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Analyse de la Modulation d’Amplitude (AM)

Analyse de la Modulation d’Amplitude (AM)

Analyse de la Modulation d’Amplitude (AM)

Analyser un signal modulé en amplitude (AM) pour déterminer ses caractéristiques spectrales et temporelles.

La modulation d'amplitude (AM) est une technique de modulation où l'amplitude d'un signal porteur haute fréquence est variée en fonction de l'amplitude instantanée d'un signal modulant (le message). C'est l'une des plus anciennes et des plus simples formes de modulation, encore utilisée dans certaines applications de radiodiffusion.

L'expression mathématique d'un signal modulé en amplitude avec porteuse (AM-DP, pour Double Bande Latérale avec Porteuse) est typiquement :

\[ s_{AM}(t) = A_p [1 + m \cdot s_n(t)] \cos(2\pi f_p t) \]

où :

  • \(A_p\) est l'amplitude de la porteuse non modulée.
  • \(f_p\) est la fréquence de la porteuse.
  • \(s_n(t)\) est le signal modulant normalisé (amplitude maximale de 1). Si le signal modulant est \(s_m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t)\), alors \(s_n(t) = \cos(2\pi f_m t)\).
  • \(m\) est l'indice de modulation, défini comme \(m = A_m / A_p\), où \(A_m\) est l'amplitude maximale du signal modulant. Pour éviter la surmodulation, \(0 \le m \le 1\).

Si \(s_m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t)\), alors \(s_{AM}(t) = A_p [1 + (A_m/A_p) \cos(2\pi f_m t)] \cos(2\pi f_p t)\). Ce qui peut se réécrire :

\[ s_{AM}(t) = A_p \cos(2\pi f_p t) + \frac{A_m}{2} \cos(2\pi (f_p - f_m)t) + \frac{A_m}{2} \cos(2\pi (f_p + f_m)t) \]

Le spectre de ce signal montre trois composantes principales :

  • La porteuse à la fréquence \(f_p\) avec une amplitude \(A_p\).
  • Une bande latérale inférieure (BLI) à la fréquence \(f_p - f_m\) avec une amplitude \(A_m/2\) (ou \(m A_p/2\)).
  • Une bande latérale supérieure (BLS) à la fréquence \(f_p + f_m\) avec une amplitude \(A_m/2\) (ou \(m A_p/2\)).

La bande passante (BW) occupée par un signal AM-DP est \(BW = (f_p + f_m) - (f_p - f_m) = 2f_m\).

L'échantillonnage est le processus de conversion d'un signal analogique continu en un signal discret, en prélevant des échantillons à des intervalles de temps réguliers. Le théorème de Nyquist-Shannon stipule que pour pouvoir reconstruire parfaitement un signal analogique à partir de ses échantillons, la fréquence d'échantillonnage \(f_e\) doit être au moins deux fois supérieure à la fréquence maximale \(F_{\text{max}}\) présente dans le signal analogique :

\[ f_e \ge 2 \cdot F_{\text{max}} \]

Si cette condition n'est pas respectée, un phénomène de repliement de spectre (aliasing) se produit, entraînant une perte d'information irréversible.

Données du Problème

On considère un signal modulant sinusoïdal \(s_m(t)\) de fréquence \(f_m = 2 \text{ kHz}\). Ce signal module en amplitude une porteuse \(p(t)\) de fréquence \(f_p = 30 \text{ kHz}\). L'amplitude de la porteuse est \(A_p = 5 \text{ V}\) et l'indice de modulation est \(m = 0.5\).

Le signal modulé en amplitude est donc : \(s_{AM}(t) = 5 [1 + 0.5 \cos(2\pi (2000) t)] \cos(2\pi (30000) t)\).

  • Fréquence du signal modulant : \(f_m = 2 \text{ kHz} = 2000 \text{ Hz}\)
  • Fréquence de la porteuse : \(f_p = 30 \text{ kHz} = 30000 \text{ Hz}\)
  • Amplitude de la porteuse : \(A_p = 5 \text{ V}\)
  • Indice de modulation : \(m = 0.5\)
Signal Modulant s_m(t) t Amp. (V) Am -Am Porteuse p(t) t Amp. (V) Ap -Ap Signal Modulé en Amplitude s_AM(t) t Amp. (V) Ap(1+m) -Ap(1+m)
Signaux modulant, porteur et modulé en amplitude (AM) dans le domaine temporel (le schéma du signal AM est illustratif).

