Corrélation Croisée entre Deux Signaux Discrets
Contexte : Détection de signaux en radar et sonar.
En traitement du signal, la corrélation croiséeOpération mathématique qui mesure la similarité entre deux signaux en fonction du décalage temporel appliqué à l'un d'eux. Elle est maximale lorsque les signaux sont les mieux alignés. est un outil fondamental pour détecter la présence d'un signal connu au sein d'un autre signal, souvent bruité. Une application typique est la télémétrie (radar, sonar) : on émet une impulsion connue (un "bip") et on écoute son écho. En corrélant le signal reçu avec le signal émis, on peut non seulement détecter l'écho, mais aussi mesurer précisément son temps de retour, ce qui permet de calculer la distance de l'objet qui l'a réfléchi. Cet exercice vous guidera dans le calcul manuel de la corrélation croisée pour retrouver un retard entre deux signaux.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre comment un outil mathématique puissant peut résoudre un problème physique très concret. Nous allons passer d'une représentation abstraite (des suites de nombres) à une information tangible (une distance). C'est l'essence du traitement du signal : extraire de l'information pertinente à partir de données brutes.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la définition mathématique de la corrélation croisée pour des signaux discrets.
- Calculer manuellement la séquence de corrélation croisée entre deux signaux simples.
- Identifier le pic de corrélation pour déterminer le décalage (retard) entre les signaux.
- Appliquer ce résultat pour résoudre un problème physique simple (calcul de distance).
- Se familiariser avec la notion de décalage (lag) et d'échantillonnage.
Données de l'étude
\(y[n] = \{0, 0, 1, 2, 1, -0.5\}\) pour \(n=0, ..., 5\) (et 0 ailleurs)
Signaux Émis et Reçu
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Signal émis | \(x[n]\) | \(\{1, 2, 1\}\) | - |
| Signal reçu | \(y[n]\) | \(\{0, 0, 1, 2, 1, -0.5\}\) | - |
| Fréquence d'échantillonnage | \(F_e\) | 1000 | \(\text{Hz}\) |
| Vitesse du son dans l'eau | \(c\) | 1500 | \(\text{m/s}\) |
Questions à traiter
- Calculer la valeur de la corrélation croisée \(r_{\text{xy}}[l]\) pour un décalage (lag) de \(l=2\).
- Calculer la séquence complète de corrélation croisée \(r_{\text{xy}}[l]\) pour tous les décalages pertinents.
- Déterminer le décalage \(\hat{l}\) pour lequel \(r_{\text{xy}}[l]\) est maximal.
- En déduire le retard temporel \(\tau\) entre les signaux et calculer la distance \(d\) de l'objet détecté.
Les bases du Traitement du Signal
Avant de commencer, revoyons le concept de corrélation croisée.
La Corrélation Croisée :
C'est une mesure de la similarité entre deux séries temporelles en fonction d'un décalage de l'une par rapport à l'autre. Pour deux signaux discrets \(x[n]\) et \(y[n]\), la corrélation croisée \(r_{\text{xy}}\) en fonction du décalage (ou "lag") \(l\) est définie par :
\[ r_{\text{xy}}[l] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \cdot y[n+l] \]
Intuitivement, on fait glisser un signal par rapport à l'autre. Pour chaque position de glissement (\(l\)), on multiplie les échantillons qui se superposent et on somme les produits. Le résultat sera élevé si les formes des signaux coïncident à ce décalage.
Correction : Corrélation Croisée entre Deux Signaux Discrets
Question 1 : Calculer \(r_{\text{xy}}[l]\) pour \(l=2\)
Principe (le concept physique)
Calculer la corrélation pour un décalage \(l=2\) signifie que l'on va "avancer" le signal \(y[n]\) de 2 échantillons par rapport à \(x[n]\), puis on multipliera les échantillons qui se font face et on sommeratous les produits. C'est une mesure de ressemblance pour ce décalage précis, qui correspond à l'hypothèse que l'écho est revenu avec un retard de 2 unités de temps d'échantillonnage.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'opération de corrélation est liée à la projection d'un vecteur sur un autre. Si l'on considère les signaux comme des vecteurs dans un espace de grande dimension, la corrélation à un décalage \(l\) est analogue au produit scalaire entre le vecteur \(x\) et une version décalée du vecteur \(y\). Un produit scalaire élevé signifie que les vecteurs sont "alignés", c'est-à-dire similaires.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez que vous avez deux peignes. La corrélation, c'est comme faire glisser un peigne sur l'autre. Quand les dents sont parfaitement alignées, le nombre de points de contact est maximal. C'est ce que nous cherchons : le décalage où les "dents" (les valeurs élevées) de nos signaux s'alignent parfaitement.
