Analyse d’un Signal Modulé et Échantillonné
Analyser les caractéristiques d'un signal modulé en amplitude et déterminer les conditions d'échantillonnage.
La modulation d'amplitude (AM) est une technique utilisée pour transmettre une information (signal modulant) en faisant varier l'amplitude d'une onde porteuse de haute fréquence. Le signal résultant est un signal modulé.
Un signal modulant sinusoïdal \(s(t) = S_m \cos(2\pi f_s t)\) et une porteuse \(p(t) = P_m \cos(2\pi f_p t)\) peuvent former un signal modulé en amplitude \(m(t)\) de la forme :
où \(A_p\) est l'amplitude de la porteuse non modulée, \(k\) est un indice lié à la profondeur de modulation, \(f_s\) est la fréquence du signal modulant et \(f_p\) est la fréquence de la porteuse. Pour un signal modulant sinusoïdal, le signal modulé peut s'écrire :
où \(m_a\) est l'indice de modulation. Le spectre de ce signal contient des composantes aux fréquences \(f_p\), \(f_p - f_s\), et \(f_p + f_s\).
Pour numériser un signal analogique, on l'échantillonne à une fréquence d'échantillonnage \(f_e\). Le théorème de Nyquist-Shannon stipule que pour pouvoir reconstruire correctement le signal original à partir de ses échantillons, la fréquence d'échantillonnage \(f_e\) doit être strictement supérieure au double de la fréquence maximale \(f_{max}\) contenue dans le signal :
Données du Problème
On considère un signal modulé en amplitude \(m(t)\) dont l'expression est :
\(m(t) = 5 [1 + 0.4 \cos(2000\pi t)] \cos(20000\pi t)\)
où \(t\) est en secondes et \(m(t)\) en Volts.
Questions
- Identifier l'amplitude \(A_p\) de la porteuse non modulée.
- Identifier la fréquence \(f_p\) de la porteuse.
- Identifier la fréquence \(f_s\) du signal modulant (information).
- Déterminer les fréquences présentes dans le spectre du signal modulé \(m(t)\).
- Quelle est la fréquence maximale \(f_{max}\) présente dans le signal modulé \(m(t)\) ?
- Calculer la fréquence d'échantillonnage minimale \(f_{e,min}\) nécessaire pour numériser ce signal sans perte d'information (selon le théorème de Nyquist-Shannon).
- Si on échantillonne ce signal à une fréquence \(f_e' = 20 \text{ kHz}\), y aura-t-il un risque de repliement de spectre (aliasing) ? Justifier.
Correction : Analyse d’un Signal Modulé et Échantillonné
1. Amplitude de la Porteuse Non Modulée (\(A_p\))
L'expression du signal est \(m(t) = A_p [1 + m_a \cos(2\pi f_s t)] \cos(2\pi f_p t)\). Par identification avec \(m(t) = 5 [1 + 0.4 \cos(2000\pi t)] \cos(20000\pi t)\).
L'amplitude de la porteuse non modulée est \(A_p = 5 \text{ V}\).
2. Fréquence de la Porteuse (\(f_p\))
Le terme de la porteuse est \(\cos(2\pi f_p t)\). Dans l'expression donnée, c'est \(\cos(20000\pi t)\).
On a \(2\pi f_p t = 20000\pi t\). Donc :
La fréquence de la porteuse est \(f_p = 10 \text{ kHz}\).
3. Fréquence du Signal Modulant (\(f_s\))
Le terme du signal modulant est \(\cos(2\pi f_s t)\). Dans l'expression donnée, c'est \(\cos(2000\pi t)\).
On a \(2\pi f_s t = 2000\pi t\). Donc :
La fréquence du signal modulant est \(f_s = 1 \text{ kHz}\).
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4. Fréquences Présentes dans le Spectre du Signal Modulé
Un signal AM \(A_p [1 + m_a \cos(2\pi f_s t)] \cos(2\pi f_p t)\) peut être développé en utilisant la formule trigonométrique \(\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\cos(a-b) + \cos(a+b)]\).
\(m(t) = A_p \cos(2\pi f_p t) + A_p m_a \cos(2\pi f_s t) \cos(2\pi f_p t)\)
\(m(t) = A_p \cos(2\pi f_p t) + \frac{A_p m_a}{2} [\cos(2\pi (f_p-f_s) t) + \cos(2\pi (f_p+f_s) t)]\)
Les fréquences présentes sont donc \(f_p\), \(f_p - f_s\), et \(f_p + f_s\).