Questions

  1. Calculer l'indice de modulation \(m\).
  2. Écrire l'expression temporelle complète du signal modulé \(s_{AM}(t)\) en insérant les valeurs numériques.
  3. Quelles sont les fréquences et les amplitudes des trois composantes spectrales (porteuse, BLI, BLS) du signal \(s_{AM}(t)\) ?
  4. Quelle est la bande passante (BW) occupée par ce signal AM ?
  5. Calculer l'amplitude maximale et l'amplitude minimale de l'enveloppe du signal modulé.
  6. Si l'amplitude du signal modulant \(A_m\) était de \(6 \text{ V}\) (au lieu de 3 V), quel serait le nouvel indice de modulation ? Que signifierait cela en termes de modulation ?

Correction : Analyse de la Modulation d’Amplitude (AM)

1. Calcul de l'Indice de Modulation (\(m\))

L'indice de modulation \(m\) est donné par \(m = A_m / A_p\).

Données :
\(A_m = 3 \text{ V}\)
\(A_p = 5 \text{ V}\)

\[ m = \frac{A_m}{A_p} = \frac{3 \text{ V}}{5 \text{ V}} = 0.6 \]

L'indice de modulation est \(m = 0.6\).

2. Expression Temporelle Complète du Signal Modulé \(s_{AM}(t)\)

On utilise la formule \(s_{AM}(t) = A_p [1 + m \cos(2\pi f_m t)] \cos(2\pi f_p t)\) avec les valeurs numériques.

Données :
\(A_p = 5 \text{ V}\)
\(m = 0.6\)
\(f_m = 1000 \text{ Hz}\)
\(f_p = 100000 \text{ Hz}\)

\[ s_{AM}(t) = 5 [1 + 0.6 \cos(2\pi \cdot 1000 t)] \cos(2\pi \cdot 100000 t) \]

On peut aussi écrire \(2\pi f_m = 2000\pi\) rad/s et \(2\pi f_p = 200000\pi\) rad/s.

\[ s_{AM}(t) = 5 [1 + 0.6 \cos(2000\pi t)] \cos(200000\pi t) \]

L'expression temporelle est \(s_{AM}(t) = 5 [1 + 0.6 \cos(2000\pi t)] \cos(200000\pi t)\) V.

3. Fréquences et Amplitudes des Composantes Spectrales

Les composantes sont : la porteuse à \(f_p\) d'amplitude \(A_p\), la BLI à \(f_p - f_m\) d'amplitude \(m A_p / 2\), et la BLS à \(f_p + f_m\) d'amplitude \(m A_p / 2\).

Données :
\(A_p = 5 \text{ V}\)
\(m = 0.6\)
\(f_m = 1 \text{ kHz}\)
\(f_p = 100 \text{ kHz}\)

Porteuse :

  • Fréquence : \(f_p = 100 \text{ kHz}\)
  • Amplitude : \(A_p = 5 \text{ V}\)

Bande Latérale Inférieure (BLI) :

  • Fréquence : \(f_p - f_m = 100 \text{ kHz} - 1 \text{ kHz} = 99 \text{ kHz}\)
  • Amplitude : \(m A_p / 2 = 0.6 \cdot 5 \text{ V} / 2 = 3 \text{ V} / 2 = 1.5 \text{ V}\)

Bande Latérale Supérieure (BLS) :

  • Fréquence : \(f_p + f_m = 100 \text{ kHz} + 1 \text{ kHz} = 101 \text{ kHz}\)
  • Amplitude : \(m A_p / 2 = 0.6 \cdot 5 \text{ V} / 2 = 1.5 \text{ V}\)

Porteuse : \(f = 100 \text{ kHz}\), Amplitude = \(5 \text{ V}\).
BLI : \(f = 99 \text{ kHz}\), Amplitude = \(1.5 \text{ V}\).
BLS : \(f = 101 \text{ kHz}\), Amplitude = \(1.5 \text{ V}\).

Quiz Intermédiaire : Bandes Latérales

Question : Si l'indice de modulation \(m=0\), quelles composantes spectrales restent dans un signal AM-DP ?

4. Bande Passante (BW) Occupée par le Signal AM

La bande passante est la différence entre la fréquence la plus haute et la fréquence la plus basse du spectre, soit \(BW = f_{BLS} - f_{BLI} = 2f_m\).

Données :
\(f_m = 1 \text{ kHz}\)

\[ BW = 2 \cdot f_m = 2 \cdot 1 \text{ kHz} = 2 \text{ kHz} \]

Alternativement : \(BW = 101 \text{ kHz} - 99 \text{ kHz} = 2 \text{ kHz}\).

La bande passante occupée par le signal AM est \(BW = 2 \text{ kHz}\).

5. Amplitudes Maximale et Minimale de l'Enveloppe

L'enveloppe du signal AM est donnée par \(A_p[1 + m \cos(2\pi f_m t)]\).
L'amplitude maximale de l'enveloppe (\(E_{max}\)) est obtenue quand \(\cos(2\pi f_m t) = 1\).
L'amplitude minimale de l'enveloppe (\(E_{min}\)) est obtenue quand \(\cos(2\pi f_m t) = -1\).

