Force électromotrice induite dans un circuit

Contexte : L'Induction Électromagnétique.

L'un des principes fondamentaux de l'électromagnétisme est l'induction : un champ magnétique variable peut créer un courant électrique dans un circuit. Ce phénomène, décrit par la loi de Faraday-LenzLoi fondamentale qui stipule qu'une variation du flux magnétique à travers un circuit induit une force électromotrice (tension)., est au cœur du fonctionnement des générateurs électriques, des transformateurs et de nombreuses autres technologies. Cet exercice explore un cas classique : une boucle conductrice sortant d'une zone où règne un champ magnétique uniforme.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à quantifier le phénomène d'induction. Vous appliquerez la loi de Faraday pour calculer la force électromotrice (f.é.m.) induite, puis la loi d'Ohm pour déterminer le courant qui en résulte. C'est une application directe des lois fondamentales de l'électricité.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer la loi de Faraday pour calculer une f.é.m. induite.
Déterminer le sens du courant induit avec la loi de Lenz.
Calculer la puissance dissipée par effet Joule dans le circuit.
Analyser les forces électromagnétiques (forces de Laplace) qui s'opposent au mouvement.

Données de l'étude

On considère une boucle rectangulaire conductrice de côtés `L` et `l` et de résistance totale `R`. Cette boucle se déplace à une vitesse constante `v` pour sortir d'une région où règne un champ magnétique uniforme `B`, perpendiculaire au plan de la boucle et dirigé vers l'observateur.

Schéma du Dispositif

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Champ magnétique	`B`	0.5	T (Tesla)
Hauteur de la boucle	`L`	10	cm
Largeur de la boucle	`l`	20	cm
Vitesse de la boucle	`v`	2	m/s
Résistance de la boucle	`R`	0.1	Ω (Ohm)

Questions à traiter

Exprimer le flux magnétique `Φ(x)` à travers la boucle en fonction de la position `x` de son côté droit, pour `0 ≤ x ≤ l`.
En déduire l'expression de la force électromotrice (f.é.m.) `e` induite dans la boucle pendant sa sortie du champ. Calculer sa valeur.
Déterminer l'intensité du courant induit `i` et préciser son sens (horaire ou antihoraire) en justifiant.
Calculer la puissance `P_j` dissipée par effet Joule dans la boucle.
Calculer la force de Laplace `F_L` qui s'exerce sur la boucle. Vérifier la cohérence avec la puissance mécanique nécessaire pour maintenir la vitesse constante.

Les bases sur l'Induction Électromagnétique

1. Flux Magnétique `Φ`
Le flux magnétique à travers une surface `S` mesure la "quantité" de champ magnétique qui la traverse. Pour un champ `B` uniforme et perpendiculaire à une surface plane `S`, il est donné par : \[ \Phi = B \cdot S \] L'unité du flux est le Weber (Wb), avec 1 Wb = 1 T·m².

2. Loi de Faraday-Lenz
Cette loi stipule que si le flux magnétique `Φ` à travers un circuit varie au cours du temps, une force électromotrice (tension) `e` est induite dans ce circuit. Elle est égale à l'opposé de la dérivée du flux par rapport au temps : \[ e = - \frac{d\Phi}{dt} \] Le signe "moins" représente la loi de Lenz : le courant induit crée un champ magnétique qui s'oppose à la variation de flux qui lui a donné naissance.

Correction : Force Électromotrice Induite dans un Circuit

Question 1 : Calcul du flux magnétique `Φ(x)`

Principe

Le flux magnétique est le produit du champ magnétique `B` par la surface `S(x)` de la boucle encore soumise à ce champ. Comme la boucle sort, cette surface diminue, entraînant une variation de flux.

Mini-Cours

Le flux magnétique, noté `Φ`, est une grandeur scalaire qui quantifie le "nombre de lignes de champ" qui traversent une surface. Il se calcule par l'intégrale de surface du champ magnétique `B` : `Φ = ∫∫ B · dS`. Dans le cas simple d'un champ uniforme `B` perpendiculaire à une surface plane `S`, la formule se simplifie en `Φ = B · S`.

Remarque Pédagogique

L'astuce ici est de bien visualiser la géométrie. Ne considérez que la partie de la boucle qui se trouve DANS la zone où le champ magnétique existe. La surface pertinente pour le calcul du flux est donc une surface variable qui dépend de la position `x`.

