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Exercice : Résistance en Parallèle

Calcul de la Résistance en Parallèle

Contexte : Le Circuit en ParallèleUn montage électrique où les composants sont connectés à travers les mêmes deux points (nœuds), soumettant chaque composant à la même tension..

Bienvenue dans cet exercice dédié au calcul de la résistance dans les circuits en parallèle. Comprendre comment les résistances s'associent en parallèle est fondamental en électricité. Contrairement aux circuits en série où les résistances s'ajoutent, la résistance équivalente d'un montage en parallèle est toujours inférieure à la plus petite des résistances individuelles. Cet exercice vous guidera à travers le calcul de cette résistance équivalenteLa résistance unique qui, si elle remplaçait l'ensemble du groupement de résistances, permettrait au même courant total de circuler pour la même tension appliquée. et son impact sur le courant total, en utilisant la Loi d'OhmUne loi fondamentale qui lie la tension (V), le courant (I) et la résistance (R) par la formule V = I x R..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les formules clés des circuits parallèles et à vérifier vos résultats en utilisant la Loi des Nœuds de KirchhoffUn principe qui stipule que la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant de ce nœud..

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la configuration et les propriétés d'un circuit en parallèle.
Appliquer la formule de la résistance équivalente pour deux résistances en parallèle.
Appliquer la formule générale (avec les inverses) for 'n' résistances en parallèle.
Calculer le courant total et les courants de branche en utilisant la Loi d'Ohm.
Vérifier la cohérence des calculs avec la Loi des Nœuds.

Données de l'étude

On considère un circuit électrique composé d'une source de tension continue \(V\) alimentant trois résistances \(R_1\), \(R_2\), et \(R_3\) montées en parallèle.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Tension d'alimentation (\(V\))	12 V
Résistance 1 (\(R_1\))	100 Ω
Résistance 2 (\(R_2\))	200 Ω
Résistance 3 (\(R_3\))	300 Ω

Schéma du Circuit en Parallèle

Questions à traiter

Calculer la résistance équivalente (\(R_{eq, 12}\)) des résistances \(R_1\) et \(R_2\) en parallèle.
Calculer la résistance équivalente totale (\(R_{eq, total}\)) du circuit (avec \(R_1\), \(R_2\), et \(R_3\)).
Calculer le courant total (\(I_{total}\)) fourni par la source de tension.
Calculer le courant passant dans chaque branche (\(I_1\), \(I_2\), \(I_3\)).
Vérifier que la somme des courants de branche (\(I_1 + I_2 + I_3\)) est égale au courant total (\(I_{total}\)).

Les bases sur les Circuits Parallèles

Avant de commencer, revoyons les concepts clés nécessaires pour cet exercice.

1. Propriétés du Circuit Parallèle
Dans un montage en parallèle, la TensionLa différence de potentiel électrique entre deux points, mesurée en Volts (V). \(V\) est identique aux bornes de chaque composant. Le CourantLe flux de charge électrique, mesuré en Ampères (A). total \(I_{total}\) se divise entre les différentes branches.

2. Résistance Équivalente (2 résistances)
Pour deux résistances \(R_1\) et \(R_2\) en parallèle, la résistance équivalente se calcule avec la formule "produit sur somme" : \[ R_{eq} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} \]

3. Résistance Équivalente (n résistances)
Pour 'n' résistances en parallèle, on utilise l'inverse de la somme des inverses : \[ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n} \] Il faut ensuite inverser le résultat pour trouver \(R_{eq}\).

4. Loi d'Ohm et Loi des Nœuds
La Loi d'Ohm (\(V = I \times R\)) s'applique à l'ensemble du circuit (\(V = I_{total} \times R_{eq, total}\)) ainsi qu'à chaque branche (\(V = I_n \times R_n\)). La Loi des Nœuds de Kirchhoff stipule que le courant total est la somme des courants de branche : \(I_{total} = I_1 + I_2 + \dots + I_n\).

Correction : Calcul de la Résistance en Parallèle

Question 1 : Calculer la résistance équivalente (\(R_{eq, 12}\)) de \(R_1\) et \(R_2\)

Principe

Pour trouver la résistance unique qui représente l'effet combiné de deux résistances branchées en parallèle, on utilise une formule spécifique. Le principe fondamental est que le courant total se divise entre les deux branches, et la résistance équivalente sera toujours plus faible que la plus petite des deux résistances individuelles, car on offre plus de chemins au courant.

