Champ Électrique dans un Condensateur

Contexte : Le condensateur planUn composant électronique formé de deux plaques conductrices (armatures) en regard, séparées par un isolant (diélectrique), capable de stocker de l'énergie électrostatique..

Le condensateur plan est un modèle fondamental en électromagnétisme pour comprendre le stockage de l'énergie électrique. Il est utilisé dans d'innombrables circuits électroniques pour le filtrage, la temporisation ou le stockage d'énergie. Cet exercice se concentre sur le calcul des grandeurs électriques clés qui le caractérisent : le champ électrique, la charge et la capacité.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le théorème de Gauss et la relation entre champ et potentiel pour caractériser un condensateur plan, un cas d'étude essentiel en électricité.

Objectifs Pédagogiques

Calculer le champ électrique uniforme \(E\) (en \(\text{V/m}\)).
Déterminer la densité surfacique de charge \(\sigma\) (en \(\text{C/m}^2\)).
Calculer la charge électrique totale \(Q\) (en \(\text{C}\)).
En déduire la capacité \(C\) (en \(\text{pF}\)).

Données de l'étude

On étudie un condensateur plan dont les armatures sont séparées par du vide. On négligera les effets de bord.

Schéma du Condensateur Plan

Caractéristique	Symbole	Valeur
Surface d'une armature	\(S\)	\(200 \text{ cm}^2\)
Distance entre armatures	\(d\)	\(2 \text{ mm}\)
Tension appliquée	\(U\)	\(12 \text{ V}\)
Permittivité du vide	\(\varepsilon_0\)	\(8.854 \times 10^{-12} \text{ F/m}\)

Questions à traiter

Calculer le module du champ électrique \(E\) (en \(\text{V/m}\)) entre les armatures.
Calculer la densité surfacique de charge \(\sigma\) (en \(\text{C/m}^2\)) sur l'armature positive.
En déduire la charge totale \(Q\) (en \(\text{C}\)) sur cette armature.
Calculer la capacité \(C\) (en \(\text{pF}\)) de ce condensateur.

Les bases sur le Condensateur Plan

Pour résoudre cet exercice, nous aurons besoin de quelques relations fondamentales de l'électrostatique appliquée au condensateur plan.

1. Relation Champ-Potentiel
Pour un champ électrique uniforme, la différence de potentiel (tension) \(U\) entre deux points séparés d'une distance \(d\) est donnée par : \[ U = E \cdot d \]

2. Théorème de Gauss
Le champ électrique \(E\) créé par une plaque infinie uniformément chargée avec une densité \(\sigma\) est : \(E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\). Pour un condensateur (deux plaques), les champs s'additionnent entre les armatures : \[ E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \]

3. Capacité d'un condensateur
La capacité \(C\) est le rapport de la charge \(Q\) accumulée sur une armature par la tension \(U\) appliquée. \[ C = \frac{Q}{U} \] La charge \(Q\) est liée à la densité par \(Q = \sigma \cdot S\).

Correction : Champ Électrique dans un Condensateur Plan

Question 1 : Calculer le module du champ électrique \(E\)

Principe

Dans un condensateur plan idéal, le champ électrique est considéré comme uniforme (il a la même valeur et la même direction en tout point de l'espace entre les armatures). Il est dirigé de l'armature positive vers l'armature négative. Sa valeur est directement liée à la tension \(U\) appliquée et à la distance \(d\) qui sépare les plaques.

Mini-Cours

Le champ électrique \( \vec{E} \) dérive du potentiel électrique \(V\) par la relation \( \vec{E} = -\vec{\nabla}V \). Dans notre cas unidimensionnel (selon l'axe \(x\) perpendiculaire aux plaques), cela se simplifie en \( E = -dV/dx \). Comme le champ est uniforme, cette relation s'intègre simplement en \( \Delta V = -E \cdot \Delta x \). En valeur absolue, la différence de potentiel \(U = |\Delta V|\) est donc \( U = E \cdot d \).

Remarque Pédagogique

C'est l'une des relations les plus fondamentales de l'électrostatique. Visualisez la tension comme une "pente" électrique. Plus la pente est forte (grande tension sur une petite distance), plus le champ (la force qui en résulte) est intense.

Normes

Ce calcul ne fait pas appel à une norme d'ingénierie (comme les Eurocodes en structure), mais aux lois fondamentales de l'électromagnétisme, notamment les équations de Maxwell en régime statique.

