Calcul du Champ et du Potentiel Électriques
Comprendre le Calcul du Champ et du Potentiel Électriques
Dans un laboratoire de recherche en physique, on étudie les interactions entre charges électriques distribuées sur des surfaces conductrices. On vous demande de calculer le potentiel électrique et le champ électrique à un point donné près d’une plaque plane en équilibre électrostatique.
Données fournies :
- Une plaque plane infinie possède une densité de charge surfacique uniforme \( \sigma = 5 \times 10^{-6} \, \text{C/m}^2. \)
- On s’intéresse à un point \( P \) situé à une distance \( d = 0.1 \, \text{m} \) de cette plaque.
Questions:
1. Calculer le champ électrique au point \( P \) dû à la plaque.
2. Déterminer le potentiel électrique au point \( P \), en considérant que le potentiel est nul à l’infini.
Correction : Calcul du Champ et du Potentiel Électriques
1. Calcul du champ électrique
Principe et Loi de Gauss :
Pour une plaque plane infinie dont la charge est uniformément répartie, l’application de la loi de Gauss permet de montrer que le champ électrique est constant (et indépendant de la distance) et de valeur :
\[E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\]
Données :
- Densité de charge surfacique : \(\sigma = 5 \times 10^{-6} \, \text{C/m}^2\)
- Constante de permittivité du vide : \(\varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
En substituant les valeurs :
\[E = \frac{5 \times 10^{-6}}{2 \times 8{,}85 \times 10^{-12}}\]
Calculons d’abord le dénominateur :
\[2 \times 8{,}85 \times 10^{-12} = 1{,}77\times 10^{-11}\, \text{F/m}\]
Donc,
\[E = \frac{5 \times 10^{-6}}{1{,}77 \times 10^{-11}}\]
Pour faciliter le calcul, écrivons :
\[E = \left( \frac{5}{1{,}77} \right) \times 10^{(-6 – (-11))}\]
\[E = \left( \frac{5}{1{,}77} \right) \times 10^5\]
Or,
\[\frac{5}{1{,}77} \approx 2{,}82\]
On obtient :
\[E \approx 2{,}82 \times 10^5 \, \text{V/m}\]
Interprétation :
Le champ électrique est donc constant et dirigé perpendiculairement à la plaque (vers l’extérieur si la plaque est positivement chargée).
2. Calcul du potentiel électrique
2.1. Relation entre champ et potentiel
La relation est :
\[E = – \frac{dV}{dx}\]
Ce qui donne en réarrangeant :
\[dV = -E \, dx\]
L’intégration entre un point de référence et un point \( x \) conduit à :
\[V(x) – V(x_{\text{ref}}) = – \int_{x_{\text{ref}}}^{x} E \, dx\]
Pour un champ constant, cette intégrale se simplifie en :
\[V(x) – V(x_{\text{ref}}) = -E(x – x_{\text{ref}})\]
2.2 Problème de la condition à l’infini
On nous indique que \( V(\infty) = 0 \), mais pour une plaque infinie, le champ reste constant jusqu’à l’infini, donc :
\[V(P) = – \int_{\infty}^{d} E \, dx = – E(d – \infty)\]
Cette intégrale diverge. Il est donc impossible d’utiliser \( V(\infty) = 0 \) dans le cas d’une distribution infinie de charges.
2.3. Choix d’un référentiel fini
On choisit un référentiel plus adapté pour donner un sens physique au potentiel : \( V(0) = 0 \), c’est-à-dire que le potentiel est nul au niveau de la plaque.
Alors :
\[V(P) = – \int_{0}^{0{,}1} E \, dx = – E \times 0{,}1\]
En substituant les valeurs :
\[V(P) = – (2{,}82 \times 10^5) \times 0{,}1\]
\[V(P) = -2{,}82 \times 10^4 \, \text{V}\]
Interprétation :
Le signe négatif indique que le potentiel diminue dans la direction du champ (de la plaque vers le point \( P \)).
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