Analyse d'un Signal Modulé et Échantillonné

Contexte : Du monde analogique au monde numérique.

La quasi-totalité des informations que nous traitons aujourd'hui sont numériques. Pourtant, le monde physique qui nous entoure (son, lumière, température) est analogique. Le traitement du signal est la science qui permet de faire le pont entre ces deux mondes. Deux étapes fondamentales de ce processus sont la modulationProcessus par lequel une caractéristique d'une onde porteuse (haute fréquence) est modifiée en fonction d'un signal d'information (basse fréquence) pour faciliter sa transmission., qui permet de transmettre un signal sur de longues distances, et l'échantillonnageProcessus de conversion d'un signal analogique continu en un signal discret en mesurant son amplitude à des intervalles de temps réguliers., qui le numérise pour qu'il puisse être traité par un ordinateur.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous fera voyager à travers la chaîne de traitement d'un signal. Nous analyserons d'abord son contenu fréquentiel (son "ADN" spectral), puis nous verrons comment la modulation déplace ce contenu vers de plus hautes fréquences. Enfin, nous aborderons la question cruciale de l'échantillonnage : à quelle vitesse faut-il "photographier" le signal pour ne perdre aucune information ? La réponse se trouve dans le célèbre théorème de Nyquist-Shannon.

Objectifs Pédagogiques

Déterminer le spectre d'un signal modulé en amplitude.
Appliquer le théorème de Nyquist-Shannon pour déterminer une fréquence d'échantillonnage valide.
Identifier et expliquer le phénomène de repliement de spectre (aliasing).
Calculer les fréquences apparentes d'un signal sous-échantillonné.
Comprendre l'importance du filtrage anti-repliement.

Données de l'étude

On souhaite numériser un signal audio. Le signal, \(s(t)\), est d'abord modulé en amplitude avant d'être échantillonné par un convertisseur analogique-numérique (CAN).

Signaux et Paramètres

Signal Informatif \(s(t)\) : Un signal sinusoïdal pur de fréquence \(f_m = 4 \, \text{kHz}\).
Porteuse \(p(t)\) : Un signal sinusoïdal de fréquence \(f_p = 50 \, \text{kHz}\) utilisé pour la modulation.
Signal Modulé \(x(t)\) : Le signal informatif module en amplitude la porteuse (Modulation d'Amplitude à Double Bande Latérale Sans Porteuse, DSB-SC). L'expression du signal modulé est \(x(t) = s(t) \times p(t)\).
Échantillonnage : Le signal modulé \(x(t)\) est ensuite échantillonné à une fréquence \(f_e = 90 \, \text{kHz}\).

Schéma de la Chaîne de Traitement

Questions à traiter

Déterminer les fréquences présentes dans le spectre du signal modulé \(x(t)\).
Quelle est la fréquence de Nyquist du signal \(x(t)\) ? La condition de Shannon est-elle respectée par l'échantillonnage à \(f_e = 90 \, \text{kHz}\) ?
Si, par erreur, on échantillonnait le signal à \(f_e' = 60 \, \text{kHz}\), quelles seraient les fréquences apparentes (repliées) dans le signal numérique ?
Pour éviter le repliement de spectre, quelle devrait être la fréquence de coupure maximale d'un filtre "anti-repliement" idéal placé avant l'échantillonneur à 60 kHz ?

Les bases du Traitement du Signal

Pour aborder cet exercice, il faut maîtriser quelques concepts clés de l'électricité et des télécommunications.

1. Modulation d'Amplitude :
Multiplier deux signaux sinusoïdaux dans le temps est une opération fondamentale. Si \(s(t) = \cos(2\pi f_m t)\) et \(p(t) = \cos(2\pi f_p t)\), leur produit \(x(t)\) peut être simplifié grâce à une identité trigonométrique : \(\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\cos(a-b) + \cos(a+b)]\). Ainsi, le spectre du signal de sortie ne contient plus les fréquences originales \(f_m\) et \(f_p\), mais deux nouvelles fréquences : \(f_p - f_m\) (bande latérale inférieure) et \(f_p + f_m\) (bande latérale supérieure).

