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Calcul de la portée d’un radar

Calcul de la Portée d’un Radar

Calcul de la Portée d’un Radar

Comprendre la Portée d'un Radar

Le radar (Radio Detection and Ranging) est un système qui utilise des ondes radio pour détecter la présence, la direction, la distance et/ou la vitesse d'objets tels que des aéronefs, des navires, des véhicules motorisés, des formations météorologiques, etc. Le principe de base consiste à émettre une onde électromagnétique et à analyser l'onde réfléchie (écho) par la cible. La portée maximale d'un radar est une caractéristique cruciale, déterminée par plusieurs facteurs, notamment la puissance de l'émetteur, le gain de l'antenne, la sensibilité du récepteur, la taille effective de la cible (Surface Équivalente Radar ou SER) et la longueur d'onde du signal. Cet exercice se concentre sur l'application de l'équation du radar pour déterminer sa portée maximale.

Données de l'étude

On considère un système radar monostatique (même antenne pour l'émission et la réception).

Caractéristiques du système radar :

  • Puissance crête émise (\(P_t\)) : \(150 \, \text{kW}\)
  • Gain de l'antenne (\(G\)) : \(35 \, \text{dB}\) (identique à l'émission et à la réception)
  • Fréquence de fonctionnement (\(f\)) : \(10 \, \text{GHz}\) (bande X)
  • Surface Équivalente Radar (SER) de la cible (\(\sigma\)) : \(2 \, \text{m}^2\)
  • Puissance minimale détectable par le récepteur (\(S_{min}\)) : \(1 \times 10^{-13} \, \text{W}\)

Constantes :

  • Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Schéma : Principe de Fonctionnement d'un Radar
Radar Onde émise Cible (σ) Onde réfléchie R Détection Radar

Le radar émet une onde qui est réfléchie par la cible et retourne à l'antenne.

Questions à traiter

  1. Calculer le gain de l'antenne (\(G\)) en valeur linéaire (et non en dB).
  2. Calculer la longueur d'onde (\(\lambda\)) du signal radar.
  3. Écrire l'équation de la portée radar (\(R_{max}\)) en fonction des paramètres donnés.
  4. Calculer la portée maximale théorique (\(R_{max}\)) de ce radar pour la cible spécifiée.
  5. Si la puissance minimale détectable (\(S_{min}\)) était augmentée à \(2 \times 10^{-13} \, \text{W}\) (c'est-à-dire que le récepteur est moins sensible), quelle serait la nouvelle portée maximale, en supposant tous les autres paramètres inchangés ?

Correction : Calcul de la Portée d’un Radar

Question 1 : Gain de l'antenne (\(G\)) en valeur linéaire

Principe :

Le gain d'une antenne est souvent exprimé en décibels (dB). La relation entre le gain en dB (\(G_{dB}\)) et le gain en valeur linéaire (\(G\)) est donnée par \(G_{dB} = 10 \log_{10}(G)\). Pour trouver \(G\), il faut inverser cette formule.

Formule(s) utilisée(s) :
\[G = 10^{(G_{dB}/10)}\]
Données spécifiques :
  • Gain de l'antenne en dB (\(G_{dB}\)) : \(35 \, \text{dB}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} G &= 10^{(35/10)} \\ &= 10^{3.5} \\ &\approx 3162.277 \end{aligned} \]

On arrondira à \(G \approx 3162\) pour les calculs suivants.

Résultat Question 1 : Le gain de l'antenne en valeur linéaire est \(G \approx 3162\).

