Analyse de la Puissance en Courant Alternatif

En régime sinusoïdal, la puissance dans un circuit contenant des résistances, des inductances et des capacités est plus complexe que pour un circuit purement résistif. On distingue :

Puissance Active (\(P\)) : Puissance réellement dissipée (principalement par les résistances sous forme de chaleur). Unité : Watt (W). \(P = U_{eff} I_{eff} \cos(\phi)\).
Puissance Réactive (\(Q\)) : Puissance échangée entre la source et les champs magnétiques (inductances) ou électriques (capacités). Elle n'est pas dissipée mais est nécessaire au fonctionnement de ces composants. Unité : Voltampère Réactif (VAR). \(Q = U_{eff} I_{eff} \sin(\phi)\). Elle est positive pour une charge inductive (\(Q_L\)) et négative pour une charge capacitive (\(Q_C\)). La puissance réactive totale est \(Q = Q_L - Q_C\).
Puissance Apparente (\(S\)) : Produit des valeurs efficaces de la tension et du courant. \(S = U_{eff} I_{eff}\). Unité : Voltampère (VA). Elle est liée aux autres par \(S = \sqrt{P^2 + Q^2}\).
Facteur de Puissance (\(\cos(\phi)\)) : Rapport \(P/S\). Il indique l'efficacité avec laquelle la puissance apparente est convertie en puissance active. \(\phi\) est le déphasage entre la tension totale et le courant total.

Pour un circuit RLC série, l'impédance totale \(Z\) est donnée par :

Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}

Où \(X_L = L\omega\) est la réactance inductive et \(X_C = \frac{1}{C\omega}\) est la réactance capacitive.

Le déphasage \(\phi\) est tel que :

\tan(\phi) = \frac{X_L - X_C}{R}

Données du Problème

Un circuit RLC série est alimenté par une source de tension alternative sinusoïdale.

Tension efficace de la source (\(U_{eff}\)) : \(120 \text{ V}\)
Fréquence de la source (\(f\)) : \(50 \text{ Hz}\)
Résistance (\(R\)) : \(30 \text{ Ω}\)
Inductance (\(L\)) : \(150 \text{ mH}\)
Capacité (\(C\)) : \(100 \text{ µF}\)

Questions

Calculer la pulsation \(\omega\) de la tension d'alimentation.
Calculer la réactance inductive \(X_L\).
Calculer la réactance capacitive \(X_C\).
Calculer l'impédance totale \(Z\) du circuit.
Calculer la valeur efficace du courant \(I_{eff}\) circulant dans le circuit.
Calculer le déphasage \(\phi\) entre la tension totale \(u(t)\) et le courant \(i(t)\). Préciser si le circuit est globalement inductif, capacitif ou résistif.
Calculer la puissance active \(P\) consommée par le circuit.
Calculer la puissance réactive \(Q_L\) de l'inductance et la puissance réactive \(Q_C\) du condensateur.
Calculer la puissance réactive totale \(Q_{tot}\) du circuit.
Calculer la puissance apparente \(S\) du circuit.
Vérifier la relation \(S = \sqrt{P^2 + Q_{tot}^2}\).
Calculer le facteur de puissance \(\cos(\phi)\) du circuit.

Correction : Analyse de la Puissance en Courant Alternatif

1. Calcul de la Pulsation (\(\omega\))

La pulsation \(\omega = 2\pi f\).

Données : \(f = 50 \text{ Hz}\)

\begin{aligned} \omega &= 2\pi \times 50 \text{ Hz} \\ &= 100\pi \text{ rad/s} \\ &\approx 314.16 \text{ rad/s} \end{aligned}

La pulsation est \(\omega = 100\pi \text{ rad/s} \approx 314.16 \text{ rad/s}\).

2. Calcul de la Réactance Inductive (\(X_L\))

\(X_L = L\omega\). \(L = 150 \text{ mH} = 150 \times 10^{-3} \text{ H}\).

Données : \(L = 0.150 \text{ H}\), \(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)

\begin{aligned} X_L &= 0.150 \text{ H} \times 100\pi \text{ rad/s} \\ &= 15\pi \text{ Ω} \\ &\approx 47.12 \text{ Ω} \end{aligned}

La réactance inductive est \(X_L \approx 47.12 \text{ Ω}\).

3. Calcul de la Réactance Capacitive (\(X_C\))

\(X_C = \frac{1}{C\omega}\). \(C = 100 \text{ µF} = 100 \times 10^{-6} \text{ F}\).