Formule(s)

Relation champ-potentiel

E = \frac{U}{d}

Donnée(s)

Les données utilisées pour ce calcul proviennent directement de l'énoncé de l'exercice.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension appliquée	U	12	\(\text{V}\)
Distance entre armatures	d	2	\(\text{mm}\)

Astuces

Une unité courante pour les champs électriques est le \(\text{kV/mm}\). Un champ de \(6000 \text{ V/m}\) équivaut à \(6 \text{ kV/m}\), ou \(0.006 \text{ kV/mm}\). Cela permet de juger rapidement de l'intensité du champ par rapport à la rigidité diélectrique des matériaux (souvent donnée en \(\text{kV/mm}\)).

Schéma (Avant les calculs)

Modélisation de la relation U et d

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion de la distance

\begin{aligned} d &= 2 \text{ mm} \\ &= 2 \times 10^{-3} \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du champ électrique

\begin{aligned} E &= \frac{U}{d} \\ &= \frac{12 \text{ V}}{2 \times 10^{-3} \text{ m}} \\ &= 6000 \text{ V/m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation des lignes de champ électrique uniforme

Réflexions

Un champ de \(6000 \text{ V/m}\) est significatif. C'est le champ nécessaire pour accélérer un électron et lui faire gagner une énergie de \(6000 \text{ eV}\) s'il parcourait un mètre. Sur la petite distance de \(2 \text{ mm}\), la force appliquée aux charges est déjà considérable à l'échelle microscopique.

Points de vigilance

L'erreur la plus classique est l'oubli de la conversion des unités. Utiliser la distance en millimètres (\(\text{mm}\)) au lieu de mètres (\(\text{m}\)) conduirait à un résultat 1000 fois trop grand.

Points à retenir

Le champ électrique \(E\) dans un condensateur plan idéal est uniforme.
Sa valeur est le rapport de la tension \(U\) sur la distance \(d\).
Le champ est dirigé du potentiel le plus élevé vers le potentiel le plus bas.

Le saviez-vous ?

Le concept de "champ" a été introduit par Michael Faraday au 19ème siècle. Avant lui, on pensait que les objets agissaient à distance de manière instantanée. Faraday a proposé que les charges modifient l'espace autour d'elles en créant un champ, et c'est ce champ qui agit sur les autres charges.

FAQ

Résultat Final

Le module du champ électrique entre les armatures est \(E = 6000 \text{ V/m}\).

A vous de jouer

Recalculez le champ \(E\) si la tension est de \(24 \text{ V}\) et la distance de \(4 \text{ mm}\).

Question 2 : Calculer la densité surfacique de charge \(\sigma\)

Principe

Le champ électrique entre les armatures est directement créé par les charges électriques accumulées sur ces dernières. Le théorème de Gauss est l'outil parfait pour lier une source de champ (les charges) au champ résultant, en exploitant les symétries du problème.

Mini-Cours

Le théorème de Gauss stipule que le flux du champ électrique à travers une surface fermée (dite "de Gauss") est proportionnel à la charge totale contenue à l'intérieur de cette surface : \( \Phi_E = \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} \). Pour un condensateur, on choisit une surface de Gauss en forme de cylindre ("pillbox") traversant l'une des armatures. Le flux n'est non nul que sur la face située entre les armatures, ce qui mène à \( E \cdot A = \frac{\sigma \cdot A}{\varepsilon_0} \), et donc \( E = \sigma/\varepsilon_0 \).

Remarque Pédagogique

Retenez que le champ est la *conséquence* de la présence des charges. Pas de charges, pas de champ. Le théorème de Gauss est la clé mathématique qui quantifie ce lien de cause à effet.

Normes

Comme pour la question 1, ce calcul est une application directe des équations de Maxwell (plus spécifiquement, l'équation de Maxwell-Gauss).

Formule(s)

Relation champ-densité de charge

\sigma = E \cdot \varepsilon_0

Hypothèses

On continue de supposer que les plaques sont infinies (effets de bord négligés), ce qui justifie l'application simple du théorème de Gauss et la relation \( E = \sigma/\varepsilon_0 \).

