Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Force électromotrice induite dans un circuit

Calcul de la Force Électromotrice Induite

Force Électromotrice (f.é.m.) Induite dans un Circuit

Comprendre la Force Électromotrice Induite

Lorsqu'un circuit conducteur est soumis à une variation de flux magnétique à travers sa surface, une tension électrique, appelée force électromotrice (f.é.m.) induite, apparaît à ses bornes. Ce phénomène, découvert par Michael Faraday, est à la base du fonctionnement de nombreux dispositifs électriques comme les générateurs, les transformateurs et les plaques à induction. La f.é.m. induite est proportionnelle à la vitesse de variation du flux magnétique et, pour une bobine, au nombre de spires. La loi de Lenz précise que le sens de la f.é.m. induite (et donc du courant induit si le circuit est fermé) est tel qu'il s'oppose à la cause qui lui a donné naissance, c'est-à-dire la variation de flux.

Données de l'étude

On considère une bobine circulaire comportant \(N = 50\) spires, de rayon \(r = 10 \, \text{cm}\). Cette bobine est placée dans un champ magnétique \(\vec{B}\) uniforme et perpendiculaire au plan des spires. L'intensité de ce champ magnétique varie de \(B_{\text{1}} = 0.2 \, \text{T}\) à \(B_{\text{2}} = 0.8 \, \text{T}\) en une durée \(\Delta t = 0.1 \, \text{s}\).

Caractéristiques géométriques et physiques :

  • Nombre de spires (\(N\)) : \(50\)
  • Rayon de la bobine (\(r\)) : \(10 \, \text{cm}\)
  • Champ magnétique initial (\(B_{\text{1}}\)) : \(0.2 \, \text{T}\)
  • Champ magnétique final (\(B_{\text{2}}\)) : \(0.8 \, \text{T}\)
  • Durée de la variation (\(\Delta t\)) : \(0.1 \, \text{s}\)
  • Le champ magnétique est perpendiculaire au plan des spires.
Schéma : Bobine dans un Champ Magnétique Variable
B entrant B₁ → B₂ en Δt Aire A ε Variation de Flux Magnétique

Bobine circulaire dans un champ magnétique variable perpendiculaire à son plan.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire (\(A\)) d'une spire de la bobine.
  2. Calculer le flux magnétique initial (\(\Phi_{\text{B1}}\)) à travers une spire.
  3. Calculer le flux magnétique final (\(\Phi_{\text{B2}}\)) à travers une spire.
  4. Calculer la variation totale du flux magnétique (\(\Delta\Phi_{\text{B,tot}}\)) à travers la bobine entière.
  5. Déterminer la force électromotrice (f.é.m.) induite (\(\mathcal{E}\)) dans la bobine.

Correction : Calcul de la Force Électromotrice Induite

Question 1 : Aire (\(A\)) d'une spire

Principe :

L'aire d'une spire circulaire est donnée par la formule de l'aire d'un disque : \(A = \pi r^2\), où \(r\) est le rayon de la spire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = \pi r^2\]
Données spécifiques :
  • Rayon (\(r\)) : \(10 \, \text{cm} = 0.1 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= \pi \times (0.1 \, \text{m})^2 \\ &= \pi \times 0.01 \, \text{m}^2 \\ &\approx 0.0314159 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(A \approx 0.0314 \, \text{m}^2\).

Résultat Question 1 : L'aire d'une spire est \(A \approx 0.0314 \, \text{m}^2\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le rayon d'une spire double, son aire est multipliée par :

Question 2 : Flux magnétique initial (\(\Phi_{\text{B1}}\)) à travers une spire

Principe :

Le flux magnétique (\(\Phi_B\)) à travers une surface plane est donné par \(\Phi_B = B \cdot A \cdot \cos(\theta)\), où \(B\) est l'intensité du champ magnétique, \(A\) est l'aire de la surface, et \(\theta\) est l'angle entre le vecteur champ magnétique \(\vec{B}\) et la normale à la surface. Ici, le champ est perpendiculaire au plan des spires, donc \(\theta = 0^\circ\) et \(\cos(0^\circ) = 1\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Phi_{\text{B1}} = B_{\text{1}} \cdot A \cdot \cos(\theta)\]

Avec \(\theta = 0^\circ\), donc \(\cos(\theta) = 1\).

\[\Phi_{\text{B1}} = B_{\text{1}} \cdot A\]
Données spécifiques :
  • Champ magnétique initial (\(B_{\text{1}}\)) : \(0.2 \, \text{T}\)
  • Aire (\(A\)) : \(\approx 0.0314 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Phi_{\text{B1}} &= 0.2 \, \text{T} \times 0.0314 \, \text{m}^2 \\ &\approx 0.00628 \, \text{Wb} \end{aligned} \]

L'unité du flux magnétique est le Weber (\(\text{Wb}\)).

Résultat Question 2 : Le flux magnétique initial à travers une spire est \(\Phi_{\text{B1}} \approx 0.00628 \, \text{Wb}\).

