Calcul du Potentiel Vecteur d’un Courant Continu
Comprendre le Potentiel Vecteur Magnétique
En magnétostatique, le potentiel vecteur magnétique, noté \(\vec{A}\), est un champ vectoriel dont le rotationnel donne le champ magnétique \(\vec{B}\) (c'est-à-dire \(\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}\)). Tout comme le potentiel scalaire électrique \(V\) simplifie le calcul du champ électrique \(\vec{E}\) (où \(\vec{E} = -\vec{\nabla}V\)), le potentiel vecteur \(\vec{A}\) peut simplifier le calcul du champ magnétique \(\vec{B}\), en particulier pour des distributions de courants complexes. Pour une distribution de courant filiforme, le potentiel vecteur en un point \(\vec{r}\) est donné par l'intégrale sur le circuit du courant divisé par la distance à l'élément de courant. Cet exercice se concentre sur le calcul du potentiel vecteur créé par un segment de fil rectiligne parcouru par un courant continu.
Données de l'étude
- Courant continu (\(I\)) : \(10 \, \text{A}\)
- Demi-longueur du fil (\(L\)) : \(5 \, \text{cm}\) (le fil s'étend donc de \(z = -L\) à \(z = +L\))
- On s'intéresse au potentiel vecteur au point P de coordonnées (\(x_0, 0, 0\)), où \(x_0 = 3 \, \text{cm}\).
- Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\)
Schéma : Segment de Fil et Point d'Observation P
Segment de fil rectiligne de longueur \(2L\) parcouru par un courant \(I\), et point P où le potentiel vecteur est calculé.
Questions à traiter
- Écrire l'expression générale du potentiel vecteur \(\vec{A}(\vec{r})\) créé par une distribution de courant linéique \(I\) le long d'un contour \(C'\).
- Pour le segment de fil donné, identifier l'élément de courant \(I d\vec{l}'\) et le vecteur position \(\vec{r}'\) d'un élément du fil. Identifier le vecteur position \(\vec{r}\) du point P.
- Exprimer le vecteur \(\vec{R} = \vec{r} - \vec{r}'\) et sa magnitude \(R = |\vec{r} - \vec{r}'|\) en fonction de \(x_0\) et de la coordonnée \(z'\) sur le fil.
- Écrire l'intégrale permettant de calculer le potentiel vecteur \(\vec{A}\) au point P. Quelle est la direction de \(\vec{A}(P)\) ?
- Sachant que \(\int \frac{dz'}{\sqrt{x_0^2 + z'^2}} = \ln(z' + \sqrt{x_0^2 + z'^2})\), calculer la magnitude de la composante non nulle du potentiel vecteur \(A_z(P)\) au point P.
- Si la longueur \(L\) du fil tend vers l'infini (\(L \rightarrow \infty\)), que devient l'expression de \(A_z(P)\) ? Discuter de la divergence. (Question conceptuelle)
Correction : Calcul du Potentiel Vecteur d’un Courant Continu
Question 1 : Expression générale du potentiel vecteur \(\vec{A}(\vec{r})\)
Principe :
Le potentiel vecteur magnétique \(\vec{A}\) créé en un point \(\vec{r}\) par un circuit filiforme \(C'\) parcouru par un courant continu \(I\) est donné par une intégrale sur le contour du circuit.
Formule(s) utilisée(s) :
Où :
- \(\mu_0\) est la perméabilité du vide.
- \(I\) est le courant constant circulant dans le fil.
- \(d\vec{l}'\) est un élément vectoriel de longueur du fil au point \(\vec{r}'\), orienté dans le sens du courant.
- \(|\vec{r} - \vec{r}'|\) est la distance entre l'élément de courant \(d\vec{l}'\) et le point d'observation \(\vec{r}\).
- L'intégrale est effectuée sur tout le contour \(C'\) du circuit.
Question 2 : Identification des éléments \(I d\vec{l}'\), \(\vec{r}'\), et \(\vec{r}\)
Principe :
Il faut définir les vecteurs positions et l'élément de courant en fonction du système de coordonnées choisi.