Quiz Intermédiaire 1 : Un gain d'antenne de \(20 \, \text{dB}\) correspond à un gain linéaire de :

Question 2 : Longueur d'onde (\(\lambda\)) du signal radar

Principe :

La longueur d'onde (\(\lambda\)) d'une onde électromagnétique est liée à sa fréquence (\(f\)) et à la vitesse de la lumière (\(c\)) par la relation \(\lambda = c/f\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\lambda = \frac{c}{f}\]
Données spécifiques :
  • Vitesse de la lumière (\(c\)) : \(3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Fréquence de fonctionnement (\(f\)) : \(10 \, \text{GHz} = 10 \times 10^9 \, \text{Hz}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}{10 \times 10^9 \, \text{Hz}} \\ &= \frac{3 \times 10^8}{10^{10}} \, \text{m} \\ &= 3 \times 10^{-2} \, \text{m} \\ &= 0.03 \, \text{m} \\ &= 3 \, \text{cm} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La longueur d'onde du signal radar est \(\lambda = 0.03 \, \text{m}\) (ou \(3 \, \text{cm}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la fréquence d'un radar augmente, sa longueur d'onde :

Question 3 : Équation de la portée radar (\(R_{max}\))

Principe :

L'équation de la portée radar relie la portée maximale (\(R_{max}\)) aux caractéristiques du système radar et de la cible. Elle est dérivée en considérant la puissance émise, la manière dont elle se propage vers la cible, la fraction réfléchie par la cible, et la propagation de l'écho vers le récepteur, jusqu'à la puissance minimale détectable.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{max} = \left[ \frac{P_t G^2 \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 S_{min}} \right]^{1/4}\]

Où :

  • \(P_t\) est la puissance crête émise.
  • \(G\) est le gain de l'antenne (supposé identique pour l'émission et la réception).
  • \(\lambda\) est la longueur d'onde du signal.
  • \(\sigma\) est la Surface Équivalente Radar (SER) de la cible.
  • \(S_{min}\) est la puissance minimale détectable par le récepteur.

Résultat Question 3 : L'équation de la portée radar est \(R_{max} = \left[ \frac{P_t G^2 \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 S_{min}} \right]^{1/4}\).

Question 4 : Calcul de la portée maximale théorique (\(R_{max}\))

Principe :

Application directe de l'équation de la portée radar avec les valeurs numériques fournies et calculées.

Données spécifiques :
  • \(P_t = 150 \, \text{kW} = 150 \times 10^3 \, \text{W}\)
  • \(G \approx 3162\)
  • \(\lambda = 0.03 \, \text{m}\)
  • \(\sigma = 2 \, \text{m}^2\)
  • \(S_{min} = 1 \times 10^{-13} \, \text{W}\)
  • \((4\pi)^3 \approx (4 \times 3.14159)^3 \approx (12.56636)^3 \approx 1984.36\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} G^2 &\approx (3162)^2 \\ &\approx 9998244 \approx 10^7 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \lambda^2 &= (0.03 \, \text{m})^2 \\ &= 0.0009 \, \text{m}^2 \\ &= 9 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \text{Numérateur} &= P_t G^2 \lambda^2 \sigma \\ &\approx (150 \times 10^3) \times (10^7) \times (9 \times 10^{-4}) \times 2 \\ &= 1.5 \times 10^5 \times 10^7 \times 9 \times 10^{-4} \times 2 \\ &= (1.5 \times 9 \times 2) \times 10^{(5+7-4)} \\ &= 27 \times 10^8 \\ &= 2.7 \times 10^9 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \text{Dénominateur} &= (4\pi)^3 S_{min} \\ &\approx 1984.36 \times (1 \times 10^{-13}) \\ &\approx 1.984 \times 10^3 \times 10^{-13} \\ &\approx 1.984 \times 10^{-10} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \frac{\text{Numérateur}}{\text{Dénominateur}} &\approx \frac{2.7 \times 10^9}{1.984 \times 10^{-10}} \\ &\approx 1.3609 \times 10^{19} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} R_{max} &= \left[ 1.3609 \times 10^{19} \right]^{1/4} \\ &= (1.3609)^{1/4} \times (10^{19})^{1/4} \\ &\approx 1.079 \times 10^{19/4} \\ &\approx 1.079 \times 10^{4.75} \\ &\approx 1.079 \times 10^{0.75} \times 10^4 \\ &\approx 1.079 \times 5.623 \times 10^4 \\ &\approx 6.067 \times 10^4 \, \text{m} \\ &\approx 60670 \, \text{m} \\ &\approx 60.67 \, \text{km} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La portée maximale théorique du radar est \(R_{max} \approx 60.67 \, \text{km}\).

