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Calcul de la fréquence de l’onde

Calcul de la Fréquence d’une Onde Électromagnétique

Calcul de la Fréquence d’une Onde Électromagnétique

Comprendre la Fréquence d'une Onde Électromagnétique

La fréquence (\(f\)) d'une onde électromagnétique est une de ses caractéristiques fondamentales. Elle représente le nombre d'oscillations du champ électromagnétique par unité de temps, généralement mesurée en Hertz (Hz), où 1 Hz équivaut à une oscillation par seconde. La fréquence est intimement liée à la longueur d'onde (\(\lambda\)) de l'onde et à sa vitesse de propagation (\(v\)) par la relation \(v = f\lambda\). Dans le vide, la vitesse de propagation est la vitesse de la lumière, \(c\). La fréquence d'une onde électromagnétique détermine également son énergie (pour un photon, \(E = hf\)) et son interaction avec la matière. Cet exercice se concentre sur le calcul de la fréquence et des grandeurs associées à partir de la longueur d'onde ou de la période.

Données de l'étude

On considère une onde électromagnétique se propageant dans le vide.

Caractéristiques de l'onde :

  • Longueur d'onde dans le vide (\(\lambda_0\)) : \(500 \, \text{nm}\) (correspondant à de la lumière visible verte)

Constantes :

  • Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Constante de Planck (\(h\)) : \(6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
Schéma : Onde Électromagnétique Sinusoïdale
z (propagation) λ Onde Électromagnétique

Représentation d'une onde sinusoïdale avec sa longueur d'onde \(\lambda\).

Questions à traiter

  1. Convertir la longueur d'onde \(\lambda_0\) en mètres.
  2. Calculer la fréquence (\(f\)) de cette onde électromagnétique dans le vide.
  3. Calculer la période (\(T\)) de cette onde.
  4. Calculer la pulsation (ou fréquence angulaire) (\(\omega\)) de cette onde.
  5. Si cette onde pénètre dans un milieu non magnétique d'indice de réfraction \(n = 1.5\), quelles sont sa nouvelle longueur d'onde (\(\lambda'\)) et sa fréquence (\(f'\)) dans ce milieu ?
  6. Calculer l'énergie (\(E_{photon}\)) d'un photon associé à cette onde (dans le vide).

Correction : Calcul de la Fréquence d’une Onde Électromagnétique

Question 1 : Conversion de la longueur d'onde \(\lambda_0\) en mètres

Principe :

Le nanomètre (nm) est une unité de longueur couramment utilisée pour les longueurs d'onde de la lumière visible. \(1 \, \text{nm} = 10^{-9} \, \text{m}\).

Données spécifiques :
  • Longueur d'onde dans le vide (\(\lambda_0\)) : \(500 \, \text{nm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda_0 &= 500 \, \text{nm} \\ &= 500 \times 10^{-9} \, \text{m} \\ &= 5 \times 10^{-7} \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La longueur d'onde est \(\lambda_0 = 5 \times 10^{-7} \, \text{m}\).

Question 2 : Fréquence (\(f\)) de l'onde dans le vide

Principe :

La fréquence (\(f\)), la longueur d'onde (\(\lambda_0\)) et la vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) sont liées par la relation \(c = f \lambda_0\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[f = \frac{c}{\lambda_0}\]
Données spécifiques :
  • Vitesse de la lumière (\(c\)) : \(3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Longueur d'onde (\(\lambda_0\)) : \(5 \times 10^{-7} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f &= \frac{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}{5 \times 10^{-7} \, \text{m}} \\ &= \frac{3}{5} \times 10^{8 - (-7)} \, \text{Hz} \\ &= 0.6 \times 10^{15} \, \text{Hz} \\ &= 6 \times 10^{14} \, \text{Hz} \quad (\text{ou } 600 \, \text{THz}) \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La fréquence de l'onde est \(f = 6 \times 10^{14} \, \text{Hz}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la longueur d'onde d'une onde électromagnétique dans le vide augmente, sa fréquence :

Question 3 : Période (\(T\)) de l'onde

Principe :

La période (\(T\)) d'une onde est l'inverse de sa fréquence (\(f\)). Elle représente le temps nécessaire pour une oscillation complète.

Formule(s) utilisée(s) :
\[T = \frac{1}{f}\]
Données spécifiques :
  • Fréquence (\(f\)) : \(6 \times 10^{14} \, \text{Hz}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T &= \frac{1}{6 \times 10^{14} \, \text{Hz}} \\ &\approx 0.16667 \times 10^{-14} \, \text{s} \\ &\approx 1.667 \times 10^{-15} \, \text{s} \quad (\text{ou } 1.667 \, \text{femtosecondes, fs}) \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La période de l'onde est \(T \approx 1.667 \times 10^{-15} \, \text{s}\).

Question 4 : Pulsation (\(\omega\)) de l'onde

Principe :

La pulsation (ou fréquence angulaire) \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par la relation \(\omega = 2\pi f\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\omega = 2\pi f\]
Données spécifiques :
  • Fréquence (\(f\)) : \(6 \times 10^{14} \, \text{Hz}\)
  • \(\pi \approx 3.14159\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \omega &= 2\pi \times (6 \times 10^{14} \, \text{Hz}) \\ &= 12\pi \times 10^{14} \, \text{rad/s} \\ &\approx 37.699 \times 10^{14} \, \text{rad/s} \\ &\approx 3.77 \times 10^{15} \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La pulsation de l'onde est \(\omega \approx 3.77 \times 10^{15} \, \text{rad/s}\).