Définitions :
- Le fil est le long de l'axe \(z\), de \(z' = -L\) à \(z' = +L\). Le courant \(I\) circule dans la direction \(+\vec{u}_z\). Donc, un élément de courant est \(I d\vec{l}' = I dz' \vec{u}_z\).
- Le vecteur position d'un élément \(d\vec{l}'\) sur le fil est \(\vec{r}' = z' \vec{u}_z\).
- Le point d'observation P a pour coordonnées (\(x_0, 0, 0\)). Son vecteur position est \(\vec{r} = x_0 \vec{u}_x\).
- \(I d\vec{l}' = I dz' \vec{u}_z\)
- \(\vec{r}' = z' \vec{u}_z\) (avec \(-L \le z' \le L\))
- \(\vec{r} = x_0 \vec{u}_x\)
Question 3 : Vecteur \(\vec{R} = \vec{r} - \vec{r}'\) et sa magnitude \(R\)
Principe :
Calcul du vecteur reliant l'élément de source au point d'observation, puis de sa magnitude.
Formule(s) utilisée(s) :
Calcul :
Les composantes de \(\vec{R}\) sont \((x_0, 0, -z')\) si on considère \(\vec{r}=(x_0,0,0)\) et \(\vec{r}'=(0,0,z')\). Si le point P est \((x_0, y_P, z_P)\) et le fil est sur l'axe z, \(\vec{r}' = (0,0,z')\). Alors \(\vec{r} - \vec{r}' = (x_P - 0)\vec{u}_x + (y_P - 0)\vec{u}_y + (z_P - z')\vec{u}_z\). Pour P(\(x_0, 0, 0\)):
\[ \begin{aligned} \vec{R} &= (x_0 - 0)\vec{u}_x + (0 - 0)\vec{u}_y + (0 - z')\vec{u}_z \\ &= x_0 \vec{u}_x - z' \vec{u}_z \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} R &= |\vec{R}| \\ &= \sqrt{x_0^2 + 0^2 + (-z')^2} \\ &= \sqrt{x_0^2 + z'^2} \end{aligned} \]- \(\vec{R} = x_0 \vec{u}_x - z' \vec{u}_z\)
- \(R = \sqrt{x_0^2 + z'^2}\)
Question 4 : Intégrale pour \(\vec{A}(P)\) et direction
Principe :
On substitue les expressions de \(d\vec{l}'\) et \(R\) dans la formule générale du potentiel vecteur. La direction de \(\vec{A}\) sera la même que celle de \(d\vec{l}'\) car l'intégration se fait sur un scalaire.
Formule(s) utilisée(s) :
Analyse de la direction :
L'élément \(d\vec{l}'\) est \(dz' \vec{u}_z\). Le terme \(1/|\vec{r} - \vec{r}'|\) est un scalaire. L'intégrale d'un vecteur multiplié par un scalaire donne un vecteur dans la même direction que le vecteur original. Donc, \(\vec{A}(P)\) sera dirigé selon \(\vec{u}_z\).
- L'intégrale est : \(\vec{A}(P) = \frac{\mu_0 I \vec{u}_z}{4\pi} \int_{-L}^{+L} \frac{dz'}{\sqrt{x_0^2 + z'^2}}\)
- La direction de \(\vec{A}(P)\) est selon l'axe \(z\) (direction du courant).
Quiz Intermédiaire 1 : Le potentiel vecteur \(\vec{A}\) créé par un courant filiforme est :
Question 5 : Calcul de la magnitude \(A_z(P)\)
Principe :
On évalue l'intégrale définie en utilisant la primitive fournie.
