Analyse de la Modulation d’Amplitude (AM)
Comprendre l’Analyse de la Modulation d’Amplitude (AM)
Un signal porteur sinusoïdal \(c(t) = A_c \cos(2\pi f_c t)\) est utilisé pour moduler en amplitude un signal modulant \(m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t)\), où Ac est l’amplitude du signal porteur, Am est l’amplitude du signal modulant, fc est la fréquence du signal porteur, et fm est la fréquence du signal modulant.
Données de l’exercice :
- Amplitude du signal porteur, Ac = 10 V
- Fréquence du signal porteur, fc = 100 kHz
- Amplitude du signal modulant, \(A_m = 5\) V
- Fréquence du signal modulant, \(f_m = 10\) kHz
Questions:
1. Calculer l’indice de modulation (m).
2. Écrire l’expression du signal modulé en amplitude (AM).
3. Calculer la bande passante du signal AM.
4. Calculer les fréquences des raies spectrales du signal AM.
5. Déterminer la puissance du signal AM en supposant que le signal est transmis dans un système avec une impédance de \(50\) ohms.
Correction : Analyse de la Modulation d’Amplitude (AM)
1. Calcul de l’indice de modulation
L’indice de modulation (souvent noté \( m \) ou \( \mu \)) en modulation d’amplitude exprime le rapport entre l’amplitude du signal modulant et l’amplitude du signal porteur. En AM (Amplitude Modulation) standard, la définition la plus courante est :
\[ m = \frac{A_m}{A_c} \]
où :
- \( A_m \) est l’amplitude (crête) du signal modulant.
- \( A_c \) est l’amplitude (crête) du signal porteur.
Données:
- Amplitude du signal porteur : \( A_c = 10 \, \text{V} \)
- Amplitude du signal modulant : \( A_m = 5 \, \text{V} \)
Calcul:
Substitution des valeurs :
\[ m = \frac{5 \, \text{V}}{10 \, \text{V}} \] \[ m = 0.5 \]
Ainsi, l’indice de modulation est de 0,5 (soit 50 %).
2. Écriture de l’expression du signal modulé en amplitude (AM)
Le signal AM s’exprime classiquement sous la forme :
\[ s(t) = A_c [1 + m \cos(2\pi f_m t)] \cos(2\pi f_c t) \]
- \( A_c \) : amplitude (crête) du porteur.
- \( f_c \) : fréquence du porteur.
- \( m \) : indice de modulation (calculé précédemment).
- \( f_m \) : fréquence du signal modulant.
Formule générale:
\[ s(t) = A_c \left[1 + \frac{A_m}{A_c} \cos(2\pi f_m t)\right] \cos(2\pi f_c t) \]
ou, avec \( m = \frac{A_m}{A_c} \),
\[ s(t) = A_c [1 + m \cos(2\pi f_m t)] \cos(2\pi f_c t). \]
Données:
- \( A_c = 10 \, \text{V} \)
- \( m = 0.5 \)
- \( f_c = 100 \, \text{kHz} = 100000 \, \text{Hz} \)
- \( f_m = 10 \, \text{kHz} = 10000 \, \text{Hz} \)
Calcul (Substitution):
On substitue toutes les valeurs :
\[ s(t) = 10 \, \text{V} [1 + 0.5 \cdot \cos(2\pi \cdot 10000 t)] \cdot \cos(2\pi \cdot 100000 t). \]
En explicitant :
\[ s(t) = 10 \, \text{V} [1 + 0.5 \cdot \cos(20000\pi t)] \cos(200000\pi t). \]
C’est l’expression du signal modulé en amplitude.
3. Calcul de la bande passante du signal AM
En modulation d’amplitude, la bande passante nécessaire (BW) est égale à deux fois la plus haute fréquence du signal modulant (pour couvrir la fréquence supérieure \( f_c + f_m \) et la fréquence inférieure \( f_c – f_m \)).
Formule:
\[ \text{Bande passante} = 2 \times f_m \]
Données:
- \( f_m = 10 \, \text{kHz} \)
Calcul:
\[ BW = 2 \times 10000 \, \text{Hz} \] \[ BW = 20000 \, \text{Hz} \] \[ BW = 20 \, \text{kHz}. \]
Ainsi, la bande passante du signal AM est de 20 kHz.
