Calcul des caractéristiques d’un transformateur

Exercice : Caractéristiques d'un Transformateur Monophasé

Calcul des Caractéristiques d’un Transformateur Monophasé

Contexte : Le transformateur monophaséAppareil statique à induction électromagnétique destiné à transformer un système de courants alternatifs en un autre système de courants alternatifs de même fréquence mais de tensions et d'intensités généralement différentes..

Les transformateurs sont des composants omniprésents dans les réseaux de distribution d'énergie électrique. Pour prédire leur comportement en charge (chute de tension, rendement), il est nécessaire de les modéliser par un schéma électrique équivalent. Cet exercice a pour but de déterminer les éléments de ce modèle à partir d'essais standards et d'utiliser ce modèle pour calculer les performances du transformateur dans des conditions de fonctionnement nominales.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra la méthode expérimentale et analytique pour caractériser un transformateur réel, une compétence fondamentale en génie électrique.

Objectifs Pédagogiques

Interpréter les résultats des essais à vide et en court-circuit d'un transformateur.
Déterminer les éléments du schéma équivalent de Kapp.
Calculer la chute de tension et le rendement d'un transformateur en charge.
Comprendre la condition de rendement maximal.

Données de l'étude

On s'intéresse à un transformateur monophasé dont la plaque signalétique indique :

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Puissance apparente nominale ($S_n$)	10 kVA
Tension primaire nominale ($U_{1n}$)	5000 V
Tension secondaire nominale ($U_{2n}$)	240 V
Fréquence ($f$)	50 Hz

Pour déterminer les caractéristiques de ce transformateur, on a réalisé deux essais :

Schémas de principe des essais

Essai	Description	Tension mesurée	Courant mesuré	Puissance mesurée
Essai à vide	Alimentation au primaire, secondaire ouvert	$U_{1v} = 5000$ V	$I_{1v} = 0.1$ A	$P_{1v} = 120$ W
Essai en court-circuit	Alimentation au primaire (tension réduite), secondaire en court-circuit	$U_{1cc} = 200$ V	$I_{1cc} = 2$ A	$P_{1cc} = 250$ W

Questions à traiter

À partir de l'essai à vide, déterminer le rapport de transformation $m$ et la valeur des pertes dans le fer $P_{\text{fer}}$.
À partir de l'essai en court-circuit, déterminer les éléments de la branche série du schéma équivalent de Kapp ramené au secondaire : la résistance $R_s$ et la réactance de fuite $X_s$.
Le transformateur alimente une charge inductive qui absorbe son courant nominal $I_{2n}$ avec un facteur de puissance $\cos(\varphi_2) = 0.8$. Calculer la chute de tension au secondaire $\Delta U_2$.
Calculer le rendement $\eta$ du transformateur pour la charge de la question 3.
Déterminer le rendement maximal $\eta_{\text{max}}$ de ce transformateur (pour $\cos(\varphi_2) = 0.8$) et la fraction de charge pour laquelle il est atteint.

Les bases sur les Transformateurs

Pour modéliser un transformateur réel, on utilise un schéma équivalent qui prend en compte ses imperfections : les pertes fer (dans le circuit magnétique) et les pertes Joule (ou pertes cuivre, dans les enroulements).

1. Modèle équivalent de Kapp
Le modèle de Kapp est une simplification courante où la branche d'excitation (modélisant les pertes fer) est placée en tête. Le reste du transformateur est modélisé par une impédance série ramenée soit au primaire, soit au secondaire. Ramenée au secondaire, cette impédance $Z_s$ est constituée d'une résistance $R_s$ et d'une réactance de fuite $X_s$.

2. Chute de tension et Rendement
La chute de tension $\Delta U_2$ est la différence entre la tension secondaire à vide $U_{2v}$ et la tension en charge $U_2$. Une formule approchée est : \[ \Delta U_2 \approx R_s I_2 \cos(\varphi_2) + X_s I_2 \sin(\varphi_2) \] Le rendement $\eta$ est le rapport de la puissance utile $P_2$ sur la puissance absorbée $P_1$. \[ \eta = \frac{P_2}{P_1} = \frac{P_2}{P_2 + P_{\text{fer}} + P_{\text{cuivre}}} \] Avec $P_2 = U_2 I_2 \cos(\varphi_2)$ et $P_{\text{cuivre}} = R_s I_2^2$.

