Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Calcul du moment dipolaire

Calcul du Moment Dipolaire Électrique

Calcul du Moment Dipolaire Électrique

Comprendre le Moment Dipolaire Électrique

Un dipôle électrique est un système fondamental en électrostatique, constitué de deux charges électriques de même magnitude \(q\) mais de signes opposés, séparées par une petite distance \(d\). Le moment dipolaire électrique, noté \(\vec{p}\), est un vecteur qui quantifie la séparation de ces charges. Sa magnitude est \(p = qd\), et sa direction est conventionnellement orientée de la charge négative vers la charge positive. Le moment dipolaire est crucial pour comprendre comment le dipôle interagit avec des champs électriques externes (subissant un couple et possédant une énergie potentielle) et pour décrire le champ électrique que le dipôle lui-même génère, particulièrement à des distances grandes par rapport à la séparation des charges.

Données de l'étude

Un dipôle électrique est constitué de deux charges ponctuelles :

  • Charge \(q_1 = +3,0 \, \text{nC}\) située au point A de coordonnées \((0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm}; +1,0 \, \text{mm})\).
  • Charge \(q_2 = -3,0 \, \text{nC}\) située au point B de coordonnées \((0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm}; -1,0 \, \text{mm})\).

Ce dipôle est placé dans un champ électrique externe uniforme \(\vec{E}_{\text{ext}} = (400 \, \hat{i} + 0 \, \hat{j} + 300 \, \hat{k}) \, \text{N/C}\).

Constante :

  • Constante de Coulomb (pour référence, non directement utilisée pour toutes les questions) : \(k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Schéma : Dipôle Électrique dans un Champ Externe
{/* Axes */} {/* Axe X */} x {/* Axe Z (vertical pour le dipôle) */} z O {/* Charge q1 à A (0,0,+1mm) -> (125, 100-20=80) (échelle 1mm = 20px) */} q₁ (A) {/* Charge q2 à B (0,0,-1mm) -> (125, 100+20=120) */} q₂ (B) {/* Vecteur moment dipolaire p (de q2 vers q1) */} p⃗ {/* Champ électrique externe E_ext (composantes i et k) */} {/* Comp. x */} {/* Comp. z */} {/* Résultante */} E⃗_ext Dipôle électrique dans un champ externe

Dipôle électrique orienté selon l'axe z, placé dans un champ électrique externe \(\vec{E}_{\text{ext}}\).

Questions à traiter

  1. Déterminer le vecteur \(\vec{d}\) séparant les charges, orienté de la charge négative \(q_2\) vers la charge positive \(q_1\). Calculer sa norme \(d\).
  2. Calculer le vecteur moment dipolaire électrique \(\vec{p}\) du dipôle.
  3. Calculer le couple \(\vec{\tau}\) exercé sur le dipôle par le champ électrique externe \(\vec{E}_{\text{ext}}\). Donner sa magnitude et sa direction.
  4. Calculer l'énergie potentielle \(U_e\) du dipôle dans ce champ électrique externe.
  5. Si le dipôle était libre de tourner, quelle orientation prendrait-il pour minimiser son énergie potentielle ? Quel serait alors le couple subi ?

Correction : Calcul et Implications du Moment Dipolaire Électrique

Question 1 : Vecteur \(\vec{d}\) et norme \(d\)

Principe :

Le vecteur \(\vec{d}\) est le vecteur position de la charge positive \(q_1\) (point A) par rapport à la charge négative \(q_2\) (point B). \(\vec{d} = \vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB}\).