2. Théorème de Nyquist-Shannon :
Ce théorème est la pierre angulaire de la numérisation. Il stipule que pour pouvoir reconstruire parfaitement un signal analogique à partir de ses échantillons, la fréquence d'échantillonnage (\(f_e\)) doit être strictement supérieure à deux fois la fréquence maximale (\(f_{\text{max}}\)) contenue dans le signal. Cette fréquence limite, \(2 \times f_{\text{max}}\), est appelée la fréquence de Nyquist. La condition est donc : \(f_e > 2 f_{\text{max}}\).

3. Le Repliement de Spectre (Aliasing) :
Si la condition de Shannon n'est pas respectée (\(f_e \le 2 f_{\text{max}}\)), un phénomène destructeur appelé "repliement de spectre" se produit. Les hautes fréquences du signal original, mal échantillonnées, se "déguisent" en basses fréquences dans le signal numérique. Une fréquence \(f\) supérieure à \(f_e/2\) apparaîtra comme une fausse fréquence (un "alias") à la position \(|f - k \cdot f_e|\), où k est un entier. Une fois ce repliement produit, il est impossible de distinguer la vraie fréquence de la fausse.

Correction : Analyse d’un Signal Modulé et Échantillonné

Question 1 : Spectre du signal modulé

Principe (le concept physique)

La modulation par multiplication dans le domaine temporel correspond à une opération de convolution dans le domaine fréquentiel. Concrètement, cela signifie que le spectre du signal original (centré autour de 0 Hz) va être dupliqué et translaté pour être centré autour de la fréquence de la porteuse.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La transformée de Fourier est l'outil mathématique qui permet de passer du domaine temporel au domaine fréquentiel. Une propriété fondamentale de cette transformée est que la multiplication de deux signaux dans le temps, \(x(t) = s(t) \cdot p(t)\), devient une convolution de leurs spectres dans la fréquence : \(X(f) = S(f) * P(f)\). Pour des sinusoïdes, dont les spectres sont des pics (des impulsions de Dirac), la convolution se résume à une translation de ces pics.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Même sans maîtriser la transformée de Fourier, l'identité trigonométrique \(\cos(a)\cos(b)\) est la clé pour comprendre intuitivement ce qui se passe. La multiplication crée une somme et une différence de fréquences. C'est le cœur de la modulation d'amplitude.

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour une modulation DSB-SC (multiplication pure), il suffit de prendre la fréquence de la porteuse et d'y ajouter et soustraire la fréquence du signal modulant pour trouver les deux seules fréquences présentes dans le signal de sortie.

Normes (la référence réglementaire)

Les plans de fréquences alloués par les organismes de régulation (comme l'UIT) sont basés sur ce principe de modulation. Chaque station de radio AM ou FM se voit attribuer une fréquence porteuse, et son signal (musique, voix) est modulé autour de cette fréquence, occupant une bande latérale définie par la norme.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les signaux \(s(t)\) et \(p(t)\) sont des sinusoïdes parfaites, sans distorsion ni bruit, et que le multiplieur est également parfait.

Formule(s) (l'outil mathématique)

En utilisant l'identité trigonométrique pour \(x(t) = \cos(2\pi f_m t) \times \cos(2\pi f_p t)\) :

x(t) = \frac{1}{2}\left[ \cos(2\pi(f_p - f_m)t) + \cos(2\pi(f_p + f_m)t) \right]

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Fréquence du signal informatif, \(f_m = 4 \, \text{kHz}\)
Fréquence de la porteuse, \(f_p = 50 \, \text{kHz}\)

Schéma (Avant les calculs)