Correction : Calcul des Caractéristiques d’un Transformateur Monophasé

Question 1 : Rapport de transformation et pertes fer

Principe (le concept physique)

L'essai à vide consiste à alimenter le transformateur sous sa tension nominale primaire, en laissant le secondaire ouvert. Le courant primaire absorbé, très faible, sert principalement à magnétiser le circuit ferromagnétique. La puissance mesurée correspond alors quasi-exclusivement aux pertes dans ce circuit (pertes fer), car les pertes par effet Joule dans le primaire sont négligeables ($R_1 I_{1v}^2 \approx 0$).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les pertes fer, notées $P_{\text{fer}}$, ont deux origines : les pertes par hystérésis (dues à l'orientation des domaines magnétiques) et les pertes par courants de Foucault (courants induits dans le circuit magnétique). Elles dépendent de la tension et de la fréquence, qui sont nominales lors de cet essai. On les considère donc comme constantes quelle que soit la charge appliquée au transformateur.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'essai à vide est fondamental car il isole les phénomènes liés au circuit magnétique. Retenez qu'à vide, le transformateur se comporte presque comme une simple bobine à noyau de fer : il absorbe de la puissance réactive pour se magnétiser et un peu de puissance active pour compenser les pertes fer.

Normes (la référence réglementaire)

Les procédures pour les essais des transformateurs de puissance sont standardisées, notamment par la norme internationale IEC 60076. Elle précise les conditions de mesure pour garantir la comparabilité des résultats.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Rapport de transformation

m = \frac{U_{2v}}{U_{1v}} \approx \frac{U_{2n}}{U_{1n}}

Pertes fer

P_{\text{fer}} = P_{1v}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère le transformateur comme parfait pour le calcul du rapport de transformation (pas de chute de tension interne à vide).
On néglige les pertes par effet Joule au primaire devant les pertes fer ($P_{J1v} \ll P_{1v}$).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension nominale primaire	$U_{1n}$	5000	V
Tension nominale secondaire	$U_{2n}$	240	V
Puissance mesurée à vide	$P_{1v}$	120	W

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour l'essai à vide, il n'y a pas vraiment de raccourci : la puissance lue sur le wattmètre est directement la valeur des pertes fer que l'on cherche. C'est une lecture directe.

Schéma (Avant les calculs)

Montage de l'essai à vide

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du rapport de transformation

\begin{aligned} m &= \frac{U_{2n}}{U_{1n}} \\ &= \frac{240 \, \text{V}}{5000 \, \text{V}} \\ &= 0.048 \end{aligned}

Détermination des pertes fer

P_{\text{fer}} = P_{1v} = 120 \, \text{W}

Schéma (Après les calculs)

Caractéristiques à vide déterminées

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le rapport de transformation $m=0.048$ confirme qu'il s'agit d'un transformateur abaisseur de tension. Les pertes fer de 120 W représentent la puissance "perdue" en permanence pour magnétiser le noyau de fer, même lorsque le transformateur ne fournit aucune puissance utile. C'est le "coût fixe" de fonctionnement du transformateur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre le rapport de transformation $m=U_2/U_1$ avec son inverse. Toujours vérifier si le transformateur est abaisseur ($m < 1$) ou élévateur ($m > 1$) pour valider le résultat. Ne pas utiliser le courant à vide $I_{1v}$ pour calculer des pertes Joule significatives.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

L'essai à vide se fait à tension nominale ($U_{1n}$).
Il permet de mesurer les pertes fer ($P_{\text{fer}} = P_{1v}$) qui sont constantes.
Il permet de déterminer le rapport de transformation ($m \approx U_{2n}/U_{1n}$).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le bruit caractéristique d'un transformateur en fonctionnement ("ronronnement") est principalement dû à un phénomène appelé magnétostriction : le circuit magnétique se dilate et se contracte très légèrement sous l'effet du champ magnétique variable à 50 Hz.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le rapport de transformation est $m=0.048$ et les pertes fer s'élèvent à $P_{\text{fer}} = 120$ W.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si un autre transformateur 20kV/400V avait des pertes à vide de 500W, quel serait son rapport de transformation $m$ ?

