Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Potentiel Électrique dans un Cône Conducteur

Potentiel Électrique au Sommet d'un Cône Conducteur Chargé

Potentiel Électrique au Sommet d'un Cône Conducteur Chargé

Comprendre le Potentiel électrique d'une Surface Conique Chargée

Un cône conducteur en équilibre électrostatique est une surface équipotentielle. Si une charge totale \(Q\) est déposée sur un cône conducteur isolé (ici, une coquille conique mince et ouverte à sa base), cette charge se répartit sur sa surface. Le potentiel électrique créé par cette distribution peut être calculé en un point donné, par exemple à son sommet (apex). Pour cela, on décompose la surface conique en anneaux élémentaires. Chaque anneau, portant une charge \(dq\), crée un potentiel élémentaire \(dV\) au sommet. Le potentiel total est alors la somme (intégrale) de ces contributions sur toute la surface du cône.

Données de l'étude

On considère une surface conique conductrice mince (coquille conique), ouverte à sa base. Le cône a une hauteur \(h = 4,0 \, \text{cm}\) et un rayon de base \(R = 3,0 \, \text{cm}\). Il porte une charge totale \(Q = +8,0 \, \text{nC}\) uniformément répartie sur sa surface latérale.

On souhaite calculer le potentiel électrique \(V_A\) à son sommet (apex) A.

Constante :

  • Constante de Coulomb : \(k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • Référence du potentiel : Le potentiel est nul à l'infini.
Schéma : Cône Conducteur Chargé
z (axe) r O A (Sommet) h R L s dq r' Coquille conique chargée

Coquille conique de hauteur h, rayon de base R, et génératrice L, portant une charge Q. Un anneau élémentaire de charge dq est à une distance s du sommet.

Questions à traiter

  1. Calculer la longueur de la génératrice (apothème) \(L\) du cône.
  2. Calculer l'aire de la surface latérale \(A_{\text{lat}}\) du cône.
  3. Déterminer la densité de charge surfacique \(\sigma\) sur la surface latérale du cône.
  4. Considérer un anneau élémentaire sur la surface du cône, situé à une distance \(s\) du sommet (mesurée le long de la génératrice), et d'épaisseur infinitésimale \(ds\) (également mesurée le long de la génératrice). a. Exprimer le rayon \(r'\) de cet anneau en fonction de \(s\), \(R\), et \(L\). (Indice : utiliser les triangles semblables ou le sinus du demi-angle au sommet \(\alpha\), où \(\sin\alpha = R/L\)). b. Exprimer l'aire \(dA\) de cet anneau élémentaire. c. Exprimer la charge \(dq\) portée par cet anneau élémentaire.
  5. Quelle est la distance de chaque point de cet anneau élémentaire au sommet A du cône ?
  6. Exprimer le potentiel élémentaire \(dV_A\) créé par cet anneau de charge \(dq\) au sommet A.
  7. Calculer le potentiel total \(V_A\) au sommet du cône en intégrant \(dV_A\) sur toute la surface latérale du cône (c'est-à-dire pour \(s\) variant de 0 à \(L\)).
  8. Application numérique : Calculer la valeur de \(V_A\).

Correction : Potentiel Électrique au Sommet d'un Cône Conducteur Chargé

Question 1 : Longueur de la génératrice \(L\)

Principe :

La génératrice \(L\), la hauteur \(h\), et le rayon de base \(R\) d'un cône droit forment un triangle rectangle. On utilise le théorème de Pythagore.

Formule(s) utilisée(s) :
\[L = \sqrt{R^2 + h^2}\]
Données spécifiques :
  • \(R = 3,0 \, \text{cm} = 0,03 \, \text{m}\)
  • \(h = 4,0 \, \text{cm} = 0,04 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L &= \sqrt{(0,03 \, \text{m})^2 + (0,04 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{0,0009 \, \text{m}^2 + 0,0016 \, \text{m}^2} \\ &= \sqrt{0,0025 \, \text{m}^2} \\ &= 0,05 \, \text{m} \quad (= 5,0 \, \text{cm}) \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La longueur de la génératrice est \(L = 0,05 \, \text{m}\).

Question 2 : Aire de la surface latérale \(A_{\text{lat}}\)

Principe :

L'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de rayon de base \(R\) et de génératrice \(L\) est donnée par \(\pi R L\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_{\text{lat}} = \pi R L\]
Données spécifiques :
  • \(R = 0,03 \, \text{m}\)
  • \(L = 0,05 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_{\text{lat}} &= \pi (0,03 \, \text{m}) (0,05 \, \text{m}) \\ &= 0,0015\pi \, \text{m}^2 \\ &\approx 0,004712 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'aire latérale est \(A_{\text{lat}} = 0,0015\pi \, \text{m}^2 \approx 0,004712 \, \text{m}^2\).

Question 3 : Densité de charge surfacique \(\sigma\)

Principe :

La charge \(Q\) est uniformément répartie sur la surface latérale \(A_{\text{lat}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma = \frac{Q}{A_{\text{lat}}}\]
Données spécifiques :
  • \(Q = +8,0 \, \text{nC} = +8,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(A_{\text{lat}} = 0,0015\pi \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{8,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{0,0015\pi \, \text{m}^2} \\ &\approx \frac{8,0 \times 10^{-9}}{0,00471238} \, \text{C/m}^2 \\ &\approx 1697,65 \times 10^{-9} \, \text{C/m}^2 \\ &\approx 1,698 \, \mu\text{C/m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : \(\sigma = \frac{8,0 \times 10^{-9}}{0,0015\pi} \, \text{C/m}^2 \approx 1,698 \, \mu\text{C/m}^2\).