Normes

Les calculs se font dans le Système International d'unités (SI), où le champ magnétique est en Tesla (T), les surfaces en mètres carrés (m²), et le flux en Webers (Wb).

Formule(s)

Formule générale du flux

\Phi(x) = B \cdot S_{\text{immergée}}(x)

Hypothèses

Le champ magnétique `B` est uniforme sur toute la zone `x < 0` et nul pour `x > 0`.
La boucle est un rectangle parfait et indéformable.
Le champ `B` est parfaitement perpendiculaire au plan de la boucle.

Donnée(s)

Les données ci-dessous proviennent directement de l'énoncé de l'exercice.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Champ magnétique	`B`	0.5	T
Hauteur de la boucle	`L`	10	cm
Largeur de la boucle	`l`	20	cm

Astuces

Pour trouver la surface, il suffit de multiplier la hauteur constante `L` par la largeur variable qui est encore dans le champ. Cette largeur est `l - x`.

Schéma (Avant les calculs)

Surface du flux en fonction de x

Calcul(s)

La surface de la boucle encore dans le champ magnétique est la hauteur `L` multipliée par la portion de la largeur `l` qui n'a pas encore franchi la ligne `x=0`. Cette portion est `l - x`.

Expression de la surface immergée

S_{\text{immergée}}(x) = L \cdot (l - x)

On applique ensuite la formule du flux pour un champ uniforme et perpendiculaire en utilisant cette surface variable.

Expression du flux

\Phi(x) = B \cdot S_{\text{immergée}}(x) = B \cdot L \cdot (l - x)

Schéma (Après les calculs)

Graphe du Flux `Φ(x)` en fonction de `x`

Réflexions

Le flux magnétique diminue de manière linéaire à mesure que la boucle sort du champ. Il passe de sa valeur maximale `Φ_max = B·L·l` (quand `x=0`) à zéro (quand `x=l`). Cette variation est la clé de l'induction.

Points de vigilance

Attention à la définition de `x`. Ici, `x` représente la partie de la boucle qui est déjà sortie. Si `x` avait représenté la partie encore dedans, la formule aurait été `B·L·x`.

Points à retenir

Le flux magnétique est une mesure du champ traversant une surface. Pour le calculer, il faut identifier quelle surface est traversée par quel champ.

Le saviez-vous ?

La loi de Gauss pour le magnétisme (`div(B) = 0`) stipule qu'il n'existe pas de monopôles magnétiques. Cela signifie que les lignes de champ magnétique se referment toujours sur elles-mêmes ; elles n'ont ni début ni fin.

FAQ

Résultat Final

Le flux magnétique est `Φ(x) = B \cdot L \cdot (l - x)`.

A vous de jouer

Calculez le flux (en Wb) lorsque la moitié de la boucle est sortie (`x = l/2 = 10` cm).

Question 2 : Calcul de la f.é.m. induite `e`

Principe

La loi de Faraday stipule que la f.é.m. induite `e` est l'opposé de la vitesse de variation du flux magnétique (`e = -dΦ/dt`). Comme le flux change, une tension apparaît.

Mini-Cours

Pour dériver `Φ(x)` par rapport au temps `t`, on utilise la règle de dérivation en chaîne : `dΦ/dt = (dΦ/dx) · (dx/dt)`. Puisque la vitesse est constante, `dx/dt = v`. Cette technique est très utile lorsque le flux dépend d'une variable géométrique qui elle-même évolue dans le temps.

Remarque Pédagogique

Le signe négatif dans la loi de Faraday est crucial, il représente la loi de Lenz (modération). Cependant, pour le calcul de la valeur absolue de la f.é.m., on s'intéresse souvent d'abord à la magnitude. On trouve `dΦ/dt` et on en prend l'opposé.

Normes

L'unité de la force électromotrice est le Volt (V), comme pour toute tension électrique.

Formule(s)

Loi de Faraday

e = - \frac{d\Phi}{dt}

Relation position-vitesse

x(t) = v \cdot t

Hypothèses

La vitesse `v` de la boucle est constante.