Question 2 : Détermination de $R_s$ et $X_s$

Principe (le concept physique)

L'essai en court-circuit est réalisé en alimentant le primaire sous une tension très réduite, juste suffisante pour faire circuler le courant nominal dans les enroulements. Le secondaire étant en court-circuit, le flux magnétique dans le noyau est très faible. Par conséquent, les pertes fer deviennent négligeables. La puissance mesurée correspond donc quasi-exclusivement aux pertes par effet Joule dans les résistances des deux enroulements.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cet essai permet de déterminer l'impédance de fuite du transformateur, $Z_s$. Cette impédance modélise deux phénomènes : la résistance ohmique des fils de cuivre des enroulements ($R_s$) et la réactance de fuite ($X_s$). Cette réactance est due aux lignes de champ magnétique qui ne passent pas par le noyau de fer et se referment dans l'air, ne participant pas à la transformation d'énergie mais créant une inductance en série.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cet essai "voit" les défauts liés aux enroulements. Pour simplifier l'analyse, on regroupe la résistance et la réactance des deux enroulements en une seule impédance "ramenée" d'un côté du transformateur (ici, le secondaire). Le carré du rapport de transformation ($m^2$) est la clé pour passer les impédances d'un côté à l'autre.

Normes (la référence réglementaire)

La norme IEC 60076 spécifie que l'essai doit être réalisé à une fréquence et un courant proches des valeurs nominales pour que les résultats soient représentatifs du fonctionnement normal.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Impédance de court-circuit (primaire)

Z_{1cc} = \frac{U_{1cc}}{I_{1cc}}

Résistance de court-circuit (primaire)

R_{1cc} = \frac{P_{1cc}}{I_{1cc}^2}

Réactance de court-circuit (primaire)

X_{1cc} = \sqrt{Z_{1cc}^2 - R_{1cc}^2}

Éléments ramenés au secondaire

R_s = m^2 \cdot R_{1cc} \quad ; \quad X_s = m^2 \cdot X_{1cc}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les pertes fer sont négligeables pendant l'essai en court-circuit ($P_{\text{fer}} \approx 0$).
Les caractéristiques du transformateur sont linéaires dans la plage de fonctionnement de l'essai.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension de court-circuit	$U_{1cc}$	200	V
Courant de court-circuit	$I_{1cc}$	2	A
Puissance de court-circuit	$P_{1cc}$	250	W
Rapport de transformation	$m$	0.048	-

Astuces (Pour aller plus vite)

Le calcul de $R_{1cc}$ est direct. Pour éviter une longue soustraction sous la racine, on peut utiliser le triangle des puissances : $S_{1cc} = U_{1cc}I_{1cc}$, $P_{1cc}$ est mesurée, et la puissance réactive de fuite est $Q_{1cc} = \sqrt{S_{1cc}^2 - P_{1cc}^2}$. Ensuite, $X_{1cc} = Q_{1cc} / I_{1cc}^2$. Cela évite des erreurs de calcul avec de grands nombres.

Schéma (Avant les calculs)

Montage de l'essai en court-circuit

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'impédance de court-circuit primaire

Z_{1cc} = \frac{200 \, \text{V}}{2 \, \text{A}} = 100 \, \Omega

Calcul de la résistance de court-circuit primaire

R_{1cc} = \frac{250 \, \text{W}}{(2 \, \text{A})^2} = \frac{250}{4} = 62.5 \, \Omega

Calcul de la réactance de court-circuit primaire

\begin{aligned} X_{1cc} &= \sqrt{Z_{1cc}^2 - R_{1cc}^2} \\ &= \sqrt{100^2 - 62.5^2} \\ &= \sqrt{10000 - 3906.25} \\ &= \sqrt{6093.75} \\ &\approx 78.06 \, \Omega \end{aligned}

