Système triphasé avec charges déséquilibrées

Exercice : Système Triphasé Déséquilibré

Analyse d'un Système Triphasé avec Charges Déséquilibrées

Contexte : L'alimentation d'un petit atelier.

Un atelier est alimenté par un réseau triphaséSystème de trois tensions alternatives de même fréquence, déphasées l'une par rapport à l'autre de 120 degrés. C'est le mode de transport d'énergie électrique le plus courant. 230V/400V avec neutre. Les différentes machines et équipements de l'atelier sont répartis sur les trois phases, mais cette répartition n'est pas parfaite, créant un déséquilibre de chargeSe produit lorsque les courants ou les impédances des trois phases d'un système triphasé ne sont pas égaux, entraînant l'apparition d'un courant dans le neutre.. Cet exercice vise à analyser les conséquences de ce déséquilibre, notamment l'apparition d'un courant dans le conducteur de neutre et l'impact sur les puissances globales.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser et à résoudre un problème concret et courant en électrotechnique. La maîtrise des calculs en régime sinusoïdal et l'utilisation des nombres complexes sont essentielles pour tout technicien ou ingénieur électricien.


Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les courants de phase pour des charges variées (résistive, inductive, capacitive).
  • Déterminer le courant circulant dans le conducteur de neutre par la somme vectorielle.
  • Représenter graphiquement les grandeurs électriques (diagramme de Fresnel).
  • Calculer les puissances active, réactive et apparente d'une installation déséquilibrée.
  • Comprendre l'importance de l'équilibrage des phases dans une installation électrique.

Données de l'étude

Le réseau d'alimentation est un système triphasé direct 230V/400V, 50 Hz, avec neutre distribué.

Charges connectées entre phase et neutre
Schéma de l'installation électrique
L1 L2 L3 N Charge 1 (P₁) Charge 2 (S₂) Charge 3 (S₃) I₁ I₂ I₃ Iₙ
Phase Type de charge Puissance Facteur de Puissance (cos φ)
Phase 1 - Neutre Chauffage (Résistif) P₁ = 5 kW 1
Phase 2 - Neutre Moteur (Inductif) S₂ = 4 kVA 0,80 (arrière)
Phase 3 - Neutre Éclairage LED (Capacitif) S₃ = 3 kVA 0,95 (avant)

Questions à traiter

  1. Calculer la valeur efficace et le déphasage de chaque courant de phase (\(I_1, I_2, I_3\)).
  2. Déterminer la valeur efficace et le déphasage du courant dans le neutre (\(I_N\)).
  3. Tracer le diagramme de Fresnel des courants \(I_1, I_2, I_3\) et construire graphiquement le courant \(I_N\).
  4. Calculer les puissances active (P), réactive (Q) et apparente (S) totales de l'installation.
  5. En déduire le facteur de puissance global de l'installation.

Les bases sur les Systèmes Triphasés Déséquilibrés

Pour analyser un système triphasé déséquilibré, l'outil le plus puissant est la représentation par nombres complexes (ou phaseurs). Chaque tension et courant est représenté par un vecteur tournant défini par son module (la valeur efficace) et son argument (le déphasage par rapport à une référence).

1. Tensions et Courants Complexes
On prend la tension simple de la phase 1 comme référence de phase (\(V_1\)). Dans un système direct : \[ \underline{V_1} = 230 \angle 0^\circ \text{ V} = 230 \] \[ \underline{V_2} = 230 \angle -120^\circ \text{ V} = 230 \cdot e^{-j\frac{2\pi}{3}} \] \[ \underline{V_3} = 230 \angle 120^\circ \text{ V} = 230 \cdot e^{j\frac{2\pi}{3}} \] Le courant complexe dans une charge est donné par \(\underline{I} = \frac{\underline{S}^*}{\underline{V}^*}\) ou en fonction de l'impédance \(\underline{I} = \frac{\underline{V}}{\underline{Z}}\).

2. Loi des Nœuds au Neutre
Le courant dans le neutre est la somme vectorielle (et non arithmétique) des courants de phase. C'est une application directe de la loi des nœuds au point neutre. \[ \underline{I_N} = \underline{I_1} + \underline{I_2} + \underline{I_3} \] Si le système était parfaitement équilibré, cette somme serait nulle.