Données : \(C = 100 \times 10^{-6} \text{ F}\), \(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)

\begin{aligned} X_C &= \frac{1}{(100 \times 10^{-6} \text{ F}) \times 100\pi \text{ rad/s}} \\ &= \frac{1}{0.01\pi} \text{ Ω} \\ &= \frac{100}{\pi} \text{ Ω} \\ &\approx 31.83 \text{ Ω} \end{aligned}

La réactance capacitive est \(X_C \approx 31.83 \text{ Ω}\).

Quiz Intermédiaire : Réactances

4. Calcul de l'Impédance Totale (\(Z\))

\(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\).

Données : \(R = 30 \text{ Ω}\), \(X_L \approx 47.12 \text{ Ω}\), \(X_C \approx 31.83 \text{ Ω}\)

\begin{aligned} X_L - X_C &\approx 47.12 - 31.83 = 15.29 \text{ Ω} \\ Z &\approx \sqrt{(30)^2 + (15.29)^2} \\ &\approx \sqrt{900 + 233.7841} \\ &\approx \sqrt{1133.7841} \\ &\approx 33.67 \text{ Ω} \end{aligned}

L'impédance totale du circuit est \(Z \approx 33.67 \text{ Ω}\).

Quiz Intermédiaire : Impédances

5. Calcul du Courant Efficace (\(I_{eff}\))

\(I_{eff} = U_{eff} / Z\).

Données : \(U_{eff} = 120 \text{ V}\), \(Z \approx 33.67 \text{ Ω}\)

\begin{aligned} I_{eff} &\approx \frac{120 \text{ V}}{33.67 \text{ Ω}} \\ &\approx 3.564 \text{ A} \end{aligned}

Le courant efficace est \(I_{eff} \approx 3.56 \text{ A}\).

6. Calcul du Déphasage (\(\phi\))

\(\tan(\phi) = (X_L - X_C) / R\).

Données : \(X_L - X_C \approx 15.29 \text{ Ω}\), \(R = 30 \text{ Ω}\)

\begin{aligned} \tan(\phi) &\approx \frac{15.29}{30} \\ &\approx 0.50967 \\ \phi &= \arctan(0.50967) \\ &\approx 26.99^\circ \approx 27.0^\circ \end{aligned}

Puisque \(X_L > X_C\), le terme \(X_L - X_C\) est positif, donc \(\phi\) est positif. Le courant est en retard sur la tension. Le circuit est globalement inductif.

Le déphasage est \(\phi \approx 27.0^\circ\).

Le circuit est globalement inductif (courant en retard sur la tension).

Quiz Intermédiaire : Déphasage

7. Calcul de la Puissance Active (\(P\))

\(P = U_{eff} I_{eff} \cos(\phi)\) ou \(P = R I_{eff}^2\).

Données : \(R = 30 \text{ Ω}\), \(I_{eff} \approx 3.564 \text{ A}\), \(U_{eff} = 120 \text{ V}\), \(\phi \approx 26.99^\circ \rightarrow \cos(\phi) \approx \cos(26.99^\circ) \approx 0.8911\)

\begin{aligned} P &= R I_{eff}^2 \\ &\approx 30 \text{ Ω} \times (3.564 \text{ A})^2 \\ &\approx 30 \times 12.698 \\ &\approx 380.94 \text{ W} \end{aligned}

Alternativement : \(P = U_{eff} I_{eff} \cos(\phi) \approx 120 \text{ V} \times 3.564 \text{ A} \times 0.8911 \approx 380.95 \text{ W}\).

La puissance active est \(P \approx 381 \text{ W}\).

8. Calcul des Puissances Réactives (\(Q_L\) et \(Q_C\))

\(Q_L = X_L I_{eff}^2\) et \(Q_C = X_C I_{eff}^2\).

Données : \(X_L \approx 47.12 \text{ Ω}\), \(X_C \approx 31.83 \text{ Ω}\), \(I_{eff} \approx 3.564 \text{ A}\)

\begin{aligned} Q_L &\approx 47.12 \text{ Ω} \times (3.564 \text{ A})^2 \\ &\approx 47.12 \times 12.698 \\ &\approx 598.3 \text{ VAR} \\ Q_C &\approx 31.83 \text{ Ω} \times (3.564 \text{ A})^2 \\ &\approx 31.83 \times 12.698 \\ &\approx 404.2 \text{ VAR} \end{aligned}

Puissance réactive inductive : \(Q_L \approx 598 \text{ VAR}\).

Puissance réactive capacitive : \(Q_C \approx 404 \text{ VAR}\).

