Loi des Mailles sur un Circuit à Trois Résistances

Contexte : L'analyse des circuits sérieUn circuit où les composants sont connectés les uns après les autres, formant une seule boucle pour le courant. en courant continu.

Dans cet exercice, nous allons étudier un circuit électrique simple composé d'un générateur de tension continue et de trois résistances montées en série. L'objectif est de déterminer la tension aux bornes de l'une des résistances en appliquant la Loi des MaillesAussi appelée seconde loi de Kirchhoff : la somme algébrique des tensions le long d'une maille fermée est nulle.. C'est un principe fondamental pour comprendre la répartition des tensions dans les circuits électroniques.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vise à renforcer votre compréhension de l'additivité des tensions et du fléchage conventionnel (convention générateur vs convention récepteur). Une erreur de signe est vite arrivée !

Objectifs Pédagogiques

Savoir flécher correctement les tensions dans une maille.
Écrire l'équation de la loi des mailles sans erreur de signe.
Calculer une tension inconnue à partir des autres tensions du circuit.
Appliquer la loi d'Ohm pour déduire une résistance.

Données de l'étude

On considère un circuit fermé composé d'un générateur de tension \(E\) et de trois résistances \(R_1\), \(R_2\) et \(R_3\) en série. Le courant \(I\) circule dans le sens des aiguilles d'une montre.

Fiche Technique

Composant	Description
Générateur E	Source de tension continue idéale
Résistances	Composants passifs linéaires (Ohm)

Schéma du Circuit Électrique

Grandeur	Symbole	Valeur	Unité
Tension Générateur	\(E\)	12	Volts (V)
Tension aux bornes de R1	\(U_1\)	3	Volts (V)
Tension aux bornes de R2	\(U_2\)	5	Volts (V)

Questions à traiter

Établir l'équation de la maille en respectant le sens de parcours conventionnel.
Exprimer la tension \(U_3\) en fonction de \(E\), \(U_1\) et \(U_2\).
Calculer la valeur numérique de la tension \(U_3\).
Sachant que l'intensité du courant mesurée est \(I = 0,5 \text{ A}\), déduire la valeur de la résistance \(R_3\).

Rappels Théoriques : Kirchhoff

Avant de résoudre le problème, rappelons les lois fondamentales qui régissent les tensions dans une maille fermée.

1. Loi des Mailles (Additivité des tensions)
Dans une maille fermée, la somme algébrique des tensions rencontrées en parcourant la maille est nulle. \[ \sum U = 0 \] Si l'on rencontre une flèche de tension par la pointe, on compte la tension positivement (+). Si on la rencontre par le talon, on la compte négativement (-).

2. Convention Générateur / Récepteur
Pour un générateur, la flèche de tension est dans le même sens que le courant. Pour un récepteur (comme une résistance), la flèche de tension est opposée au sens du courant.

Correction : Loi des Mailles sur un Circuit Série à Trois Résistances

Question 1 : Équation de la maille

Principe

Nous allons "marcher" virtuellement le long du circuit en partant d'un point et en revenant à ce même point. L'objectif est de réaliser un bilan complet des énergies (potentiels électriques). Chaque fois que nous traversons un composant, nous notons sa tension avec un signe + ou - selon le sens de sa flèche par rapport à notre sens de marche, ce qui nous permet de construire une équation équilibrée.

Mini-Cours

La Loi des Mailles stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de n'importe quelle boucle fermée d'un circuit est nulle. C'est une conséquence directe de la loi de conservation de l'énergie.

Remarque Pédagogique

Imaginez que vous faites une randonnée en montagne. Vous montez (+ tension) et descendez (- tension). Si vous revenez à votre point de départ, la somme totale de vos montées et descentes est forcément nulle (dénivelé nul).

Normes

Nous utilisons la convention standard où le courant sort par la borne positive du générateur. Les flèches de tension sont représentées à côté des composants.

Formule(s)

Loi des Mailles Générale

\sum_{k=1}^{n} U_k = 0

Hypothèses

On choisit arbitrairement de parcourir la maille dans le sens des aiguilles d'une montre (sens du courant \(I\)).

Astuces

Pour ne pas vous tromper de signe : dessinez une boucle au centre du circuit avec une flèche indiquant le sens de parcours. Si votre boucle va dans le même sens que la flèche de tension d'un composant = (+), sinon = (-).