Spectres des Signaux d'Entrée

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la fréquence de la bande latérale inférieure (BLI) :

\begin{aligned} f_{\text{BLI}} &= f_p - f_m \\ &= 50 \, \text{kHz} - 4 \, \text{kHz} \\ &= 46 \, \text{kHz} \end{aligned}

2. Calcul de la fréquence de la bande latérale supérieure (BLS) :

\begin{aligned} f_{\text{BLS}} &= f_p + f_m \\ &= 50 \, \text{kHz} + 4 \, \text{kHz} \\ &= 54 \, \text{kHz} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Spectre du Signal Modulé x(t)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le signal original, qui était à basse fréquence (4 kHz), a été entièrement translaté dans la bande des hautes fréquences, autour de 50 kHz. C'est le but de la modulation : déplacer l'information vers une fréquence plus adaptée à la transmission par antenne.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La modulation d'amplitude par multiplication (DSB-SC) d'un signal de fréquence \(f_m\) par une porteuse de fréquence \(f_p\) crée deux nouvelles fréquences : \(f_p - f_m\) et \(f_p + f_m\).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre ce type de modulation (DSB-SC) avec la modulation d'amplitude standard (AM), où la porteuse est également présente dans le signal final. Dans notre cas, les fréquences \(f_m\) et \(f_p\) ont disparu et ont été remplacées par les bandes latérales.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La radio AM utilise une modulation d'amplitude avec porteuse. La présence de la porteuse, qui consomme une grande partie de la puissance d'émission, simplifie grandement la conception des récepteurs radio (démodulation par détection d'enveloppe), ce qui a contribué à leur démocratisation au début du 20ème siècle.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le spectre du signal modulé \(x(t)\) est composé de deux fréquences : 46 kHz et 54 kHz.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la fréquence de la porteuse était de 100 kHz, quelles seraient les nouvelles fréquences du signal modulé ?

Les fréquences seraient 100 - 4 = 96 kHz et 100 + 4 = 104 kHz.

Question 2 : Fréquence de Nyquist et respect de la condition de Shannon

Principe (le concept physique)

Pour capturer correctement une vague qui ondule, il faut la prendre en photo suffisamment souvent. Si on ne prend pas assez de photos, on risque de mal interpréter sa vitesse et sa forme. Le théorème de Shannon nous donne la règle d'or : il faut prendre au moins deux "photos" (échantillons) par cycle de la plus haute fréquence présente dans le signal pour être sûr de ne rien manquer.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La fréquence maximale du signal \(x(t)\) est \(f_{\text{max}} = f_p + f_m\). La fréquence de Nyquist, qui est la fréquence d'échantillonnage minimale théorique, est définie comme \(f_{\text{Nyquist}} = 2 \times f_{\text{max}}\). La condition de Shannon impose de choisir une fréquence d'échantillonnage \(f_e\) strictement supérieure à cette valeur : \(f_e > f_{\text{Nyquist}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La première étape est toujours d'identifier la plus haute fréquence dans le signal que l'on veut échantillonner. Toutes les autres fréquences, étant plus basses, seront automatiquement échantillonnées correctement si la condition est respectée pour la plus haute.

Astuces (Pour aller plus vite)

Ne confondez pas la fréquence de Nyquist (\(2f_{\text{max}}\)) avec la "bande de Nyquist" ou "zone de Nyquist" (\(f_e/2\)). La première est une propriété du signal, la seconde une propriété de l'échantillonneur. La condition de Shannon dit simplement que la première doit être inférieure à la fréquence d'échantillonnage.

Normes (la référence réglementaire)

Le choix de la fréquence d'échantillonnage de 44.1 kHz pour les CD audio n'est pas un hasard. L'oreille humaine entend jusqu'à environ 20 kHz. La fréquence maximale à enregistrer est donc \(f_{\text{max}} \approx 20 \, \text{kHz}\). La fréquence de Nyquist est \(2 \times 20 = 40 \, \text{kHz}\). La norme a choisi 44.1 kHz pour se donner une marge de sécurité et permettre aux filtres de fonctionner correctement.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le signal \(x(t)\) ne contient aucune autre composante fréquentielle en dehors des deux bandes latérales calculées précédemment.