4. Calcul des fréquences des raies spectrales du signal AM
Le spectre du signal AM classique comporte trois composantes principales :
1. La raie de la porteuse à la fréquence \( f_c \).
2. La raie de la bande latérale inférieure (LSB) à la fréquence \( f_c – f_m \).
3. La raie de la bande latérale supérieure (USB) à la fréquence \( f_c + f_m \).
Formules:
- Raie LSB :
\[ f_{\text{LSB}} = f_c – f_m \]
– Porteuse : \( f_c \)
- Raie USB :
\[ f_{\text{USB}} = f_c + f_m \]
Données:
- \( f_c = 100 \, \text{kHz} \)
- \( f_m = 10 \, \text{kHz} \)
Calcul:
- Raie inférieure :
\[ f_{\text{LSB}} = 100000 \, \text{Hz} – 10000 \, \text{Hz} \] \[ f_{\text{LSB}} = 90000 \, \text{Hz} \] \[ f_{\text{LSB}} = 90 \, \text{kHz}. \]
- Raie de la porteuse :
\[ f_c = 100000 \, \text{Hz} \] \[ f_c = 100 \, \text{kHz}. \]
- Raie supérieure :
\[ f_{\text{USB}} = 100000 \, \text{Hz} + 10000 \, \text{Hz} \] \[ f_{\text{USB}} = 110000 \, \text{Hz} \] \[ f_{\text{USB}} = 110 \, \text{kHz}. \]
Donc, les fréquences des raies spectrales sont :
- 90 kHz (bande latérale inférieure),
- 100 kHz (porteuse),
- 110 kHz (bande latérale supérieure).
5. Détermination de la puissance du signal AM (impédance de 50 \( \Omega \))
La puissance totale d’un signal AM peut se décomposer en :
- Puissance de la porteuse \( P_c \).
- Puissance des bandes latérales (une bande latérale inférieure et une bande latérale supérieure).
Pour un signal AM standard
\[ s(t) = A_c [1 + m \cos(2\pi f_m t)] \cos(2\pi f_c t), \]
avec une charge (ou une résistance) \( R \), la puissance totale (moyenne) s’exprime par :
\[ P_{\text{total}} = P_c (1 + \frac{m^2}{2}) \]
où \[ P_c = \frac{A_c^2}{2R} \]
- \( P_c \) est la puissance de la porteuse (non modulée).
- \( m \) est l’indice de modulation (calculé précédemment).
- \( R \) est l’impédance du système (ici 50 \( \Omega \)).
Formules:
1. Puissance de la porteuse :
\[ P_c = \frac{(A_c)^2}{2R} \]
où \( A_c \) est l’amplitude de la porteuse (crête) et non la valeur efficace.
2. Puissance totale :
\[ P_{\text{total}} = P_c (1 + \frac{m^2}{2}). \]
Données:
- \( A_c = 10 \, \text{V} \)
- \( m = 0.5 \)
- \( R = 50 \, \Omega \)
Calcul détaillé:
Étape 1 : Calcul de la puissance de la porteuse \( P_c \)
\[ P_c = \frac{(10 \, \text{V})^2}{2 \times 50 \, \Omega} \] \[ P_c = \frac{100}{100} \] \[ P_c = 1 \, \text{W}. \]
Étape 2 : Calcul du facteur \( (1 + \frac{m^2}{2}) \)
\[ m^2 = (0.5)^2 = 0.25 \] \[ \frac{m^2}{2} = \frac{0.25}{2} = 0.125 \] \[ 1 + \frac{m^2}{2} = 1 + 0.125 = 1.125 \]
Étape 3 : Puissance totale \( P_{\text{total}} \)
\[ P_{\text{total}} = P_c \times (1 + \frac{m^2}{2}) \] \[ P_{\text{total}} = 1 \, \text{W} \times 1.125 \] \[ P_{\text{total}} = 1.125 \, \text{W}. \]
Ainsi, la puissance totale du signal AM dans une charge de 50 \( \Omega \) est 1.125 W.
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