \text{s}} \\ &\approx 1591,5 \, \text{Hz} \\ &\approx 1,59 \, \text{kHz} \end{aligned}

Comparaison : L'inductance \(L_2\) est 4 fois plus grande que \(L_1\) (\(100/25 = 4\)). La fréquence \(f_{0,2}\) est \(\sqrt{4} = 2\) fois plus petite que \(f_{0,1}\) (\(3,18 / 1,59 \approx 2\)).

Résultat

La nouvelle fréquence de résonance est \(f_{0,2} \approx 1,59 \, \text{kHz}\). Augmenter l'inductance diminue la fréquence de résonance.

4. Nouvelle Fréquence \(f_{0,3}\) avec \(C_3 = 25 \, \text{nF}\)

On recalcule la fréquence de résonance avec l'inductance initiale \(L_1\) et la nouvelle capacité \(C_3\).

Données pour cette étape

\(L_1 = 25 \times 10^{-3} \, \text{H}\)
\(C_3 = 25 \, \text{nF} = 25 \times 10^{-9} \, \text{F}\)

Calcul

\begin{aligned} f_{0,3} &= \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1 C_3}} \\ &= \frac{1}{2\pi\sqrt{(25 \times 10^{-3} \, \text{H}) \times (25 \times 10^{-9} \, \text{F})}} \\ &= \frac{1}{2\pi\sqrt{625 \times 10^{-12} \, \text{s}^2}} \\ &= \frac{1}{2\pi \times (25 \times 10^{-6} \, \text{s})} \\ &= \frac{1}{1,5708 \times 10^{-4} \, \text{s}} \\ &\approx 6366,2 \, \text{Hz} \\ &\approx 6,37 \, \text{kHz} \end{aligned}

Comparaison : La capacité \(C_3\) est 4 fois plus petite que \(C_1\) (\(100/25 = 4\)). La fréquence \(f_{0,3}\) est \(\sqrt{4} = 2\) fois plus grande que \(f_{0,1}\) (\(6,37 / 3,18 \approx 2\)).

Résultat

La nouvelle fréquence de résonance est \(f_{0,3} \approx 6,37 \, \text{kHz}\). Diminuer la capacité augmente la fréquence de résonance.

5. Calcul de la Capacité \(C_4\) pour \(f_{0,4} = 10 \, \text{kHz}\)

On part de la formule \(f_{0,4} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1 C_4}}\) et on isole \(C_4\). En élevant au carré : \(f_{0,4}^2 = \frac{1}{(2\pi)^2 L_1 C_4} = \frac{1}{4\pi^2 L_1 C_4}\). Donc : \(C_4 = \frac{1}{4\pi^2 L_1 f_{0,4}^2}\). Il faut convertir la fréquence cible en Hertz : \(f_{0,4} = 10 \, \text{kHz} = 10 \times 10^3 \, \text{Hz} = 10000 \, \text{Hz}\).

Données pour cette étape

\(L_1 = 25 \times 10^{-3} \, \text{H}\)
\(f_{0,4} = 10000 \, \text{Hz}\)

Calcul

\begin{aligned} C_4 &= \frac{1}{4\pi^2 L_1 f_{0,4}^2} \\ &= \frac{1}{4\pi^2 \times (25 \times 10^{-3} \, \text{H}) \times (10000 \, \text{Hz})^2} \\ &= \frac{1}{4\pi^2 \times (25 \times 10^{-3}) \times (10^4)^2} \\ &= \frac{1}{4\pi^2 \times (25 \times 10^{-3}) \times 10^8} \\ &= \frac{1}{4\pi^2 \times 25 \times 10^5} \\ &= \frac{1}{100\pi^2 \times 10^5} \\ &= \frac{1}{986,96 \times 10^5} \\ &= \frac{1}{9,8696 \times 10^7} \\ &\approx 1,013 \times 10^{-8} \, \text{F} \\ &\approx 10,13 \times 10^{-9} \, \text{F} \\ &\approx 10,13 \, \text{nF} \end{aligned}

Résultat

Pour obtenir une fréquence de résonance de \(10 \, \text{kHz}\) avec l'inductance \(L_1\), il faudrait une capacité \(C_4 \approx 10,13 \, \text{nF}\).