Analyse d'un Circuit RL avec Solénoïde

Vous êtes un ingénieur en électronique travaillant sur la conception d’un circuit de commande pour un moteur électrique. Le circuit inclut un solénoïde utilisé pour activer un relais. Pour assurer le bon fonctionnement du relais et éviter des pics de tension qui pourraient endommager d’autres composants, vous devez analyser le comportement de l’inductance du solénoïde lorsqu’il est alimenté par une source de tension continue.

Données fournies

Longueur du solénoïde : $l = 30 \, \text{cm} = 0.3 \, \text{m}$
Diamètre du solénoïde : $d = 2 \, \text{cm} = 0.02 \, \text{m}$
Nombre total de spires : $N = 1000 \, \text{spires}$
Perméabilité du vide : $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}$
Résistance du solénoïde : $R = 12 \, \Omega$
Tension de la source : $V = 12 \, \text{V}$

Schéma du circuit RL série avec interrupteur.

Questions

Calculer l’inductance du solénoïde ($L$) : Utilisez la formule de l’inductance d’un solénoïde long ($L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$) pour calculer son inductance.
Analyser le comportement du circuit RL : Déterminez la constante de temps $\tau$ du circuit.
Simuler la réponse du circuit : Calculez la tension aux bornes de l’inductance ($v_L(t)$) et le courant dans le circuit ($i(t)$) à $t=0$, $t=\tau$, $t=3\tau$, et $t=5\tau$ après la fermeture de l’interrupteur.

Correction : Analyse d’un Circuit RL avec Solénoïde

1. Calcul de l'Inductance du Solénoïde ($L$)

L'inductance $L$ d'un solénoïde long (où la longueur $l$ est grande devant le rayon) est donnée par la formule : \[ L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l} \] où $\mu_0$ est la perméabilité du vide, $N$ est le nombre total de spires, $l$ est la longueur du solénoïde, et $A$ est l'aire de la section transversale. L'aire $A$ d'un cercle de diamètre $d$ (rayon $r=d/2$) est $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$.

Données pour cette étape

$l = 0.3 \, \text{m}$
$d = 0.02 \, \text{m}$ (donc $r = 0.01 \, \text{m}$)
$N = 1000 \, \text{spires}$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}$

Calculs

Calcul de l'aire de la section $A$ :

A = \pi r^2 \] \[ A = \pi (0.01 \, \text{m})^2 \] \[ A = \pi \times 10^{-4} \, \text{m}^2 \] \[ A \approx 3.1416 \times 10^{-4} \, \text{m}^2

Calcul de l'inductance $L$ :

\begin{aligned} L &= \frac{\mu_0 N^2 A}{l} \\ L &= \frac{(4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}) \times (1000)^2 \times (\pi \times 10^{-4} \, \text{m}^2)}{0.3 \, \text{m}} \\ L &= \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (10^6) \times (\pi \times 10^{-4})}{0.3} \, \text{H} \\ L &= \frac{4\pi^2 \times 10^{-5}}{0.3} \, \text{H} \\ L &\approx \frac{4 \times (3.1416)^2 \times 10^{-5}}{0.3} \, \text{H} \\ L &\approx \frac{39.478 \times 10^{-5}}{0.3} \, \text{H} \\ L &\approx 131.59 \times 10^{-5} \, \text{H} \approx 1.316 \times 10^{-3} \, \text{H} \end{aligned}

Convertissons en millihenrys (mH) : $1 \, \text{H} = 1000 \, \text{mH}$.

L \approx 1.316 \, \text{mH}

Résultat

L'inductance calculée du solénoïde est $L \approx 1.32 \, \text{mH}$.

2. Constante de Temps du Circuit RL ($\tau$)

La constante de temps $\tau$ d'un circuit RL série est le temps caractéristique de l'établissement du courant. Elle est donnée par le rapport de l'inductance $L$ sur la résistance $R$. \[ \tau = \frac{L}{R} \]

Données pour cette étape

Inductance : $L \approx 1.316 \times 10^{-3} \, \text{H}$ (calculée à l'étape 1)
Résistance : $R = 12 \, \Omega$

Calcul

\begin{aligned} \tau &= \frac{L}{R} \\ \tau &\approx \frac{1.316 \times 10^{-3} \, \text{H}}{12 \, \Omega} \\ \tau &\approx 0.1097 \times 10^{-3} \, \text{s} \end{aligned}

Convertissons en microsecondes ($\mu s$) : $1 \, \text{s} = 10^6 \, \mu\text{s}$.