Correction : Analyse d'un Système Triphasé avec Charges Déséquilibrées

Question 1 : Calcul des courants de phase

Principe

Chaque charge est alimentée par une tension simple (\(V = 230V\)). Le courant dans chaque phase est indépendant des autres et ne dépend que de la charge à laquelle il est connecté. Nous allons déterminer le vecteur de courant pour chaque phase, défini par sa valeur efficace (module) et son déphasage par rapport à la tension de sa phase (argument).

Mini-Cours

La puissance complexe \(\underline{S}\) est un outil puissant qui combine puissance active P et réactive Q : \(\underline{S} = P + jQ\). Son module est la puissance apparente S. Elle est liée à la tension et au courant par la relation \(\underline{S} = \underline{V} \cdot \underline{I}^*\), où \(\underline{I}^*\) est le conjugué du courant complexe. On en déduit que le module du courant est \(I = S/V\) et son déphasage par rapport à la tension est \(\varphi = \arg(\underline{V}) - \arg(\underline{I})\).

Remarque Pédagogique

Dans un problème de système déséquilibré, la meilleure approche est de traiter chaque phase comme un circuit monophasé indépendant. Calculez d'abord toutes les grandeurs pour la phase 1, puis pour la phase 2, et enfin pour la phase 3, avant de chercher à les combiner.

Normes

Les tensions nominales des réseaux basse tension sont standardisées, par exemple par la norme IEC 60038. Un réseau 230V/400V signifie une tension simple (phase-neutre) de 230V et une tension composée (phase-phase) de 400V. Le qualificatif "direct" définit l'ordre de succession des phases (1-2-3).

Formule(s)

Pour chaque phase \(k\), le module du courant est \(I_k = \frac{S_k}{V_k}\). Le déphasage \(\varphi_k\) du courant par rapport à la tension est donné par \(\cos(\varphi_k) = \text{facteur de puissance}\). L'angle global du phaseur courant est donc celui de sa tension, auquel on soustrait son déphasage.

\[ \text{Angle du courant } \angle \underline{I_k} = \text{Angle de la tension } \angle \underline{V_k} - \varphi_k \]
Hypothèses
  • Le réseau est une source de tension parfaite (sa tension ne chute pas avec la charge).
  • Les impédances des lignes de connexion sont négligeables.
  • Toutes les grandeurs sont en régime sinusoïdal établi.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Tension simpleV230V
Puissance active Phase 1\(P_1\)5000W
Puissance apparente Phase 2\(S_2\)4000VA
Facteur de Puissance Phase 2\(\cos \varphi_2\)0,8 (inductif)-
Puissance apparente Phase 3\(S_3\)3000VA
Facteur de Puissance Phase 3\(\cos \varphi_3\)0,95 (capacitif)-
Astuces

Pour ne pas se tromper de signe pour l'angle \(\varphi\) : Inductif rime avec "tardif" (le courant est en retard, \(\varphi > 0\)). Capacitif commence comme "cap" (le courant prend le cap, il est en avance, \(\varphi < 0\)).

Schéma (Avant les calculs)
Schéma de l'installation électrique
L1L2L3NCharge 1 (P₁)Charge 2 (S₂)Charge 3 (S₃)I₁I₂I₃Iₙ
Calcul(s)

Module du courant de la phase 1 (Résistive)

\[ \begin{aligned} I_1 &= \frac{P_1}{V_1} \\ &= \frac{5000}{230} \\ &\approx 21,74 \text{ A} \end{aligned} \]

Vecteur courant de la phase 1

\[ \underline{I_1} = 21,74 \angle 0^\circ \text{ A} \]

Module du courant de la phase 2 (Inductive)

\[\begin{aligned} I_2 &= \frac{S_2}{V_2} \\ &= \frac{4000}{230} \\ &\approx 17,39 \text{ A} \end{aligned} \]

Angle du courant de la phase 2

\[ \begin{aligned} \angle \underline{I_2} &= \angle \underline{V_2} - \varphi_2 \\ &= -120^\circ - \arccos(0,8) \\ &= -120^\circ - 36,87^\circ \\ &= -156,87^\circ \end{aligned} \]