9. Calcul de la Puissance Réactive Totale (\(Q_{tot}\))

\(Q_{tot} = Q_L - Q_C\) ou \(Q_{tot} = U_{eff} I_{eff} \sin(\phi)\).

Données : \(Q_L \approx 598.3 \text{ VAR}\), \(Q_C \approx 404.2 \text{ VAR}\), \(\phi \approx 26.99^\circ \rightarrow \sin(\phi) \approx \sin(26.99^\circ) \approx 0.4538\)

\begin{aligned} Q_{tot} &\approx 598.3 \text{ VAR} - 404.2 \text{ VAR} \\ &\approx 194.1 \text{ VAR} \end{aligned}

Alternativement : \(Q_{tot} = U_{eff} I_{eff} \sin(\phi) \approx 120 \text{ V} \times 3.564 \text{ A} \times 0.4538 \approx 194.1 \text{ VAR}\).

La puissance réactive totale est \(Q_{tot} \approx 194 \text{ VAR}\) (inductive).

10. Calcul de la Puissance Apparente (\(S\))

\(S = U_{eff} I_{eff}\).

Données : \(U_{eff} = 120 \text{ V}\), \(I_{eff} \approx 3.564 \text{ A}\)

\begin{aligned} S &\approx 120 \text{ V} \times 3.564 \text{ A} \\ &\approx 427.68 \text{ VA} \end{aligned}

La puissance apparente est \(S \approx 428 \text{ VA}\).

11. Vérification de \(S = \sqrt{P^2 + Q_{tot}^2}\)

Données : \(P \approx 380.94 \text{ W}\), \(Q_{tot} \approx 194.1 \text{ VAR}\)

\begin{aligned} \sqrt{P^2 + Q_{tot}^2} &\approx \sqrt{(380.94)^2 + (194.1)^2} \\ &\approx \sqrt{145115.24 + 37674.81} \\ &\approx \sqrt{182790.05} \\ &\approx 427.54 \text{ VA} \end{aligned}

La valeur calculée (\(\approx 427.5 \text{ VA}\)) est très proche de \(S \approx 428 \text{ VA}\) (les petites différences sont dues aux arrondis). La relation est vérifiée.

12. Calcul du Facteur de Puissance (\(\cos(\phi)\))

\(\cos(\phi) = P/S\).

Données : \(P \approx 380.94 \text{ W}\), \(S \approx 427.68 \text{ VA}\)

\begin{aligned} \cos(\phi) &\approx \frac{380.94 \text{ W}}{427.68 \text{ VA}} \\ &\approx 0.8907 \end{aligned}

Ceci correspond bien à \(\cos(26.99^\circ) \approx 0.8911\).

Le facteur de puissance du circuit est \(\cos(\phi) \approx 0.89\).

Glossaire des Termes Clés

Réactance Inductive (\(X_L\)) :

Opposition d'une inductance au passage d'un courant alternatif (\(X_L = L\omega\)).

Réactance Capacitive (\(X_C\)) :

Opposition d'un condensateur au passage d'un courant alternatif (\(X_C = 1/(C\omega)\)).

Impédance (\(Z\)) :

Opposition totale d'un circuit AC (résistance et réactances combinées).

Puissance Active (\(P\)) :

Puissance réellement consommée et transformée en travail ou chaleur. Unité : Watt (W).

Puissance Réactive (\(Q\)) :

Puissance échangée par les éléments réactifs (inductances, capacités). Unité : Voltampère Réactif (VAR).

Puissance Apparente (\(S\)) :

Produit des valeurs efficaces de la tension et du courant (\(S = U_{eff}I_{eff}\)). Unité : Voltampère (VA).

Facteur de Puissance (\(\cos\phi\)) :

Rapport \(P/S\), indiquant l'efficacité de l'utilisation de la puissance apparente.

Déphasage (\(\phi\)) :

Différence de phase entre la tension et le courant.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Qu'est-ce que la résonance dans un circuit RLC série ? Comment se caractérise-t-elle en termes d'impédance, de courant et de déphasage ?

2. Expliquez l'intérêt de la correction du facteur de puissance dans les installations industrielles. Quels composants peut-on utiliser pour cela ?

3. Comment les puissances se combinent-elles dans un circuit contenant plusieurs charges en parallèle ?

4. Le "triangle des puissances" est une représentation vectorielle des puissances P, Q et S. Comment est-il construit et quelle relation illustre-t-il ?

5. Si la fréquence de la source d'alimentation change, comment cela affecte-t-il les réactances, l'impédance, le courant et les puissances dans le circuit RLC série ?

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