Donnée(s)

Les données ci-dessous, issues de l'énoncé, sont nécessaires pour cette étape de calcul.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Champ magnétique	`B`	0.5	T
Hauteur de la boucle	`L`	10	cm
Vitesse	`v`	2	m/s

Astuces

Pour ce type de problème (un conducteur de longueur `L` se déplaçant à la vitesse `v` dans un champ `B`), la f.é.m. induite est presque toujours `e = B·L·v`. C'est la f.é.m. de mouvement (ou de Lorentz), une formule très utile à retenir.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la variation de surface

Calcul(s)

Pour dériver le flux par rapport au temps, on exprime d'abord `x` en fonction de `t` en utilisant la vitesse constante : `x = v·t`. On substitue cette expression dans la formule du flux de la Q1.

Expression du flux en fonction du temps

\Phi(t) = B \cdot L \cdot (l - v \cdot t)

On dérive ensuite cette expression par rapport au temps. Le terme `B·L·l` est une constante, sa dérivée est nulle. Le terme `-B·L·v·t` est linéaire en `t`, sa dérivée est `-B·L·v`.

Dérivation du flux par rapport au temps

\begin{aligned} \frac{d\Phi}{dt} &= \frac{d}{dt} [B \cdot L \cdot l - B \cdot L \cdot v \cdot t] \\ &= 0 - B \cdot L \cdot v \\ &= - B \cdot L \cdot v \end{aligned}

Enfin, on applique la loi de Faraday, qui stipule que `e` est l'opposé de cette dérivée.

Calcul de la f.é.m. induite `e`

\begin{aligned} e &= - \frac{d\Phi}{dt} \\ &= -(- B \cdot L \cdot v) \\ &= B \cdot L \cdot v \end{aligned}

On procède à l'application numérique, en n'oubliant pas de convertir la hauteur `L` de centimètres en mètres (`10 cm = 0.1 m`).

Application Numérique

\begin{aligned} e &= (0.5 \, \text{T}) \cdot (0.1 \, \text{m}) \cdot (2 \, \text{m/s}) \\ &= 0.1 \, \text{V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Graphe de la f.é.m. `e(t)` en fonction du temps

Réflexions

La f.é.m. est constante tant que la boucle sort du champ, car la vitesse de variation du flux (`dΦ/dt`) est constante. Dès que la boucle est complètement sortie, le flux ne varie plus et la f.é.m. redevient nulle.

Points de vigilance

Ne pas oublier de convertir toutes les unités (cm en m) avant le calcul final. C'est une source d'erreur très fréquente.

Points à retenir

Une variation de flux magnétique `dΦ/dt` crée une f.é.m. `e`. Pas de variation, pas de f.é.m.

Le saviez-vous ?

Michael Faraday, qui a découvert l'induction en 1831, était un scientifique largement autodidacte. Ses découvertes ont jeté les bases de la technologie des moteurs et générateurs électriques.

FAQ

Résultat Final

La f.é.m. induite est `e = B·L·v = 0.1` V.

A vous de jouer

Calculez la f.é.m. si la vitesse était de 5 m/s.

Question 3 : Calcul du courant induit `i` et de son sens

Principe

La f.é.m. `e` agit comme un générateur de tension dans le circuit. La loi d'Ohm permet de calculer le courant qui en résulte. La loi de Lenz dicte le sens de ce courant pour qu'il s'oppose à la cause qui l'a créé.

Mini-Cours

Loi de Lenz : Le flux (sortant) diminue. Le système réagit pour contrer cette diminution. Il va donc créer un champ magnétique induit `B_induit` dans le même sens que `B` (sortant).
Règle de la main droite : Pour créer un champ sortant, le courant doit circuler dans le sens antihoraire.

Remarque Pédagogique

Posez-vous toujours ces deux questions pour la loi de Lenz : 1. Le flux augmente-t-il ou diminue-t-il ? 2. Dans quel sens le courant doit-il circuler pour s'opposer à cette variation ?

Formule(s)

Loi d'Ohm

i = \frac{e}{R}

Donnée(s)

Les données utilisées ici proviennent de l'énoncé (pour R) et du résultat de la Question 2 (pour e).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
F.é.m. induite	`e`	0.1	V
Résistance	`R`	0.1	Ω

Astuces

Pour trouver le sens du courant, la "règle de la main droite" est votre meilleure amie. Enroulez les doigts dans le sens du courant ; le pouce indique la direction du champ magnétique créé par ce courant.

Schéma (Avant les calculs)

Justification du sens du courant (Loi de Lenz)

Calcul(s)

On applique simplement la loi d'Ohm : le courant est égal à la tension (ici la f.é.m. `e`) divisée par la résistance `R`.