Vecteur courant de la phase 2

\[ \underline{I_2} = 17,39 \angle -156,87^\circ \text{ A} \]

Module du courant de la phase 3 (Capacitive)

\[ \begin{aligned} I_3 &= \frac{S_3}{V_3} \\ &= \frac{3000}{230} \\ &\approx 13,04 \text{ A} \end{aligned} \]

Angle du courant de la phase 3

\[ \begin{aligned} \angle \underline{I_3} &= \angle \underline{V_3} - (-\varphi_3) \\ &= 120^\circ + \arccos(0,95) \\ &= 120^\circ + 18,19^\circ \\ &= 138,19^\circ \end{aligned} \]

Vecteur courant de la phase 3

\[ \underline{I_3} = 13,04 \angle 138,19^\circ \text{ A} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Fresnel des courants calculés
I₁I₂I₃
Réflexions

On observe que les modules des courants (21,74 A, 17,39 A, 13,04 A) sont bien différents. De même, les déphasages entre eux ne sont pas de 120°. C'est la définition même d'un système de courants déséquilibré. Ce déséquilibre va nécessairement donner naissance à un courant dans le neutre.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de prendre en compte le déphasage initial des tensions V₂ (-120°) et V₃ (+120°) lors du calcul de l'angle final des courants I₂ et I₃. Le déphasage \(\varphi_k\) se calcule par rapport à la tension de la phase \(k\), pas par rapport à l'origine.

Points à retenir
  • Le courant d'une charge monophasée se calcule avec la tension simple V.
  • L'angle final du courant est la somme algébrique de l'angle de la tension et du déphasage tension-courant (attention au signe).
Le saviez-vous ?

Le concept de "phaseur" et l'utilisation des nombres complexes pour analyser les circuits AC ont été introduits par Charles Proteus Steinmetz à la fin du 19e siècle. Cette méthode a considérablement simplifié des calculs qui nécessitaient auparavant de lourdes résolutions d'équations différentielles.

FAQ
Résultat Final
Les courants de phase sont : \(\underline{I_1} = 21,74 \angle 0^\circ\) A, \(\underline{I_2} = 17,39 \angle -156,87^\circ\) A, et \(\underline{I_3} = 13,04 \angle 138,19^\circ\) A.
A vous de jouer

Si la charge 1 (chauffage) avait une puissance de 6kW, quelle serait la nouvelle valeur efficace de \(I_1\) ?

Question 2 : Calcul du courant de neutre

Principe

Le courant de neutre est la conséquence directe du déséquilibre des charges. Il est la somme vectorielle des trois courants de phase. Physiquement, il représente le "retour" de courant qui ne s'annule pas entre les phases. Pour le calculer, on applique simplement la loi des nœuds au point neutre de l'installation.

Mini-Cours

La loi des nœuds de Kirchhoff stipule que la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant. En régime sinusoïdal, cette loi s'applique aux phaseurs (vecteurs complexes) : \(\sum \underline{I}_{\text{entrant}} = \sum \underline{I}_{\text{sortant}}\). Pour le nœud neutre, on a \(\underline{I_1} + \underline{I_2} + \underline{I_3} = \underline{I_N}\). La somme vectorielle est grandement facilitée par la décomposition de chaque vecteur en ses composantes cartésiennes (réelle et imaginaire).

Remarque Pédagogique

Résistez à la tentation d'additionner les valeurs efficaces (modules) des courants ! C'est une erreur fondamentale. L'addition doit impérativement être vectorielle. L'utilisation des coordonnées rectangulaires (a + jb) est la méthode la plus sûre et la plus précise pour réaliser cette somme.

Normes

La présence d'un courant de neutre a des implications sur le dimensionnement des câbles. Les normes d'installation (comme la IEC 60364) exigent que le conducteur de neutre soit capable de supporter ce courant permanent sans surchauffe. Dans certains cas, notamment avec des charges non linéaires, le courant de neutre peut même dépasser celui des phases.