Mini-Cours

Lorsqu'on associe des résistances en parallèle, on offre plusieurs chemins au courant. Cela a pour effet global de diminuer la résistance totale vue par la source. L'ajout de chemins supplémentaires facilite le passage du courant, d'où une résistance équivalente plus faible. La formule "produit sur somme" est une simplification directe de la formule générale \(1/R_{eq} = 1/R_1 + 1/R_2\) pour le cas spécifique de deux résistances.

Remarque Pédagogique

La formule "produit sur somme" est un cas particulier très utile. Retenez-la bien, elle vous fera gagner du temps pour les associations de deux résistances.

Normes

Les calculs de circuits électriques de base comme celui-ci reposent sur les lois fondamentales de l'électricité (Loi d'Ohm, Lois de Kirchhoff) et ne font pas appel à des normes spécifiques complexes, sauf si l'on considère des aspects de sécurité ou de dimensionnement spécifiques (normes NF C 15-100 en France pour les installations, par exemple), ce qui n'est pas le cas ici. Les formules d'association découlent de ces lois.

Formule(s)

Formule Produit sur Somme

R_{eq, 12} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}

Hypothèses

Pour ce calcul simple, nous faisons les hypothèses suivantes :

Les résistances sont idéales (leur valeur ohmique est constante et ne dépend pas de la température ou du courant qui les traverse).
Les fils de connexion utilisés pour relier les composants ont une résistance nulle (conducteurs parfaits).
Le circuit fonctionne en régime continu (la tension d'alimentation est constante dans le temps).

Donnée(s)

Nous extrayons les valeurs de \(R_1\) et \(R_2\) de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance 1	\(R_1\)	100	Ω
Résistance 2	\(R_2\)	200	Ω

Astuces

Le résultat (\(R_{eq}\)) doit toujours être plus petit que la plus petite des deux résistances. Ici, le résultat doit être inférieur à 100 Ω. C'est un bon moyen de vérifier rapidement son calcul.

Schéma (Avant les calculs)

On se concentre sur les deux premières branches du circuit.

Association R1 // R2

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du produit (Numérateur)

R_1 \times R_2 = 100 \times 200 = 20000

Étape 2 : Calcul de la somme (Dénominateur)

\[ R_1 + R_2 = 100 + 200 = 300 \]

Étape 3 : Calcul final

\begin{aligned} R_{eq, 12} &= \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} \\ &= \frac{20000}{300} \\ \Rightarrow R_{eq, 12} &\approx 66.67 \text{ } \Omega \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

L'association de R1 et R2 peut être remplacée par une seule résistance équivalente R_eq,12.

Résistance Équivalente Partielle

Réflexions

Le résultat de 66.67 Ω est bien inférieur à 100 Ω (la plus petite résistance), ce qui est cohérent avec la théorie des circuits en parallèle.

Points de vigilance

Attention à ne pas inverser la formule ! Une erreur commune est de faire "somme sur produit", ce qui donnerait un résultat incorrect. La formule "produit sur somme" ne fonctionne que pour deux résistances à la fois.

Points à retenir

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Association de 2 résistances en parallèle.
Formule Essentielle : \(R_{eq} = (R_1 \times R_2) / (R_1 + R_2)\).
Vérification : \(R_{eq} < \min(R_1, R_2)\).

Le saviez-vous ?

La formule "produit sur somme" est mathématiquement identique à \(R_{eq} = 1 / (1/R_1 + 1/R_2)\). C'est juste une simplification algébrique pour le cas \(n=2\).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La résistance équivalente de \(R_1\) et \(R_2\) est d'environ 66.67 Ω.

A vous de jouer

Calculez la résistance équivalente si \(R_1 = 50 \text{ } \Omega\) et \(R_2 = 100 \text{ } \Omega\).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Association de 2 résistances en parallèle.
Formule Essentielle : \(R_{eq} = (R_1 \times R_2) / (R_1 + R_2)\).
Vérification : \(R_{eq} < \min(R_1, R_2)\).

