Atténuation du Bruit dans un Réseau
Contexte : La pureté du signal, un enjeu majeur en Électronique.
En traitement du signal, la capacité à isoler une information utile d'un bruit parasite est fondamentale. Que ce soit pour lire la donnée d'un capteur, transmettre un signal audio ou assurer une communication sans fil fiable, le bruit est un ennemi constant. Les filtres électroniques sont les outils de prédilection pour "nettoyer" ces signaux. Le filtre passe-bas du premier ordreCircuit qui laisse passer les basses fréquences (inférieures à sa fréquence de coupure) et atténue les hautes fréquences. Le modèle le plus simple est le circuit RC., constitué d'une simple résistance (R) et d'un condensateur (C), est le filtre le plus simple et le plus répandu pour éliminer les bruits haute fréquence. Cet exercice vous guidera dans le dimensionnement et l'analyse d'un tel filtre pour une application concrète.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre comment des concepts théoriques (impédance, fonction de transfert, diagramme de Bode) s'appliquent directement à un problème d'ingénierie pratique. Nous allons utiliser les caractéristiques de notre signal et du bruit pour calculer les composants d'un filtre et vérifier son efficacité. C'est la démarche de base de tout ingénieur électronicien confronté à un problème de filtrage.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la fréquence de coupure d'un filtre RC passe-bas.
- Déterminer le gain d'un filtre à une fréquence donnée, en linéaire et en décibels (dB).
- Calculer l'amplitude d'un signal sinusoïdal en sortie d'un filtre.
- Quantifier l'amélioration du rapport signal/bruit (SNR) apportée par le filtre.
- Se familiariser avec les unités et ordres de grandeur en électronique (kΩ, nF, Hz, dB).
Données de l'étude
Schéma du filtre passe-bas RC
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance | \(R\) | 10 | \(\text{k}\Omega\) |
| Condensateur | \(C\) | 100 | \(\text{nF}\) |
| Tension utile (signal) | \(V_{\text{signal}}\) | 2.5 | \(\text{V}\) |
| Amplitude du bruit | \(V_{\text{bruit}}\) | 0.5 | \(\text{V}\) |
| Fréquence du bruit | \(f_{\text{bruit}}\) | 5000 | \(\text{Hz}\) |
Questions à traiter
- Calculer la fréquence de coupure à -3 dB, notée \(f_c\), du filtre RC.
- Calculer le gain \(G\) du filtre à la fréquence du bruit \(f_{\text{bruit}}\), puis l'exprimer en décibels (dB).
- Déterminer l'amplitude de la tension de bruit en sortie du filtre, \(V_{\text{bruit\_sortie}}\).
- Calculer le rapport signal/bruit (SNR) en dB en entrée et en sortie, et en déduire l'amélioration apportée par le filtre.
Les bases du Filtrage RC
Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés des filtres passe-bas.
1. La Fréquence de Coupure (\(f_c\)) :
C'est la fréquence à laquelle le filtre commence à atténuer significativement le signal. Pour un filtre RC, elle est définie comme la fréquence où la puissance du signal de sortie est la moitié de celle du signal d'entrée. Cela correspond à une atténuation de l'amplitude d'un facteur \(\sqrt{2}\), soit -3 dB. Elle se calcule par :
\[ f_c = \frac{1}{2\pi RC} \]
2. La Fonction de Transfert et le Gain :
La fonction de transfert \(H(j\omega)\) décrit comment le filtre modifie l'amplitude et la phase d'un signal sinusoïdal. Le gain \(G\) est le module de cette fonction. Pour un filtre RC passe-bas, il vaut :
\[ G(f) = |H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (f/f_c)^2}} \]
Le gain en décibels (dB) est \(G_{\text{dB}} = 20 \cdot \log_{10}(G)\).
3. Le Rapport Signal/Bruit (SNR) :
Le SNR (Signal-to-Noise Ratio) est une mesure qui compare le niveau d'un signal désiré à celui du bruit de fond. Il est souvent exprimé en décibels. Un SNR élevé indique un signal "propre".
\[ \text{SNR}_{\text{dB}} = 20 \cdot \log_{10}\left(\frac{V_{\text{signal}}}{V_{\text{bruit}}}\right) \]
Un bon filtre augmente significativement le SNR.