Quiz Intermédiaire 4 : Dans l'équation de la portée radar, la portée maximale est proportionnelle à :

Question 5 : Nouvelle portée maximale si \(S_{min}\) augmente

Principe :

La portée maximale \(R_{max}\) est inversement proportionnelle à la racine quatrième de la puissance minimale détectable (\(S_{min}^{1/4}\)). Si \(S_{min}\) est multipliée par un facteur \(k\), la nouvelle portée \(R'_{max}\) sera \(R_{max} / k^{1/4}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R'_{max} = R_{max} \left( \frac{S_{min}}{S'_{min}} \right)^{1/4}\]
Données spécifiques :
  • Portée maximale initiale (\(R_{max}\)) : \(\approx 60.67 \, \text{km}\)
  • \(S_{min} = 1 \times 10^{-13} \, \text{W}\)
  • Nouvelle \(S'_{min} = 2 \times 10^{-13} \, \text{W}\)
  • Le rapport \(S_{min}/S'_{min} = (1 \times 10^{-13}) / (2 \times 10^{-13}) = 1/2 = 0.5\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R'_{max} &= R_{max} \times (0.5)^{1/4} \\ &\approx 60.67 \, \text{km} \times (0.5)^{0.25} \\ &\approx 60.67 \, \text{km} \times 0.8409 \\ &\approx 51.01 \, \text{km} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Si la puissance minimale détectable augmente à \(2 \times 10^{-13} \, \text{W}\), la nouvelle portée maximale est \(R'_{max} \approx 51.01 \, \text{km}\).

Quiz Intermédiaire 5 : Si la Surface Équivalente Radar (\(\sigma\)) d'une cible est multipliée par 16, la portée maximale du radar (tous les autres facteurs étant constants) sera multipliée par :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Laquelle de ces affirmations est FAUSSE concernant la portée d'un radar ?

2. La Surface Équivalente Radar (SER ou \(\sigma\)) d'une cible dépend :

3. Si la portée maximale d'un radar est \(R_0\). Si on souhaite doubler cette portée (\(2R_0\)) en augmentant uniquement la puissance émise \(P_t\), par quel facteur faut-il multiplier \(P_t\) ?

Glossaire

Radar (Radio Detection and Ranging)
Système utilisant des ondes radio pour détecter et localiser des objets.
Portée Radar (\(R_{max}\))
Distance maximale à laquelle un radar peut détecter une cible spécifique.
Puissance Crête Émise (\(P_t\))
Puissance maximale instantanée de l'onde radio émise par le radar.
Gain d'Antenne (\(G\))
Mesure de la capacité d'une antenne à concentrer l'énergie rayonnée dans une direction particulière, par rapport à une antenne isotrope.
Longueur d'Onde (\(\lambda\))
Distance spatiale sur laquelle la forme d'une onde se répète. \(\lambda = c/f\).
Fréquence (\(f\))
Nombre de cycles d'une onde par unité de temps. Unité SI : Hertz (Hz).
Surface Équivalente Radar (SER ou \(\sigma\))
Mesure de la capacité d'une cible à réfléchir l'énergie radar vers le récepteur. Elle dépend de la taille, de la forme, du matériau de la cible et de la fréquence/polarisation de l'onde radar. Unité : \(\text{m}^2\).
Puissance Minimale Détectable (\(S_{min}\))
Plus faible niveau de puissance du signal d'écho que le récepteur radar peut distinguer de manière fiable du bruit.
Radar Monostatique
Radar qui utilise la même antenne pour l'émission et la réception des signaux.
Calcul de la Portée d’un Radar

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