Question 4 : Anneau élémentaire

a. Rayon \(r'\) de l'anneau

Par similitude des triangles (ou en utilisant le demi-angle au sommet \(\alpha\), où \(\sin\alpha = R/L\)), le rayon \(r'\) d'un anneau situé à une distance \(s\) du sommet le long de la génératrice est \(r' = s \sin\alpha = s (R/L)\).

\[ r' = s \frac{R}{L} \]
b. Aire \(dA\) de l'anneau

L'aire d'un anneau de rayon \(r'\) et d'épaisseur \(ds\) (mesurée le long de la génératrice) est sa circonférence multipliée par \(ds\).

\[ dA = 2\pi r' ds = 2\pi \left(s \frac{R}{L}\right) ds \]
c. Charge \(dq\) sur l'anneau

La charge \(dq\) est \(\sigma dA\).

\[ dq = \sigma dA = \sigma \left(2\pi s \frac{R}{L}\right) ds \]
Résultat Question 4 :
  • a. \(r' = s \frac{R}{L}\)
  • b. \(dA = 2\pi s \frac{R}{L} ds\)
  • c. \(dq = 2\pi\sigma s \frac{R}{L} ds\)

Question 5 : Distance de l'anneau au sommet A

Principe :

L'anneau est défini par sa distance \(s\) au sommet, mesurée le long de la génératrice. Chaque point de cet anneau est donc à une distance \(s\) du sommet A.

Résultat Question 5 : La distance de chaque point de l'anneau élémentaire au sommet A est \(s\).

Question 6 : Potentiel élémentaire \(dV_A\)

Principe :

Le potentiel créé par une charge \(dq\) à une distance \(s\) est \(dV = k_e \frac{dq}{s}\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} dV_A &= k_e \frac{dq}{s} \\ &= k_e \frac{2\pi\sigma s \frac{R}{L} ds}{s} \\ &= 2\pi k_e \sigma \frac{R}{L} ds \end{aligned} \]

Notez que \(s\) se simplifie, ce qui rend l'intégration très facile.

Résultat Question 6 : Le potentiel élémentaire au sommet A est \(dV_A = 2\pi k_e \sigma \frac{R}{L} ds\).

Quiz Intermédiaire 1 : La simplification de \(s\) dans l'expression de \(dV_A\) signifie que :

Question 7 : Potentiel total \(V_A\) au sommet

Principe :

On intègre \(dV_A\) pour \(s\) variant de \(0\) (sommet) à \(L\) (bord de la base).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V_A = \int_0^L dV_A = \int_0^L 2\pi k_e \sigma \frac{R}{L} ds \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_A &= 2\pi k_e \sigma \frac{R}{L} \int_0^L ds \\ &= 2\pi k_e \sigma \frac{R}{L} [s]_0^L \\ &= 2\pi k_e \sigma \frac{R}{L} (L - 0) \\ &= 2\pi k_e \sigma R \end{aligned} \]

En substituant \(\sigma = \frac{Q}{\pi R L}\) :

\[ \begin{aligned} V_A &= 2\pi k_e \left(\frac{Q}{\pi R L}\right) R \\ &= \frac{2 k_e Q}{L} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Le potentiel total au sommet est \(V_A = 2\pi k_e \sigma R = \frac{2 k_e Q}{L}\).

Question 8 : Application numérique pour \(V_A\)

Principe :

On utilise la formule \(V_A = \frac{2 k_e Q}{L}\) avec les valeurs numériques.

Données spécifiques :
  • \(Q = +8,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(L = 0,05 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_A &= \frac{2 \times (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \times (8,0 \times 10^{-9} \, \text{C})}{0,05 \, \text{m}} \\ &= \frac{2 \times 72}{0,05} \, \text{V} \\ &= \frac{144}{0,05} \, \text{V} \\ &= 2880 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : Le potentiel électrique au sommet A est \(V_A = 2880 \, \text{V}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la hauteur \(h\) du cône augmente tout en gardant le rayon de base \(R\) et la charge \(Q\) constants, comment le potentiel au sommet \(V_A\) change-t-il ? (Note : \(L = \sqrt{R^2+h^2}\))

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Pour un conducteur en équilibre électrostatique portant une charge nette :

2. L'aire latérale d'un cône de révolution de rayon de base R et de génératrice L est :

3. Le potentiel électrique au sommet d'une coquille conique uniformément chargée de charge Q et de génératrice L est \(V_A = 2k_e Q/L\). Si la charge Q double et la génératrice L double aussi, le potentiel \(V_A\) :

Glossaire

Potentiel Électrique (\(V\))
Grandeur scalaire représentant l'énergie potentielle électrique par unité de charge en un point de l'espace. Unité : Volt (V).
Cône Conducteur (Coquille)
Surface conique faite d'un matériau conducteur. En équilibre électrostatique, les charges résident sur sa surface et la surface est équipotentielle.
Densité de Charge Surfacique (\(\sigma\))
Charge électrique par unité de surface. Unité : Coulomb par mètre carré (\(\text{C/m}^2\)).
Génératrice (\(L\))
Dans un cône, segment de droite reliant le sommet à un point du cercle de base. Aussi appelée apothème pour la surface latérale.
Principe de Superposition
Le potentiel total en un point dû à plusieurs charges (ou distributions) est la somme algébrique des potentiels créés par chaque charge (ou distribution) individuelle.
Constante de Coulomb (\(k_e\))
Constante de proportionnalité, \(k_e = 1/(4\pi\varepsilon_0) \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).
Potentiel Électrique au Sommet d'un Cône Conducteur Chargé

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