Question 3 : Flux magnétique final (\(\Phi_{\text{B2}}\)) à travers une spire

Principe :

Similaire au calcul du flux initial, mais en utilisant la valeur finale du champ magnétique \(B_{\text{2}}\). Le champ reste perpendiculaire au plan des spires (\(\theta = 0^\circ\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Phi_{\text{B2}} = B_{\text{2}} \cdot A\]
Données spécifiques :
  • Champ magnétique final (\(B_{\text{2}}\)) : \(0.8 \, \text{T}\)
  • Aire (\(A\)) : \(\approx 0.0314 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Phi_{\text{B2}} &= 0.8 \, \text{T} \times 0.0314 \, \text{m}^2 \\ &\approx 0.02512 \, \text{Wb} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le flux magnétique final à travers une spire est \(\Phi_{\text{B2}} \approx 0.02512 \, \text{Wb}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si l'angle \(\theta\) entre \(\vec{B}\) et la normale à la surface passe de \(0^\circ\) à \(90^\circ\), le flux magnétique :

Question 4 : Variation totale du flux magnétique (\(\Delta\Phi_{\text{B,tot}}\)) à travers la bobine

Principe :

La variation du flux magnétique à travers une spire est \(\Delta\Phi_B = \Phi_{\text{B2}} - \Phi_{\text{B1}}\). Pour une bobine de \(N\) spires, si toutes les spires sont identiques et traversées par le même flux (ce qui est le cas ici), la variation totale du flux est \(N\) fois la variation du flux à travers une seule spire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta\Phi_B (\text{une spire}) = \Phi_{\text{B2}} - \Phi_{\text{B1}}\]
\[\Delta\Phi_{\text{B,tot}} = N \cdot (\Phi_{\text{B2}} - \Phi_{\text{B1}})\]
Données spécifiques :
  • Nombre de spires (\(N\)) : \(50\)
  • \(\Phi_{\text{B1}} \approx 0.00628 \, \text{Wb}\)
  • \(\Phi_{\text{B2}} \approx 0.02512 \, \text{Wb}\)
Calcul :

Variation pour une spire :

\[ \begin{aligned} \Delta\Phi_B (\text{une spire}) &= 0.02512 \, \text{Wb} - 0.00628 \, \text{Wb} \\ &= 0.01884 \, \text{Wb} \end{aligned} \]

Variation totale pour la bobine :

\[ \begin{aligned} \Delta\Phi_{\text{B,tot}} &= 50 \times 0.01884 \, \text{Wb} \\ &= 0.942 \, \text{Wb} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La variation totale du flux magnétique à travers la bobine est \(\Delta\Phi_{\text{B,tot}} = 0.942 \, \text{Wb}\).

Question 5 : Force Électromotrice (f.é.m.) Induite (\(\mathcal{E}\))

Principe :

La loi de Faraday-Lenz stipule que la force électromotrice induite dans un circuit est égale à l'opposé de la dérivée du flux magnétique total par rapport au temps. Si la variation de flux \(\Delta\Phi_{\text{B,tot}}\) se produit sur une durée \(\Delta t\), la f.é.m. moyenne induite est donnée par \(\mathcal{E} = - \frac{\Delta\Phi_{\text{B,tot}}}{\Delta t}\). Le signe négatif indique que la f.é.m. induite s'oppose à la variation de flux (loi de Lenz). Pour cet exercice, nous nous intéressons principalement à la valeur absolue (amplitude) de la f.é.m.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\mathcal{E} = - \frac{\Delta\Phi_{\text{B,tot}}}{\Delta t}\]

Ou, en considérant la f.é.m. induite par spire puis multipliant par N :

\[\mathcal{E} = - N \frac{\Delta\Phi_B (\text{une spire})}{\Delta t}\]

Ces deux approches donnent le même résultat car \(\Delta\Phi_{\text{B,tot}} = N \cdot \Delta\Phi_B (\text{une spire})\).

Données spécifiques :
  • Variation totale du flux (\(\Delta\Phi_{\text{B,tot}}\)) : \(0.942 \, \text{Wb}\)
  • Durée de la variation (\(\Delta t\)) : \(0.1 \, \text{s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \mathcal{E} &= - \frac{0.942 \, \text{Wb}}{0.1 \, \text{s}} \\ &= -9.42 \, \text{V} \end{aligned} \]

La f.é.m. induite est de \(9.42 \, \text{V}\). Le signe négatif est important pour déterminer le sens du courant induit selon la loi de Lenz.

Résultat Question 5 : La force électromotrice induite dans la bobine est \(\mathcal{E} = -9.42 \, \text{V}\) (soit une amplitude de \(9.42 \, \text{V}\)).

Quiz Intermédiaire 3 : Si la variation de flux se produit deux fois plus rapidement ( \(\Delta t\) divisé par 2), la f.é.m. induite :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

Question 1. La force électromotrice induite est directement proportionnelle à :

Question 2. La loi de Lenz stipule que le courant induit :

Question 3. L'unité de la force électromotrice (f.é.m.) est :

Glossaire

Force Électromotrice (f.é.m.) Induite (\(\mathcal{E}\))
Tension électrique générée dans un circuit par une variation du flux magnétique à travers ce circuit. Unité : Volt (\(\text{V}\)).
Flux Magnétique (\(\Phi_B\))
Mesure de la quantité de champ magnétique passant à travers une surface donnée. \(\Phi_B = B \cdot A \cdot \cos(\theta)\). Unité : Weber (\(\text{Wb}\)).
Loi de Faraday-Lenz
Loi fondamentale de l'électromagnétisme qui décrit comment un champ magnétique variable induit une force électromotrice dans un circuit. \(\mathcal{E} = -N \frac{d\Phi_B}{dt}\).
Loi de Lenz
Principe qui énonce que le sens de la f.é.m. induite (et du courant induit) est tel qu'il s'oppose à la variation de flux magnétique qui lui a donné naissance.
Champ Magnétique (\(\vec{B}\))
Champ de force créé par des charges électriques en mouvement ou des matériaux magnétiques. Unité : Tesla (\(\text{T}\)).
Spire
Une boucle ou un enroulement d'un fil conducteur.
Bobine
Ensemble de plusieurs spires, souvent enroulées en hélice, utilisé pour créer ou détecter des champs magnétiques, ou pour l'induction.
Calcul de la Force Électromotrice Induite

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