Question 2 : Calculer la résistance équivalente totale (\(R_{eq, total}\))

Principe

Pour trouver la résistance équivalente d'un groupement de plus de deux résistances en parallèle, on utilise le concept de conductance (l'inverse de la résistance). Les conductances s'additionnent en parallèle. On calcule donc la somme des inverses de chaque résistance, et la résistance équivalente totale est l'inverse de cette somme.

Mini-Cours

L'inverse de la résistance, \(G = 1/R\), est appelé la conductance (mesurée en Siemens, S). Elle représente la facilité avec laquelle le courant peut passer. En parallèle, les facilités de passage s'ajoutent : la conductance équivalente \(G_{eq}\) est la somme des conductances individuelles : \(G_{eq} = G_1 + G_2 + G_3\). La formule \(1/R_{eq} = 1/R_1 + 1/R_2 + 1/R_3\) est une simple application de ce principe. Plus il y a de chemins (branches), plus la conductance totale augmente, et donc plus la résistance équivalente diminue.

Remarque Pédagogique

Travailler avec les inverses peut sembler contre-intuitif au début. Assurez-vous de bien maîtriser les opérations sur les fractions ou utilisez une calculatrice avec une touche "1/x" pour éviter les erreurs. Ne confondez pas la somme des inverses avec l'inverse de la somme !

Normes

Ce calcul découle directement des Lois de Kirchhoff (loi des nœuds implicitement pour la division du courant) et de la Loi d'Ohm appliquées à la configuration parallèle. Ce sont des lois fondamentales de l'électrocinétique.

Formule(s)

Formule Générale (Somme des Inverses)

\frac{1}{R_{eq, total}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}

Formule Finale (pour le calcul)

R_{eq, total} = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}}

Hypothèses

Les mêmes hypothèses que pour la question 1 s'appliquent ici (résistances idéales, fils parfaits, régime continu).

Donnée(s)

Nous utilisons les trois résistances de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance 1	\(R_1\)	100	Ω
Résistance 2	\(R_2\)	200	Ω
Résistance 3	\(R_3\)	300	Ω

Astuces

On peut aussi utiliser le résultat de la Q1 (\(R_{eq, 12} \approx 66.67 \text{ } \Omega\)) et le combiner avec \(R_3\) en utilisant la formule "produit sur somme" : \(R_{eq, total} = (R_{eq, 12} \times R_3) / (R_{eq, 12} + R_3)\). Cela simplifie le calcul si \(R_{eq, 12}\) est déjà connu.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma pertinent est celui de l'énoncé, montrant les trois résistances en parallèle.

Circuit Complet (R1 // R2 // R3)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul des inverses

\begin{aligned} 1/R_1 &= 1/100 = 0.01 \text{ S} \\ 1/R_2 &= 1/200 = 0.005 \text{ S} \\ 1/R_3 &= 1/300 \approx 0.00333... \text{ S} \end{aligned}

Étape 2 : Somme des inverses (Conductance totale)

\begin{aligned} \frac{1}{R_{eq, total}} &= \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \\ &= 0.01 + 0.005 + 0.00333... \\ &= 0.018333... \text{ S} \end{aligned}

Étape 3 : Inverse final

\begin{aligned} R_{eq, total} &= \frac{1}{0.018333...} \\ \Rightarrow R_{eq, total} &\approx 54.55 \text{ } \Omega \end{aligned}

Calcul alternatif (avec Astuce)

\begin{aligned} R_{eq, total} &= \frac{R_{eq, 12} \times R_3}{R_{eq, 12} + R_3} \\ &= \frac{66.67 \times 300}{66.67 + 300} \\ &= \frac{20001}{366.67} \\ &\approx 54.55 \text{ } \Omega \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

L'ensemble R1 // R2 // R3 est équivalent à une unique résistance Req,total.

Résistance Équivalente Totale

Réflexions

Les deux méthodes donnent le même résultat. Notez que 54.55 Ω est bien inférieur à la plus petite résistance du circuit (100 Ω), ce qui confirme notre calcul et le principe des résistances en parallèle.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier d'inverser le résultat final ! Beaucoup s'arrêtent à \(1/R_{eq} = 0.01833...\) et pensent que c'est la réponse. Pensez toujours à l'étape \("1 / \text{Réponse}"\).