Formule(s)
\[ \underline{I_N} = \underline{I_1} + \underline{I_2} + \underline{I_3} \]
\[ \underline{I} = I \cdot \cos(\theta) + j \cdot I \cdot \sin(\theta) \]
Hypothèses
  • La connexion des charges est en étoile (ou Y), ce qui permet l'existence d'un point neutre commun.
  • Le conducteur de neutre a une impédance nulle (pas de chute de tension sur le neutre).
Donnée(s)

Nous utilisons les résultats de la question précédente sous forme de phaseurs :

CourantForme PolaireForme Rectangulaire (approchée)
\(\underline{I_1}\)\(21,74 \angle 0^\circ \text{ A}\)\(21,74 + j0 \text{ A}\)
\(\underline{I_2}\)\(17,39 \angle -156,87^\circ \text{ A}\)\(-16,00 - j6,84 \text{ A}\)
\(\underline{I_3}\)\(13,04 \angle 138,19^\circ \text{ A}\)\(-9,71 + j8,67 \text{ A}\)
Astuces

Utilisez les fonctions de conversion polaire/rectangulaire de votre calculatrice scientifique (souvent notées "Pol" et "Rec"). Elles permettent de passer d'une forme à l'autre rapidement et sans erreur de calcul sur les cosinus et sinus.

Schéma (Avant les calculs)
Nœud neutre et application de la loi des nœuds
I₁I₂I₃Iₙ = I₁+I₂+I₃
Calcul(s)

Conversion de \(\underline{I_1}\) en forme rectangulaire

\[ \underline{I_1} = 21,74 + j0 \text{ A} \]

Conversion de \(\underline{I_2}\) en forme rectangulaire

\[ \begin{aligned} \underline{I_2} &= 17,39(\cos(-156,87^\circ) + j\sin(-156,87^\circ)) \\ &\approx -16,00 - j6,84 \text{ A} \end{aligned} \]

Conversion de \(\underline{I_3}\) en forme rectangulaire

\[ \begin{aligned} \underline{I_3} &= 13,04(\cos(138,19^\circ) + j\sin(138,19^\circ)) \\ &\approx -9,71 + j8,67 \text{ A} \end{aligned} \]

Somme vectorielle des courants

\[ \begin{aligned} \underline{I_N} &= (21,74 - 16,00 - 9,71) + j(0 - 6,84 + 8,67) \\ &= -3,97 + j1,83 \text{ A} \end{aligned} \]

Module du courant de neutre

\[ \begin{aligned} I_N = |\underline{I_N}| &= \sqrt{(-3,97)^2 + (1,83)^2} \\ &= \sqrt{15,76 + 3,35} \\ &= \sqrt{19,11} \\ &\approx 4,37 \text{ A} \end{aligned} \]

Angle du courant de neutre

\[ \begin{aligned} \angle \underline{I_N} &= \arctan\left(\frac{1,83}{-3,97}\right) + 180^\circ \\ &\approx -24,7^\circ + 180^\circ \\ &\approx 155,3^\circ \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Construction graphique du vecteur \(\underline{I_N}\)
I₁I₂I₃Iₙ
Réflexions

Un courant de 4,37 A n'est pas négligeable. Il représente environ 20% du courant de la phase la plus chargée (I₁). Cela montre qu'un déséquilibre apparemment modéré dans les puissances peut engendrer un courant de neutre significatif, qui doit être pris en compte pour la sécurité de l'installation.

Points de vigilance

Lors de la reconversion en polaire, soyez attentif au quadrant. La fonction \(arctan(y/x)\) de la plupart des calculatrices donne un résultat entre -90° et +90°. Si la partie réelle \(x\) est négative (comme ici), il faut ajouter 180° (ou \(\pi\) radians) pour obtenir le bon angle.

Points à retenir

Le courant de neutre est la somme vectorielle (complexe) des courants de phase. Une charge déséquilibrée est la seule cause du courant de neutre en régime sinusoïdal pur (sans harmoniques).

Le saviez-vous ?

Dans les installations modernes avec beaucoup d'électronique de puissance (ordinateurs, variateurs de vitesse), les courants contiennent des harmoniques. Les harmoniques de rang 3 (et leurs multiples) s'additionnent arithmétiquement dans le neutre. Le courant de neutre peut alors devenir bien plus élevé que les courants de phase, nécessitant un surdimensionnement du conducteur de neutre !

