Mesure de la Valeur Efficace d’un Courant
Comprendre et calculer la valeur efficace d'un courant alternatif sinusoïdal et son lien avec la puissance dissipée.
En régime alternatif sinusoïdal, le courant électrique varie périodiquement au cours du temps. Sa valeur instantanée \(i(t)\) peut être décrite par l'expression \(i(t) = I_{max} \sin(\omega t + \varphi)\), où \(I_{max}\) est l'amplitude (valeur maximale) du courant.
La valeur efficace (\(I_{eff}\) ou simplement \(I\)) d'un courant alternatif sinusoïdal est la valeur du courant continu qui produirait le même effet thermique (dissipation d'énergie par effet Joule) dans une résistance donnée. Elle est liée à l'amplitude par :
Un ampèremètre utilisé en mode "AC" (alternatif) mesure cette valeur efficace.
La puissance instantanée dissipée dans une résistance \(R\) traversée par un courant \(i(t)\) est \(p(t) = R \cdot i(t)^2\). La puissance moyenne \(P_{moy}\) dissipée par cette résistance est :
Données du Problème
Un courant alternatif sinusoïdal traverse une résistance \(R\). L'expression de l'intensité instantanée du courant est donnée par :
\(i(t) = 5.0 \sin(100\pi t)\), où \(i(t)\) est en ampères (A) et \(t\) en secondes (s).
La résistance a une valeur de \(R = 10 \text{ } \Omega\).
Questions
- Identifier l'amplitude (valeur maximale) \(I_{max}\) du courant.
- Calculer la valeur efficace \(I_{eff}\) du courant.
- Un ampèremètre numérique, réglé en mode AC (alternatif), est inséré en série dans le circuit. Quelle valeur indiquera-t-il ?
- Calculer la puissance instantanée maximale \(p_{max}\) dissipée par la résistance.
- Calculer la puissance moyenne \(P_{moy}\) dissipée par la résistance.
- Si un courant continu \(I_{DC}\) dissipait la même puissance moyenne \(P_{moy}\) dans cette résistance, quelle serait la valeur de \(I_{DC}\) ? Comparer \(I_{DC}\) à \(I_{eff}\).
Correction : Mesure de la Valeur Efficace d’un Courant
1. Identification de l'Amplitude \(I_{max}\)
L'expression d'un courant sinusoïdal est de la forme \(i(t) = I_{max} \sin(\omega t + \varphi)\). L'amplitude \(I_{max}\) est le coefficient devant la fonction sinus.
Données :
\(i(t) = 5.0 \sin(100\pi t)\) A
Par identification avec \(i(t) = I_{max} \sin(\omega t)\) :
L'amplitude du courant est \(I_{max} = 5.0 \text{ A}\).
2. Calcul de la Valeur Efficace \(I_{eff}\)
Pour un courant sinusoïdal, la valeur efficace \(I_{eff}\) est liée à l'amplitude \(I_{max}\) par \(I_{eff} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}\).
Données :
\(I_{max} = 5.0 \text{ A}\)
La valeur efficace du courant est \(I_{eff} \approx 3.54 \text{ A}\).
Quiz Intermédiaire
3. Valeur Indiquée par l'Ampèremètre
Un ampèremètre utilisé en mode AC (courant alternatif) mesure la valeur efficace du courant.
Données :
\(I_{eff} \approx 3.54 \text{ A}\) (calculé à l'étape 2)
L'ampèremètre indiquera donc la valeur efficace du courant.
L'ampèremètre indiquera environ \(3.54 \text{ A}\).
4. Calcul de la Puissance Instantanée Maximale \(p_{max}\)
La puissance instantanée est \(p(t) = R \cdot i(t)^2\). Elle est maximale lorsque \(i(t)\) est maximal, c'est-à-dire \(i(t) = I_{max}\).
Données :
\(R = 10 \text{ } \Omega\)
\(I_{max} = 5.0 \text{ A}\)
La puissance instantanée maximale dissipée par la résistance est \(p_{max} = 250 \text{ W}\).
5. Calcul de la Puissance Moyenne \(P_{moy}\)
La puissance moyenne dissipée par une résistance en régime sinusoïdal est \(P_{moy} = R \cdot I_{eff}^2\).
Données :
\(R = 10 \text{ } \Omega\)
\(I_{eff} \approx 3.5355 \text{ A}\) (valeur non arrondie de l'étape 2)
Note : Pour un signal sinusoïdal, \(P_{moy} = \frac{P_{max}}{2} = \frac{R \cdot I_{max}^2}{2}\). Ici, \(250 \text{ W} / 2 = 125 \text{ W}\), ce qui est cohérent.
La puissance moyenne dissipée par la résistance est \(P_{moy} = 125 \text{ W}\).
Quiz Intermédiaire
6. Courant Continu Équivalent (\(I_{DC}\))
On cherche le courant continu \(I_{DC}\) qui dissiperait la même puissance moyenne \(P_{moy}\) dans la résistance \(R\). En régime continu, \(P = R I_{DC}^2\).
Données :
\(P_{moy} = 125 \text{ W}\)
\(R = 10 \text{ } \Omega\)
Comparaison : On constate que \(I_{DC} \approx 3.54 \text{ A}\), ce qui est égal à la valeur efficace \(I_{eff}\) calculée à l'étape 2. Ceci confirme la définition de la valeur efficace.
Le courant continu équivalent est \(I_{DC} \approx 3.54 \text{ A}\). Cette valeur est égale à la valeur efficace \(I_{eff}\) du courant alternatif.
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Glossaire des Termes Clés
Courant Alternatif Sinusoïdal :
Courant électrique dont l'intensité varie de manière sinusoïdale au cours du temps.
Amplitude (\(I_{max}\)) :
Valeur maximale atteinte par l'intensité d'un courant alternatif.
Valeur Efficace (\(I_{eff}\) ou I) :
Valeur du courant continu qui produirait le même dégagement de chaleur dans une résistance que le courant alternatif considéré. Pour un signal sinusoïdal, \(I_{eff} = I_{max}/\sqrt{2}\).
Ampèremètre :
Instrument de mesure de l'intensité du courant électrique. En mode AC, il mesure la valeur efficace.
Puissance Instantanée (\(p(t)\)) :
Puissance à un instant \(t\) donné. Pour une résistance, \(p(t) = R \cdot i(t)^2\).
Puissance Moyenne (\(P_{moy}\) ou P) :
Valeur moyenne de la puissance instantanée sur une période. Pour une résistance en régime sinusoïdal, \(P_{moy} = R \cdot I_{eff}^2\).
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Pourquoi la valeur moyenne d'un courant alternatif sinusoïdal est-elle nulle sur une période complète ?
2. La relation \(I_{eff} = I_{max}/\sqrt{2}\) est-elle valable pour des courants alternatifs non sinusoïdaux (par exemple, un signal carré ou triangulaire) ?
3. Comment la valeur efficace d'une tension alternative est-elle définie et calculée ?
4. Les appareils électriques domestiques sont spécifiés avec des tensions et des courants. S'agit-il généralement de valeurs maximales ou efficaces ? Pourquoi ?
5. Quel est l'intérêt d'utiliser des courants et tensions alternatifs pour le transport et la distribution de l'énergie électrique par rapport au courant continu ?
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