Formule(s) (l'outil mathématique)

f_{\text{max}} = \max(\text{fréquences dans } x(t))

f_{\text{Nyquist}} = 2 \times f_{\text{max}}

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Fréquences dans \(x(t)\) : 46 kHz et 54 kHz (de la Q1)
Fréquence d'échantillonnage, \(f_e = 90 \, \text{kHz}\)

Schéma (Avant les calculs)

Spectre à Échantillonner

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Déterminer la fréquence maximale du signal \(x(t)\) :

f_{\text{max}} = 54 \, \text{kHz}

2. Calculer la fréquence de Nyquist :

\begin{aligned} f_{\text{Nyquist}} &= 2 \times f_{\text{max}} \\ &= 2 \times 54 \, \text{kHz} \\ &= 108 \, \text{kHz} \end{aligned}

3. Comparer avec la fréquence d'échantillonnage :

f_e = 90 \, \text{kHz} \quad \text{et} \quad f_{\text{Nyquist}} = 108 \, \text{kHz}

Puisque \(90 \, \text{kHz} < 108 \, \text{kHz}\), la condition de Shannon (\(f_e > f_{\text{Nyquist}}\)) n'est pas respectée.

Schéma (Après les calculs)

Condition de Shannon Non Respectée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le choix d'une fréquence d'échantillonnage de 90 kHz est insuffisant pour numériser correctement un signal contenant des fréquences jusqu'à 54 kHz. En conséquence, le signal numérique sera corrompu par du repliement de spectre. La fréquence de 54 kHz sera perçue par le système numérique comme une fréquence plus basse, et l'information originale sera perdue.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La condition de Shannon \(f_e > 2 f_{\text{max}}\) est la règle la plus importante de l'échantillonnage. La violer entraîne une perte d'information irréversible.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur courante est d'utiliser la fréquence de la porteuse \(f_p\) comme \(f_{\text{max}}\). Il faut utiliser la fréquence la plus élevée réellement présente dans le signal, qui est la bande latérale supérieure \(f_p + f_m\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En imagerie numérique, le repliement de spectre est visible sous forme de motifs de moiré. C'est ce qui se passe quand on photographie un écran d'ordinateur ou un tissu à fines rayures : les motifs périodiques de l'image interagissent avec le motif périodique des pixels du capteur, créant des motifs parasites qui n'existent pas dans la réalité.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La fréquence de Nyquist du signal est de 108 kHz. La fréquence d'échantillonnage de 90 kHz ne respecte pas la condition de Shannon.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la fréquence d'échantillonnage minimale (en pratique) que vous choisiriez pour ce signal ?

Une valeur supérieure à 108 kHz. Par exemple, 110 kHz ou 120 kHz pour avoir une marge.

Question 3 : Fréquences repliées (Aliasing)

Principe (le concept physique)

Lorsqu'on échantillonne trop lentement, les hautes fréquences se "reflètent" autour de "miroirs" placés à des multiples de la moitié de la fréquence d'échantillonnage (\(f_e/2\)). Une fréquence qui dépasse ce miroir va apparaître de l'autre côté, à une position plus basse. C'est comme si elle portait un "masque" ou un "alias" pour se faire passer pour une fréquence plus basse.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le spectre d'un signal échantillonné est une répétition périodique du spectre du signal original, centrée sur chaque multiple de la fréquence d'échantillonnage (\(0, \pm f_e, \pm 2f_e, \dots\)). Si \(f_e < 2f_{\text{max}}\), ces répétitions se chevauchent. La fréquence \(f_{\text{max}}\) du spectre centré en 0 se retrouve "mélangée" avec la fréquence \(-f_{\text{max}}\) du spectre centré en \(f_e\). La fréquence apparente \(f_a\) d'une fréquence originale \(f\) est la valeur absolue de la différence entre \(f\) et le multiple de \(f_e\) le plus proche : \(f_a = |f - k \cdot f_e|\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez une ligne graduée. Placez vos fréquences originales (46 et 54 kHz). Placez la fréquence d'échantillonnage (60 kHz). La "zone de confiance" va de 0 à 30 kHz (\(f_e/2\)). Toute fréquence en dehors de cette zone sera repliée. Pour trouver la fréquence repliée, calculez simplement la distance entre votre fréquence et le multiple de 60 kHz le plus proche.

