Loi des Mailles sur un Circuit à Trois Résistances
Appliquer la loi des mailles de Kirchhoff et la loi d'Ohm pour analyser un circuit en courant continu (CC) comportant une source de tension et trois résistances en série.
La loi des mailles de Kirchhoff (aussi appelée deuxième loi de Kirchhoff ou loi des tensions de Kirchhoff) est un outil fondamental pour l'analyse des circuits électriques. Elle stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de n'importe quelle boucle fermée (maille) d'un circuit est nulle.
Formulation mathématique : \(\sum_{k} V_k = 0\)
Combinée à la loi d'Ohm (\(V = IR\)), elle permet de déterminer les courants et les tensions dans des circuits complexes.
Conventions de signe :
- En parcourant une maille dans un sens choisi, une augmentation de potentiel (par exemple, en traversant une source de tension de la borne - à la borne +) est comptée positivement.
- Une chute de potentiel (par exemple, en traversant une résistance dans le sens du courant) est comptée négativement.
Données du Problème
Un circuit en courant continu est constitué d'une source de tension et de trois résistances montées en série, formant une seule maille.
- Force électromotrice (f.é.m.) de la source de tension : \(E = 12.0 \text{ V}\)
- Résistance 1 : \(R_1 = 10.0 \, \Omega\)
- Résistance 2 : \(R_2 = 20.0 \, \Omega\)
- Résistance 3 : \(R_3 = 30.0 \, \Omega\)
Questions
- En choisissant un sens de parcours pour la maille (par exemple, horaire) et un sens pour le courant \(I\) (par exemple, sortant de la borne positive de la source), écrire l'équation de la maille.
- Calculer la résistance totale équivalente (\(R_{eq}\)) du circuit.
- Calculer l'intensité du courant (\(I\)) circulant dans le circuit.
- Calculer la chute de tension aux bornes de chaque résistance (\(V_{R1}\), \(V_{R2}\), et \(V_{R3}\)).
- Vérifier que la somme des chutes de tension aux bornes des résistances est égale à la f.é.m. de la source.
- Calculer la puissance (\(P_1, P_2, P_3\)) dissipée par chaque résistance.
- Calculer la puissance totale (\(P_{source}\)) fournie par la source et la comparer à la somme des puissances dissipées par les résistances.
Correction : Loi des Mailles sur un Circuit à Trois Résistances
1. Écriture de l'Équation de la Maille
On choisit un sens de parcours horaire pour la maille et un courant \(I\) sortant de la borne positive de la source (donc circulant dans le sens horaire).
En partant de la borne négative de la source et en parcourant la maille dans le sens horaire :
- Source E : augmentation de potentiel \(+E\)
- Résistance R1 : chute de potentiel \(-V_{R1} = -R_1 I\)
- Résistance R2 : chute de potentiel \(-V_{R2} = -R_2 I\)
- Résistance R3 : chute de potentiel \(-V_{R3} = -R_3 I\)
La loi des mailles s'écrit : \(\sum V_k = 0\)
Ou encore :
L'équation de la maille est \(E - R_1 I - R_2 I - R_3 I = 0\).
2. Calcul de la Résistance Totale Équivalente (\(R_{eq}\))
Pour des résistances en série, la résistance équivalente est la somme des résistances individuelles.
Données :
- \(R_1 = 10.0 \, \Omega\)
- \(R_2 = 20.0 \, \Omega\)
- \(R_3 = 30.0 \, \Omega\)
La résistance totale équivalente est \(R_{eq} = 60.0 \, \Omega\).
Quiz Intermédiaire : Résistances en Série
3. Calcul de l'Intensité du Courant (\(I\))
D'après l'équation de la maille simplifiée \(E = R_{eq} I\), on peut calculer \(I\).
Données :
- \(E = 12.0 \text{ V}\)
- \(R_{eq} = 60.0 \, \Omega\)
L'intensité du courant circulant dans le circuit est \(I = 0.20 \text{ A}\) (ou 200 mA).
4. Calcul des Chutes de Tension (\(V_{R1}\), \(V_{R2}\), \(V_{R3}\))
On utilise la loi d'Ohm pour chaque résistance : \(V_R = RI\).