Schéma (Avant les calculs)

Parcours de la Maille

Formulation détaillée

En partant du coin inférieur gauche et en suivant le sens horaire, regardons l'orientation de chaque flèche tension par rapport à notre mouvement :

Générateur E : On arrive par la pointe de la flèche \(U_e\) (le potentiel monte).
\(\rightarrow\) Signe Positif (+) : \(+E\)
Résistance R1 : On arrive par le talon de la flèche \(U_1\) (le potentiel descend).
\(\rightarrow\) Signe Négatif (-) : \(-U_1\)
Résistance R2 : On arrive par le talon de la flèche \(U_2\).
\(\rightarrow\) Signe Négatif (-) : \(-U_2\)
Résistance R3 : On arrive par le talon de la flèche \(U_3\).
\(\rightarrow\) Signe Négatif (-) : \(-U_3\)

On assemble le tout pour former l'équation nulle :

\[ (+E) + (-U_1) + (-U_2) + (-U_3) = 0 \]

Ce qui nous donne l'équation fondamentale de notre circuit :

\[ E - U_1 - U_2 - U_3 = 0 \]

Schéma (Après les calculs)

Diagramme des Potentiels

L'ascenseur de potentiel : Le générateur monte l'énergie, les résistances la consomment par paliers jusqu'à revenir à zéro.

Réflexions

Cette équation est fondamentale. Elle traduit que toute l'énergie fournie par le générateur est consommée par l'ensemble des récepteurs du circuit.

Points de vigilance

L'erreur la plus classique est d'oublier un signe moins. Vérifiez toujours si vous rencontrez la flèche de tension par la pointe (+) ou par le talon (-).

Points à retenir

Dans une maille, la somme des tensions est nulle.
Le sens de parcours est arbitraire, mais il faut le respecter tout au long de l'équation.

Le saviez-vous ?

Gustav Kirchhoff a formulé ces lois en 1845, alors qu'il était encore étudiant ! Elles sont la base de toute l'électrocinétique moderne.

FAQ

Voici une question fréquente :

A vous de jouer

Essayez d'écrire l'équation pour une maille avec seulement le générateur \(E\) et \(R_1\). Quelle serait l'équation ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse :

Équation de maille = bilan des tensions.
Sens horaire : Générateur (+), Récepteur (-).

Question 2 : Expression littérale de U3

Principe

Il s'agit maintenant d'isoler l'inconnue \(U_3\) dans l'équation que nous venons d'établir. L'objectif est de réorganiser l'égalité mathématique pour que le terme recherché (\(U_3\)) se retrouve seul d'un côté du signe égal, exprimé uniquement en fonction des termes connus.

Mini-Cours

En algèbre, pour isoler un terme, on effectue l'opération inverse pour le "déplacer" de l'autre côté du signe égal. Ici, comme \(U_3\) est soustrait (précédé d'un signe moins), on va l'ajouter des deux côtés (+U3) pour le rendre positif et l'isoler.

Remarque Pédagogique

Cela traduit une logique physique simple : la tension fournie par le générateur (\(E\)) est partagée entre les trois résistances. Ce qu'il reste pour \(R_3\) est la différence entre ce qui est fourni et ce qui est déjà pris par \(R_1\) et \(R_2\).

Formule(s)

Règles de manipulation algébrique

A - B = C \iff A = C + B

A - B - X = 0 \iff X = A - B

Données

Nous analysons les termes de l'équation de la maille : \( E - U_1 - U_2 - U_3 = 0 \).

Symbole	Nature Physique	Statut dans l'équation
\(E, U_1, U_2\)	Tensions (Différences de potentiel)	Connues (Valeurs données)
\(U_3\)	Tension aux bornes de R3	Inconnue (À isoler)

Astuces

Pensez à la tension comme à de l'argent : vous partez avec un budget \(E\), vous dépensez \(U_1\) et \(U_2\). Il vous reste \(U_3 = E - U_1 - U_2\).

Schéma (Avant les calculs)

Identification de l'Inconnue

Calcul Détaillé

On cherche à isoler \(U_3\). Pour cela, nous allons passer le terme \(-U_3\) de l'autre côté du signe égal. Rappelez-vous que lorsqu'un terme change de côté, il change de signe.

E - U_1 - U_2 - \mathbf{U_3} = 0

On ajoute \(\mathbf{+U_3}\) des deux côtés de l'égalité :

E - U_1 - U_2 = 0 + \mathbf{U_3}

Ce qui nous donne l'expression finale recherchée :

\mathbf{U_3} = E - U_1 - U_2

Schéma (Après les calculs)

Relation Algébrique

Points de vigilance

Attention à ne pas changer les signes par inadvertance lors du passage des termes de l'autre côté du signe égal. Un terme négatif devient positif quand il change de côté.