Normes (la référence réglementaire)
En télécommunications, les normes comme celles du Wi-Fi (IEEE 802.11) ou de la 5G (3GPP) spécifient des séquences de synchronisation (préambules). Le récepteur calcule en permanence la corrélation entre le signal entrant et ces séquences connues pour détecter le début d'une trame de données et se synchroniser.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La formule générale est :
Pour \(l=2\), cela devient :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les signaux sont nuls en dehors des intervalles définis. On suppose également que le système est linéaire et que le retard est un multiple entier de la période d'échantillonnage.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(x[n] = \{..., 0, \underset{\uparrow n=0}{1}, 2, 1, 0, ...\}\)
- \(y[n] = \{..., 0, \underset{\uparrow n=0}{0}, 0, 1, 2, 1, -0.5, 0, ...\}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour visualiser le calcul, écrivez les deux séquences sur deux lignes, en décalant la deuxième. Ici, pour \(l=2\), on décale \(y[n]\) de 2 positions vers la gauche. Seuls les termes où les deux signaux sont non nuls contribueront à la somme.
Schéma (Avant les calculs)
Alignement des signaux pour \(l=2\)
Calcul(s) (l'application numérique)
La somme n'a de termes non nuls que pour n=0, 1, 2. On applique la formule :
Schéma (Après les calculs)
Résultat du produit pour \(l=2\)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La valeur de 6 est un score de similarité. Seule, elle n'a pas beaucoup de sens. Sa signification viendra de sa comparaison avec les scores obtenus pour d'autres décalages. Si 6 s'avère être la plus grande valeur, alors \(l=2\) est le décalage le plus probable.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est de se tromper dans les indices. La formule \(y[n+l]\) signifie qu'un lag positif \(l\) correspond à une avance (décalage vers la gauche) de la séquence \(y\). Une bonne visualisation sur papier est essentielle pour ne pas se tromper.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La corrélation est une opération de "glisser-multiplier-sommer".
- Un décalage \(l\) correspond à un glissement d'un signal par rapport à l'autre.
- Le calcul se fait point par point pour les échantillons qui se superposent.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
En traitement d'images, la corrélation croisée 2D est la base de la "reconnaissance de motifs" (template matching). On fait glisser une petite image (le motif, par exemple un visage) sur une grande image et on calcule la corrélation à chaque position. Les pics de corrélation indiquent où se trouve le motif dans l'image.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Sans faire le calcul complet, quelle serait la valeur de la corrélation pour \(l=-1\) ?
Simulateur: Calcul de \(r_{\text{xy}}[2]\)
Question 2 : Calculer la séquence complète \(r_{\text{xy}}[l]\)
Principe (le concept physique)
On répète le calcul précédent pour toutes les positions de "glissement" (tous les lags \(l\)) où les signaux se chevauchent. Le résultat sera une nouvelle séquence, la séquence de corrélation croisée, qui nous montrera la similarité pour chaque décalage possible. Cela revient à construire une "carte de similarité" en fonction du retard.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La longueur de la séquence de corrélation croisée de deux signaux de longueurs N et M est N+M-1. Dans notre cas, N=3 et M=6, donc la séquence de corrélation aura 3+6-1=8 points non nuls. Le calcul systématique est souvent implémenté via des algorithmes rapides basés sur la Transformée de Fourier Rapide (FFT), car la corrélation dans le domaine temporel correspond à une simple multiplication dans le domaine fréquentiel.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le plus simple est de procéder méthodiquement. Commencez par le décalage qui aligne le début de \(x[n]\) avec le début de \(y[n]\) et progressez. Notez chaque résultat. Vous verrez la valeur de la corrélation augmenter, atteindre un pic, puis diminuer, dessinant ainsi la fonction de corrélation.