Données :
- \(I = 0.20 \text{ A}\)
- \(R_1 = 10.0 \, \Omega\)
- \(R_2 = 20.0 \, \Omega\)
- \(R_3 = 30.0 \, \Omega\)
Pour \(R_1\) :
Pour \(R_2\) :
Pour \(R_3\) :
- Chute de tension aux bornes de R1 : \(V_{R1} = 2.0 \text{ V}\)
- Chute de tension aux bornes de R2 : \(V_{R2} = 4.0 \text{ V}\)
- Chute de tension aux bornes de R3 : \(V_{R3} = 6.0 \text{ V}\)
5. Vérification de la Loi des Mailles
La somme des chutes de tension aux bornes des résistances doit être égale à la f.é.m. de la source.
Données calculées :
- \(V_{R1} = 2.0 \text{ V}\)
- \(V_{R2} = 4.0 \text{ V}\)
- \(V_{R3} = 6.0 \text{ V}\)
- \(E = 12.0 \text{ V}\)
On constate que \(V_{R1} + V_{R2} + V_{R3} = E\), ce qui vérifie la loi des mailles.
La somme des chutes de tension (12.0 V) est égale à la f.é.m. de la source (12.0 V).
Quiz Intermédiaire : Loi des Mailles
6. Calcul de la Puissance Dissipée par Chaque Résistance
La puissance dissipée par une résistance est \(P = RI^2\) ou \(P = VI\).
Données :
- \(I = 0.20 \text{ A}\)
- \(R_1 = 10.0 \, \Omega, V_{R1} = 2.0 \text{ V}\)
- \(R_2 = 20.0 \, \Omega, V_{R2} = 4.0 \text{ V}\)
- \(R_3 = 30.0 \, \Omega, V_{R3} = 6.0 \text{ V}\)
Pour \(R_1\) :
Pour \(R_2\) :
Pour \(R_3\) :
- Puissance dissipée par R1 : \(P_1 = 0.40 \text{ W}\)
- Puissance dissipée par R2 : \(P_2 = 0.80 \text{ W}\)
- Puissance dissipée par R3 : \(P_3 = 1.20 \text{ W}\)
7. Puissance Totale Fournie et Comparaison
La puissance fournie par la source est \(P_{source} = EI\). La somme des puissances dissipées est \(P_{dissipée} = P_1 + P_2 + P_3\).
Données :
- \(E = 12.0 \text{ V}\)
- \(I = 0.20 \text{ A}\)
- \(P_1 = 0.40 \text{ W}, P_2 = 0.80 \text{ W}, P_3 = 1.20 \text{ W}\)
Puissance fournie par la source :
Somme des puissances dissipées :
On constate que \(P_{source} = P_{dissipée}\), ce qui est conforme au principe de conservation de l'énergie.
La puissance fournie par la source (\(2.40 \text{ W}\)) est égale à la somme des puissances dissipées par les résistances (\(2.40 \text{ W}\)).
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Glossaire des Termes Clés
Loi des Mailles (Kirchhoff) :
Dans toute maille d'un réseau électrique, la somme algébrique des tensions est nulle.
Loi d'Ohm :
La différence de potentiel (tension) aux bornes d'un conducteur ohmique est proportionnelle à l'intensité du courant qui le traverse (\(V=RI\)).
Résistance Équivalente (Série) :
Pour des résistances en série, la résistance équivalente est la somme des résistances individuelles (\(R_{eq} = R_1 + R_2 + ...\)).
Chute de Tension :
Diminution du potentiel électrique lorsqu'un courant traverse une résistance ou un autre composant passif.
Force Électromotrice (f.é.m.) :
Tension fournie par une source d'énergie électrique (comme une pile ou un générateur).
Puissance Électrique (en CC) :
Quantité d'énergie électrique transférée ou dissipée par unité de temps. Pour une résistance, \(P = VI = I^2R = V^2/R\).
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment la loi des mailles s'appliquerait-elle si le circuit contenait plusieurs sources de tension en série ?
2. Que se passerait-il si l'une des résistances était beaucoup plus grande que les autres ? Comment cela affecterait-il la répartition des tensions ?
3. Si les résistances étaient montées en parallèle au lieu d'être en série, comment utiliseriez-vous les lois de Kirchhoff pour analyser le circuit ? (Indice : Loi des nœuds).
4. Comment la résistance interne d'une source de tension réelle affecterait-elle les calculs dans ce type de circuit ?
5. Dans un circuit plus complexe avec plusieurs mailles, comment aborderiez-vous l'analyse en utilisant la loi des mailles ?
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