Points à retenir

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Association de 'n' résistances en parallèle.
Formule Essentielle : \(R_{eq} = 1 / (1/R_1 + 1/R_2 + ...)\).
Piège : Ne pas oublier d'inverser la somme à la fin.

Le saviez-vous ?

Dans les circuits intégrés, des millions de transistors sont connectés. Bien que les connexions soient complexes, les principes de base des associations série et parallèle restent fondamentaux pour analyser leur comportement global.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La résistance équivalente totale du circuit est d'environ 54.55 Ω.

A vous de jouer

Calculez la \(R_{eq, total}\) pour trois résistances de 100 Ω en parallèle.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Association de 'n' résistances en parallèle via les conductances.
Formule Essentielle : \(R_{eq} = 1 / (1/R_1 + 1/R_2 + ...)\).
Piège : Ne pas oublier d'inverser la somme des inverses à la fin.
Alternative (par paires) : Utiliser "produit sur somme" séquentiellement.

Question 3 : Calculer le courant total (\(I_{total}\))

Principe

Maintenant que nous avons la résistance équivalente totale (\(R_{eq, total}\)), qui représente l'effet global de toutes les résistances du circuit vues par la source, nous pouvons utiliser la Loi d'Ohm appliquée à l'ensemble du circuit. La source "voit" une seule résistance \(R_{eq, total}\) et fournit un courant \(I_{total}\) correspondant à la tension \(V\) appliquée à cette résistance équivalente.

Mini-Cours

La Loi d'Ohm (\(V=IR\)) est la relation la plus fondamentale en électricité pour les circuits résistifs. Elle indique que le courant (\(I\)) est directement proportionnel à la tension (\(V\)) appliquée et inversement proportionnel à la résistance (\(R\)) du circuit (\(I = V/R\)). Connaître deux de ces grandeurs permet toujours de trouver la troisième. Ici, nous connaissons \(V\) (source) et \(R\) (la résistance équivalente totale), nous cherchons \(I\) (le courant total).

Remarque Pédagogique

Visualisez la résistance équivalente comme un "obstacle" global que le courant doit franchir en sortant de la source. Plus cet obstacle est petit (faible \(R_{eq}\)), plus le courant total débité par la source sera important pour une même tension. C'est pourquoi ajouter des appareils en parallèle (ce qui diminue \(R_{eq}\)) augmente le courant total.

Normes

La Loi d'Ohm est une loi physique fondamentale, établie expérimentalement par Georg Ohm. Elle est la base de l'analyse des circuits résistifs en régime continu.

Formule(s)

Loi d'Ohm (pour le courant)

I_{total} = \frac{V}{R_{eq, total}}

Hypothèses

Mêmes hypothèses que précédemment. On suppose également que la source de tension est idéale (capable de fournir le courant calculé sans chute de tension interne).

Donnée(s)

Nous utilisons la tension de la source et le résultat de la Q2.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension d'alimentation	\(V\)	12	V
Résistance équivalente totale	\(R_{eq, total}\)	54.55	Ω

Astuces

Vérifiez les unités : si V est en Volts et R en Ohms, I sera en Ampères. Si R était en kΩ, I serait en milliampères (mA).

Schéma (Avant les calculs)

On peut représenter le circuit simplifié avec la source et la résistance équivalente.

Circuit Équivalent Total

Calcul(s)

Application de la Loi d'Ohm

\begin{aligned} I_{total} &= \frac{V}{R_{eq, total}} \\ &= \frac{12 \text{ V}}{54.55 \text{ } \Omega} \\ \Rightarrow I_{total} &\approx 0.22 \text{ A} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma précédent est complété avec la valeur du courant calculée.

Circuit Équivalent Total avec Courant

Réflexions

Un courant de 0.22 A (ou 220 mA) est le courant total que la source doit fournir pour alimenter les trois résistances en parallèle. Si on avait mis ces résistances en série, la résistance totale aurait été beaucoup plus grande (600 Ω) et le courant beaucoup plus faible (12V / 600Ω = 0.02 A).

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser la résistance équivalente *totale* pour calculer le courant *total*. Ne pas utiliser une résistance de branche individuelle ici.