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques (converties en unités SI) :
- \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\)
- \(I = 10 \, \text{A}\)
- \(L = 5 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m}\)
- \(x_0 = 3 \, \text{cm} = 0.03 \, \text{m}\)
Calcul :
Calculons \(\sqrt{x_0^2 + L^2}\) :
\[ \begin{aligned} \sqrt{(0.03)^2 + (0.05)^2} &= \sqrt{0.0009 + 0.0025} \\ &= \sqrt{0.0034} \\ &\approx 0.05831 \, \text{m} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \text{Intégrale} &= \ln\left(\frac{0.05 + 0.05831}{-0.05 + 0.05831}\right) \\ &= \ln\left(\frac{0.10831}{0.00831}\right) \\ &\approx \ln(13.0337) \\ &\approx 2.5675 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} A_z(P) &= \frac{4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A} \times 10 \, \text{A}}{4\pi} \times 2.5675 \\ &= 10^{-6} \times 2.5675 \, \text{T} \cdot \text{m} \\ &\approx 2.5675 \times 10^{-6} \, \text{T} \cdot \text{m} \end{aligned} \]Question 6 : Cas où \(L \rightarrow \infty\)
Principe :
Lorsque \(L \rightarrow \infty\), le terme \(\sqrt{x_0^2 + L^2} \approx \sqrt{L^2} = L\) (pour \(L \gg x_0\)).
Analyse :
L'expression de l'intégrale devient :
Cette expression diverge (\(\rightarrow \infty\)). Cela indique que le potentiel vecteur pour un fil infiniment long, avec la jauge de Coulomb (où \(\vec{\nabla} \cdot \vec{A} = 0\)) et la convention que \(\vec{A} \rightarrow 0\) à l'infini, n'est pas bien défini de cette manière simple. La divergence est logarithmique. En pratique, pour un fil infini, on utilise souvent une autre approche ou on s'intéresse aux différences de potentiel vecteur, ou on calcule directement \(\vec{B}\) qui lui est bien défini. La définition du potentiel vecteur n'est pas unique (liberté de jauge). Pour un fil infini, le champ magnétique \(\vec{B}\) est bien défini (\(B = \frac{\mu_0 I}{2\pi x_0}\)). Le potentiel vecteur pour un fil infini est souvent exprimé comme \(A_z(x_0) = -\frac{\mu_0 I}{2\pi} \ln(x_0) + \text{constante}\), ce qui montre aussi une dépendance logarithmique et une divergence à l'origine ou à l'infini selon la constante.
Quiz Intermédiaire 2 : Le champ magnétique \(\vec{B}\) est lié au potentiel vecteur \(\vec{A}\) par la relation :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. Le potentiel vecteur magnétique \(\vec{A}\) est un outil utile car :
2. La direction du potentiel vecteur \(\vec{A}\) créé par un élément de courant \(I d\vec{l}'\) :
3. L'unité SI du potentiel vecteur magnétique est :
Glossaire
- Potentiel Vecteur Magnétique (\(\vec{A}\))
- Champ vectoriel dont le rotationnel est égal au champ magnétique \(\vec{B}\) (\(\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}\)). Il est utile pour calculer les champs magnétiques, en particulier dans des situations complexes.
- Courant Continu (\(I\))
- Flux de charge électrique dont l'intensité et la direction ne varient pas dans le temps.
- Distribution Linéique de Courant
- Courant électrique circulant le long d'un chemin filiforme.
- Élément de Courant (\(I d\vec{l}'\))
- Produit du courant \(I\) par un élément vectoriel de longueur \(d\vec{l}'\) du circuit, orienté dans le sens du courant. C'est la source du champ magnétique.
- Perméabilité du Vide (\(\mu_0\))
- Constante physique fondamentale qui caractérise la capacité du vide à supporter la formation d'un champ magnétique. \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\).
- Rotationnel (\(\vec{\nabla} \times\))
- Opérateur différentiel vectoriel qui décrit la "circulation" infinitésimale d'un champ vectoriel.
- Jauge de Coulomb
- Condition de jauge souvent utilisée en magnétostatique, \(\vec{\nabla} \cdot \vec{A} = 0\). Le choix d'une jauge permet de définir de manière unique le potentiel vecteur.
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