Normes (la référence réglementaire)
Les fonctions de corrélation sont au cœur des systèmes de communication à étalement de spectre (comme le CDMA utilisé en 3G). Chaque utilisateur se voit attribuer un code unique. Le récepteur corrèle le signal reçu avec le code de l'utilisateur désiré pour extraire son message, même si plusieurs utilisateurs émettent en même temps sur la même fréquence.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
On calcule pour tous les décalages \(l\) où le produit \(x[n] \cdot y[n+l]\) n'est pas toujours nul.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(x[n] = \{1, 2, 1\}\)
- \(y[n] = \{0, 0, 1, 2, 1, -0.5\}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Une fois qu'un signal a complètement "dépassé" l'autre, la corrélation devient nulle. Identifiez le premier et le dernier décalage où il y a un chevauchement non nul pour borner vos calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Glissement progressif de y[n] par rapport à x[n]
Calcul(s) (l'application numérique)
On calcule \(r_{\text{xy}}[l]\) pour différentes valeurs de \(l\):
Pour \(l=0\):
Pour \(l=1\):
Pour \(l=2\):
Pour \(l=3\):
Pour \(l=4\):
Pour \(l=5\):
Pour les autres valeurs de \(l\), le chevauchement est nul. La séquence complète est donc :
Schéma (Après les calculs)
Séquence de Corrélation Croisée \(r_{\text{xy}}[l]\)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le graphique montre clairement un pic unique et prononcé. C'est le scénario idéal pour une détection fiable. Si le bruit avait été plus fort, ou si le signal reçu avait été très déformé, nous aurions pu voir plusieurs pics ou un pic moins évident, rendant la détection du retard plus difficile.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Assurez-vous de couvrir toute la plage de décalages pertinents. Une erreur commune est de s'arrêter trop tôt et de manquer le vrai pic de corrélation. La longueur de la séquence résultante doit être N+M-1.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La corrélation croisée transforme deux signaux en un troisième : la fonction de corrélation.
- Cette fonction représente la similarité à chaque décalage possible.
- Le but est de trouver le maximum de cette fonction.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
En sismologie, les scientifiques utilisent la corrélation croisée du bruit sismique ambiant enregistré par deux sismomètres pour reconstituer l'onde sismique qui se propagerait entre eux. Cela permet de cartographier la structure interne de la Terre sans avoir besoin d'un tremblement de terre !
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le signal \(x[n]\) était \(\{1, -1\}\), quelle serait la valeur de \(r_{\text{xy}}[2]\) avec le même signal \(y[n]\) ?
Simulateur: Construction de la fonction de corrélation
Question 3 : Déterminer le décalage optimal \(\hat{l}\)
Principe (le concept physique)
Le pic de la fonction de corrélation croisée indique le décalage pour lequel les deux signaux sont les plus similaires. C'est notre meilleure estimation du retard entre le signal émis et le signal reçu. Physiquement, cela correspond au moment où le "gabarit" du signal émis s'aligne parfaitement avec l'écho contenu dans le signal reçu.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Cette procédure est une forme de "filtrage adapté" (matched filter). Le filtre adapté est le filtre optimal pour détecter un signal connu dans un bruit blanc Gaussien. Il est démontré que la sortie d'un filtre adapté est proportionnelle à la corrélation entre le signal d'entrée et le signal de référence, et que le rapport signal/bruit est maximisé à l'instant du pic.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est l'étape la plus simple du calcul, mais la plus importante pour l'interprétation ! Il s'agit simplement de trouver le "sommet de la montagne" sur le graphique de la corrélation. La position (abscisse) de ce sommet nous donne le décalage, et sa hauteur (ordonnée) nous donne une mesure de la confiance que l'on peut avoir dans cette détection.
Normes (la référence réglementaire)
Dans les disques durs, la lecture des données magnétiques est un processus bruité. Des techniques basées sur la corrélation, comme la détection PRML (Partial Response Maximum Likelihood), sont utilisées pour détecter de manière fiable les séquences de bits "0" et "1" à partir du signal analogique brut lu par la tête de lecture, conformément aux standards de l'industrie du stockage.