Donnée(s)

Les données proviennent du résultat de la question précédente (E) et de l'énoncé (\(\varepsilon_0\)).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Champ électrique (calculé)	E	6000	\(\text{V/m}\)
Permittivité du vide	\(\varepsilon_0\)	\(8.854 \times 10^{-12}\)	\(\text{F/m}\)

Astuces

L'unité \(\text{F/m}\) (Farad par mètre) pour \(\varepsilon_0\) est équivalente à \(\text{C}^2/(\text{N} \cdot \text{m}^2)\). Multiplier par \(\text{V/m}\) (qui est \(\text{N/C}\)) donne bien des \(\text{C/m}^2\), l'unité d'une densité surfacique de charge. Faire une analyse dimensionnelle est un excellent moyen de vérifier ses formules.

Schéma (Avant les calculs)

Surface de Gauss pour le théorème

Calcul(s)

Calcul de la densité de charge

\begin{aligned} \sigma &= E \cdot \varepsilon_0 \\ &= 6000 \text{ V/m} \times 8.854 \times 10^{-12} \text{ F/m} \\ &\approx 5.3124 \times 10^{-8} \text{ C/m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la densité de charge uniforme

Réflexions

Une densité de \(5.31 \times 10^{-8} \text{ C/m}^2\) peut sembler petite, mais cela correspond à environ 332 millions d'électrons (en excès ou en défaut) par millimètre carré de surface ! Cela illustre à quel point la charge de l'électron est infime.

Points de vigilance

Attention à ne pas utiliser la formule pour une seule plaque chargée (\( E = \sigma / (2\varepsilon_0) \)). Dans un condensateur, le champ de la plaque négative s'ajoute à celui de la plaque positive, doublant l'intensité du champ entre elles (et l'annulant à l'extérieur).

Points à retenir

Le champ \(E\) est directement proportionnel à la densité de charge \(\sigma\).
La constante de proportionnalité est \(1/\varepsilon_0\).
Le théorème de Gauss est l'outil qui permet d'établir cette relation.

Le saviez-vous ?

La permittivité du vide \(\varepsilon_0\) est liée à une autre constante fondamentale, la perméabilité magnétique du vide \(\mu_0\), par la relation \(c^2 = 1/(\varepsilon_0 \mu_0)\), où \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide. L'électricité, le magnétisme et la lumière sont intimement liés !

FAQ

Résultat Final

La densité surfacique de charge est \(\sigma \approx 5.31 \times 10^{-8} \text{ C/m}^2\).

A vous de jouer

Quelle serait la densité de charge \(\sigma\) si le champ électrique valait \(10 \text{ kV/m}\) ?

Question 3 : Calculer la charge totale \(Q\)

Principe

Si la charge est répartie uniformément sur une surface, la charge totale est simplement le produit de la densité de charge (charge par unité de surface) par la surface totale.

Mini-Cours

Pour une distribution de charge surfacique non-uniforme \(\sigma(x,y)\), la charge totale s'obtiendrait par une intégrale de surface : \( Q = \iint_S \sigma(x,y) \,dS \). Dans le cas d'un condensateur idéal, \(\sigma\) est constante, donc elle peut sortir de l'intégrale qui devient simplement l'aire \(S\), d'où la formule simplifiée \( Q = \sigma \cdot S \).

Remarque Pédagogique

C'est une étape de "mise à l'échelle". On passe d'une grandeur locale (la densité en \(\text{C/m}^2\)) à une grandeur globale (la charge totale en \(\text{C}\)). Assurez-vous toujours que vos unités sont cohérentes pour faire cette transition.

Normes

Il s'agit d'une définition de base, pas d'une norme.

Formule(s)

Relation charge-densité

Q = \sigma \cdot S

Donnée(s)

Les données proviennent du résultat de la question 2 (\(\sigma\)) et de l'énoncé (S).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Densité de charge	\(\sigma\)	\(5.3124 \times 10^{-8}\)	\(\text{C/m}^2\)
Surface d'une armature	S	200	\(\text{cm}^2\)

Astuces

Pour convertir des \(\text{cm}^2\) en \(\text{m}^2\), souvenez-vous que \(1 \text{ m} = 100 \text{ cm}\). Donc \(1 \text{ m}^2 = (100 \text{ cm})^2 = 10 000 \text{ cm}^2\). Pour passer de \(\text{cm}^2\) à \(\text{m}^2\), il faut donc diviser par 10 000 (ou multiplier par \(10^{-4}\)). C'est une source d'erreur fréquente !