FAQ
Résultat Final
Le courant dans le neutre est \(\underline{I_N} = 4,37 \angle 155,3^\circ\) A. Sa valeur efficace est de 4,37 A.
A vous de jouer

Supposons que la charge 3 soit déconnectée (\(I_3=0\)). Quel serait le nouveau module du courant de neutre \(I_N\) ? (Utilisez les formes rectangulaires de \(I_1\) et \(I_2\)).

Question 3 : Diagramme de Fresnel

Principe

Le diagramme de Fresnel (ou diagramme des phaseurs) est une représentation graphique des grandeurs sinusoïdales. On représente chaque tension et courant par un vecteur dont la longueur est proportionnelle à sa valeur efficace et l'angle par rapport à l'horizontale est son déphasage. La somme des vecteurs courants donnera le vecteur du courant de neutre.

Mini-Cours

Un diagramme de Fresnel est une "photographie" des vecteurs tournants à l'instant t=0. Chaque vecteur représente un phaseur (nombre complexe). La somme vectorielle \(\underline{I_N} = \underline{I_1} + \underline{I_2} + \underline{I_3}\) se fait graphiquement en plaçant les vecteurs bout à bout (relation de Chasles). Le vecteur résultant part de l'origine du premier vecteur et se termine à l'extrémité du dernier. Cette méthode visuelle permet de valider un calcul analytique.

Schéma
Diagramme de Fresnel des courants
Re Im V₁ (ref 0°) V₂ (-120°) V₃ (120°) I₁ I₂ I₃ Iₙ
Réflexions

Le diagramme montre clairement que les courants n'ont ni la même amplitude, ni le même déphasage de 120° entre eux. La somme vectorielle, représentée par la construction du polygone des courants (vecteurs mis bout à bout), n'aboutit pas à l'origine. Le vecteur qui ferme ce polygone en partant de l'origine est bien le courant de neutre \(\underline{I_N}\), ce qui confirme visuellement le calcul.

Points de vigilance
  • Échelle : Il est crucial de choisir une échelle adaptée (par exemple, 1 cm pour 2 A) et de s'y tenir pour tous les vecteurs afin que la construction soit juste.
  • Angles : Une erreur de signe ou un angle mesuré par rapport au mauvais axe faussera complètement le diagramme. Toujours mesurer les angles par rapport à l'axe de référence horizontal positif.
  • Construction : Pour la somme, on place bien l'origine du vecteur \(\underline{I_2}\) à l'extrémité du vecteur \(\underline{I_1}\), et ainsi de suite. Le vecteur somme part de l'origine commune et arrive à l'extrémité du dernier vecteur.

Question 4 : Calcul des puissances totales

Principe

Pour une installation complète, on cherche à connaître sa consommation globale. Le théorème de Boucherot nous dit que les puissances actives totales et les puissances réactives totales sont simplement les sommes arithmétiques des puissances actives et réactives de chaque charge. La puissance apparente totale, elle, se déduit de ces deux sommes.

Mini-Cours

Le théorème de Boucherot est fondamental : \(P_{\text{totale}} = \sum P_k\) et \(Q_{\text{totale}} = \sum Q_k\). Cela signifie que les puissances actives s'additionnent, et les puissances réactives s'additionnent aussi (en tenant compte de leur signe). Une fois P et Q totaux connus, on peut construire le "triangle de puissance" global de l'installation, dont l'hypoténuse est la puissance apparente totale \(S_{\text{totale}} = \sqrt{P_{\text{totale}}^2 + Q_{\text{totale}}^2}\).

Remarque Pédagogique

La plus grande erreur à ne pas commettre est d'additionner les puissances apparentes (\(S_{\text{totale}} \neq S_1 + S_2 + S_3\)). Les VA ne s'additionnent pas arithmétiquement ! Passez toujours par le calcul des P et Q de chaque branche, faites la somme, puis calculez le S total.

Normes

Les fournisseurs d'énergie facturent principalement la puissance active (en kWh), mais surveillent de près la puissance réactive. Une consommation excessive de puissance réactive (faible facteur de puissance) est souvent pénalisée car elle nécessite des courants plus élevés pour la même puissance active, ce qui augmente les pertes dans les lignes de distribution.