Points à retenir

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Loi d'Ohm appliquée au circuit global.
Formule : \(I_{total} = V / R_{eq, total}\).

Le saviez-vous ?

Dans une maison, les appareils électriques (lampes, appareils ménagers) sont branchés en parallèle sur le secteur (230V en Europe). Cela garantit que chaque appareil reçoit la même tension nominale pour fonctionner correctement.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le courant total fourni par la source est d'environ 0.22 A.

A vous de jouer

Quel serait le courant total si la tension était de 24 V (en gardant \(R_{eq, total} \approx 54.55 \text{ } \Omega\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Loi d'Ohm appliquée au circuit global vu par la source.
Formule : \(I_{total} = V / R_{eq, total}\).
Relation : \(I_{total}\) augmente si \(R_{eq, total}\) diminue (ajout de branches parallèles).

Question 4 : Calculer le courant dans chaque branche (\(I_1\), \(I_2\), \(I_3\))

Principe

La caractéristique essentielle d'un circuit parallèle est que tous les composants sont soumis à la même différence de potentiel (tension). Dans notre cas, chaque résistance (\(R_1\), \(R_2\), \(R_3\)) est directement connectée aux bornes de la source de tension \(V\). Par conséquent, la tension aux bornes de chaque résistance est égale à \(V\). En appliquant la Loi d'Ohm à chaque résistance individuellement, on peut calculer le courant spécifique qui la traverse.

Mini-Cours

Le fait que la tension soit la même aux bornes de chaque branche est la propriété fondamentale des circuits parallèles. Cela découle de la définition même du montage parallèle : tous les composants sont connectés entre les deux mêmes nœuds électriques du circuit (les points où les fils se rejoignent). La tension étant une différence de potentiel *entre* ces deux nœuds, elle est forcément identique pour toutes les branches connectées entre eux. C'est l'inverse du circuit série où le courant est identique mais la tension se répartit.

Remarque Pédagogique

C'est l'inverse du circuit série, où c'est le courant qui est le même partout, mais la tension qui se divise. Comprendre cette dualité série/parallèle est crucial. Dans un circuit parallèle, chaque branche est électriquement "indépendante" des autres en termes de tension reçue ; elle ne "voit" que la tension de la source.

Normes

La Loi d'Ohm (\(V=IR\)) est la loi physique appliquée ici à chaque composant individuel du circuit parallèle.

Formule(s)

Loi d'Ohm par Branche

I_n = \frac{V}{R_n}

Hypothèses

Mêmes hypothèses que précédemment.

Donnée(s)

Nous utilisons la tension de la source et la valeur de chaque résistance.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension d'alimentation	\(V\)	12	V
Résistance 1	\(R_1\)	100	Ω
Résistance 2	\(R_2\)	200	Ω
Résistance 3	\(R_3\)	300	Ω

Astuces

Le courant dans une branche ne dépend que de la tension et de la résistance de cette branche, indépendamment des autres branches (tant que la source peut fournir le courant total).

Schéma (Avant les calculs)

On se réfère au schéma de l'énoncé, en visualisant les courants \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\) circulant dans chaque branche respective.

Courants de Branche

Calcul(s)

Calcul de \(I_1\)

I_1 = \frac{V}{R_1} = \frac{12 \text{ V}}{100 \text{ } \Omega} = 0.12 \text{ A}

Calcul de \(I_2\)

I_2 = \frac{V}{R_2} = \frac{12 \text{ V}}{200 \text{ } \Omega} = 0.06 \text{ A}

Calcul de \(I_3\)

I_3 = \frac{V}{R_3} = \frac{12 \text{ V}}{300 \text{ } \Omega} = 0.04 \text{ A}

Schéma (Après les calculs)

On reporte les valeurs calculées sur le schéma.

Courants de Branche Calculés

Réflexions

Notez que la branche avec la plus petite résistance (\(R_1\)) a le courant le plus élevé (0.12 A), et la branche avec la plus grande résistance (\(R_3\)) a le courant le plus faible (0.04 A). Le courant "préfère" le chemin le plus facile (le moins résistant), conformément à la Loi d'Ohm.

