Potentiel Électrique au Sommet d'un Cône Conducteur Chargé
Comprendre le Potentiel électrique d'une Surface Conique Chargée
Un cône conducteur en équilibre électrostatique est une surface équipotentielle. Si une charge totale \(Q\) est déposée sur un cône conducteur isolé (ici, une coquille conique mince et ouverte à sa base), cette charge se répartit sur sa surface. Le potentiel électrique créé par cette distribution peut être calculé en un point donné, par exemple à son sommet (apex). Pour cela, on décompose la surface conique en anneaux élémentaires. Chaque anneau, portant une charge \(dq\), crée un potentiel élémentaire \(dV\) au sommet. Le potentiel total est alors la somme (intégrale) de ces contributions sur toute la surface du cône.
Données de l'étude
- Constante de Coulomb : \(k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
- Référence du potentiel : Le potentiel est nul à l'infini.
Schéma : Cône Conducteur Chargé
Coquille conique de hauteur h, rayon de base R, et génératrice L, portant une charge Q. Un anneau élémentaire de charge dq est à une distance s du sommet.
Questions à traiter
- Calculer la longueur de la génératrice (apothème) \(L\) du cône.
- Calculer l'aire de la surface latérale \(A_{\text{lat}}\) du cône.
- Déterminer la densité de charge surfacique \(\sigma\) sur la surface latérale du cône.
- Considérer un anneau élémentaire sur la surface du cône, situé à une distance \(s\) du sommet (mesurée le long de la génératrice), et d'épaisseur infinitésimale \(ds\) (également mesurée le long de la génératrice). a. Exprimer le rayon \(r'\) de cet anneau en fonction de \(s\), \(R\), et \(L\). (Indice : utiliser les triangles semblables ou le sinus du demi-angle au sommet \(\alpha\), où \(\sin\alpha = R/L\)). b. Exprimer l'aire \(dA\) de cet anneau élémentaire. c. Exprimer la charge \(dq\) portée par cet anneau élémentaire.
- Quelle est la distance de chaque point de cet anneau élémentaire au sommet A du cône ?
- Exprimer le potentiel élémentaire \(dV_A\) créé par cet anneau de charge \(dq\) au sommet A.
- Calculer le potentiel total \(V_A\) au sommet du cône en intégrant \(dV_A\) sur toute la surface latérale du cône (c'est-à-dire pour \(s\) variant de 0 à \(L\)).
- Application numérique : Calculer la valeur de \(V_A\).
Correction : Potentiel Électrique au Sommet d'un Cône Conducteur Chargé
Question 1 : Longueur de la génératrice \(L\)
Principe :
La génératrice \(L\), la hauteur \(h\), et le rayon de base \(R\) d'un cône droit forment un triangle rectangle. On utilise le théorème de Pythagore.
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(R = 3,0 \, \text{cm} = 0,03 \, \text{m}\)
- \(h = 4,0 \, \text{cm} = 0,04 \, \text{m}\)
Calcul :
Question 2 : Aire de la surface latérale \(A_{\text{lat}}\)
Principe :
L'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de rayon de base \(R\) et de génératrice \(L\) est donnée par \(\pi R L\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(R = 0,03 \, \text{m}\)
- \(L = 0,05 \, \text{m}\)
Calcul :
Question 3 : Densité de charge surfacique \(\sigma\)
Principe :
La charge \(Q\) est uniformément répartie sur la surface latérale \(A_{\text{lat}}\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(Q = +8,0 \, \text{nC} = +8,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
- \(A_{\text{lat}} = 0,0015\pi \, \text{m}^2\)
Calcul :
Question 4 : Anneau élémentaire
a. Rayon \(r'\) de l'anneau
Par similitude des triangles (ou en utilisant le demi-angle au sommet \(\alpha\), où \(\sin\alpha = R/L\)), le rayon \(r'\) d'un anneau situé à une distance \(s\) du sommet le long de la génératrice est \(r' = s \sin\alpha = s (R/L)\).
b. Aire \(dA\) de l'anneau
L'aire d'un anneau de rayon \(r'\) et d'épaisseur \(ds\) (mesurée le long de la génératrice) est sa circonférence multipliée par \(ds\).
c. Charge \(dq\) sur l'anneau
La charge \(dq\) est \(\sigma dA\).
- a. \(r' = s \frac{R}{L}\)
- b. \(dA = 2\pi s \frac{R}{L} ds\)
- c. \(dq = 2\pi\sigma s \frac{R}{L} ds\)
Question 5 : Distance de l'anneau au sommet A
Principe :
L'anneau est défini par sa distance \(s\) au sommet, mesurée le long de la génératrice. Chaque point de cet anneau est donc à une distance \(s\) du sommet A.
Question 6 : Potentiel élémentaire \(dV_A\)
Principe :
Le potentiel créé par une charge \(dq\) à une distance \(s\) est \(dV = k_e \frac{dq}{s}\).
Calcul :
Notez que \(s\) se simplifie, ce qui rend l'intégration très facile.
Quiz Intermédiaire 1 : La simplification de \(s\) dans l'expression de \(dV_A\) signifie que :
Question 7 : Potentiel total \(V_A\) au sommet
Principe :
On intègre \(dV_A\) pour \(s\) variant de \(0\) (sommet) à \(L\) (bord de la base).
Formule(s) utilisée(s) :
Calcul :
En substituant \(\sigma = \frac{Q}{\pi R L}\) :
Question 8 : Application numérique pour \(V_A\)
Principe :
On utilise la formule \(V_A = \frac{2 k_e Q}{L}\) avec les valeurs numériques.
Données spécifiques :
- \(Q = +8,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
- \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
- \(L = 0,05 \, \text{m}\)
Calcul :
Quiz Intermédiaire 2 : Si la hauteur \(h\) du cône augmente tout en gardant le rayon de base \(R\) et la charge \(Q\) constants, comment le potentiel au sommet \(V_A\) change-t-il ? (Note : \(L = \sqrt{R^2+h^2}\))
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. Pour un conducteur en équilibre électrostatique portant une charge nette :
2. L'aire latérale d'un cône de révolution de rayon de base R et de génératrice L est :
3. Le potentiel électrique au sommet d'une coquille conique uniformément chargée de charge Q et de génératrice L est \(V_A = 2k_e Q/L\). Si la charge Q double et la génératrice L double aussi, le potentiel \(V_A\) :
Glossaire
- Potentiel Électrique (\(V\))
- Grandeur scalaire représentant l'énergie potentielle électrique par unité de charge en un point de l'espace. Unité : Volt (V).
- Cône Conducteur (Coquille)
- Surface conique faite d'un matériau conducteur. En équilibre électrostatique, les charges résident sur sa surface et la surface est équipotentielle.
- Densité de Charge Surfacique (\(\sigma\))
- Charge électrique par unité de surface. Unité : Coulomb par mètre carré (\(\text{C/m}^2\)).
- Génératrice (\(L\))
- Dans un cône, segment de droite reliant le sommet à un point du cercle de base. Aussi appelée apothème pour la surface latérale.
- Principe de Superposition
- Le potentiel total en un point dû à plusieurs charges (ou distributions) est la somme algébrique des potentiels créés par chaque charge (ou distribution) individuelle.
- Constante de Coulomb (\(k_e\))
- Constante de proportionnalité, \(k_e = 1/(4\pi\varepsilon_0) \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).
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