Points à retenir

Dans un circuit série, les tensions s'ajoutent.
\(U_{\text{générateur}} = \sum U_{\text{récepteurs}}\).

Le saviez-vous ?

Le signe "=" a été inventé par le mathématicien gallois Robert Recorde en 1557. Il a choisi deux lignes parallèles car "il n'y a pas deux choses plus égales".

FAQ

Une question courante :

Résultat Final

L'expression littérale est : \( U_3 = E - U_1 - U_2 \)

Mini Fiche Mémo

Synthèse :

Isoler l'inconnue d'un côté de l'égalité.
La tension totale est la somme des tensions partielles.

Question 3 : Calcul Numérique

Principe

Nous passons de l'expression littérale (abstraite, avec des lettres) à la valeur numérique (concrète, avec des chiffres). C'est l'étape de l'application numérique pour trouver la valeur physique réelle en Volts. Il suffit de substituer chaque symbole par la valeur fournie dans l'énoncé.

Mini-Cours

L'application numérique consiste à remplacer chaque symbole par sa valeur. Il est crucial de vérifier que toutes les valeurs sont dans la même unité (ici, le Volt) avant de faire le calcul pour garantir la cohérence dimensionnelle.

Normes

Les tensions s'expriment en Volts (symbole V). Lors d'une addition ou soustraction, le résultat garde la même unité que les termes opérés. Le nombre de chiffres significatifs doit être cohérent avec la précision des données d'entrée.

Remarque Pédagogique

Toujours faire une estimation de tête ("ordre de grandeur") avant de calculer. Ici : 12 moins un peu (3) et encore un peu (5), on doit trouver quelque chose autour de 4 ou 5. Cela permet de détecter les erreurs grossières.

Formule(s)

Formule littérale établie en Q2

\[ U_3 = E - U_1 - U_2 \]

Données

Rappelons les valeurs numériques données dans l'énoncé pour effectuer le remplacement.

Grandeur	Symbole	Valeur	Unité
Tension Générateur	\(E\)	12	Volts (V)
Tension aux bornes de R1	\(U_1\)	3	Volts (V)
Tension aux bornes de R2	\(U_2\)	5	Volts (V)

Astuces

Pour vérifier votre calcul : faites la somme des tensions des récepteurs (\(3 + 5 + 4 = 12\)). Si vous ne retombez pas sur la tension du générateur (\(12\)), il y a une erreur !

Schéma (Avant les calculs)

Valeurs Connues

Calcul Détaillé

Commençons par remplacer les variables par leurs valeurs numériques dans l'expression littérale :

U_3 = \mathbf{12} - \mathbf{3} - \mathbf{5}

Effectuons la première soustraction (\(12 - 3 = 9\)) :

\[ U_3 = 9 - 5 \]

Terminons le calcul (\(9 - 5 = 4\)) :

U_3 = 4 \text{ V}

Schéma (Après les calculs)

Circuit Résolu

Réflexions

Le résultat est positif, ce qui est cohérent. 4V est une valeur plausible car elle est inférieure à la tension totale de 12V. Si on additionne \(3+5+4\), on retrouve bien 12V.

Points de vigilance

Vérifiez toujours que votre résultat est physiquement possible. Une tension partielle ne peut pas être supérieure à la tension du générateur dans un circuit résistif passif simple !

Points à retenir

Vérifier les unités avant de calculer.
Vérifier la cohérence de l'ordre de grandeur du résultat.

Le saviez-vous ?

La tension standard d'un port USB est de 5V, et celle d'une batterie de voiture est d'environ 12V. Nos 4V trouvés sont comparables à la tension d'une batterie Lithium-ion chargée (environ 4.2V).

FAQ

Questions fréquentes sur le résultat :

Résultat Final

La tension aux bornes de R3 est de 4 V.

A vous de jouer

Et si le générateur fournissait 24V, avec \(U_1 = 6V\) et \(U_2 = 8V\), que vaudrait \(U_3\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse :

Calcul simple : soustraction.
Résultat positif attendu.

Question 4 : Calcul de la résistance R3

Principe

Maintenant que nous connaissons la tension \(U_3\) aux bornes de la résistance et le courant \(I\) qui la traverse, nous pouvons utiliser la relation fondamentale qui lie ces trois grandeurs : la Loi d'Ohm. C'est le lien entre la cause (tension) et l'effet (courant) via la propriété intrinsèque du composant (résistance).