Correction : Atténuation du Bruit dans un Réseau
Question 1 : Calculer la fréquence de coupure (\(f_c\))
Principe (le concept physique)
La fréquence de coupure est la "frontière" du filtre. En dessous de cette fréquence, les signaux passent presque sans atténuation. Au-dessus, ils sont de plus en plus affaiblis. Cette fréquence est déterminée par les valeurs de la résistance et du condensateur. Le condensateur agit comme un court-circuit pour les hautes fréquences, les déviant vers la masse et les empêchant d'atteindre la sortie.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La fréquence de coupure est définie comme la pulsation \(\omega_c\) pour laquelle la partie réelle et la partie imaginaire du dénominateur de la fonction de transfert \(H(j\omega) = 1 / (1 + jRC\omega)\) sont égales. Cela se produit lorsque \(RC\omega_c = 1\), ce qui mène à \(\omega_c = 1/RC\). Comme \(\omega = 2\pi f\), on obtient la formule bien connue \(f_c = 1/(2\pi RC)\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pour mémoriser la formule, pensez au "temps caractéristique" du circuit, \(\tau = RC\). La fréquence de coupure est inversement proportionnelle à ce temps. Un temps long (R et C grands) signifie que le circuit réagit lentement et coupe donc les basses fréquences. Un temps court (R et C petits) signifie une réaction rapide et une coupure à plus haute fréquence.
Normes (la référence réglementaire)
La définition de la coupure à -3 dB est un standard universel en électronique et en traitement du signal pour les filtres du premier et du second ordre. Elle représente le point où le gain en amplitude est de \(1/\sqrt{2} \approx 0.707\).
Formule(s) (l'outil mathématique)
La fréquence de coupure \(f_c\) d'un filtre RC est donnée par :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les composants (résistance et condensateur) sont idéaux, sans parasites (inductance série, résistance parallèle, etc.).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Résistance, \(R = 10 \, \text{k}\Omega = 10 \times 10^3 \, \Omega\)
- Condensateur, \(C = 100 \, \text{nF} = 100 \times 10^{-9} \, \text{F}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Il est crucial de convertir toutes les unités dans le système international (Ohms, Farads, Hertz) avant le calcul pour éviter les erreurs. \(10 \, \text{k}\Omega = 10^4 \, \Omega\) et \(100 \, \text{nF} = 100 \times 10^{-9} = 10^{-7} \, \text{F}\). Le produit RC vaut donc \(10^4 \times 10^{-7} = 10^{-3} \, \text{s}\).
Schéma (Avant les calculs)
Réponse en Fréquence Attendue (Diagramme de Bode)
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule avec les valeurs en unités SI.
Schéma (Après les calculs)
Fréquence de Coupure Calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La fréquence de coupure est d'environ 159 Hz. Notre signal utile est continu (fréquence 0 Hz), il est donc bien en dessous de \(f_c\) et passera sans atténuation. Le bruit est à 5000 Hz, soit très au-dessus de \(f_c\). On s'attend donc à ce qu'il soit fortement atténué, ce qui est l'objectif recherché.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est l'oubli des préfixes (kilo, nano). Un calcul avec R=10 et C=100 donnerait un résultat complètement faux. Toujours convertir en unités de base (Ohm, Farad) avant de lancer le calcul. Ne pas oublier le facteur \(2\pi\) est aussi une erreur classique.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La fréquence de coupure \(f_c\) définit la bande passante du filtre.
- Pour un filtre passe-bas RC, \(f_c = 1/(2\pi RC)\).
- Augmenter R ou C diminue la fréquence de coupure (le filtre coupe "plus tôt").
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
En inversant la position de R et C, on obtient un filtre passe-haut. Le condensateur bloque alors les basses fréquences (DC) et ne laisse passer que les hautes fréquences. C'est un circuit fondamental utilisé par exemple pour supprimer une composante continue d'un signal audio (liaison AC).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si on utilisait un condensateur de 10 nF (10 fois plus petit), quelle serait la nouvelle fréquence de coupure en Hz ?