Points de vigilance

Ne pas utiliser la résistance équivalente ici ! Pour les courants de branche, on utilise la résistance de *chaque* branche individuelle.

Points à retenir

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : La tension est constante en parallèle.
Formule : \(I_n = V / R_n\) pour chaque branche.
Logique : Petit \(R\) = Grand \(I\), Grand \(R\) = Petit \(I\).

Le saviez-vous ?

La capacité d'un disjoncteur ou d'un fusible est basée sur le courant *total* qui le traverse. Ajouter trop d'appareils en parallèle sur une même prise augmente ce courant total et peut faire disjoncter pour protéger l'installation.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Les courants de branche sont : \(I_1 = 0.12 \text{ A}\), \(I_2 = 0.06 \text{ A}\), et \(I_3 = 0.04 \text{ A}\).

A vous de jouer

Si la tension était de 24 V, quel serait le courant dans la branche \(R_1\) (100 Ω) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : La tension \(V\) est la même aux bornes de chaque branche en parallèle.
Formule : \(I_n = V / R_n\) pour chaque branche individuelle \(n\).
Logique : Pour une tension donnée, la branche la moins résistante (\(R_n\) petit) laisse passer le plus de courant (\(I_n\) grand).

Question 5 : Vérifier que \(I_{total} = I_1 + I_2 + I_3\)

Principe

Cette question est une application directe de la Loi des Nœuds de Kirchhoff (aussi appelée Kirchhoff's Current Law - KCL). Cette loi fondamentale stipule que la somme algébrique des courants entrant dans un nœud (un point de connexion dans le circuit) est égale à la somme des courants sortant de ce nœud. Ici, le courant total \(I_{total}\) sortant de la source entre dans le nœud où les trois branches parallèles se séparent. Les courants \(I_1\), \(I_2\), et \(I_3\) sortent de ce nœud pour aller dans leurs branches respectives. KCL impose donc que \(I_{total}\) doit être égal à la somme \(I_1 + I_2 + I_3\).

Mini-Cours

La Loi des Nœuds (ou Première Loi de Kirchhoff) exprime la conservation de la charge électrique. Les charges électriques (portées par les électrons dans les conducteurs métalliques) ne peuvent pas s'accumuler indéfiniment en un point du circuit. Autant de charge qui arrive en un nœud par unité de temps (courant entrant) doit en repartir dans le même temps (courant sortant). Imaginez un carrefour routier : le débit total de voitures qui y entrent doit être égal au débit total de voitures qui en sortent (elles ne disparaissent pas et ne s'entassent pas au milieu). Pour un nœud électrique, c'est la même chose avec le courant.

Remarque Pédagogique

Cette vérification est essentielle pour s'assurer de la cohérence de vos calculs. Si la somme ne correspond pas (même en tenant compte des arrondis), c'est qu'il y a une erreur quelque part, soit dans le calcul de \(R_{eq}\) (Q2), soit dans \(I_{total}\) (Q3), soit dans un des \(I_n\) (Q4). Refaire cette vérification est une bonne habitude à prendre en analyse de circuits.

Normes

La Loi des Nœuds de Kirchhoff est, avec la Loi des Mailles (conservation de l'énergie), l'une des deux lois fondamentales formulées par Gustav Kirchhoff pour l'analyse des circuits électriques. Elle est universellement applicable aux circuits, qu'ils soient simples ou complexes, en courant continu ou alternatif (avec des phasors).

Formule(s)

Loi des Nœuds de Kirchhoff

I_{total} = \sum_{n} I_n = I_1 + I_2 + I_3

Hypothèses

Pas d'hypothèses supplémentaires par rapport aux précédentes.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions 3 et 4.

Paramètre	Symbole	Valeur (Calculée)	Unité
Courant Total (de Q3)	\(I_{total}\)	0.22	A
Courant Branche 1 (de Q4)	\(I_1\)	0.12	A
Courant Branche 2 (de Q4)	\(I_2\)	0.06	A
Courant Branche 3 (de Q4)	\(I_3\)	0.04	A

Astuces

Si vous avez utilisé des valeurs arrondies pour \(R_{eq}\) ou les courants, la somme peut ne pas être *exactement* égale. Une petite différence (par exemple, 0.2199 A au lieu de 0.22 A) est généralement acceptable et due aux arrondis.