Calcul de la résistance ramenée au secondaire

\begin{aligned} R_s &= m^2 \cdot R_{1cc} \\ &= (0.048)^2 \cdot 62.5 \\ &= 0.002304 \cdot 62.5 \\ &= 0.144 \, \Omega \end{aligned}

Calcul de la réactance ramenée au secondaire

\begin{aligned} X_s &= m^2 \cdot X_{1cc} \\ &= (0.048)^2 \cdot 78.06 \\ &\approx 0.180 \, \Omega \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Modèle de Kapp ramené au secondaire

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ces deux valeurs, $R_s$ et $X_s$, quantifient les imperfections du transformateur liées aux enroulements. $R_s$ est la cause des pertes par effet Joule et donc de l'échauffement en charge. $X_s$ est la cause principale de la chute de tension sur les charges inductives. On a maintenant un modèle simple mais puissant pour prédire le comportement du transformateur sans avoir besoin de connaître sa géométrie interne.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de ramener les impédances au secondaire en multipliant par $m^2$. Les calculs faits avec $R_{1cc}$ et $X_{1cc}$ ne sont valables que pour des grandeurs du primaire. Attention également au triangle des puissances/impédances : $Z^2 = R^2 + X^2$, ne pas additionner arithmétiquement R et X !

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

L'essai en court-circuit se fait à courant nominal ($I_{n}$) mais à tension réduite.
Il permet de mesurer les pertes cuivre ($P_{\text{cuivre}} = P_{1cc}$) à courant nominal.
Il permet de déterminer les éléments série $R_s$ et $X_s$.
N'oubliez pas de ramener les impédances au secondaire (multiplication par $m^2$).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La tension de court-circuit, exprimée en pourcentage de la tension nominale ($U_{1cc}\% = (U_{1cc}/U_{1n}) \times 100$), est une donnée capitale. Elle caractérise la capacité d'un transformateur à limiter les courants de court-circuit sur le réseau. Une tension de court-circuit faible (ex: 4%) implique une faible impédance interne et des courants de défaut très élevés.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les éléments du modèle équivalent ramené au secondaire sont $R_s = 0.144 \, \Omega$ et $X_s = 0.180 \, \Omega$.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si $P_{1cc}$ était de 300 W au lieu de 250 W (avec les mêmes U et I), quelle serait la nouvelle valeur de $R_s$ ?

Question 3 : Chute de tension en charge

Principe (le concept physique)

Lorsqu'un courant traverse les enroulements du transformateur, il provoque une chute de tension à travers l'impédance série ($R_s$ et $X_s$). La tension aux bornes de la charge ($U_2$) est donc inférieure à la tension que le transformateur fournirait à vide ($U_{2v}$). Cette différence, $\Delta U_2 = U_{2v} - U_2$, dépend non seulement de l'amplitude du courant mais aussi de son déphasage par rapport à la tension (le facteur de puissance de la charge).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La chute de tension a deux composantes : une chute de tension "résistive" ($R_s I_2$), en phase avec le courant, et une chute de tension "inductive" ($X_s I_2$), en quadrature avant sur le courant. La composition vectorielle de ces termes avec la tension $U_2$ donne la tension à vide $U_{2v}$. La formule approchée est une projection de ces vecteurs qui donne un résultat très précis pour les transformateurs usuels.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez le diagramme de Fresnel (diagramme vectoriel) : la chute de tension est d'autant plus grande que la charge est inductive (déphasage arrière, $\varphi_2 > 0$). Pour une charge capacitive, la chute de tension peut même devenir négative, c'est-à-dire que la tension en charge peut être supérieure à la tension à vide (effet Ferranti).