Formule(s)
\[ P_k = S_k \cos(\varphi_k) \quad ; \quad Q_k = S_k \sin(\varphi_k) \]
\[ P_{\text{totale}} = \sum P_k \quad ; \quad Q_{\text{totale}} = \sum Q_k \]
\[ S_{\text{totale}} = \sqrt{P_{\text{totale}}^2 + Q_{\text{totale}}^2} \]
Hypothèses
  • Les puissances indiquées pour chaque charge sont constantes.
  • On ne considère que les puissances fondamentales (pas de puissance harmonique).
Donnée(s)

Les données de l'énoncé sont utilisées pour chaque charge :

ChargePuissance Apparente (S)Puissance Active (P)Facteur de Puissance (cos \(\varphi\))
Phase 1-5000 W1
Phase 24000 VA-0,8 (arrière)
Phase 33000 VA-0,95 (avant)
Astuces

Organisez vos calculs dans un tableau avec les colonnes : Charge, S (VA), cos(\(\varphi\)), P (W), sin(\(\varphi\)), et Q (VAR). Cela permet de ne pas se perdre et de sommer facilement les colonnes P et Q à la fin.

Schéma (Avant les calculs)
Triangles de puissance individuels
Charge 1 (P)P₁S₁Charge 2 (P, Q>0)P₂Q₂S₂Charge 3 (P, Q<0)P₃Q₃S₃
Calcul(s)

Puissance Active Phase 1

\[ P_1 = 5000 \text{ W} \]

Puissance Active Phase 2

\[ \begin{aligned} P_2 &= S_2 \cos(\varphi_2) \\ &= 4000 \times 0,8 \\ &= 3200 \text{ W} \end{aligned} \]

Puissance Active Phase 3

\[ \begin{aligned} P_3 &= S_3 \cos(\varphi_3) \\ &= 3000 \times 0,95 \\ &= 2850 \text{ W} \end{aligned} \]

Puissance Active Totale

\[ \begin{aligned} P_{\text{totale}} &= P_1 + P_2 + P_3 \\ &= 5000 + 3200 + 2850 \\ &= 11050 \text{ W} \end{aligned} \]

Puissance Réactive Phase 1

\[ Q_1 = 0 \text{ VAR} \]

Puissance Réactive Phase 2

\[ \begin{aligned} Q_2 &= S_2 \sin(\varphi_2) \\ &= 4000 \times \sqrt{1 - 0,8^2} \\ &= 4000 \times \sqrt{0,36} \\ &= 4000 \times 0,6 \\ &= 2400 \text{ VAR} \end{aligned} \]

Puissance Réactive Phase 3

\[ \begin{aligned} Q_3 &= -S_3 \sin(\varphi_3) \\ &= -3000 \times \sqrt{1 - 0,95^2} \\ &= -3000 \times \sqrt{0,0975} \\ &\approx -3000 \times 0,3122 \\ &\approx -937 \text{ VAR} \end{aligned} \]

Puissance Réactive Totale

\[ \begin{aligned} Q_{\text{totale}} &= Q_1 + Q_2 + Q_3 \\ &= 0 + 2400 - 937 \\ &= 1463 \text{ VAR} \end{aligned} \]

Puissance Apparente Totale

\[ \begin{aligned} S_{\text{totale}} &= \sqrt{P_{\text{totale}}^2 + Q_{\text{totale}}^2} \\ &= \sqrt{11050^2 + 1463^2} \\ &= \sqrt{122102500 + 2140369} \\ &= \sqrt{124242869} \\ &\approx 11146 \text{ VA} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Triangle de Puissance Global
P_tot = 11050 WQ_tot = 1463 VARS_tot = 11146 VA
Réflexions

L'installation globale se comporte comme une charge inductive car la puissance réactive totale est positive (\(Q_{totale} > 0\)). La charge capacitive a "compensé" une partie de la puissance réactive de la charge inductive, mais pas entièrement. C'est un phénomène souhaitable qui améliore le facteur de puissance global.

Points de vigilance

La principale erreur est d'additionner les puissances apparentes arithmétiquement : \(5000 + 4000 + 3000 = 12000\) VA, ce qui est incorrect. Le résultat correct est \(11146\) VA. Cet écart montre bien l'effet de la compensation partielle des puissances réactives.