Quiz Intermédiaire 2 : L'unité de la pulsation (fréquence angulaire) est :

Question 5 : Longueur d'onde (\(\lambda'\)) et fréquence (\(f'\)) dans un milieu d'indice \(n\)

Principe :

Lorsqu'une onde électromagnétique passe d'un milieu à un autre, sa fréquence \(f\) reste inchangée. Sa vitesse de propagation \(v\) change (\(v = c/n\)), et par conséquent sa longueur d'onde \(\lambda'\) change également (\(\lambda' = v/f = \lambda_0/n\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[f' = f\] \[\lambda' = \frac{\lambda_0}{n}\]
Données spécifiques :
  • Fréquence dans le vide (\(f\)) : \(6 \times 10^{14} \, \text{Hz}\)
  • Longueur d'onde dans le vide (\(\lambda_0\)) : \(5 \times 10^{-7} \, \text{m}\)
  • Indice de réfraction du milieu (\(n\)) : \(1.5\)
Calcul :
\[ f' = f = 6 \times 10^{14} \, \text{Hz} \] \[ \begin{aligned} \lambda' &= \frac{5 \times 10^{-7} \, \text{m}}{1.5} \\ &\approx 3.333 \times 10^{-7} \, \text{m} \\ &\approx 333.3 \, \text{nm} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 :
  • Nouvelle fréquence : \(f' = 6 \times 10^{14} \, \text{Hz}\) (inchangée)
  • Nouvelle longueur d'onde : \(\lambda' \approx 3.33 \times 10^{-7} \, \text{m}\) (ou \(333 \, \text{nm}\))

Question 6 : Énergie (\(E_{photon}\)) d'un photon associé

Principe :

L'énergie d'un photon est proportionnelle à la fréquence de l'onde électromagnétique associée, selon la relation de Planck-Einstein.

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{photon} = h f\]
Données spécifiques :
  • Constante de Planck (\(h\)) : \(6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
  • Fréquence (\(f\)) : \(6 \times 10^{14} \, \text{Hz}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{photon} &= (6.626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}) \times (6 \times 10^{14} \, \text{Hz}) \\ &= 39.756 \times 10^{-34+14} \, \text{J} \\ &= 39.756 \times 10^{-20} \, \text{J} \\ &\approx 3.976 \times 10^{-19} \, \text{J} \end{aligned} \]

On peut aussi exprimer cette énergie en électron-volts (eV) : \(1 \, \text{eV} \approx 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\).

\[ \begin{aligned} E_{photon} \, (\text{en eV}) &= \frac{3.976 \times 10^{-19} \, \text{J}}{1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}} \\ &\approx 2.48 \, \text{eV} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : L'énergie d'un photon associé à cette onde est \(E_{photon} \approx 3.98 \times 10^{-19} \, \text{J}\) (ou environ \(2.48 \, \text{eV}\)).

Quiz Intermédiaire 3 : Si la fréquence d'une onde lumineuse augmente, l'énergie de ses photons :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La fréquence d'une onde électromagnétique est définie comme :

2. La relation entre la fréquence (\(f\)), la longueur d'onde (\(\lambda\)) et la vitesse de propagation (\(v\)) d'une onde est :

3. Lorsqu'une onde lumineuse passe de l'air à un milieu plus dense (indice \(n > 1\)), sa fréquence :

Glossaire

Onde Électromagnétique
Onde composée d'un champ électrique et d'un champ magnétique oscillants qui se propagent dans l'espace et transportent de l'énergie.
Fréquence (\(f\))
Nombre de cycles d'une onde qui passent par un point donné par unité de temps. Unité SI : Hertz (Hz).
Longueur d'Onde (\(\lambda\))
Distance spatiale sur laquelle la forme d'une onde se répète. C'est la distance entre deux crêtes consécutives (ou deux creux consécutifs) d'une onde. Unité SI : mètre (m).
Période (\(T\))
Temps nécessaire pour qu'un cycle complet d'une onde passe par un point donné. C'est l'inverse de la fréquence (\(T = 1/f\)). Unité SI : seconde (s).
Pulsation (ou Fréquence Angulaire, \(\omega\))
Mesure de la vitesse de rotation ou d'oscillation, exprimée en radians par seconde. \(\omega = 2\pi f\).
Vitesse de la Lumière (\(c\))
Vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide, approximativement \(3 \times 10^8 \, \text{m/s}\).
Indice de Réfraction (\(n\))
Rapport de la vitesse de la lumière dans le vide à la vitesse de la lumière dans un milieu donné (\(n = c/v\)). C'est une mesure de la manière dont la lumière est ralentie en traversant un milieu.
Photon
Quantum élémentaire du champ électromagnétique, souvent décrit comme une particule de lumière.
Énergie d'un Photon (\(E_{photon}\))
Énergie transportée par un seul photon, proportionnelle à la fréquence de l'onde électromagnétique (\(E = hf\)).
Constante de Planck (\(h\))
Constante physique fondamentale reliant l'énergie d'un photon à sa fréquence.
Calcul de la Fréquence d’une Onde Électromagnétique

Calcul de la fréquence de l’onde

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