Normes (la référence réglementaire)

La régulation de tension est un critère de qualité majeur pour les réseaux électriques. Les normes (ex: EN 50160 en Europe) imposent des plages de tension strictes chez le consommateur. Le calcul de la chute de tension dans les transformateurs est donc essentiel pour garantir le respect de ces normes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Courant nominal secondaire

I_{2n} = \frac{S_n}{U_{2n}}

Sinus de l'angle de déphasage

\sin(\varphi_2) = \sqrt{1 - \cos^2(\varphi_2)}

Formule approchée de la chute de tension

\Delta U_2 \approx R_s I_{2n} \cos(\varphi_2) + X_s I_{2n} \sin(\varphi_2)

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise la formule de chute de tension approchée, qui est valide car la chute de tension est faible devant la tension nominale.
On considère la tension secondaire nominale $U_{2n}$ comme étant la tension en charge $U_2$.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Puissance apparente nominale	$S_n$	10000	VA
Tension secondaire nominale	$U_{2n}$	240	V
Facteur de puissance	$\cos(\varphi_2)$	0.8	-
Résistance ramenée au sec.	$R_s$	0.144	$\Omega$
Réactance ramenée au sec.	$X_s$	0.180	$\Omega$

Astuces (Pour aller plus vite)

Le diagramme de Fresnel est l'outil le plus puissant pour comprendre la chute de tension. Un petit croquis rapide permet de ne pas se tromper dans les signes et de vérifier la cohérence du résultat. Pour une charge inductive, la tension à vide "tire" en avant par rapport à la tension en charge.

Schéma (Avant les calculs)

Modèle de Kapp en charge

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du courant nominal secondaire

I_{2n} = \frac{10000 \, \text{VA}}{240 \, \text{V}} \approx 41.67 \, \text{A}

Calcul de $\sin(\varphi_2)$

La charge est inductive, donc l'angle $\varphi_2$ est positif, et son sinus aussi.

\begin{aligned} \sin(\varphi_2) &= \sqrt{1 - 0.8^2} \\ &= \sqrt{1 - 0.64} \\ &= \sqrt{0.36} \\ &= 0.6 \end{aligned}

Calcul de la chute de tension

\begin{aligned} \Delta U_2 &\approx (0.144 \cdot 41.67 \cdot 0.8) + (0.180 \cdot 41.67 \cdot 0.6) \\ &\approx 4.80 + 4.50 \\ &= 9.30 \, \text{V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Diagramme de Fresnel de la chute de tension (charge inductive)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une chute de tension de 9.3 V représente $9.3 / 240 \approx 3.9\%$ de la tension nominale. Cela signifie que si la tension à vide est de 240 V, elle tombera à environ $240 - 9.3 = 230.7$ V lorsque le transformateur alimente sa charge nominale inductive. C'est une information cruciale pour la conception et la régulation d'un réseau électrique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention au signe de $\sin(\varphi_2)$ ! Pour une charge inductive (la plus courante), $\sin(\varphi_2) > 0$. Pour une charge capacitive, $\sin(\varphi_2) < 0$, ce qui change radicalement le résultat du calcul de la chute de tension.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La chute de tension dépend du courant ET du facteur de puissance de la charge.
La formule approchée $\Delta U_2 \approx I_2 (R_s\cos\varphi_2 + X_s\sin\varphi_2)$ est un outil essentiel.
La réactance de fuite $X_s$ a un impact majeur sur la chute de tension pour les charges inductives.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour compenser la chute de tension dans les longs réseaux de distribution, les transformateurs de puissance sont souvent équipés d'un "changeur de prises". C'est un commutateur qui permet de modifier légèrement le nombre de spires de l'enroulement primaire, et donc d'ajuster le rapport de transformation $m$ pour maintenir une tension stable chez le client.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La chute de tension au secondaire pour la charge nominale est $\Delta U_2 \approx 9.30$ V.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Calculez la chute de tension $\Delta U_2$ si la charge était purement résistive ($\cos(\varphi_2)=1$).

