Puissance Transportée par un Câble Coaxial
Comprendre la Puissance dans un Câble Coaxial
Les câbles coaxiaux sont largement utilisés pour transmettre des signaux de haute fréquence, comme les signaux de télévision, internet, et radio. Ils sont conçus pour guider l'énergie électromagnétique avec des pertes minimales et une bonne immunité aux interférences. La puissance transportée par un câble coaxial peut être calculée en déterminant les champs électrique (\(\vec{E}\)) et magnétique (\(\vec{H}\)) entre le conducteur interne et le conducteur externe, puis en calculant le vecteur de Poynting (\(\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}\)). L'intégration du flux de ce vecteur à travers la section transversale du diélectrique donne la puissance totale transportée. Pour des signaux continus ou des valeurs efficaces de signaux alternatifs, cette puissance est aussi égale au produit de la tension et du courant (\(P=VI\)).
Données de l'étude
- Courant continu (\(I\)) : \(2 \, \text{A}\)
- Différence de potentiel entre les conducteurs (\(V_{ab}\)) : \(50 \, \text{V}\)
- Rayon du conducteur interne (\(a\)) : \(1 \, \text{mm}\)
- Rayon interne du conducteur externe (\(b\)) : \(4 \, \text{mm}\)
- Perméabilité du diélectrique : \(\mu = \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\)
- Permittivité du diélectrique : \(\epsilon = \epsilon_r \epsilon_0\) avec \(\epsilon_r = 2.25\) et \(\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
Schéma : Section Transversale d'un Câble Coaxial
Section transversale d'un câble coaxial montrant les conducteurs, le diélectrique, et les directions typiques des champs \(\vec{E}\), \(\vec{H}\) et du vecteur de Poynting \(\vec{S}\) (si I est vers +z et Vab > 0).
Questions à traiter
- En utilisant le théorème d'Ampère, déterminer l'expression du vecteur champ magnétique \(\vec{H}(\vec{r})\) dans la région \(a < r < b\), où \(r\) est la distance radiale à l'axe du câble. Préciser sa direction.
- Le champ électrique \(\vec{E}(\vec{r})\) dans la région \(a < r < b\) est radial et sa magnitude est donnée par \(E(r) = \frac{V_{ab}}{r \ln(b/a)}\). Écrire l'expression vectorielle de \(\vec{E}(\vec{r})\).
- Calculer le vecteur de Poynting \(\vec{S}(\vec{r})\) dans la région \(a < r < b\). Quelle est sa direction ?
- Calculer la puissance totale \(P\) transportée par le câble coaxial en intégrant le flux du vecteur de Poynting à travers la section transversale du diélectrique (entre \(r=a\) et \(r=b\)).
- Vérifier que la puissance calculée à la question 4 est égale au produit \(P_{elec} = V_{ab} I\).
- Application numérique : Calculer la puissance \(P\) pour les valeurs données.
Correction : Puissance Transportée par un Câble Coaxial
Question 1 : Champ magnétique \(\vec{H}(\vec{r})\) pour \(a < r < b\)
Principe :
On utilise le théorème d'Ampère en régime stationnaire : \(\oint_C \vec{H} \cdot d\vec{l} = I_{enlacé}\). En raison de la symétrie cylindrique, on choisit un contour d'Ampère circulaire de rayon \(r\) (avec \(a < r < b\)) centré sur l'axe du câble. Le champ \(\vec{H}\) est azimutal (\(\vec{H} = H_\phi(r) \vec{u}_\phi\)).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- Courant (\(I\)) : \(2 \, \text{A}\)
Expression :
La direction est azimutale, selon \(\vec{u}_\phi\) (par la règle de la main droite si \(I\) est selon \(+\vec{u}_z\)).
Question 2 : Champ électrique \(\vec{E}(\vec{r})\) pour \(a < r < b\)
Principe :
Le champ électrique entre les conducteurs d'un câble coaxial est radial. Sa magnitude peut être trouvée en utilisant la loi de Gauss ou en intégrant le champ pour obtenir la différence de potentiel \(V_{ab}\). L'expression \(E(r) = \frac{V_{ab}}{r \ln(b/a)}\) est donnée.
Formule(s) utilisée(s) :
\(\vec{u}_r\) est le vecteur unitaire radial dirigé du conducteur interne vers le conducteur externe.
