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Système triphasé avec charges déséquilibrées

Système Triphasé avec Charges Déséquilibrées

Système Triphasé avec Charges Déséquilibrées

Comprendre l'Analyse d’un Système Triphasé Déséquilibré

Alors que les systèmes équilibrés permettent des calculs simplifiés, la plupart des installations réelles présentent un certain degré de déséquilibre, notamment lorsque des charges monophasées de différentes puissances sont connectées à un réseau triphasé. Un système est dit déséquilibré si les impédances ou les tensions des trois phases ne sont pas identiques. L'analyse de ces systèmes est plus complexe car on ne peut plus utiliser les formules simplifiées (\(I_L = \sqrt{3} J_{ph}\), etc.). Il faut revenir aux lois fondamentales de Kirchhoff et travailler avec les nombres complexes pour chaque phase individuellement.

Données de l'étude

Une charge triphasée déséquilibrée est connectée en triangle à un réseau triphasé 230V/400V - 50Hz, séquence directe.

Impédances de la charge :

  • Entre phases 1 et 2 (\(\underline{Z}_{12}\)) : 10 Ω (purement résistive)
  • Entre phases 2 et 3 (\(\underline{Z}_{23}\)) : \(8 + j6 \, \Omega\) (inductive)
  • Entre phases 3 et 1 (\(\underline{Z}_{31}\)) : \(8 - j6 \, \Omega\) (capacitive)

Tensions composées (de ligne) : On prend \(\underline{U}_{12}\) comme référence.

  • \(\underline{U}_{12} = 400 \angle 0^\circ\) V
  • \(\underline{U}_{23} = 400 \angle -120^\circ\) V
  • \(\underline{U}_{31} = 400 \angle 120^\circ\) V
Schéma de la Charge Déséquilibrée
Ligne 1 Ligne 2 Ligne 3 Z₁₂=10Ω Z₂₃=8+j6Ω Z₃₁=8-j6Ω I₁ I₂ I₃

Questions à traiter

  1. Calculer les courants de phase \(\underline{J}_{12}\), \(\underline{J}_{23}\), et \(\underline{J}_{31}\) en forme polaire.
  2. Calculer les courants de ligne \(\underline{I}_1\), \(\underline{I}_2\), et \(\underline{I}_3\) en forme polaire.
  3. Calculer les puissances active (\(P\)) et réactive (\(Q\)) pour chaque phase de la charge.
  4. Calculer les puissances totales active (\(P_T\)), réactive (\(Q_T\)) et apparente (\(S_T\)) du système.

Correction : Système avec Charges Déséquilibrées

Question 1 : Calcul des Courants de Phase

Principe :

Chaque courant de phase se calcule indépendamment en appliquant la loi d'Ohm à sa branche, en utilisant la tension de ligne correspondante. Il est essentiel de travailler avec les nombres complexes pour gérer les déphasages.

Calcul :

On convertit d'abord toutes les impédances en forme polaire :
\(\underline{Z}_{12} = 10 \angle 0^\circ \, \Omega\)
\(\underline{Z}_{23} = \sqrt{8^2+6^2} \angle \arctan(6/8) = 10 \angle 36.87^\circ \, \Omega\)
\(\underline{Z}_{31} = \sqrt{8^2+(-6)^2} \angle \arctan(-6/8) = 10 \angle -36.87^\circ \, \Omega\)

\[ \begin{aligned} \underline{J}_{12} &= \frac{\underline{U}_{12}}{\underline{Z}_{12}} = \frac{400 \angle 0^\circ}{10 \angle 0^\circ} = 40 \angle 0^\circ \, \text{A} \\ \\ \underline{J}_{23} &= \frac{\underline{U}_{23}}{\underline{Z}_{23}} = \frac{400 \angle -120^\circ}{10 \angle 36.87^\circ} = 40 \angle -156.87^\circ \, \text{A} \\ \\ \underline{J}_{31} &= \frac{\underline{U}_{31}}{\underline{Z}_{31}} = \frac{400 \angle 120^\circ}{10 \angle -36.87^\circ} = 40 \angle 156.87^\circ \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • \(\underline{J}_{12} = 40 \angle 0^\circ \, \text{A}\)
  • \(\underline{J}_{23} = 40 \angle -156.87^\circ \, \text{A}\)
  • \(\underline{J}_{31} = 40 \angle 156.87^\circ \, \text{A}\)

Question 2 : Calcul des Courants de Ligne

Principe :

Les courants de ligne se calculent en appliquant la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud de la charge en triangle. Par exemple, le courant \(\underline{I}_1\) est la différence entre le courant de phase qui entre dans le nœud (\(\underline{J}_{31}\)) et celui qui en sort (\(\underline{J}_{12}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \underline{I}_1 = \underline{J}_{12} - \underline{J}_{31} \quad ; \quad \underline{I}_2 = \underline{J}_{23} - \underline{J}_{12} \quad ; \quad \underline{I}_3 = \underline{J}_{31} - \underline{J}_{23} \]
Calcul :