Données spécifiques (converties en mètres) :
  • Position de A (\(q_1\)) : \((0 \, \text{m}; 0 \, \text{m}; +0,001 \, \text{m})\)
  • Position de B (\(q_2\)) : \((0 \, \text{m}; 0 \, \text{m}; -0,001 \, \text{m})\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{d} &= (x_A - x_B)\hat{i} + (y_A - y_B)\hat{j} + (z_A - z_B)\hat{k} \\ &= (0 - 0)\hat{i} + (0 - 0)\hat{j} + (0,001 - (-0,001))\hat{k} \, \text{m} \\ &= 0\hat{i} + 0\hat{j} + (0,001 + 0,001)\hat{k} \, \text{m} \\ &= 0,0020\hat{k} \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} d &= |\vec{d}| \\ &= \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (0,0020 \, \text{m})^2} \\ &= 0,0020 \, \text{m} \quad (= 2,0 \, \text{mm}) \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • \(\vec{d} = 0,0020\hat{k} \, \text{m}\)
  • \(d = 0,0020 \, \text{m}\)

Question 2 : Vecteur moment dipolaire électrique \(\vec{p}\)

Principe :

Le moment dipolaire \(\vec{p}\) est défini par \(\vec{p} = q \vec{d}\), où \(q\) est la magnitude de la charge positive (\(q_1\)) et \(\vec{d}\) est le vecteur allant de la charge négative à la charge positive.

Données spécifiques :
  • \(q = q_1 = +3,0 \, \text{nC} = +3,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(\vec{d} = 0,0020\hat{k} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{p} &= (3,0 \times 10^{-9} \, \text{C}) \times (0,0020\hat{k} \, \text{m}) \\ &= 6,0 \times 10^{-12} \hat{k} \, \text{C} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : \(\vec{p} = 6,0 \times 10^{-12} \hat{k} \, \text{C} \cdot \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la distance \(d\) entre les charges du dipôle était doublée, la magnitude du moment dipolaire \(p\) serait :

Question 3 : Couple \(\vec{\tau}\) sur le dipôle

Principe :

Le couple \(\vec{\tau}\) exercé sur un dipôle \(\vec{p}\) placé dans un champ électrique externe \(\vec{E}_{\text{ext}}\) est \(\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}_{\text{ext}}\).

Données spécifiques :
  • \(\vec{p} = 6,0 \times 10^{-12} \hat{k} \, \text{C} \cdot \text{m}\)
  • \(\vec{E}_{\text{ext}} = (400 \hat{i} + 300 \hat{k}) \, \text{N/C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{\tau} &= (6,0 \times 10^{-12} \hat{k}) \times (400 \hat{i} + 0\hat{j} + 300 \hat{k}) \, \text{N} \cdot \text{m} \\ &= (6,0 \times 10^{-12} \times 400) (\hat{k} \times \hat{i}) + (6,0 \times 10^{-12} \times 300) (\hat{k} \times \hat{k}) \, \text{N} \cdot \text{m} \\ &= (2400 \times 10^{-12}) (\hat{j}) + (1800 \times 10^{-12}) (\vec{0}) \, \text{N} \cdot \text{m} \\ &= 2,4 \times 10^{-9} \hat{j} \, \text{N} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

(Rappel : \(\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}\) et \(\hat{k} \times \hat{k} = \vec{0}\))

Magnitude du couple : \(|\vec{\tau}| = 2,4 \times 10^{-9} \, \text{N} \cdot \text{m}\).

Direction : Le couple est dirigé selon l'axe des y positifs.

Résultat Question 3 : Le couple exercé sur le dipôle est \(\vec{\tau} = 2,4 \times 10^{-9} \hat{j} \, \text{N} \cdot \text{m}\). Sa magnitude est \(2,4 \times 10^{-9} \, \text{N} \cdot \text{m}\) et il est dirigé selon \(\hat{j}\).

Question 4 : Énergie potentielle \(U_e\) du dipôle

Principe :

L'énergie potentielle \(U_e\) d'un dipôle \(\vec{p}\) dans un champ électrique externe \(\vec{E}_{\text{ext}}\) est \(U_e = -\vec{p} \cdot \vec{E}_{\text{ext}}\).