Question 2 : Calculer le gain à la fréquence du bruit
Principe (le concept physique)
Le gain d'un filtre mesure le rapport entre l'amplitude du signal de sortie et celle du signal d'entrée à une fréquence donnée. Pour un filtre passe-bas, le gain est proche de 1 (ou 0 dB) pour les très basses fréquences et tend vers 0 pour les très hautes fréquences. Nous allons calculer ce rapport précisément à la fréquence de notre bruit pour savoir à quel point il sera atténué.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La pente d'atténuation d'un filtre du premier ordre est de -20 dB par décade. Cela signifie que chaque fois que la fréquence est multipliée par 10 (au-dessus de \(f_c\)), le gain est divisé par 10 (soit -20 dB). Notre bruit à 5000 Hz est environ 31 fois plus élevé que \(f_c\) (159 Hz), soit environ 1.5 décades au-dessus. On peut donc s'attendre à une atténuation d'environ -30 dB.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le calcul en décibels est très pratique car il transforme les multiplications de gains en additions. C'est aussi plus représentatif de la perception humaine (par exemple pour le son). Un gain de -20 dB signifie que l'amplitude est 10 fois plus faible. Un gain de -40 dB signifie qu'elle est 100 fois plus faible.
Normes (la référence réglementaire)
L'utilisation des diagrammes de Bode (gain en dB et phase en degrés en fonction du logarithme de la fréquence) est la méthode standard pour représenter et analyser la réponse en fréquence de n'importe quel système linéaire, des filtres électroniques aux systèmes mécaniques.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Gain linéaire :
Gain en décibels :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Le système est supposé linéaire et invariant dans le temps (LTI), ce qui est le cas pour un circuit passif comme le filtre RC.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Fréquence du bruit, \(f_{\text{bruit}} = 5000 \, \text{Hz}\)
- Fréquence de coupure, \(f_c \approx 159.15 \, \text{Hz}\) (du calcul Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)
Le rapport \(f/f_c\) est la seule chose à calculer : \(5000 / 159.15 \approx 31.4\). Comme ce nombre est grand (>10), on peut utiliser l'approximation \(G(f) \approx f_c/f\). Cela donne \(159.15 / 5000 \approx 0.0318\), ce qui sera très proche du résultat exact.
Schéma (Avant les calculs)
Position du Bruit sur la Courbe de Gain
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calculer le gain linéaire :
2. Calculer le gain en dB :
Schéma (Après les calculs)
Atténuation à la Fréquence du Bruit
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Un gain de -30 dB signifie que l'amplitude du bruit est divisée par environ 31.8. C'est une atténuation très significative. Le filtre remplit donc bien son rôle de "suppresseur" de bruit haute fréquence. Notre estimation de -30 dB basée sur la pente de -20 dB/décade était très précise.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre le gain linéaire (un rapport sans unité, entre 0 et 1 ici) et le gain en dB (qui est négatif pour une atténuation). Vérifiez que votre calculatrice est bien en mode "log base 10" et non en logarithme népérien (ln) pour le calcul en dB.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le gain dépend fortement de la fréquence par rapport à \(f_c\).
- Pour \(f \gg f_c\), le gain d'un filtre RC est approximativement \(f_c/f\).
- L'atténuation est de -20 dB/décade pour un filtre du premier ordre.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Pour obtenir une atténuation plus "brutale" (par exemple -40 dB/décade), on met en cascade deux filtres du premier ordre pour créer un filtre du second ordre. C'est le principe des filtres plus complexes comme les filtres de Butterworth ou de Tchebychev, qui optimisent la forme de cette transition entre la bande passante et la bande coupée.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quel serait le gain en dB si le bruit était à 500 Hz (environ 3 fois \(f_c\)) ?
Question 3 : Déterminer l'amplitude du bruit en sortie
Principe (le concept physique)
Puisque le filtre est un système linéaire, l'amplitude du signal sinusoïdal en sortie est simplement l'amplitude d'entrée multipliée par le gain du filtre à cette fréquence. Comme nous avons calculé le gain à la fréquence du bruit, nous pouvons directement en déduire l'amplitude résiduelle du bruit après filtrage.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Pour un système LTI avec une entrée \(v_e(t) = A \cos(\omega t + \phi)\), la sortie en régime permanent est \(v_s(t) = A \cdot |H(j\omega)| \cos(\omega t + \phi + \arg(H(j\omega)))\). L'amplitude de sortie est donc \(A_{\text{sortie}} = A_{\text{entrée}} \cdot G(f)\). C'est une propriété fondamentale des systèmes linéaires.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est ici que le calcul prend tout son sens pratique. On passe d'un concept abstrait (le gain) à une valeur concrète : la tension de bruit que verra notre système de mesure en sortie. On peut ainsi directement juger si le filtrage est suffisant pour notre application.
