Analyse d’un Signal Modulé et Échantillonné

L'expression du signal est $m(t)=A_p[1+m_a\cos (2\pi f_{s}t)]\cos (2\pi f_{p}t)$. Par identification avec $m(t)=5[1+0.4\cos (2000\pi t)]\cos (20000\pi t)$.

Le terme de la porteuse est $\cos (2\pi f_{p}t)$. Dans l'expression donnée, c'est $\cos (20000\pi t)$.

On a $2\pi f_{p}t=20000\pi t$. Donc :

Le terme du signal modulant est $\cos (2\pi f_{s}t)$. Dans l'expression donnée, c'est $\cos (2000\pi t)$.

On a $2\pi f_{s}t=2000\pi t$. Donc :

Un signal AM $A_p[1+m_a\cos (2\pi f_{s}t)]\cos (2\pi f_{p}t)$ peut être développé en utilisant la formule trigonométrique $\cos (a)\cos (b)=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]$.

$m(t)=A_p\cos (2\pi f_{p}t)+A_p{m}_a\cos (2\pi f_{s}t)\cos (2\pi f_{p}t)$

$m(t)=A_p\cos (2\pi f_{p}t)+\frac{A_p{m}_a}{2}[\cos (2\pi (f_p-f_s)t)+\cos (2\pi (f_p+f_s)t)]$

Les fréquences présentes sont donc $f_p$, $f_p-f_s$, et $f_p+f_s$.

Données :
$f_p=10\text{ kHz}$
$f_s=1\text{ kHz}$

• Fréquence de la porteuse : $f_p=10\text{ kHz}$
• Bande latérale inférieure : $f_p-f_s=10\text{ kHz}-1\text{ kHz}=9\text{ kHz}$
• Bande latérale supérieure : $f_p+f_s=10\text{ kHz}+1\text{ kHz}=11\text{ kHz}$

La fréquence maximale $f_{max}$ est la plus haute fréquence présente dans le spectre du signal.

D'après les fréquences calculées à l'étape 4, la plus élevée est $f_p+f_s$.

Selon le théorème de Nyquist-Shannon, $f_e>2f_{max}$.

Données :
$f_{max}=11\text{ kHz}$

On compare la fréquence d'échantillonnage $f_e^{\prime }$ à la condition de Nyquist ($2f_{max}$).

Données :
$f_e^{\prime }=20\text{ kHz}$
$f_{max}=11\text{ kHz}$

La condition de Nyquist est $f_e>2f_{max}$, soit $f_e>2\times 11\text{ kHz}=22\text{ kHz}$.

Puisque $f_e^{\prime }=20\text{ kHz}$ et que $20\text{ kHz}<22\text{ kHz}$, la condition de Nyquist n'est pas respectée.

Réponses Correctes :

Question 1 : b) La fréquence de la porteuse.

Question 2 : b) Supérieure à $2f_{max}$.

Question 3 : b) La fréquence d'échantillonnage est trop faible par rapport à $f_{max}$.

Question 4 : c) $f_p$, $f_p-f_s$, et $f_p+f_s$.

Modulation d'Amplitude (AM) :

Technique de modulation où l'amplitude d'une onde porteuse est variée en fonction du signal d'information (modulant).

Signal Porteur (Porteuse) :

Onde (généralement sinusoïdale) de haute fréquence utilisée pour transporter l'information.

Signal Modulant :

Signal contenant l'information à transmettre (ex: signal audio, vidéo).

Spectre d'un Signal :

Représentation des différentes composantes fréquentielles d'un signal.

Fréquence Maximale ($f_{max}$) :

La plus haute fréquence significative présente dans le spectre d'un signal.

Échantillonnage :

Processus de conversion d'un signal continu en un signal discret en prélevant des valeurs (échantillons) à des instants réguliers.

Fréquence d'Échantillonnage ($f_e$) :

Nombre d'échantillons prélevés par seconde.

Théorème de Nyquist-Shannon :

Théorème fondamental de l'échantillonnage qui stipule que $f_e>2f_{max}$ pour éviter la perte d'information.

Repliement de Spectre (Aliasing) :

Phénomène de distorsion qui se produit lorsqu'un signal est échantillonné à une fréquence inférieure à deux fois sa fréquence maximale, faisant apparaître des fréquences erronées dans le signal échantillonné.