Données :
\(A_p = 5 \text{ V}\)
\(m = 0.6\)

Amplitude maximale de l'enveloppe :

\[ E_{max} = A_p (1 + m) = 5 \text{ V} (1 + 0.6) = 5 \text{ V} \cdot 1.6 = 8 \text{ V} \]

Amplitude minimale de l'enveloppe :

\[ E_{min} = A_p (1 - m) = 5 \text{ V} (1 - 0.6) = 5 \text{ V} \cdot 0.4 = 2 \text{ V} \]

Amplitude maximale de l'enveloppe : \(E_{max} = 8 \text{ V}\).
Amplitude minimale de l'enveloppe : \(E_{min} = 2 \text{ V}\).

Quiz Intermédiaire : Enveloppe AM

Question : Si l'indice de modulation \(m=1\), quelle est l'amplitude minimale de l'enveloppe ?

  • \(0\)
  • \(2 A_p\)

6. Nouvel Indice de Modulation et Conséquences si \(A_m = 6 \text{ V}\)

On calcule le nouvel indice de modulation \(m'\) avec \(A_m' = 6 \text{ V}\) et \(A_p = 5 \text{ V}\).

Nouvel indice de modulation :

\[ m' = \frac{A_m'}{A_p} = \frac{6 \text{ V}}{5 \text{ V}} = 1.2 \]

Signification : Puisque \(m' = 1.2 > 1\), il y a surmodulation. Dans ce cas, l'enveloppe du signal modulé s'annule et change de phase, ce qui entraîne une distorsion importante du signal original lors de la démodulation par un détecteur d'enveloppe simple. La récupération du message original devient difficile et dégradée.

Le nouvel indice de modulation serait \(m' = 1.2\). Cela correspond à une surmodulation, ce qui causerait une distorsion du signal démodulé.

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : L'indice de modulation \(m\) en AM est défini comme :

  • \((A_p + A_m) / A_p\)

Question 2 : La bande passante d'un signal AM-DP est égale à :

Question 3 : La surmodulation se produit lorsque :

Question 4 : Dans le spectre d'un signal AM-DP, l'amplitude des bandes latérales est proportionnelle à :

Glossaire des Termes Clés

Modulation d'Amplitude (AM) :

Technique de modulation où l'amplitude d'une onde porteuse est variée proportionnellement à l'amplitude du signal modulant.

Porteuse (\(f_p, A_p\)) :

Signal de haute fréquence (\(f_p\)) et d'amplitude constante (\(A_p\)) avant modulation, servant à transporter l'information.

Signal Modulant (\(f_m, A_m\)) :

Signal de basse fréquence (\(f_m\)) contenant l'information (message) à transmettre, d'amplitude maximale \(A_m\).

Indice de Modulation (\(m\)) :

Rapport entre l'amplitude maximale du signal modulant et l'amplitude de la porteuse (\(m = A_m/A_p\)). Il détermine la profondeur de la modulation.

Bandes Latérales (BLI, BLS) :

Composantes fréquentielles générées par la modulation, situées de part et d'autre de la fréquence porteuse (\(f_p \pm f_m\)).

Spectre en Fréquence :

Représentation des composantes fréquentielles d'un signal, montrant leur amplitude (ou puissance) en fonction de la fréquence.

Bande Passante (BW) :

Largeur de la plage de fréquences occupée par un signal ou que peut transmettre un système. Pour l'AM-DP, \(BW = 2f_m\).

Surmodulation :

Condition en modulation d'amplitude où l'indice de modulation \(m > 1\), entraînant une distorsion du signal.

Enveloppe du Signal AM :

Contour supérieur (et inférieur) du signal AM modulé, qui reproduit la forme du signal modulant si \(m \le 1\).

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Quels sont les avantages de transmettre un signal informatif en utilisant une porteuse haute fréquence plutôt que de transmettre directement le signal basse fréquence ?

2. Décrivez le principe de la démodulation d'un signal AM par détection d'enveloppe. Quelles sont les conditions pour que cette démodulation fonctionne correctement ?

3. Qu'est-ce que la modulation AM à bande latérale unique (BLU ou SSB en anglais) et quels sont ses avantages par rapport à l'AM-DP en termes de puissance et de bande passante ?

4. Comment l'indice de modulation \(m\) affecte-t-il la distribution de la puissance entre la porteuse et les bandes latérales dans un signal AM-DP ?

5. Citez des exemples d'applications où la modulation d'amplitude est (ou a été) couramment utilisée.

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