Question 4 : Calcul du rendement en charge

Principe (le concept physique)

Le rendement mesure l'efficacité du transformateur à transférer la puissance. Il est défini comme le rapport de la puissance fournie à la charge (puissance utile) sur la puissance absorbée au primaire. La différence entre les deux correspond à la somme de toutes les pertes : les pertes fer (constantes) et les pertes cuivre (qui dépendent de la charge).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le bilan de puissance d'un transformateur s'écrit : $P_{\text{absorbée}} = P_{\text{utile}} + P_{\text{pertes}}$. Les pertes totales sont $P_{\text{pertes}} = P_{\text{fer}} + P_{\text{cuivre}}$. Le rendement est donc $\eta = P_{\text{utile}} / (P_{\text{utile}} + P_{\text{fer}} + P_{\text{cuivre}})$. Cette formule montre que pour une puissance utile donnée, le rendement est pénalisé par les deux types de pertes.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour calculer le rendement, la méthode la plus fiable est de calculer séparément la puissance utile et chaque type de perte, puis d'appliquer la formule. Essayer de calculer la puissance absorbée au primaire directement est plus complexe car cela nécessite de connaître le déphasage au primaire, qui est différent de celui au secondaire.

Normes (la référence réglementaire)

L'efficacité énergétique est un enjeu majeur. Des réglementations (comme la directive Eco-conception de l'UE) imposent des niveaux de rendement minimaux pour les transformateurs mis sur le marché afin de réduire le gaspillage d'énergie dans les réseaux électriques.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du rendement

\eta = \frac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{absorbée}}} = \frac{P_2}{P_2 + P_{\text{fer}} + P_{\text{cuivre}}}

Formule de la puissance utile

P_2 = S_n \cdot \cos(\varphi_2)

Formule des pertes cuivre

P_{\text{cuivre}} = R_s \cdot I_{2n}^2

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le transformateur fonctionne à son régime nominal ($S_n$, $I_{2n}$, $U_{2n}$).
Les pertes fer sont constantes et égales à $P_{1v}$.
Les pertes cuivre sont calculées avec la résistance $R_s$ déterminée précédemment.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Puissance apparente nominale	$S_n$	10000	VA
Courant nominal secondaire	$I_{2n}$	41.67	A
Facteur de puissance	$\cos(\varphi_2)$	0.8	-
Pertes fer	$P_{\text{fer}}$	120	W
Résistance ramenée au sec.	$R_s$	0.144	$\Omega$

Astuces (Pour aller plus vite)

Notez que les pertes cuivre à pleine charge ($P_{1cc}$ = 250 W) sont directement une donnée de l'essai en court-circuit (si l'essai a été fait à $I_{1cc}=I_{1n}$). Ici, $I_{1n} = 10000/5000=2A$, donc c'est le cas. Cela permet de sauter le calcul de $P_{\text{cuivre}}$ pour la question 4.

Schéma (Avant les calculs)

Bilan de puissance du transformateur

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la puissance utile $P_2$

P_2 = S_n \cdot \cos(\varphi_2) = 10000 \, \text{VA} \cdot 0.8 = 8000 \, \text{W}

Calcul des pertes cuivre nominales $P_{\text{cuivre}}$

\begin{aligned} P_{\text{cuivre}} &= R_s \cdot I_{2n}^2 \\ &= 0.144 \, \Omega \cdot (41.67 \, \text{A})^2 \\ &\approx 250 \, \text{W} \end{aligned}

Calcul du rendement $\eta$

\begin{aligned} \eta &= \frac{8000}{8000 + P_{\text{fer}} + P_{\text{cuivre}}} \\ &= \frac{8000}{8000 + 120 + 250} \\ &= \frac{8000}{8370} \\ &\approx 0.9558 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Répartition des puissances à charge nominale

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un rendement de 95.6% est une valeur typique pour un transformateur de cette taille. Cela signifie que pour 1000 W absorbés au primaire, 956 W sont délivrés à la charge, et 44 W sont perdus en chaleur. On remarque qu'à pleine charge, les pertes cuivre (250 W) sont significativement plus élevées que les pertes fer (120 W).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier une des sources de pertes dans le calcul. Le rendement est toujours inférieur à 1 (ou 100%). Un résultat supérieur indique une erreur de calcul. Assurez-vous que toutes les puissances sont dans la même unité (W ou kW) avant de faire le rapport.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le rendement dépend de la charge car les pertes cuivre varient avec le carré du courant.
Le calcul du rendement se fait en 3 étapes : calcul de $P_{\text{utile}}$, calcul de $P_{\text{cuivre}}$, et application de la formule générale.
Les pertes fer sont constantes et indépendantes de la charge.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les très gros transformateurs de puissance utilisés dans les centrales ou les postes d'interconnexion peuvent atteindre des rendements exceptionnels, dépassant les 99.5%. Chaque fraction de pourcent de rendement gagnée représente des économies d'énergie colossales à l'échelle d'un pays.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le rendement du transformateur pour cette charge est $\eta \approx 95.6 \%$.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le rendement si le transformateur ne débitait que la moitié de son courant nominal ($I_2 = I_{2n}/2$) sur la même charge ($\cos(\varphi_2)=0.8$) ?