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour une fréquence \(f\) comprise entre \(f_e/2\) et \(f_e\), la fréquence repliée est simplement \(f_a = f_e - f\). C'est le cas le plus courant de repliement.

Normes (la référence réglementaire)

En audio numérique, le phénomène d'aliasing peut créer des artefacts sonores très désagréables (sons inharmoniques). Les convertisseurs audio professionnels utilisent des fréquences d'échantillonnage élevées (96 kHz, 192 kHz) et des filtres très performants pour repousser tout repliement potentiel bien au-delà de la bande audible.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose un échantillonnage idéal (impulsions de Dirac parfaites) et on ne s'intéresse qu'aux fréquences et non aux amplitudes après repliement.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une fréquence \(f > f_e/2\), la principale fréquence alias est :

\[ f_a = |f - f_e| \]

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Fréquences originales : 46 kHz et 54 kHz
Nouvelle fréquence d'échantillonnage, \(f_e' = 60 \, \text{kHz}\)

Schéma (Avant les calculs)

Spectre Original et Zone de Nyquist

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Fréquence repliée de 46 kHz :

\begin{aligned} f_{a1} &= |46 \, \text{kHz} - 60 \, \text{kHz}| \\ &= |-14 \, \text{kHz}| \\ &= 14 \, \text{kHz} \end{aligned}

2. Fréquence repliée de 54 kHz :

\begin{aligned} f_{a2} &= |54 \, \text{kHz} - 60 \, \text{kHz}| \\ &= |-6 \, \text{kHz}| \\ &= 6 \, \text{kHz} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Spectre Replié (Aliasing)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le signal numérique ne contiendra pas les fréquences de 46 et 54 kHz, mais deux fausses fréquences à 6 et 14 kHz. Un analyseur de spectre placé après le convertisseur numérique croirait que le signal original était composé de ces deux basses fréquences. L'information sur la porteuse à 50 kHz et le signal à 4 kHz est complètement perdue et corrompue.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le non-respect de la condition de Shannon crée des fréquences "alias" qui n'existaient pas dans le signal original. Le repliement est une forme de distorsion qui ne peut pas être corrigée après l'échantillonnage.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La formule de repliement peut impliquer d'autres multiples de \(f_e\). Par exemple, une fréquence de 70 kHz serait repliée à \(|70 - 60| = 10\) kHz, mais une fréquence de 130 kHz serait repliée à \(|130 - 2 \times 60| = 10\) kHz également. Il faut toujours trouver le multiple de \(f_e\) le plus proche.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'effet stroboscopique qui donne l'impression que les roues d'une voiture tournent à l'envers dans un film est une forme d'aliasing temporel. La fréquence d'images du film (24 images/seconde) est trop faible pour échantillonner correctement la rotation rapide des rayons de la roue, créant une perception de mouvement erronée.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Avec un échantillonnage à 60 kHz, les fréquences de 46 kHz et 54 kHz apparaîtraient comme des fréquences alias à 14 kHz et 6 kHz, respectivement.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on échantillonnait à 100 kHz, quelle serait la fréquence apparente de la composante à 54 kHz ?