Normes (la référence réglementaire)
Les normes de compatibilité électromagnétique (CEM), comme la série IEC 61000, définissent les niveaux de bruit acceptables pour les appareils électroniques. S'assurer que le bruit résiduel en sortie est en dessous de ces limites est une étape clé de la conception.
Formule(s) (l'outil mathématique)
L'amplitude de sortie est le produit de l'amplitude d'entrée et du gain linéaire :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le filtre ne charge pas la source du signal, c'est-à-dire que l'impédance de sortie du capteur est très faible par rapport à R.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Amplitude du bruit en entrée, \(V_{\text{bruit}} = 0.5 \, \text{V}\)
- Gain à 5000 Hz, \(G \approx 0.0318\) (du calcul Q2)
Astuces(Pour aller plus vite)
Avant de calculer, on sait que le gain est d'environ 1/30. Donc, 500 mV / 30 donne environ 16 mV. Si votre résultat est très différent, vérifiez vos calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Atténuation de l'Amplitude du Bruit
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique directement la formule.
Ce qui correspond à 15.9 mV.
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Signaux d'Entrée et de Sortie
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le bruit, qui avait une amplitude de 500 mV en entrée, a été réduit à seulement 15.9 mV en sortie. C'est une réduction drastique. Si notre convertisseur analogique-numérique a une résolution de 10 mV, par exemple, le bruit d'entrée aurait perturbé la mesure, alors que le bruit de sortie est maintenant du même ordre de grandeur que la résolution et donc beaucoup plus acceptable.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Utilisez bien le gain linéaire (0.0318) pour ce calcul, et non le gain en dB (-30 dB). Multiplier une tension par une valeur en dB n'a pas de sens physique direct. Les dB sont pour les rapports, pas pour les calculs d'amplitude directs.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- \(V_{\text{sortie}} = V_{\text{entrée}} \times G\).
- Le filtre réduit l'amplitude des signaux dont la fréquence est supérieure à \(f_c\).
- Le signal utile (DC, f=0 Hz) a un gain de 1, donc sa valeur en sortie est inchangée (2.5 V).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans les alimentations à découpage, un filtre passe-bas (souvent plus complexe, de type LC) est crucial. Le découpage génère une forte ondulation à haute fréquence superposée à la tension continue désirée. Le filtre doit éliminer cette ondulation pour fournir une tension de sortie propre et stable.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le bruit d'entrée était de 1V, quelle serait l'amplitude du bruit en sortie (en mV) ?
Question 4 : Calculer l'amélioration du SNR
Principe (le concept physique)
Le rapport signal/bruit (SNR) est la mesure ultime de la qualité d'un signal. Il compare la puissance (ou l'amplitude) du signal utile à celle du bruit. L'objectif d'un filtre est d'augmenter ce rapport en atténuant le bruit tout en laissant le signal intact. Nous allons quantifier cette amélioration en calculant le SNR avant et après le filtre.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'amélioration du SNR, exprimée en dB, est simplement la différence entre le SNR de sortie et le SNR d'entrée : \(\text{Amélioration}_{\text{dB}} = \text{SNR}_{\text{sortie, dB}} - \text{SNR}_{\text{entrée, dB}}\). Comme le signal utile n'est pas atténué (gain de 0 dB), cette amélioration est directement égale à l'atténuation (en valeur absolue) du bruit, soit environ 30 dB dans notre cas.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le SNR est le véritable juge de paix. Une faible tension de bruit n'est utile que si la tension du signal est bien plus grande. C'est ce rapport que nous optimisons. Augmenter le SNR de 30 dB, c'est rendre le signal 1000 fois plus puissant par rapport au bruit, une amélioration considérable.