On convertit les courants de phase en forme rectangulaire pour l'addition/soustraction :
\(\underline{J}_{12} = 40 + j0 \, \text{A}\)
\(\underline{J}_{23} = 40(\cos(-156.87^\circ) + j\sin(-156.87^\circ)) \approx -36.88 - j15.68 \, \text{A}\)
\(\underline{J}_{31} = 40(\cos(156.87^\circ) + j\sin(156.87^\circ)) \approx -36.88 + j15.68 \, \text{A}\)

\[ \begin{aligned} \underline{I}_1 &= (40) - (-36.88 + j15.68) = 76.88 - j15.68 \, \text{A} \approx 78.47 \angle -11.55^\circ \, \text{A} \\ \\ \underline{I}_2 &= (-36.88 - j15.68) - (40) = -76.88 - j15.68 \, \text{A} \approx 78.47 \angle -168.45^\circ \, \text{A} \\ \\ \underline{I}_3 &= (-36.88 + j15.68) - (-36.88 - j15.68) = 0 + j31.36 \, \text{A} = 31.36 \angle 90^\circ \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Les courants de ligne sont \(\underline{I}_1 \approx 78.5 \angle -11.6^\circ \, \text{A}\), \(\underline{I}_2 \approx 78.5 \angle -168.5^\circ \, \text{A}\), et \(\underline{I}_3 \approx 31.4 \angle 90^\circ \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire 1 : La somme vectorielle \(\underline{I}_1 + \underline{I}_2 + \underline{I}_3\) doit être :

Question 3 : Puissances par Phase

Principe :

La puissance active (P) et réactive (Q) pour chaque branche se calcule à partir de la tension de phase, du courant de phase et de l'angle de déphasage de l'impédance correspondante.

Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{12} &= U_{12} J_{12} \cos(\phi_{12}) = 400 \times 40 \times \cos(0^\circ) = 16000 \, \text{W} \\ Q_{12} &= U_{12} J_{12} \sin(\phi_{12}) = 400 \times 40 \times \sin(0^\circ) = 0 \, \text{VAR} \\ \\ P_{23} &= U_{23} J_{23} \cos(\phi_{23}) = 400 \times 40 \times \cos(36.87^\circ) = 12800 \, \text{W} \\ Q_{23} &= U_{23} J_{23} \sin(\phi_{23}) = 400 \times 40 \times \sin(36.87^\circ) = 9600 \, \text{VAR} \\ \\ P_{31} &= U_{31} J_{31} \cos(\phi_{31}) = 400 \times 40 \times \cos(-36.87^\circ) = 12800 \, \text{W} \\ Q_{31} &= U_{31} J_{31} \sin(\phi_{31}) = 400 \times 40 \times \sin(-36.87^\circ) = -9600 \, \text{VAR} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 :
- Phase 1-2 : \(P_{12}\) = 16 kW, \(Q_{12}\) = 0 kVAR
- Phase 2-3 : \(P_{23}\) = 12.8 kW, \(Q_{23}\) = 9.6 kVAR (inductif)
- Phase 3-1 : \(P_{31}\) = 12.8 kW, \(Q_{31}\) = -9.6 kVAR (capacitif)

Question 4 : Puissances Totales

Principe :

Les puissances totales (active et réactive) pour un système déséquilibré sont simplement la somme arithmétique des puissances de chaque phase. La puissance apparente totale est ensuite calculée à partir de P et Q totales.

Calcul :
\[ \begin{aligned} P_T &= P_{12} + P_{23} + P_{31} \\ &= 16000 + 12800 + 12800 = 41600 \, \text{W} = 41.6 \, \text{kW} \\ \\ Q_T &= Q_{12} + Q_{23} + Q_{31} \\ &= 0 + 9600 + (-9600) = 0 \, \text{VAR} \\ \\ S_T &= \sqrt{P_T^2 + Q_T^2} \\ &= \sqrt{(41600)^2 + 0^2} = 41600 \, \text{VA} = 41.6 \, \text{kVA} \end{aligned} \]

Comme la puissance réactive totale est nulle, l'ensemble de la charge se comporte comme une charge purement résistive vis-à-vis du réseau.

Résultat Question 4 : \(P_T = 41.6\) kW, \(Q_T = 0\) kVAR, et \(S_T = 41.6\) kVA. Le facteur de puissance global est de 1.

Quiz Intermédiaire 2 : La méthode de Boucherot (somme des P et des Q) est-elle applicable ici ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Dans un système triphasé déséquilibré...

2. Dans cet exercice, pourquoi la puissance réactive totale (\(Q_T\)) est-elle nulle ?

3. Pour calculer les courants de ligne, il est nécessaire de...

Glossaire

Charge Déséquilibrée
Une charge triphasée dont les impédances ne sont pas identiques sur les trois phases. Cela entraîne des courants de phase et de ligne d'amplitudes et/ou de déphasages différents.
Séquence Directe
Ordre standard de succession des phases (1-2-3) dans un système triphasé. Les tensions \(\underline{U}_{12}\), \(\underline{U}_{23}\) et \(\underline{U}_{31}\) sont déphasées de -120° les unes par rapport aux autres.
Nombres Complexes
Outils mathématiques indispensables pour l'analyse des circuits en régime sinusoïdal. Ils permettent de représenter une grandeur par son module (amplitude) et son argument (phase) et de réaliser des additions et soustractions vectorielles.
Système Triphasé avec Charges Déséquilibrées

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