\tau \approx 0.1097 \times 10^{-3} \times 10^6 \, \mu\text{s} \approx 109.7 \, \mu\text{s}

Résultat

La constante de temps du circuit RL est $\tau \approx 110 \, \mu\text{s}$.

3. Simulation de la Réponse du Circuit (Charge)

Lorsque l'interrupteur est fermé à $t=0$, le courant $i(t)$ dans le circuit RL série alimenté par une tension continue $V$ augmente exponentiellement vers sa valeur finale ($V/R$), et la tension aux bornes de l'inductance $v_L(t)$ diminue exponentiellement depuis sa valeur initiale ($V$) vers zéro. Les équations sont : \[ i(t) = \frac{V}{R} (1 - e^{-t/\tau}) \] \[ v_L(t) = L \frac{di}{dt} = V e^{-t/\tau} \] Nous calculons ces valeurs pour $t=0$, $t=\tau$, $t=3\tau$, et $t=5\tau$.

Données pour cette étape

Tension source : $V = 12 \, \text{V}$
Résistance : $R = 12 \, \Omega$
Constante de temps : $\tau \approx 0.1097 \times 10^{-3} \, \text{s}$
Courant final : $I_{final} = V/R = 12 \, \text{V} / 12 \, \Omega = 1 \, \text{A}$

Calculs

À $t=0$ : $i(0) = \frac{V}{R} (1 - e^{0}) \] \[ i(0) = \frac{V}{R} (1 - 1) \] \[ i(0) = 0 \, \text{A}$ $v_L(0) = V e^{0} \] \[ v_L(0) = V \] \[ v_L(0) = 12 \, \text{V}$
À $t=\tau$ : ($e^{-1} \approx 0.368$) $i(\tau) = \frac{V}{R} (1 - e^{-1}) \] \[ i(\tau) \approx 1 \, \text{A} \times (1 - 0.368) \] \[ i(\tau) = 0.632 \, \text{A}$ $v_L(\tau) = V e^{-1} \] \[ v_L(\tau) \approx 12 \, \text{V} \times 0.368\] \[ v_L(\tau) = 4.416 \, \text{V}$
À $t=3\tau$ : ($e^{-3} \approx 0.0498$) $i(3\tau) = \frac{V}{R} (1 - e^{-3}) \] \[ i(3\tau) \approx 1 \, \text{A} \times (1 - 0.0498) \] \[ i(3\tau) = 0.9502 \, \text{A}$ $v_L(3\tau) = V e^{-3} \] \[ v_L(3\tau) \approx 12 \, \text{V} \times 0.0498 \] \[ v_L(3\tau) = 0.598 \, \text{V}$
À $t=5\tau$ : ($e^{-5} \approx 0.0067$) $i(5\tau) = \frac{V}{R} (1 - e^{-5}) \] \[ i(5\tau) \approx 1 \, \text{A} \times (1 - 0.0067) \] \[ i(5\tau) = 0.9933 \, \text{A}$ $v_L(5\tau) = V e^{-5}\]\[ v_L(5\tau) \approx 12 \, \text{V} \times 0.0067 \]\[ v_L(5\tau) = 0.080 \, \text{V}$

Résultats (Simulation)

Les valeurs approximatives du courant et de la tension aux bornes de l'inductance sont :

À $t=0$ : $i = 0 \, \text{A}$, $v_L = 12 \, \text{V}$
À $t=\tau \approx 110 \, \mu s$ : $i \approx 0.63 \, \text{A}$, $v_L \approx 4.4 \, \text{V}$
À $t=3\tau \approx 330 \, \mu s$ : $i \approx 0.95 \, \text{A}$, $v_L \approx 0.6 \, \text{V}$
À $t=5\tau \approx 550 \, \mu s$ : $i \approx 0.99 \, \text{A}$, $v_L \approx 0.08 \, \text{V}$

On observe que le courant atteint environ 63% de sa valeur finale après une constante de temps ($\tau$), et est très proche de sa valeur finale (plus de 99%) après 5 constantes de temps. Inversement, la tension aux bornes de l'inductance chute rapidement et devient très faible après $5\tau$.

Analyse d’un Circuit RL avec Solénoïde