Normes (la référence réglementaire)
Dans les télécommunications (normes ITU) ou l'audio professionnel (normes AES), des valeurs minimales de SNR sont requises pour garantir une certaine qualité de service ou de fidélité. Par exemple, un SNR de plus de 60 dB est souvent visé pour un son de haute qualité.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Rapport signal/bruit en décibels :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le bruit est purement additif et non corrélé avec le signal. On suppose également que le signal utile est parfaitement continu (DC) et n'est donc pas affecté par le filtre.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Signal utile, \(V_{\text{signal}} = 2.5 \, \text{V}\)
- Bruit en entrée, \(V_{\text{bruit\_entrée}} = 0.5 \, \text{V}\)
- Bruit en sortie, \(V_{\text{bruit\_sortie}} \approx 0.0159 \, \text{V}\) (du calcul Q3)
Astuces(Pour aller plus vite)
Puisque le signal n'est pas atténué (gain de 0 dB à f=0), l'amélioration du SNR en dB est simplement égale à la valeur absolue de l'atténuation du bruit en dB. Nous avons trouvé -29.95 dB d'atténuation, donc l'amélioration du SNR doit être de 29.95 dB. C'est un excellent moyen de vérifier le calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Rapport Signal/Bruit en Entrée
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calculer le SNR en entrée :
2. Calculer le SNR en sortie :
3. Calculer l'amélioration :
Schéma (Après les calculs)
Amélioration du Rapport Signal/Bruit
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le SNR est passé de 14 dB (un signal où le bruit est clairement perceptible) à 44 dB (un signal très propre). L'amélioration de 30 dB correspond exactement au gain du filtre à la fréquence du bruit, comme prévu par la théorie. Cela confirme que le filtre a parfaitement joué son rôle en "effaçant" le bruit sans toucher au signal.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Assurez-vous d'utiliser les bonnes amplitudes de bruit pour chaque calcul (entrée et sortie). Une erreur courante est de mal calculer l'une des deux valeurs, ce qui fausse toute l'analyse de l'amélioration.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le SNR quantifie la "propreté" d'un signal.
- Un filtre passe-bas efficace augmente le SNR en atténuant le bruit haute fréquence.
- L'amélioration du SNR (en dB) est égale à l'atténuation du bruit (en dB) si le signal n'est pas affecté.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La formule du bruit de Johnson-Nyquist montre que toute résistance génère un bruit thermique, proportionnel à sa valeur et à la température. Dans les applications très sensibles (ex: radioastronomie), les premiers étages d'amplification sont refroidis à des températures cryogéniques pour minimiser ce bruit fondamental et maximiser le SNR.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le signal utile était de 5V au lieu de 2.5V, quel serait le SNR d'entrée en dB ?
Outil Interactif : Conception de Filtre
Modifiez les composants du filtre et les caractéristiques du bruit pour voir leur influence en temps réel.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
Le concept de décibel (dB) vient du domaine des télécommunications et a été nommé en l'honneur d'Alexander Graham Bell. Un "Bel" étant un rapport de puissance de 10, le décibel (un dixième de Bel) est devenu l'unité la plus pratique, correspondant mieux aux échelles de perception humaines et permettant de manipuler une énorme dynamique de valeurs (de la puissance d'un murmure à celle d'un réacteur d'avion) avec des nombres simples.
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passe-t-il si mon signal utile n'est pas continu mais une basse fréquence ?
C'est un cas très courant. Il faut s'assurer que la fréquence de coupure \(f_c\) du filtre est suffisamment élevée pour ne pas atténuer le signal utile. En général, on choisit \(f_c\) au moins 5 à 10 fois plus grande que la fréquence maximale du signal utile pour éviter de le déformer.
Ce filtre est-il toujours la meilleure solution ?
Non. C'est le plus simple, mais il a des limitations. Son atténuation est progressive (-20 dB/décade). Si le bruit est très proche en fréquence du signal utile, un filtre d'ordre supérieur (plus "raide") ou un filtre actif (utilisant des amplificateurs) sera nécessaire pour mieux les séparer.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Pour un filtre passe-bas RC, si on double la valeur de la résistance R, la fréquence de coupure \(f_c\) est...
2. Un signal dont la fréquence est exactement la fréquence de coupure \(f_c\) sera atténué de...
- Fréquence de coupure (\(f_c\))
- Fréquence caractéristique d'un filtre qui sépare la bande passante (signaux peu atténués) de la bande coupée (signaux atténués). Définie à -3 dB de gain pour les filtres simples.
- Gain
- Rapport entre l'amplitude du signal de sortie et l'amplitude du signal d'entrée. Il dépend de la fréquence. Un gain inférieur à 1 (ou négatif en dB) est une atténuation.
- Rapport Signal/Bruit (SNR)
- Mesure de la qualité d'un signal, comparant la puissance du signal utile à celle du bruit. Un SNR élevé est souhaitable.
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