Points à retenir

Le théorème de Boucherot est votre meilleur ami pour les calculs de puissance globale : \(P_{tot} = \sum P_k\) et \(Q_{tot} = \sum Q_k\). La puissance apparente totale se déduit toujours de \(P_{tot}\) et \(Q_{tot}\).

Le saviez-vous ?

Le concept de puissance réactive a été difficile à accepter au début de l'électrotechnique. Certains ingénieurs la qualifiaient de puissance "imaginaire" ou "inutile". Aujourd'hui, on sait qu'elle est indispensable au fonctionnement des machines magnétiques (moteurs, transformateurs) mais qu'il faut la gérer pour optimiser le transport d'énergie.

FAQ
Résultat Final
L'installation consomme une puissance active totale de 11,05 kW, une puissance réactive totale de 1,46 kVAR (globalement inductive), et une puissance apparente totale de 11,15 kVA.
A vous de jouer

Si le moteur (Charge 2) était remplacé par un autre chauffage de 3200 W, quelle serait la nouvelle puissance réactive totale \(Q_{totale}\) ?

Question 5 : Facteur de puissance global

Principe

Le facteur de puissance (FP) global représente l'efficacité énergétique de l'ensemble de l'installation. Il compare la puissance qui travaille réellement (puissance active P) à la puissance totale "tirée" sur le réseau (puissance apparente S). Un FP proche de 1 signifie que presque toute l'énergie est utilisée efficacement.

Mini-Cours

Le facteur de puissance est le cosinus de l'angle de déphasage \(\varphi_{\text{total}}\) entre le courant total équivalent et la tension de référence. Cet angle se trouve dans le triangle de puissance global, où \(P_{\text{totale}}\) est le côté adjacent, \(Q_{\text{totale}}\) le côté opposé, et \(S_{\text{totale}}\) l'hypoténuse. Un FP "arrière" (lagging) signifie que le courant est en retard sur la tension (charge globalement inductive, Q > 0), tandis qu'un FP "avant" (leading) signifie que le courant est en avance (charge globalement capacitive, Q < 0).

Remarque Pédagogique

Le FP global ne donne pas d'information sur le déséquilibre des charges, mais uniquement sur la nature globale (inductive/capacitive) de la consommation. Une installation peut avoir un excellent FP global tout en étant très déséquilibrée et en générant un fort courant de neutre.

Normes

Les distributeurs d'électricité (comme Enedis en France) imposent souvent un facteur de puissance minimal (typiquement autour de 0.93, soit un \(\tan(\varphi)\) de 0.4) aux installations industrielles. En dessous de ce seuil, des pénalités sont appliquées sur la facture car une consommation réactive excessive surcharge inutilement les infrastructures du réseau.

Formule(s)
\[ \text{FP}_{\text{global}} = \cos(\varphi_{\text{total}}) = \frac{P_{\text{totale}}}{S_{\text{totale}}} \]
Hypothèses

Les calculs des puissances P et Q totales effectués à la question précédente sont considérés comme exacts. Le régime étant sinusoïdal, le FP est bien le cosinus de l'angle de déphasage et non un simple rapport de puissances.

Donnée(s)

Nous utilisons les puissances totales calculées à la question précédente :

PuissanceSymboleValeur
Puissance Active Totale\(P_{\text{totale}}\)11050 W
Puissance Apparente Totale\(S_{\text{totale}}\)11146 VA
Astuces

Si vous avez calculé \(P_{\text{tot}}\) et \(Q_{\text{tot}}\), vous pouvez aussi trouver l'angle \(\varphi_{\text{total}}\) avec \(\tan(\varphi_{\text{total}}) = Q_{tot} / P_{tot}\), puis prendre le cosinus. C'est une bonne manière de vérifier votre calcul de \(S_{\text{totale}}\). Ici, \(\tan(\varphi_{\text{total}}) = 1463 / 11050 \approx 0.132\), \(\varphi_{\text{total}} \approx 7.54^\circ\), et \(\cos(7.54^\circ) \approx 0.991\). Les résultats concordent.