Question 5 : Rendement maximal

Principe (le concept physique)

Le rendement n'est pas constant avec la charge. Il part de zéro (à vide), augmente jusqu'à un maximum, puis redescend légèrement. Le point de rendement maximal est atteint lorsque les pertes variables (pertes cuivre, qui augmentent avec le carré de la charge) deviennent égales aux pertes fixes (pertes fer).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Mathématiquement, on cherche le maximum de la fonction $\eta(I_2) = \frac{U_2 I_2 \cos\varphi_2}{U_2 I_2 \cos\varphi_2 + P_{\text{fer}} + R_s I_2^2}$. En dérivant cette expression par rapport à $I_2$ et en cherchant le point où la dérivée s'annule, on trouve que ce maximum est atteint lorsque $P_{\text{fer}} = R_s I_2^2$, c'est-à-dire quand les pertes fer égalent les pertes cuivre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Retenez cette règle simple : $\eta_{\text{max}}$ quand $P_{\text{fer}} = P_{\text{cuivre}}$. C'est une condition très générale pour de nombreux systèmes électriques. Cela permet de trouver rapidement à quel courant (et donc à quel pourcentage de charge) le transformateur est le plus efficace.

Normes (la référence réglementaire)

Il n'y a pas de norme imposant le point de rendement maximal, mais les concepteurs de transformateurs le placent stratégiquement. Pour un transformateur de distribution, qui passe une grande partie de son temps à faible charge, on peut le concevoir pour que son rendement maximal soit atteint autour de 50-70% de sa charge nominale.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Condition du rendement maximal et courant correspondant

R_s \cdot I_{2, \eta_{\text{max}}}^2 = P_{\text{fer}} \Rightarrow I_{2, \eta_{\text{max}}} = \sqrt{\frac{P_{\text{fer}}}{R_s}}

Formule du rendement maximal

\eta_{\text{max}} = \frac{P_{2, \eta_{\text{max}}}}{P_{2, \eta_{\text{max}}} + 2 \cdot P_{\text{fer}}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le facteur de puissance de la charge reste constant à 0.8.
Les valeurs de $R_s$ et $P_{\text{fer}}$ sont constantes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pertes fer	$P_{\text{fer}}$	120	W
Résistance ramenée au sec.	$R_s$	0.144	$\Omega$
Courant nominal secondaire	$I_{2n}$	41.67	A

Astuces (Pour aller plus vite)

La fraction de charge $\beta$ pour le rendement maximal peut être calculée directement à partir des puissances de pertes : $\beta = \sqrt{P_{\text{fer}} / P_{\text{cuivre, nominal}}}$. Ici, $\beta = \sqrt{120 / 250} \approx 0.693$, soit 69.3% de la charge nominale.

Schéma (Avant les calculs)

Évolution des pertes en fonction de la charge

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du courant pour le rendement maximal

\begin{aligned} I_{2, \eta_{\text{max}}} &= \sqrt{\frac{120 \, \text{W}}{0.144 \, \Omega}} \\ &= \sqrt{833.33} \\ &\approx 28.87 \, \text{A} \end{aligned}

Calcul de la fraction de charge

\begin{aligned} \text{Fraction de charge} &= \frac{I_{2, \eta_{\text{max}}}}{I_{2n}} \\ &= \frac{28.87 \, \text{A}}{41.67 \, \text{A}} \\ &\approx 0.693 \end{aligned}

