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Exercices Électricité

Calcul de résistance en parallèle

Calcul de Résistance Équivalente en Parallèle

Diviser pour Mieux Régner : Calcul de Résistance en Parallèle

Résistances en Parallèle : Plusieurs chemins pour le courant !

Lorsqu'on connecte des résistances en parallèle, on offre au courant électrique plusieurs chemins pour circuler. Cela a pour effet de réduire la résistance globale du circuit. Contrairement aux résistances en série où la résistance totale est la somme des résistances individuelles, le calcul pour les résistances en parallèle est un peu différent : c'est l'inverse de la somme des inverses. Comprendre ce concept est crucial pour analyser comment le courant se répartit dans différentes branches d'un circuit et comment la résistance globale est affectée.

Le Montage de Test de Lucas

Lucas souhaite déterminer la résistance équivalente d'un groupement de trois résistances connectées en parallèle. Il appliquera ensuite une tension pour observer les courants.

Informations sur les résistances :

  • Résistance \(R_1\) : \(20 \, \text{Ω}\).
  • Résistance \(R_2\) : \(30 \, \text{Ω}\).
  • Résistance \(R_3\) : \(60 \, \text{Ω}\).

Une source de tension \(V = 12 \, \text{Volts (V)}\) sera connectée aux bornes de ce groupement parallèle.

Schéma du circuit de Lucas
V=12V + - R1=20Ω R2=30Ω R3=60Ω Résistances en Parallèle

Les résistances R1, R2 et R3 sont connectées en parallèle.

Questions à traiter

  1. Rappelez la formule générale pour calculer la résistance équivalente (\(R_{eq}\)) de 'n' résistances connectées en parallèle.
  2. Utilisez cette formule pour calculer la résistance équivalente (\(R_{eq}\)) des trois résistances \(R_1, R_2, R_3\).
  3. Si une tension de \(V = 12 \, \text{V}\) est appliquée aux bornes de ce groupement parallèle, quel sera le courant total (\(I_{tot}\)) fourni par la source ?
  4. Calculez le courant traversant chaque résistance : \(I_1\) (pour \(R_1\)), \(I_2\) (pour \(R_2\)), et \(I_3\) (pour \(R_3\)).
  5. Vérifiez que la somme des courants (\(I_1 + I_2 + I_3\)) est égale au courant total (\(I_{tot}\)) calculé précédemment (Loi des nœuds de Kirchhoff).

Correction : Analyse du Circuit de Lucas

Question 1 : Formule générale pour résistances en parallèle

Réponse :

Pour 'n' résistances \(R_1, R_2, \dots, R_n\) connectées en parallèle, l'inverse de la résistance équivalente \(R_{eq}\) est la somme des inverses des résistances individuelles :

\[ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n} \]

Pour le cas spécifique de deux résistances en parallèle, on utilise souvent la formule simplifiée : \(R_{eq} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}\).

Question 2 : Calcul de la résistance équivalente (\(R_{eq}\))

Données :
  • \(R_1 = 20 \, \text{Ω}\)
  • \(R_2 = 30 \, \text{Ω}\)
  • \(R_3 = 60 \, \text{Ω}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{1}{R_{eq}} &= \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \\ &= \frac{1}{20 \, \text{Ω}} + \frac{1}{30 \, \text{Ω}} + \frac{1}{60 \, \text{Ω}} \\ &= \frac{3}{60 \, \text{Ω}} + \frac{2}{60 \, \text{Ω}} + \frac{1}{60 \, \text{Ω}} \quad (\text{dénominateur commun } 60) \\ &= \frac{3+2+1}{60 \, \text{Ω}} \\ &= \frac{6}{60 \, \text{Ω}} \\ &= \frac{1}{10 \, \text{Ω}} \end{aligned} \]
\[ R_{eq} = 10 \, \text{Ω} \]
Résultat Question 2 : La résistance équivalente \(R_{eq}\) du groupement est de \(10 \, \text{Ω}\).