Calcul de l'intensité

\begin{aligned} i &= \frac{e}{R} \\ &= \frac{0.1 \, \text{V}}{0.1 \, \text{Ω}} \\ &= 1 \, \text{A} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Sens du Courant (Antihoraire)

Résultat Final

Le courant induit est `i = 1` A, circulant dans le sens antihoraire.

A vous de jouer

Si la boucle entrait dans le champ, quel serait le sens du courant ?

Question 4 : Puissance dissipée par effet Joule

Principe

L'énergie électrique générée par l'induction n'est pas stockée ; elle est immédiatement convertie en chaleur par le passage du courant dans la résistance de la boucle. C'est l'effet Joule.

Mini-Cours

La puissance électrique `P` est le produit de la tension `U` par le courant `I` (`P = U·I`). En utilisant la loi d'Ohm (`U = R·I`), on peut l'exprimer de deux autres manières : `P = R·I²` ou `P = U²/R`. Ces formules sont équivalentes et décrivent la puissance dissipée sous forme de chaleur dans une résistance.

Remarque Pédagogique

Pensez à la conservation de l'énergie. La f.é.m. est un "générateur" qui produit de la puissance (`e·i`), et la résistance est un "récepteur" qui la consomme (`R·i²`). Dans un circuit simple comme celui-ci, la puissance produite est égale à la puissance consommée.

Normes

L'unité de la puissance est le Watt (W).

Formule(s)

Formule de la puissance Joule

P_j = R \cdot i^2

Hypothèses

Toute la résistance du circuit est regroupée en une seule valeur `R`.
Le circuit ne contient aucun autre composant (pas de capacité ou d'inductance propre).

Donnée(s)

Les données utilisées ici proviennent de l'énoncé (pour R) et du résultat de la Question 3 (pour i).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance	`R`	0.1	Ω
Courant	`i`	1	A

Astuces

Il y a trois formules pour la puissance (`P=e·i`, `P=R·i²`, `P=e²/R`). Choisissez celle qui est la plus directe avec les données que vous avez déjà calculées et dont vous êtes le plus sûr.

Schéma (Avant les calculs)

Dissipation d'énergie dans une résistance

Calcul(s)

Calcul de la puissance dissipée

\begin{aligned} P_j &= R \cdot i^2 \\ &= (0.1 \, \text{Ω}) \cdot (1 \, \text{A})^2 \\ &= 0.1 \, \text{W} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Graphe de la Puissance `Pj(t)` en fonction du temps

Réflexions

Cette puissance de 0.1 W représente l'énergie thermique dégagée par la boucle chaque seconde. Cette énergie doit provenir de quelque part. Comme nous le verrons dans la question suivante, elle provient du travail mécanique fourni pour tirer la boucle.

Points de vigilance

Assurez-vous que le courant est au carré dans la formule `R·i²`. Une erreur fréquente est d'oublier l'exposant.

Points à retenir

Toute l'énergie électrique produite par induction dans une simple boucle résistive est convertie en chaleur.

Le saviez-vous ?

L'effet Joule est utilisé dans de nombreux appareils du quotidien : radiateurs électriques, grille-pain, chauffe-eau, fusibles...

FAQ

Résultat Final

La puissance dissipée par effet Joule est `P_j = 0.1` W.

A vous de jouer

Si la résistance de la boucle était de 0.2 Ω (le reste inchangé), quelle serait la nouvelle puissance dissipée ? (Indice : le courant changerait aussi !)

Question 5 : Force de Laplace et bilan de puissance

Principe

Un conducteur parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique subit une force : la force de Laplace. Ici, cette force va s'opposer au mouvement de la boucle.

Mini-Cours

La force de Laplace est une force électromagnétique. Sa direction est donnée par la règle des "trois doigts de la main droite" : pouce pour le courant `i`, index pour le champ `B`, le majeur donne la direction de la force `F_L`. Mathématiquement, c'est un produit vectoriel : `dF = i·dL ∧ B`.

Remarque Pédagogique

Cette force de freinage est la manifestation physique de la loi de Lenz. Pour maintenir la vitesse constante, un opérateur extérieur doit fournir un travail, c'est-à-dire une puissance mécanique, qui compense exactement cette force de freinage. L'énergie n'est jamais créée de nulle part !