Calcul de la puissance utile au rendement maximal

\begin{aligned} P_{2, \eta_{\text{max}}} &= U_{2n} \cdot I_{2, \eta_{\text{max}}} \cdot \cos(\varphi_2) \\ &= 240 \cdot 28.87 \cdot 0.8 \\ &\approx 5543 \, \text{W} \end{aligned}

Calcul du rendement maximal

\begin{aligned} \eta_{\text{max}} &= \frac{5543}{5543 + 2 \cdot 120} \\ &= \frac{5543}{5543 + 240} \\ &= \frac{5543}{5783} \\ &\approx 0.9585 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Courbe de rendement en fonction de la charge

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le rendement maximal (95.9%) est légèrement supérieur au rendement à pleine charge (95.6%). Le fait que ce maximum soit atteint à 69.3% de la charge nominale indique que ce transformateur est optimisé pour fonctionner plus efficacement à charge partielle qu'à pleine charge, ce qui est souvent le cas en pratique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas supposer que le rendement est toujours maximal à la puissance nominale. C'est rarement le cas. La condition $P_{\text{fer}}=P_{\text{cuivre}}$ est la clé de la résolution.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le rendement maximal est atteint quand les pertes fixes (fer) égalent les pertes variables (cuivre).
Le point de rendement maximal ne coïncide généralement pas avec la charge nominale.
La valeur du rendement maximal est le "plafond" d'efficacité du transformateur pour un facteur de puissance donné.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les transformateurs modernes à haut rendement utilisent des alliages de fer amorphe au lieu de l'acier au silicium traditionnel. Ces matériaux ont des cycles d'hystérésis beaucoup plus étroits, ce qui peut réduire les pertes fer de 60 à 70%, les rendant idéaux pour les applications où le transformateur reste sous tension en permanence avec une faible charge moyenne.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le rendement maximal est $\eta_{\text{max}} \approx 95.9 \%$ et il est atteint pour une charge d'environ 69.3% de la charge nominale.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour ce même transformateur, à quelle fraction de charge le rendement serait-il maximal si les pertes fer étaient de 200 W au lieu de 120 W ?

Outil Interactif : Simulateur de Rendement

Utilisez les curseurs pour faire varier le taux de charge (en % du courant nominal) et le facteur de puissance de la charge. Observez l'impact sur la chute de tension et le rendement du transformateur. Le graphique montre l'évolution du rendement en fonction du taux de charge pour le facteur de puissance sélectionné.

Paramètres d'Entrée

Taux de Charge (%) 100 %

Facteur de Puissance $\cos(\varphi_2)$ 0.80

Résultats Clés

Chute de Tension $\Delta U_2$ (V) -

Rendement $\eta$ (%) -

Rapport de transformation ($m$): Rapport entre la tension secondaire à vide et la tension primaire. Si $m < 1$, le transformateur est abaisseur ; si $m > 1$, il est élévateur.
Pertes Fer ($P_{\text{fer}}$): Pertes de puissance dans le circuit magnétique dues à l'hystérésis et aux courants de Foucault. Elles sont considérées comme constantes et indépendantes de la charge.
Pertes Cuivre ($P_{\text{cuivre}}$): Pertes de puissance par effet Joule dans les enroulements primaire et secondaire. Elles sont proportionnelles au carré du courant qui les traverse ($P_J = R \cdot I^2$).
Rendement ($\eta$): Rapport entre la puissance électrique fournie au circuit secondaire (utile) et la puissance électrique absorbée par le circuit primaire. Il caractérise l'efficacité de la conversion d'énergie.

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Calcul des caractéristiques d’un transformateur

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Schémas de principe des essais

Questions à traiter

Les bases sur les Transformateurs

Correction : Calcul des Caractéristiques d’un Transformateur Monophasé

Question 1 : Rapport de transformation et pertes fer

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Montage de l'essai à vide

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Caractéristiques à vide déterminées

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Question 2 : Détermination de \(R_s\) et \(X_s\)

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Montage de l'essai en court-circuit

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Modèle de Kapp ramené au secondaire

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Question 3 : Chute de tension en charge

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Modèle de Kapp en charge

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Diagramme de Fresnel de la chute de tension (charge inductive)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Question 4 : Calcul du rendement en charge

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)