Données spécifiques :
- Différence de potentiel (\(V_{ab}\)) : \(50 \, \text{V}\)
- Rayon interne (\(a\)) : \(1 \, \text{mm} = 10^{-3} \, \text{m}\)
- Rayon externe (\(b\)) : \(4 \, \text{mm} = 4 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
Expression :
Quiz Intermédiaire 1 : Dans un câble coaxial, les lignes de champ électrique entre les conducteurs sont principalement :
Question 3 : Vecteur de Poynting \(\vec{S}(\vec{r})\)
Principe :
Le vecteur de Poynting est donné par \(\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}\).
Formule(s) utilisée(s) :
Expressions de \(\vec{E}\) et \(\vec{H}\) :
- \(\vec{E}(\vec{r}) = \frac{V_{ab}}{r \ln(b/a)} \vec{u}_r\)
- \(\vec{H}(\vec{r}) = \frac{I}{2\pi r} \vec{u}_\phi\)
Calcul :
En coordonnées cylindriques, \(\vec{u}_r \times \vec{u}_\phi = \vec{u}_z\).
\[ \vec{S}(\vec{r}) = \frac{V_{ab} I}{2\pi r^2 \ln(b/a)} \vec{u}_z \]La direction du vecteur de Poynting est \(\vec{u}_z\), c'est-à-dire le long de l'axe du câble, dans la direction de propagation de l'énergie (qui est aussi la direction du courant \(I\) si \(V_{ab}\) est définie de manière cohérente).
Question 4 : Puissance totale \(P\) transportée
Principe :
La puissance totale \(P\) est le flux du vecteur de Poynting \(\vec{S}\) à travers la section transversale \(A\) du diélectrique entre les conducteurs (de \(r=a\) à \(r=b\)). L'élément de surface en coordonnées cylindriques est \(d\vec{A} = r dr d\phi \vec{u}_z\).
Formule(s) utilisée(s) :
Calcul :
Quiz Intermédiaire 2 : Le vecteur de Poynting dans un câble coaxial idéal transportant un courant continu est dirigé :
Question 5 : Vérification \(P = V_{ab} I\)
Principe :
Le calcul de la question 4 a directement abouti à \(P = V_{ab} I\). C'est une vérification de la cohérence entre la définition du vecteur de Poynting et la définition de la puissance électrique en courant continu.
Question 6 : Application numérique de la puissance \(P\)
Principe :
On utilise les valeurs numériques données pour \(V_{ab}\) et \(I\).
Données spécifiques :
- \(V_{ab} = 50 \, \text{V}\)
- \(I = 2 \, \text{A}\)
Calcul :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. Dans un câble coaxial, le champ magnétique \(\vec{H}\) entre les conducteurs est principalement :
2. Le vecteur de Poynting \(\vec{S}\) représente :
3. La puissance totale transportée par une onde électromagnétique à travers une surface est obtenue en calculant :
Glossaire
- Câble Coaxial
- Ligne de transmission constituée d'un conducteur central entouré d'un diélectrique, lui-même entouré d'un conducteur externe (blindage). Utilisé pour transmettre des signaux haute fréquence.
- Champ Électrique (\(\vec{E}\))
- Champ vectoriel décrivant la force électrostatique par unité de charge. Unité SI : Volt par mètre (V/m).
- Champ Magnétique (\(\vec{H}\))
- Champ d'excitation magnétique, lié au champ d'induction magnétique \(\vec{B}\) par \(\vec{B} = \mu \vec{H}\). Unité SI : Ampère par mètre (A/m).
- Vecteur de Poynting (\(\vec{S}\))
- Vecteur représentant la densité de flux de puissance (puissance par unité de surface) et la direction de propagation de l'énergie d'une onde électromagnétique. \(\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}\).
- Puissance Transportée (\(P\))
- Quantité d'énergie transférée par unité de temps. Pour les ondes EM, elle est obtenue par l'intégration du flux du vecteur de Poynting.
- Théorème d'Ampère
- Loi reliant la circulation du champ magnétique \(\vec{H}\) le long d'un contour fermé au courant total enlacé par ce contour.
- Diélectrique
- Matériau isolant qui peut être polarisé par un champ électrique externe. Caractérisé par sa permittivité \(\epsilon\).
- Permittivité (\(\epsilon\))
- Mesure de la capacité d'un matériau à stocker de l'énergie électrique dans un champ électrique. \(\epsilon = \epsilon_r \epsilon_0\).
- Perméabilité (\(\mu\))
- Mesure de la capacité d'un matériau à supporter la formation d'un champ magnétique. \(\mu = \mu_r \mu_0\).
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