Données :
\(f_p = 10 \text{ kHz}\)
\(f_s = 1 \text{ kHz}\)
- Fréquence de la porteuse : \(f_p = 10 \text{ kHz}\)
- Bande latérale inférieure : \(f_p - f_s = 10 \text{ kHz} - 1 \text{ kHz} = 9 \text{ kHz}\)
- Bande latérale supérieure : \(f_p + f_s = 10 \text{ kHz} + 1 \text{ kHz} = 11 \text{ kHz}\)
Les fréquences présentes dans le spectre sont 9 kHz, 10 kHz, et 11 kHz.
5. Fréquence Maximale \(f_{max}\) du Signal Modulé
La fréquence maximale \(f_{max}\) est la plus haute fréquence présente dans le spectre du signal.
D'après les fréquences calculées à l'étape 4, la plus élevée est \(f_p + f_s\).
La fréquence maximale du signal modulé est \(f_{max} = 11 \text{ kHz}\).
6. Fréquence d'Échantillonnage Minimale \(f_{e,min}\)
Selon le théorème de Nyquist-Shannon, \(f_e > 2 f_{max}\).
Données :
\(f_{max} = 11 \text{ kHz}\)
La fréquence d'échantillonnage minimale est \(f_{e,min} > 22 \text{ kHz}\).
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7. Risque de Repliement de Spectre à \(f_e' = 20 \text{ kHz}\)
On compare la fréquence d'échantillonnage \(f_e'\) à la condition de Nyquist (\(2 f_{max}\)).
Données :
\(f_e' = 20 \text{ kHz}\)
\(f_{max} = 11 \text{ kHz}\)
La condition de Nyquist est \(f_e > 2 f_{max}\), soit \(f_e > 2 \times 11 \text{ kHz} = 22 \text{ kHz}\).
Puisque \(f_e' = 20 \text{ kHz}\) et que \(20 \text{ kHz} < 22 \text{ kHz}\), la condition de Nyquist n'est pas respectée.
Oui, il y aura un risque de repliement de spectre (aliasing) car \(f_e' = 20 \text{ kHz}\) n'est pas strictement supérieur à \(2 f_{max} = 22 \text{ kHz}\). Des fréquences plus élevées du signal original apparaîtront comme des fréquences plus basses dans le signal échantillonné, déformant l'information.
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Glossaire des Termes Clés
Modulation d'Amplitude (AM) :
Technique de modulation où l'amplitude d'une onde porteuse est variée en fonction du signal d'information (modulant).
Signal Porteur (Porteuse) :
Onde (généralement sinusoïdale) de haute fréquence utilisée pour transporter l'information.
Signal Modulant :
Signal contenant l'information à transmettre (ex: signal audio, vidéo).
Spectre d'un Signal :
Représentation des différentes composantes fréquentielles d'un signal.
Fréquence Maximale (\(f_{max}\)) :
La plus haute fréquence significative présente dans le spectre d'un signal.
Échantillonnage :
Processus de conversion d'un signal continu en un signal discret en prélevant des valeurs (échantillons) à des instants réguliers.
Fréquence d'Échantillonnage (\(f_e\)) :
Nombre d'échantillons prélevés par seconde.
Théorème de Nyquist-Shannon :
Théorème fondamental de l'échantillonnage qui stipule que \(f_e > 2f_{max}\) pour éviter la perte d'information.
Repliement de Spectre (Aliasing) :
Phénomène de distorsion qui se produit lorsqu'un signal est échantillonné à une fréquence inférieure à deux fois sa fréquence maximale, faisant apparaître des fréquences erronées dans le signal échantillonné.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Quels sont les avantages et les inconvénients de la modulation d'amplitude (AM) par rapport à d'autres types de modulation comme la modulation de fréquence (FM) ?
2. Comment le choix de la fréquence porteuse \(f_p\) est-il effectué en pratique pour les transmissions radio AM ?
3. Si un signal est échantillonné exactement à \(f_e = 2f_{max}\), est-ce suffisant en théorie ? Quelles sont les contraintes pratiques ?
4. Qu'est-ce qu'un filtre anti-repliement (anti-aliasing filter) et quel est son rôle avant l'échantillonnage ?
5. Comment la quantification (conversion des valeurs d'amplitude en valeurs numériques discrètes) affecte-t-elle la qualité d'un signal numérisé, en plus de l'échantillonnage ?
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