Schéma (Avant les calculs)

Représentation de la surface chargée

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion de la surface

\begin{aligned} S &= 200 \text{ cm}^2 \\ &= 200 \times (10^{-2} \text{ m})^2 \\ &= 200 \times 10^{-4} \text{ m}^2 \\ &= 0.02 \text{ m}^2 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la charge totale

\begin{aligned} Q &= \sigma \cdot S \\ &= (5.3124 \times 10^{-8} \text{ C/m}^2) \times 0.02 \text{ m}^2 \\ &\approx 1.062 \times 10^{-9} \text{ C} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la charge totale

Réflexions

La charge calculée, environ \(1.06 \text{ nanocoulomb (nC)}\), est une très petite quantité de charge. Cela montre que même avec des tensions et des champs qui nous semblent importants, les quantités de charges déplacées dans de nombreux composants électroniques sont infimes.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est dans la conversion de la surface. Se tromper d'un facteur 100 (oublier le carré) est fréquent et mène à un résultat complètement faux. Vérifiez toujours vos conversions d'unités de surface et de volume.

Points à retenir

La charge totale est l'intégrale de la densité de charge sur la surface.
Pour une densité uniforme, \( Q = \sigma \cdot S \).
La cohérence des unités (\(\text{m}^2\) et \(\text{C/m}^2\)) est cruciale.

Le saviez-vous ?

Le premier dispositif capable de stocker une charge électrique fut la "bouteille de Leyde", inventée en 1745. C'était essentiellement une bouteille en verre recouverte de feuilles métalliques à l'intérieur et à l'extérieur. Elle pouvait stocker des charges statiques importantes et produire des étincelles spectaculaires, marquant les débuts de l'expérimentation électrique.

FAQ

Résultat Final

La charge totale sur l'armature positive est \(Q \approx 1.06 \text{ nC}\).

A vous de jouer

Quelle serait la charge \(Q\) si la surface était de \(400 \text{ cm}^2\) (avec la même densité \(\sigma\)) ?

Question 4 : Calculer la capacité \(C\)

Principe

La capacité \(C\) est une mesure de l'"efficacité" d'un condensateur à stocker de la charge. Elle représente la quantité de charge qu'il peut stocker pour chaque Volt de tension appliqué. C'est une caractéristique intrinsèque, qui ne dépend que de sa géométrie et du matériau isolant entre ses armatures.

Mini-Cours

En combinant les formules précédentes, on peut exprimer la capacité uniquement en fonction des caractéristiques géométriques. On part de \( C = Q/U \). On sait que \( Q = \sigma S \), \( U = E d \) et \( \sigma = \varepsilon_0 E \). En substituant, on obtient : \[ \begin{aligned} C &= \frac{Q}{U} \\ &= \frac{\sigma \cdot S}{E \cdot d} \\ &= \frac{(\varepsilon_0 \cdot E) \cdot S}{E \cdot d} \\ &\Rightarrow C = \frac{\varepsilon_0 S}{d} \end{aligned} \]

Remarque Pédagogique

Le fait que \(U\) et \(Q\) n'apparaissent pas dans la formule finale de la capacité est très important. Cela signifie qu'un condensateur a une capacité fixe (par exemple \(100 \text{ pF}\)), qu'il soit chargé sous \(5 \text{ V}\) ou \(12 \text{ V}\). Si on augmente la tension, il stockera simplement plus de charge, mais son "potentiel" de stockage, sa capacité, reste le même.

Normes

N/A. Il s'agit de définitions fondamentales de l'électrostatique.

Formule(s)

Méthode 1 : Avec la charge et la tension

C = \frac{Q}{U}

Méthode 2 : Avec la géométrie

C = \frac{\varepsilon_0 \cdot S}{d}

Donnée(s)

Pour cette méthode, nous utilisons le résultat de la question 3 (Q) et une donnée de l'énoncé (U).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge calculée	Q	\(1.062 \times 10^{-9}\)	\(\text{C}\)
Tension appliquée	U	12	\(\text{V}\)

Pour cette méthode de vérification, nous n'utilisons que les données géométriques et fondamentales de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Permittivité du vide	\(\varepsilon_0\)	\(8.854 \times 10^{-12}\)	\(\text{F/m}\)
Surface convertie	S	0.02	\(\text{m}^2\)
Distance convertie	d	\(2 \times 10^{-3}\)	\(\text{m}\)

Astuces

La formule géométrique \( C = \varepsilon_0 S / d \) est très utile pour le design de condensateurs. Elle vous dit exactement comment agir : pour augmenter la capacité, il faut augmenter la surface \(S\), diminuer la distance \(d\), ou utiliser un matériau avec une permittivité \(\varepsilon\) plus élevée.