Schéma (Avant les calculs)

On visualise le nœud supérieur où le courant total se divise.

Application de la Loi des Nœuds

Calcul(s)

Étape 1 : Somme des courants de branche

\begin{aligned} I_1 + I_2 + I_3 &= 0.12 \text{ A} + 0.06 \text{ A} + 0.04 \text{ A} \\ &= 0.22 \text{ A} \end{aligned}

Étape 2 : Comparaison avec \(I_{total}\)

\begin{aligned} \text{Somme calculée} &= 0.22 \text{ A} \\ I_{total} \text{ (calculé en Q3)} &\approx 0.22 \text{ A} \\ \Rightarrow \text{L'égalité est vérifiée.} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma précédent confirme visuellement que le courant entrant est égal à la somme des courants sortants du nœud.

Vérification de la Loi des Nœuds

Réflexions

L'égalité est vérifiée. Cela nous donne une grande confiance dans l'exactitude de nos calculs précédents pour la résistance équivalente et les différents courants. C'est une excellente pratique de toujours effectuer cette vérification.

Points de vigilance

Attention aux signes si vous appliquez la loi des nœuds de manière formelle (somme des courants entrant = somme des courants sortant). Dans notre cas simple (un courant entrant, plusieurs sortants), l'égalité \(I_{total} = I_1 + I_2 + I_3\) est directe.

Points à retenir

La Loi des Nœuds est un outil puissant pour valider les calculs dans les circuits parallèles (et plus complexes).
Elle démontre physiquement le principe de conservation de la charge électrique (le courant ne "disparaît" pas).

Le saviez-vous ?

Gustav Kirchhoff, un physicien allemand, a énoncé ses lois sur les circuits (Loi des Nœuds et Loi des Mailles) en 1845, alors qu'il n'était encore qu'étudiant. Ces lois sont fondamentales pour l'analyse de tous les circuits électriques.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La vérification est confirmée : \(0.22 \text{ A} = 0.12 \text{ A} + 0.06 \text{ A} + 0.04 \text{ A}\).

A vous de jouer

Si \(I_{total}=0.5\text{ A}\), \(I_1=0.2\text{ A}\) et \(I_2=0.15\text{ A}\), combien vaut \(I_3\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Loi des Nœuds de Kirchhoff (Conservation du courant).
Formule : \(I_{total} = \sum I_n\) pour les branches parallèles issues d'un nœud.
Utilité : Validation cruciale des calculs de courants dans le circuit.

Outil Interactif : Simulateur de \(R_{eq}\)

Utilisez cet outil pour voir comment la résistance équivalente (\(R_{eq}\)) de deux résistances change en temps réel. Le graphique montre l'impact de \(R_2\) sur \(R_{eq}\) pour une valeur fixe de \(R_1\).

Paramètres d'Entrée

Résistance 1 (\(R_1\)) [10-500 Ω] 100 Ω

Résistance 2 (\(R_2\)) [10-500 Ω] 200 Ω

Résultats Clés

Résistance Équivalente (\(R_{eq}\)) - Ω

Courant Total (pour V=10V) - A

Glossaire

Circuit Parallèle: Un montage électrique où les composants sont connectés à travers les mêmes deux points (nœuds), soumettant chaque composant à la même tension.
Courant (I): Le flux de charge électrique, mesuré en Ampères (A). Dans un circuit parallèle, le courant total se divise entre les branches.
Loi d'Ohm: Une loi fondamentale qui lie la tension (V), le courant (I) et la résistance (R) par la formule \(V = I \times R\).
Loi des Nœuds de Kirchhoff: Un principe qui stipule que la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant de ce nœud (\(I_{total} = I_1 + I_2 + \dots\)).
Résistance (Ω): L'opposition au passage du courant électrique, mesurée en Ohms (Ω).
Résistance Équivalente (\(R_{eq}\)): La résistance unique qui, si elle remplaçait l'ensemble du groupement de résistances, permettrait au même courant total de circuler pour la même tension appliquée.
Tension (V): La différence de potentiel électrique entre deux points, mesurée en Volts (V). Elle est constante aux bornes des branches d'un circuit parallèle.

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