Formule(s) (l'outil mathématique)
L'opérateur mathématique pour trouver l'indice du maximum d'une séquence est \(\arg\max\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose qu'il n'y a qu'un seul écho dominant et que le pic de corrélation correspond bien à cet écho et non à une coïncidence due au bruit. Pour des signaux plus complexes, des techniques de détection de pic plus sophistiquées peuvent être nécessaires.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Séquence de corrélation, \(r_{\text{xy}}[l] = \{1, 4, 6, 3.5, 0, -0.5\}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour une recherche manuelle, il suffit de parcourir la liste des valeurs. Pour un programme informatique, une simple boucle `for` avec une variable gardant en mémoire le maximum trouvé et son indice suffit.
Schéma (Avant les calculs)
Recherche du Maximum
Calcul(s) (l'application numérique)
En examinant la séquence \(r_{\text{xy}}[l]\) calculée à la question précédente, on cherche simplement la valeur maximale.
Le maximum est 6, et il est atteint pour le décalage \(l=2\).
Schéma (Après les calculs)
Maximum Identifié
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Un pic net à \(l=2\) indique une forte probabilité que le signal \(y[n]\) soit une version de \(x[n]\) retardée de 2 échantillons. Le bruit (la valeur à -0.5 dans y[n]) a légèrement affecté les valeurs de corrélation mais n'a pas empêché la détection du pic principal.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à ne pas confondre la valeur du pic (l'ordonnée, ici 6) avec sa position (l'abscisse, ici 2). C'est bien la position qui nous donne l'information sur le décalage temporel.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le décalage optimal \(\hat{l}\) est l'indice pour lequel la corrélation est maximale.
- Il représente la meilleure estimation du retard en nombre d'échantillons.
- La netteté du pic est un indicateur de la qualité de la détection.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
L'autocorrélation est un cas particulier de la corrélation croisée où un signal est corrélé avec lui-même. Le pic est toujours à \(l=0\). La largeur de ce pic donne des informations sur la "rapidité" des variations du signal, c'est-à-dire son contenu fréquentiel.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la séquence de corrélation avait été \(\{2, 8, 5, 1\}\), quel aurait été le décalage optimal \(\hat{l}\) (en supposant que le premier terme est à l=0) ?
Simulateur: Détection du Pic
Question 4 : Calculer le retard \(\tau\) et la distance \(d\)
Principe (le concept physique)
Le décalage \(\hat{l}\) est un nombre d'échantillons, une mesure de temps "numérique". Pour le convertir en un temps physique (le retard \(\tau\) en secondes), il faut connaître le "pas de temps" entre chaque échantillon, qui est la période d'échantillonnage \(T_e = 1/F_e\). Une fois ce temps de trajet aller-retour connu, la physique de la propagation des ondes (\(\text{distance} = \text{vitesse} \times \text{temps}\)) nous permet de trouver la distance de l'objet.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La précision de la mesure de distance dépend directement de la fréquence d'échantillonnage. Une fréquence plus élevée signifie une période \(T_e\) plus courte, donc une meilleure "résolution" temporelle. La distance minimale que l'on peut résoudre est \(\Delta d = (c \cdot T_e)/2\). C'est un exemple du compromis entre la précision et la quantité de données à traiter (une \(F_e\) élevée génère plus d'échantillons).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est ici que les maths rejoignent le monde réel ! Nous avons trois étapes : 1) Trouver le décalage en échantillons (\(\hat{l}\)), 2) Le convertir en secondes (\(\tau\)) grâce à la fréquence d'échantillonnage, 3) Le convertir en mètres (\(d\)) grâce à la vitesse de propagation. Ne sautez aucune étape.
Normes (la référence réglementaire)
Les normes en échographie médicale (définies par des organismes comme l'AIUM - American Institute of Ultrasound in Medicine) reposent sur ce principe. La machine émet des ultrasons, mesure le temps de retour des échos sur les différents organes, et utilise une vitesse du son moyenne dans les tissus humains (environ 1540 m/s) pour reconstruire une image en 2D ou 3D des structures internes.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On divise par 2 car \(\tau\) est le temps pour un trajet aller-retour.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la vitesse du son \(c\) est constante dans le milieu (l'eau). En réalité, elle peut varier avec la température, la pression et la salinité, ce qui est une source d'erreur dans les sonars de haute précision.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Décalage optimal, \(\hat{l} = 2\) \(\text{échantillons}\)
- Fréquence d'échantillonnage, \(F_e = 1000 \, \text{Hz}\)
- Vitesse du son, \(c = 1500 \, \text{m/s}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
On peut combiner les deux formules en une seule : \(d = c \cdot \hat{l} / (2 \cdot F_e)\). Cela permet de calculer directement la distance à partir du décalage en échantillons, mais attention à bien gérer les unités.