Mini-Cours

La Loi d'Ohm : \(U = R \times I\). Elle relie la tension (U) aux bornes d'un dipôle, sa résistance (R) et l'intensité du courant (I) qui le traverse. Pour isoler R, on divise la tension par le courant : \( R = U / I \).

Remarque Pédagogique

Pour retrouver la formule de R, on peut utiliser le "triangle magique" mnémotechnique : U en haut, R et I en bas. Pour trouver R, on cache R avec son doigt, il reste U sur I (\(U/I\)).

Normes

Le symbole de la résistance est \(\Omega\) (Oméga majuscule). Le courant doit être exprimé en Ampères (A) et la tension en Volts (V) pour obtenir une résistance en Ohms. Les valeurs normalisées des résistances suivent souvent des séries standard comme E12 ou E24.

Formule(s)

Loi d'Ohm (Calcul de R)

R = \frac{U}{I}

Données

Nous avons besoin de la tension calculée précédemment et du courant donné dans l'énoncé.

Grandeur	Symbole	Valeur	Unité
Tension aux bornes de R3	\(U_3\)	4	Volts (V)
Intensité du courant	\(I\)	0,5	Ampères (A)

Astuces

Assurez-vous que le courant est bien exprimé en Ampères (A). S'il était donné en milliampères (mA), il faudrait impérativement le convertir en divisant par 1000 (ex: 500mA = 0.5A).

Schéma (Avant les calculs)

Focus sur R3

Calcul Détaillé

Appliquons la formule avec nos valeurs numériques :

R_3 = \frac{\mathbf{4} \text{ V}}{\mathbf{0,5} \text{ A}}

Astuce de calcul mental : diviser un nombre par 0,5 revient exactement à le multiplier par 2.

R_3 = 4 \times 2

Nous obtenons ainsi la valeur de la résistance :

R_3 = 8 \ \Omega

Schéma (Après les calculs)

Composant Caractérisé

Réflexions

Une résistance de 8 Ohms est une valeur relativement faible. Avec 4 Volts à ses bornes, elle laisse passer un courant significatif de 0.5 Ampères. Si la résistance était plus grande, le courant serait plus petit.

Points de vigilance

Attention aux mathématiques : diviser par 0,5 revient à multiplier par 2 ! (\(4 / 0.5 = 4 \times 2 = 8\)). C'est un bon moyen de vérifier son calcul mental rapidement.

Points à retenir

\(R = U / I\).
L'unité de résistance est l'Ohm (\(\Omega\)).
Toujours convertir I en Ampères.

Le saviez-vous ?

Georg Ohm a été initialement critiqué pour sa loi lors de sa publication en 1827 ! Ses contemporains trouvaient son approche trop mathématique et pas assez expérimentale à leur goût. Il a fallu des années pour que son génie soit reconnu.

FAQ

Une question fréquente :

Résultat Final

La résistance R3 a une valeur de 8 Ohms (\(\Omega\)).

A vous de jouer

Si le courant mesuré était plus faible, par exemple \(I = 0,1 \text{ A}\) (pour la même tension \(U_3 = 4 \text{ V}\)), quelle serait la valeur de \(R_3\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Loi d'Ohm : lien U-R-I.
Calcul de R par division.
Unités : Volts, Ampères, Ohms.

Simulateur Interactif : Répartition de Tension

Modifiez la tension du générateur et la valeur de la tension U1 pour voir comment U3 s'adapte automatiquement (en supposant U2 fixe à 5V pour simplifier).

Paramètres d'Entrée

Tension Générateur E (V) 12 V

Tension U1 (V) 3 V

Résultats Clés (avec U2 = 5V Fixe)

Tension U3 calculée -

Total (U1+U2+U3) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans une maille, la somme algébrique des tensions est toujours égale à :

La tension du générateur
Zéro
La somme des résistances

2. Si je parcours une résistance dans le sens inverse de sa flèche de tension (côté talon), je compte cette tension :

Négativement (-)
Positivement (+)
Je ne la compte pas

3. Si E = 10V, U1 = 2V et U2 = 3V, que vaut U3 ?

15 V
1 V
5 V

Glossaire

Maille: Un chemin fermé dans un circuit électrique qui ne passe qu'une seule fois par les nœuds rencontrés.
Tension (Différence de Potentiel): La différence de niveau électrique entre deux points, mesurée en Volts (V).
Série: Type de montage où les composants sont traversés par le même courant l'un après l'autre.