Schéma (Avant les calculs)
Triangle de Puissance Global à analyser
P_totQ_totS_totφ_tot = ?
Calcul(s)

Calcul du Facteur de Puissance Global

\[ \begin{aligned} \text{FP}_{\text{global}} &= \frac{P_{\text{totale}}}{S_{\text{totale}}} \\ &= \frac{11050}{11146} \\ &\approx 0,991 \end{aligned} \]

Comme la puissance réactive totale est positive (\(Q_{\text{totale}} > 0\)), l'installation est globalement inductive, donc le facteur de puissance est "arrière" (en retard).

Schéma (Après les calculs)
Triangle de Puissance Global et Facteur de Puissance
P_tot = 11050 WQ_tot = 1463 VARS_tot = 11146 VAφ_tot ≈ 7.5°
Réflexions

Un FP de 0,991 est excellent, très proche de l'idéal (1). Cela signifie que l'installation utilise très efficacement l'énergie active. Cette haute performance est due à une compensation quasi-parfaite de la puissance réactive du moteur (inductive) par celle des éclairages LED (capacitive). L'atelier ne sera probablement pas pénalisé par le fournisseur d'énergie pour sa consommation réactive.

Points de vigilance

Ne confondez pas le FP global avec la moyenne des FP de chaque charge. Le FP global dépend de la somme des puissances P et Q, pas de la moyenne des cos(\(\varphi\)) individuels. De plus, ne jamais oublier de préciser si le facteur de puissance est "arrière" (inductif) ou "avant" (capacitif), car un même chiffre (ex: 0.9) peut correspondre à deux situations physiques différentes.

Points à retenir

Le facteur de puissance global caractérise l'installation dans son ensemble. Il se calcule TOUJOURS à partir des puissances P et Q totales. Son qualificatif (arrière/avant) est donné par le signe de Q total.

Le saviez-vous ?

Pour corriger un mauvais facteur de puissance dans les usines (souvent très inductives à cause des moteurs), on installe de grandes armoires de condensateurs. Ces "batteries de compensation" fournissent localement la puissance réactive nécessaire, ce qui évite de la "tirer" depuis le réseau électrique et réduit ainsi la facture.

FAQ
Résultat Final
Le facteur de puissance global de l'installation est de 0,991 (arrière).
A vous de jouer

Si la charge 2 (moteur) était plus puissante, avec \(S_2 = 6\) kVA (et toujours cos φ₂ = 0.8), quel serait le nouveau FP global ? (Recalculez P₂, Q₂, P_tot, Q_tot, S_tot, puis le FP).


Outil Interactif : Impact du déséquilibre

Utilisez ce simulateur pour voir comment le courant de neutre change lorsque l'on modifie les charges. Observez à quel point un léger déséquilibre peut générer un courant de neutre non négligeable.

Paramètres d'Entrée
5000 W
0.80
Résultats Clés
Courant de Neutre |Iₙ| (A) -
FP Global -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un système triphasé équilibré en charges, que vaut le courant dans le neutre ?

2. Si une phase a une charge purement capacitive, son courant est :

3. Pour calculer la puissance active totale d'une installation triphasée déséquilibrée, on...

4. Un facteur de puissance proche de 1 indique que l'installation...

5. Le principal inconvénient d'un fort courant de neutre est :


Système triphasé
Mode de production et de distribution d'énergie électrique constitué de trois courants ou tensions alternatifs sinusoïdaux de même fréquence et généralement de même amplitude, mais déphasés entre eux de 120° (soit 2π/3 radians).
Déséquilibre de charge
Condition dans un système triphasé où les impédances ou les puissances connectées sur chaque phase ne sont pas identiques, entraînant des courants de phase inégaux et l'apparition d'un courant dans le fil de neutre.
Courant de neutre
Courant qui circule dans le conducteur de neutre d'un système triphasé. Il est égal à la somme vectorielle des courants des trois phases. Dans un système parfaitement équilibré, ce courant est nul.
Facteur de puissance (cos φ)
Rapport entre la puissance active (P, en Watts) et la puissance apparente (S, en Volt-Ampères). Il mesure l'efficacité d'une installation électrique. Un facteur de 1 est idéal.
Diagramme de Fresnel
Représentation graphique des grandeurs sinusoïdales (tensions, courants) sous forme de vecteurs (phaseurs) dans le plan complexe. La longueur du vecteur représente le module (valeur efficace) et son angle représente la phase.
Analyse d'un Système Triphasé Déséquilibré

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