Question 4 : Filtre anti-repliement

Principe (le concept physique)

Puisqu'il est impossible de corriger le repliement après l'échantillonnage, la seule solution est de l'empêcher de se produire. Pour cela, on utilise un filtre passe-bas, appelé filtre anti-repliement, juste avant l'échantillonneur. Son rôle est de "couper" toutes les fréquences du signal analogique qui sont trop élevées pour être échantillonnées correctement, c'est-à-dire toutes celles qui dépassent la moitié de la fréquence d'échantillonnage.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Un filtre passe-bas idéal est un système qui laisse passer sans aucune altération toutes les fréquences inférieures à sa fréquence de coupure (\(f_c\)) et qui bloque complètement toutes les fréquences supérieures. Pour garantir l'absence de repliement, la fréquence de coupure de ce filtre doit être choisie de manière à ce que \(f_c \le f_e/2\). Ainsi, on est certain que le signal qui entre dans l'échantillonneur n'a plus de composante fréquentielle supérieure à \(f_e/2\), et la condition de Shannon est donc respectée de facto.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le filtre anti-repliement est un composant absolument essentiel de TOUTE chaîne d'acquisition numérique. Sans lui, il n'y a aucune garantie que le signal numérique soit une représentation fidèle de la réalité analogique. C'est le "garde du corps" de l'échantillonneur.

Astuces (Pour aller plus vite)

La fréquence de coupure maximale autorisée pour un filtre anti-repliement est toujours la moitié de la fréquence d'échantillonnage. Le calcul est direct : \(f_{c, \text{max}} = f_e / 2\).

Normes (la référence réglementaire)

Les fiches techniques des convertisseurs analogique-numérique (CAN) spécifient souvent les caractéristiques requises pour le filtre anti-repliement, notamment son ordre (la "raideur" de la coupure) pour garantir que les fréquences au-delà de \(f_e/2\) sont suffisamment atténuées pour ne pas causer d'aliasing significatif.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le filtre est "idéal", c'est-à-dire que sa transition entre la bande passante (où il laisse tout passer) et la bande coupée (où il bloque tout) est une "marche d'escalier" verticale. En réalité, les filtres ont une pente de coupure progressive.

Formule(s) (l'outil mathématique)

f_{c, \text{max}} = \frac{f_e}{2}

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Fréquence d'échantillonnage problématique, \(f_e' = 60 \, \text{kHz}\)

Schéma (Avant les calculs)

Position du Filtre Anti-Repliement

Calcul(s) (l'application numérique)

\begin{aligned} f_{c, \text{max}} &= \frac{60 \, \text{kHz}}{2} \\ &= 30 \, \text{kHz} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Action du Filtre sur le Spectre

Le filtre supprime les fréquences au-delà de 30 kHz avant l'échantillonnage.

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un filtre avec une fréquence de coupure à 30 kHz supprimerait complètement les deux composantes de notre signal à 46 et 54 kHz. Le signal à la sortie du filtre serait donc nul. Cela montre que la fréquence d'échantillonnage de 60 kHz est fondamentalement inadaptée pour ce signal particulier. Il ne suffit pas de filtrer, il faut que la bande passante du filtre soit compatible avec le signal que l'on souhaite conserver.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Un filtre anti-repliement est un filtre passe-bas placé avant un échantillonneur. Sa fréquence de coupure \(f_c\) doit impérativement être inférieure ou égale à la moitié de la fréquence d'échantillonnage (\(f_c \le f_e/2\)) pour garantir un échantillonnage sans erreur de repliement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier que le filtre anti-repliement est un compromis. En pratique, les filtres ne sont pas parfaits. On choisit souvent une fréquence d'échantillonnage un peu plus élevée que la fréquence de Nyquist (par exemple, \(f_e = 2.2 \times f_{\text{max}}\)) pour laisser une "bande de transition" au filtre pour qu'il puisse atténuer les fréquences indésirables sans affecter le signal utile.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La compression de musique (MP3, AAC) et d'images (JPEG) repose sur l'élimination des informations que nos sens perçoivent le moins bien. Pour l'audio, cela implique souvent de supprimer les très hautes fréquences, ce qui réduit la quantité de données à stocker et donc la taille du fichier, agissant comme une forme de filtrage numérique.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Pour un échantillonnage à 60 kHz, la fréquence de coupure maximale du filtre anti-repliement doit être de 30 kHz.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour un CD audio (\(f_e = 44.1\) kHz), quelle est la fréquence de coupure maximale théorique du filtre anti-repliement ?