Données spécifiques :
  • \(\vec{p} = 6,0 \times 10^{-12} \hat{k} \, \text{C} \cdot \text{m}\)
  • \(\vec{E}_{\text{ext}} = (400 \hat{i} + 300 \hat{k}) \, \text{N/C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} U_e &= -(0\hat{i} + 0\hat{j} + 6,0 \times 10^{-12}\hat{k}) \cdot (400\hat{i} + 0\hat{j} + 300\hat{k}) \, \text{J} \\ &= - ( (0 \times 400) + (0 \times 0) + (6,0 \times 10^{-12} \times 300) ) \, \text{J} \\ &= - (1800 \times 10^{-12}) \, \text{J} \\ &= -1,8 \times 10^{-9} \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'énergie potentielle du dipôle dans ce champ est \(U_e = -1,8 \times 10^{-9} \, \text{J}\).

Question 5 : Orientation pour minimiser l'énergie potentielle et couple résultant

Principe :

L'énergie potentielle \(U_e = -\vec{p} \cdot \vec{E}_{\text{ext}} = -p E_{\text{ext}} \cos\theta\) est minimale lorsque \(\cos\theta\) est maximal, c'est-à-dire \(\cos\theta = 1\), ce qui correspond à \(\theta = 0^{\circ}\). Cela signifie que \(\vec{p}\) est aligné avec \(\vec{E}_{\text{ext}}\).

Lorsque \(\vec{p}\) est aligné avec \(\vec{E}_{\text{ext}}\) (\(\theta = 0^{\circ}\)), le couple \(\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}_{\text{ext}}\) a une magnitude \(|\tau| = p E_{\text{ext}} \sin\theta = p E_{\text{ext}} \sin(0^{\circ}) = 0\).

Résultat Question 5 :
  • Pour minimiser son énergie potentielle, le dipôle s'alignerait avec le champ électrique externe \(\vec{E}_{\text{ext}}\).
  • Dans cette configuration alignée, le couple subi par le dipôle serait nul (\(\vec{\tau} = \vec{0}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Un dipôle électrique placé dans un champ électrique externe non uniforme :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le moment dipolaire électrique \(\vec{p}\) est un vecteur :

2. Le couple \(\vec{\tau}\) sur un dipôle \(\vec{p}\) dans un champ \(\vec{E}_{\text{ext}}\) est donné par :

3. L'énergie potentielle \(U_e\) d'un dipôle \(\vec{p}\) dans un champ \(\vec{E}_{\text{ext}}\) est :

Glossaire

Dipôle Électrique
Système de deux charges électriques de même magnitude \(q\) mais de signes opposés, séparées par une petite distance \(d\).
Moment Dipolaire Électrique (\(\vec{p}\))
Vecteur défini comme \(\vec{p} = q\vec{d}\), où \(\vec{d}\) est le vecteur allant de la charge négative à la charge positive. Sa magnitude est \(p=qd\). Unité : Coulomb-mètre (C·m).
Potentiel d'un Dipôle (approximation)
À grande distance \(r\) du dipôle, le potentiel est \(V_P \approx \frac{k_e \vec{p} \cdot \hat{u}_r}{r^2} = \frac{k_e p \cos\theta}{r^2}\), où \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{p}\) et la direction d'observation.
Couple sur un Dipôle (\(\vec{\tau}\))
Dans un champ électrique externe \(\vec{E}_{\text{ext}}\), un dipôle subit un couple \(\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}_{\text{ext}}\). Ce couple tend à aligner \(\vec{p}\) avec \(\vec{E}_{\text{ext}}\). Unité : Newton-mètre (N·m).
Énergie Potentielle d'un Dipôle (\(U_e\))
L'énergie potentielle d'un dipôle \(\vec{p}\) dans un champ électrique externe \(\vec{E}_{\text{ext}}\) est \(U_e = -\vec{p} \cdot \vec{E}_{\text{ext}}\). Unité : Joule (J).
Constante de Coulomb (\(k_e\))
Constante de proportionnalité, \(k_e = 1/(4\pi\varepsilon_0) \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).
Nanocoulomb (nC)
Unité de charge électrique égale à \(10^{-9}\) coulombs.
Millimètre (mm)
Unité de longueur égale à \(10^{-3}\) mètres.
Calcul du Moment Dipolaire Électrique

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