Normes

La force s'exprime en Newtons (N) et la puissance mécanique en Watts (W).

Formule(s)

Force de Laplace sur un fil rectiligne

F_L = i \cdot L \cdot B

Puissance d'une force

P_{\text{mécanique}} = F \cdot v

Hypothèses

Les forces sur les segments horizontaux de la boucle s'annulent car les courants y circulent en sens opposés.
Seul le côté vertical gauche de la boucle est dans le champ et subit une force nette. Le côté droit est déjà sorti.

Donnée(s)

Les données utilisées ici proviennent de l'énoncé (pour L, B, v) et du résultat de la Question 3 (pour i).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Courant	`i`	1	A
Hauteur (longueur du fil)	`L`	0.1	m
Champ magnétique	`B`	0.5	T
Vitesse	`v`	2	m/s

Astuces

Le calcul du bilan de puissance est une excellente façon de vérifier la cohérence de vos résultats. Si `P_mecanique ≠ P_joule`, il y a probablement une erreur dans les calculs précédents.

Schéma (Avant les calculs)

Analyse de la Force de Laplace

Calcul(s)

Calcul de la force de Laplace

\begin{aligned} F_L &= i \cdot L \cdot B \\ &= (1 \, \text{A}) \cdot (0.1 \, \text{m}) \cdot (0.5 \, \text{T}) \\ &= 0.05 \, \text{N} \end{aligned}

Calcul de la puissance mécanique

Pour avancer à vitesse constante, il faut fournir une force `F_op = F_L`. La puissance mécanique est :

\begin{aligned} P_{\text{meca}} &= F_{\text{op}} \cdot v \\ &= (0.05 \, \text{N}) \cdot (2 \, \text{m/s}) \\ &= 0.1 \, \text{W} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Bilan des forces sur la boucle

Réflexions

On retrouve `P_meca = 0.1` W, ce qui est exactement égal à la puissance Joule `P_j` calculée à la question 4. Cela confirme le principe de conservation de l'énergie : l'énergie mécanique fournie pour tirer la boucle est intégralement convertie en chaleur.

Points de vigilance

Ne pas oublier que la force de Laplace s'oppose au mouvement. C'est une force "freinatrice". Pour maintenir la vitesse, il faut fournir un travail moteur.

Points à retenir

Le bilan de puissance `P_mécanique = P_Joule` est fondamental dans les problèmes d'induction avec mouvement.

Le saviez-vous ?

Ce principe de freinage électromagnétique est utilisé dans les transports, comme dans certains TGV ou dans les attractions de parcs (tours de chute libre), où des aimants puissants passant près de plaques de cuivre créent des courants de Foucault qui freinent le véhicule sans aucun contact mécanique.

FAQ

Résultat Final

La force de Laplace est `F_L = 0.05` N. La puissance mécanique nécessaire, `P_meca = 0.1` W, est bien égale à la puissance dissipée `P_j`.

A vous de jouer

Quelle force `F_op` faudrait-il appliquer si la vitesse était doublée (v=4 m/s) ? (Attention, le courant va changer !)

Outil Interactif : Simulateur d'Induction

Utilisez les curseurs pour voir comment la f.é.m. et le courant induits varient en fonction de la vitesse de la boucle et de l'intensité du champ magnétique.

Paramètres d'Entrée

Champ Magnétique B (T) 0.5 T

Vitesse v (m/s) 2 m/s

Résultats Clés (pour L=10cm, R=0.1Ω)

F.é.m. Induite (e) - V

Courant Induit (i) - A

Puissance Dissipée (Pj) - W

Flux Magnétique (Φ): Mesure de la quantité totale de champ magnétique traversant une surface donnée. Sa variation est la source de l'induction.
Force Électromotrice (f.é.m. ou `e`): Travail par unité de charge fourni par un générateur. Dans le cas de l'induction, c'est la tension qui apparaît aux bornes du circuit et qui met les charges en mouvement.
Loi de Faraday: Loi physique qui quantifie la f.é.m. induite dans un circuit par la variation du flux magnétique qui le traverse.
Loi de Lenz: Principe qui donne le sens du courant induit. Ce dernier s'oppose toujours à la variation de flux qui l'a engendré (principe de modération).
Force de Laplace: Force exercée par un champ magnétique sur un conducteur parcouru par un courant électrique. C'est le principe de fonctionnement des moteurs électriques.