Outil Interactif : Visualisation du Repliement de Spectre

Modifiez la fréquence d'échantillonnage et observez comment la fréquence apparente du signal change.

Paramètres d'Entrée

Fréquence du Signal Original (kHz) 54 kHz

Fréquence d'Échantillonnage (kHz) 90 kHz

Résultats

Condition de Shannon NON RESPECTÉE

Fréquence Apparente (kHz) 36.0 kHz

Le Saviez-Vous ?

La mission Voyager 1, lancée en 1977, communique toujours avec la Terre depuis l'espace interstellaire, à plus de 24 milliards de kilomètres. La puissance de son signal reçu sur Terre est infime (de l'ordre de \(10^{-21}\) Watts), bien inférieure à la puissance du bruit. Seules d'immenses antennes (le Deep Space Network) et des techniques de traitement de signal très sophistiquées permettent d'extraire les données de ce signal.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi module-t-on un signal avant de le transmettre ?

Il y a plusieurs raisons. Principalement, la taille d'une antenne efficace est inversement proportionnelle à la fréquence du signal. Transmettre un signal audio de 4 kHz directement nécessiterait une antenne de plusieurs kilomètres ! En le modulant sur une porteuse de 50 kHz (ou bien plus haut, en MHz ou GHz), on peut utiliser des antennes de taille raisonnable. La modulation permet aussi à plusieurs utilisateurs de partager le même support de transmission (l'air, un câble) sans se gêner, en utilisant des fréquences porteuses différentes (multiplexage fréquentiel).

Qu'est-ce que la quantification, l'étape qui suit l'échantillonnage ?

L'échantillonnage discrétise le temps, mais l'amplitude de chaque échantillon est encore une valeur analogique. La quantification est le processus qui discrétise l'amplitude. On arrondit la valeur de chaque échantillon à la valeur la plus proche sur une échelle prédéfinie (par exemple, 65536 niveaux pour un signal 16 bits). Cette étape introduit une petite erreur, appelée bruit de quantification, mais elle est nécessaire pour pouvoir représenter le signal par une suite de 0 et de 1.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un signal a une fréquence maximale de 15 kHz. Quelle est la fréquence d'échantillonnage minimale requise pour éviter le repliement de spectre ?

15 kHz
30 kHz
Strictement supérieure à 30 kHz

2. Si on échantillonne un signal de 12 kHz avec une fréquence d'échantillonnage de 15 kHz, quelle sera la principale fréquence alias ?

3 kHz
7.5 kHz
27 kHz

Spectre: Représentation d'un signal dans le domaine fréquentiel, montrant les différentes fréquences qui le composent et leur amplitude respective.
Modulation: Processus consistant à modifier une onde porteuse haute fréquence en fonction d'un signal d'information basse fréquence pour en faciliter la transmission.
Échantillonnage: Processus de conversion d'un signal analogique continu en un signal discret en mesurant son amplitude à des intervalles de temps réguliers.
Théorème de Nyquist-Shannon: Théorème fondamental stipulant que la fréquence d'échantillonnage doit être au moins deux fois supérieure à la fréquence maximale du signal pour éviter la perte d'information.
Repliement de Spectre (Aliasing): Effet de distorsion indésirable où les hautes fréquences d'un signal sous-échantillonné apparaissent comme de fausses basses fréquences dans le signal numérisé.