Schéma (Avant les calculs)
Du Décalage à la Distance
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calculer le retard temporel \(\tau\) :
2. Calculer la distance \(d\) :
Schéma (Après les calculs)
Scénario Physique Reconstitué
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Nous avons bouclé la boucle. En partant de deux séquences de nombres abstraites, nous avons, par une série de calculs logiques, déterminé une caractéristique physique mesurable du monde réel : la distance d'un objet. C'est un excellent exemple de la puissance du traitement numérique du signal.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'oublier de diviser par 2 pour le calcul de la distance. Le retard \(\tau\) mesure le temps total de l'aller-retour de l'onde sonore. La distance à l'objet ne correspond qu'à un aller simple.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le décalage en échantillons \(\hat{l}\) doit être converti en temps via la fréquence d'échantillonnage.
- Le temps \(\tau\) correspond à un trajet aller-retour.
- La distance finale est obtenue en utilisant la vitesse de propagation de l'onde.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les chauves-souris et les dauphins utilisent une version biologique de ce système, appelée écholocalisation. Ils émettent des clics ou des cris à haute fréquence et analysent le retard et la forme des échos pour "voir" leur environnement, chasser et éviter les obstacles dans l'obscurité totale ou en eaux troubles.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le pic de corrélation avait été trouvé à \(\hat{l}=5\), quelle aurait été la distance de l'objet en mètres ?
Simulateur: Relation Retard-Distance
Outil Interactif : Détection de Retard
Modifiez le retard du signal reçu pour voir comment le pic de corrélation se déplace.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
La corrélation croisée est utilisée dans le GPS pour synchroniser les horloges. Chaque satellite GPS émet un code pseudo-aléatoire unique. Le récepteur au sol génère les mêmes codes et les corrèle avec le signal reçu de chaque satellite. Le pic de corrélation permet de mesurer le temps de trajet du signal avec une précision extrême, ce qui est essentiel pour une géolocalisation précise.
Foire Aux Questions (FAQ)
Quelle est la différence entre corrélation croisée et convolution ?
Les deux opérations sont mathématiquement très similaires. La convolution consiste à "retourner" l'un des signaux avant de le faire glisser et de calculer la somme des produits. La corrélation croisée ne retourne pas le signal. Physiquement, la convolution modélise la sortie d'un système linéaire (la réponse à une impulsion), tandis que la corrélation mesure la similarité entre deux signaux.
Et si le signal reçu est plus faible que le signal émis ?
C'est presque toujours le cas en pratique (atténuation). Cela réduit l'amplitude de la fonction de corrélation, mais ne change pas la position de son pic. Pour rendre la détection plus robuste, on utilise souvent la "corrélation normalisée", où l'on divise le résultat par l'énergie des signaux, ce qui donne une valeur comprise entre -1 et 1.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si deux signaux sont totalement différents (non corrélés), la valeur de leur corrélation croisée sera...
2. Dans notre exercice, si la fréquence d'échantillonnage \(F_e\) était doublée (2000 \(\text{Hz}\)) et que le retard physique restait le même, le nouveau pic de corrélation \(\hat{l}\) serait à...
- Signal Discret
- Signal défini uniquement à des instants de temps spécifiques (les temps d'échantillonnage). Il est représenté par une séquence de nombres.
- Corrélation Croisée
- Opération mathématique mesurant la similarité entre deux signaux en fonction du décalage de l'un par rapport à l'autre. Elle est maximale lorsque les signaux sont les mieux alignés.
- Décalage (Lag)
- Le décalage, noté \(l\), est le nombre d'échantillons dont un signal est décalé par rapport à l'autre dans le calcul de la corrélation.
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