Schéma (Avant les calculs)

Paramètres géométriques du condensateur

Calcul(s)

Calcul avec la Méthode 1

\begin{aligned} C &= \frac{Q}{U} \\ &= \frac{1.062 \times 10^{-9} \text{ C}}{12 \text{ V}} \\ &\approx 8.85 \times 10^{-11} \text{ F} \end{aligned}

Calcul avec la Méthode 2 (Vérification)

\begin{aligned} C &= \frac{\varepsilon_0 \cdot S}{d} \\ &= \frac{(8.854 \times 10^{-12} \text{ F/m}) \cdot (0.02 \text{ m}^2)}{2 \times 10^{-3} \text{ m}} \\ &\approx 8.854 \times 10^{-11} \text{ F} \end{aligned}

Conversion en picofarads (pF)

\begin{aligned} C &= 8.854 \times 10^{-11} \text{ F} \\ &= 88.54 \times 10^{-12} \text{ F} \\ &= 88.54 \text{ pF} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Symbole schématique du condensateur

Réflexions

Une capacité de \(88.5 \text{ pF}\) est une valeur typique pour de petits condensateurs utilisés dans des circuits radiofréquence ou pour du filtrage. Les condensateurs de forte puissance ou de filtrage d'alimentation peuvent atteindre des microfarads (\(\mu\text{F}\)) voire des Farads (pour les supercondensateurs), mais ils sont beaucoup plus volumineux.

Points de vigilance

Encore une fois, la cohérence des unités est la clé. Toutes les longueurs doivent être en mètres (\(\text{m}\)), les surfaces en \(\text{m}^2\), pour être compatibles avec la permittivité en \(\text{F/m}\).

Points à retenir

La capacité est une propriété géométrique : \( C = \varepsilon S / d \).
Elle ne dépend ni de la charge stockée, ni de la tension appliquée.
Pour augmenter C, on peut augmenter S, diminuer d, ou augmenter \(\varepsilon\).

Le saviez-vous ?

Le Farad est une unité de capacité extrêmement grande. Un condensateur de \(1 \text{ Farad}\) avec des plaques séparées de \(1 \text{ mm}\) devrait avoir une surface de plus de \(110 \text{ km}^2\) ! C'est pourquoi on utilise presque toujours ses sous-multiples : microfarad (\(\mu\text{F}\)), nanofarad (\(\text{nF}\)) et picofarad (\(\text{pF}\)).

FAQ

Résultat Final

La capacité du condensateur est \(C \approx 88.5 \text{ pF}\).

A vous de jouer

Quelle serait la nouvelle capacité si on insérait un diélectrique en verre (\(\varepsilon_r = 4\)) entre les plaques ?

Outil Interactif : Simulateur de Condensateur

Utilisez les curseurs pour faire varier la tension et la distance, et observez l'impact sur le champ électrique et la capacité. La surface est fixe à 200 cm².

Paramètres d'Entrée

Tension (U) 12 V

Distance (d) 2 mm

Résultats Clés

Champ Électrique (E) - V/m

Capacité (C) - pF

Condensateur plan: Composant formé de deux plaques conductrices (armatures) en regard, séparées par un isolant (diélectrique). Il stocke l'énergie sous forme de champ électrique.
Champ Électrique (E): Champ de force créé par des particules chargées. Il décrit la force qui s'exercerait sur une charge test. Unité : Volt par mètre (\(\text{V/m}\)) ou Newton par Coulomb (\(\text{N/C}\)).
Capacité (C): Grandeur physique caractérisant la capacité d'un condensateur à accumuler des charges électriques pour une tension donnée. Unité : Farad (\(\text{F}\)).
Permittivité du vide (\(\varepsilon_0\)): Constante physique qui décrit la capacité du vide à "permettre" la propagation des lignes de champ électrique. Elle lie les charges électriques au champ qu'elles créent.