Fibres Optiques avec les Équations de Maxwell
Comprendre l’analyse de Fibres Optiques avec les Équations de Maxwell
Dans le cadre de la conception d’un système de communication par fibre optique, vous êtes chargé d’évaluer les paramètres électromagnétiques essentiels pour optimiser la transmission du signal. Une fibre optique utilise des ondes électromagnétiques pour transmettre de l’information sur de longues distances avec peu de perte.Les équations de Maxwell sont cruciales pour comprendre la propagation de ces ondes à travers différents milieux.
Données :
- Indice de réfraction du cœur de la fibre optique : \(n_1 = 1.48\)
- Indice de réfraction de la gaine : \(n_2 = 1.44\)
- Longueur d’onde du signal dans le vide : \(\lambda_0 = 1550 \, \text{nm}\)
- Fréquence du signal : \(f = 193.1 \, \text{THz}\)
Questions :
1. Calculer la vitesse de propagation des ondes dans le cœur et la gaine de la fibre optique.
2. Déterminer la longueur d’onde des signaux dans le cœur et la gaine de la fibre optique.
3. Utiliser l’équation de Maxwell pour la divergence du champ électrique (\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon}\)) pour déterminer la densité de charge libre \(\rho\), à supposer nulle dans le matériau isolant.
4. Calculer l’impédance caractéristique de la fibre optique.
Correction : Fibres Optiques avec les Équations de Maxwell
1. Calcul de la vitesse de propagation
Données :
- Vitesse de la lumière dans le vide: \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
- Indice de réfraction du cœur: \(n_1 = 1.48\)
- Indice de réfraction de la gaine: \(n_2 = 1.44\)
Le principe de base est que la vitesse de propagation dans un milieu diélectrique est donnée par :
\[v = \frac{c}{n}\]
- Pour le cœur de la fibre (indice \( n_1 \)) :
\[v_1 = \frac{3.00 \times 10^8}{1.48}\]
\[v_1 \approx 2.027 \times 10^8 \, \text{m/s}\]
- Pour la gaine de la fibre (indice \( n_2 \)) :
\[v_2 = \frac{3.00 \times 10^8}{1.44}\]
\[v_2 \approx 2.083 \times 10^8 \, \text{m/s}\]
Remarque :
La différence de vitesse reflète la variation de l’indice de réfraction entre le cœur et la gaine.
2. Détermination de la longueur d’onde
La longueur d’onde dans un milieu est modifiée par rapport à celle dans le vide selon la relation :
\[\lambda = \frac{\lambda_0}{n}\]
- Dans le cœur de la fibre :
\[\lambda_1 = \frac{1.55 \times 10^{-6}}{1.48}\]
\[\lambda_1 \approx 1.047 \times 10^{-6} \, \text{m} \quad \text{(soit environ 1047 nm)}\]
- Dans la gaine de la fibre :
\[\lambda_2 = \frac{1.55 \times 10^{-6}}{1.44}\]
\[\lambda_2 \approx 1.076 \times 10^{-6} \, \text{m} \quad \text{(soit environ 1076 nm)}\]
Remarque :
La réduction de la longueur d’onde est due au ralentissement de la lumière dans un milieu ayant un indice de réfraction supérieur à 1.
3. Déterminer la densité de charge libre
L’équation de Maxwell pour la divergence du champ électrique est donnée par :
\[\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon}\]
où :
- \( \rho \) est la densité de charge libre,
- \( \varepsilon \) est la permittivité du milieu.
Dans un matériau isolant comme celui utilisé pour la fibre optique, il est supposé que les charges libres sont absentes.
Par conséquent :
\[\rho = 0 \quad \text{et donc} \quad \nabla \cdot \mathbf{E} = 0.\]
Interprétation : Dans le matériau isolant de la fibre, l’absence de charges libres signifie que le champ électrique est « solénoïdal » (divergence nulle).
4. Calcul de l’impédance caractéristique de la fibre optique
L’impédance caractéristique dans un milieu non magnétique est définie par :
\[Z = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\]
Dans les matériaux diélectriques non magnétiques, on considère que :
- \( \mu = \mu_0 \) (permeabilité du vide),
- \( \varepsilon = \varepsilon_0 \, n^2 \) (permttivité du milieu).
On peut donc écrire :
\[Z = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0 \, n^2}}\]
\[Z = \frac{1}{n} \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\]
\[Z = \frac{Z_0}{n}\]
avec \( Z_0 \approx 377 \, \Omega \) qui est l’impédance du vide.
- Pour le cœur de la fibre :
\[Z_1 = \frac{377}{1.48}\]
\[Z_1 \approx 254.7 \, \Omega\]
- Pour la gaine de la fibre :
\[Z_2 = \frac{377}{1.44}\]
\[Z_2 \approx 261.8 \, \Omega\]
Remarque :
Ces valeurs indiquent l’impédance que le signal « voit » lors de sa propagation dans le cœur ou dans la gaine.
Fibres Optiques avec les Équations de Maxwell
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