Question 3 : Courant total (\(I_{tot}\))

Données :
  • \(V = 12 \, \text{V}\)
  • \(R_{eq} = 10 \, \text{Ω}\)
Calcul (Loi d'Ohm) :
\[ \begin{aligned} I_{tot} &= \frac{V}{R_{eq}} \\ &= \frac{12 \, \text{V}}{10 \, \text{Ω}} \\ &= 1.2 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le courant total \(I_{tot}\) fourni par la source est de \(1.2 \, \text{A}\).

Question 4 : Courants dans chaque résistance (\(I_1, I_2, I_3\))

Dans un circuit parallèle, la tension aux bornes de chaque branche est la même et égale à la tension de la source \(V\).

Calcul de \(I_1\) :
\[ \begin{aligned} I_1 &= \frac{V}{R_1} \\ &= \frac{12 \, \text{V}}{20 \, \text{Ω}} \\ &= 0.6 \, \text{A} \end{aligned} \]
Calcul de \(I_2\) :
\[ \begin{aligned} I_2 &= \frac{V}{R_2} \\ &= \frac{12 \, \text{V}}{30 \, \text{Ω}} \\ &= 0.4 \, \text{A} \end{aligned} \]
Calcul de \(I_3\) :
\[ \begin{aligned} I_3 &= \frac{V}{R_3} \\ &= \frac{12 \, \text{V}}{60 \, \text{Ω}} \\ &= 0.2 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultats Question 4 :
  • \(I_1 = 0.6 \, \text{A}\)
  • \(I_2 = 0.4 \, \text{A}\)
  • \(I_3 = 0.2 \, \text{A}\)

Quiz Intermédiaire 1 : Si on ajoute une quatrième résistance en parallèle aux trois existantes, la résistance équivalente totale du groupement va :

Question 5 : Vérification de la loi des nœuds

Réponse :

La loi des nœuds de Kirchhoff stipule que la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant de ce nœud. Le courant total \(I_{tot}\) se divise en \(I_1, I_2, I_3\).

\[ I_{tot} = I_1 + I_2 + I_3 \]
\[ \begin{aligned} 1.2 \, \text{A} &= 0.6 \, \text{A} + 0.4 \, \text{A} + 0.2 \, \text{A} \\ 1.2 \, \text{A} &= 1.2 \, \text{A} \end{aligned} \]

La loi des nœuds est vérifiée.

Quiz Intermédiaire 2 : Si deux résistances \(R_a = 4 \, \text{Ω}\) et \(R_b = 12 \, \text{Ω}\) sont en parallèle, leur résistance équivalente est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La résistance équivalente d'un groupement de résistances en parallèle est toujours :

2. Dans un circuit avec des résistances en parallèle alimenté par une source de tension :

3. Si on a deux résistances \(R_1 = 10 \, \text{Ω}\) et \(R_2 = 10 \, \text{Ω}\) en parallèle, leur résistance équivalente est :

Glossaire

Circuit en Parallèle
Configuration où les composants sont connectés de manière à ce que la même tension soit appliquée à chacun d'eux. Le courant total se divise entre les différentes branches.
Résistance Équivalente (\(R_{eq}\))
Résistance unique qui aurait le même effet sur le circuit que la combinaison de plusieurs résistances. En parallèle : \(1/R_{eq} = 1/R_1 + 1/R_2 + \dots + 1/R_n\). Unité : \(\text{Ω}\).
Loi d'Ohm
Relation fondamentale en électricité : \(V = I \cdot R\), où \(V\) est la tension, \(I\) le courant, et \(R\) la résistance.
Loi des Nœuds de Kirchhoff (Première loi de Kirchhoff)
La somme algébrique des courants entrant dans un nœud (ou un point de jonction) d'un circuit est égale à la somme algébrique des courants sortant de ce nœud.
Conductance (\(G\))
Inverse de la résistance (\(G = 1/R\)). Elle mesure la facilité avec laquelle un composant laisse passer le courant. Unité : \(\text{Siemens (S)}\).
Calcul de Résistance en Parallèle

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