Transformée de Fourier d'un Signal Rectangulaire

Contexte : Du temps à la fréquence, le passeport de l'ingénieur signal.

La Transformée de FourierOutil mathématique fondamental qui décompose un signal temporel en l'ensemble des fréquences sinusoïdales qui le constituent. Elle permet de passer de la représentation temporelle à la représentation fréquentielle (le spectre). est sans doute l'outil le plus puissant en traitement du signal. Elle permet de "voir" les fréquences cachées dans un signal. L'impulsion rectangulaire (ou signal "porte") est l'un des signaux les plus fondamentaux en électronique numérique et en communications. Comprendre son contenu fréquentiel est crucial pour analyser la transmission de données, le fonctionnement des filtres ou les effets d'échantillonnage. Cet exercice vous guidera à travers le calcul et l'interprétation de la transformée de Fourier de ce signal de base.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une porte d'entrée vers le monde de l'analyse spectrale. Nous allons calculer mathématiquement le spectre d'un signal simple et analyser ses propriétés. Vous découvrirez la relation de dualité fondamentale entre le temps et la fréquence : un signal court et brusque dans le temps devient large et étalé en fréquence. C'est la base du principe d'incertitude de Heisenberg-Gabor, un concept clé en physique et en ingénierie.

Objectifs Pédagogiques

Calculer l'expression analytique de la transformée de Fourier d'une impulsion rectangulaire.
Identifier la fonction sinus cardinal (sinc) et ses propriétés.
Déterminer les fréquences où le spectre s'annule (zéros).
Calculer la largeur du lobe principal du spectre.
Comprendre l'impact de la durée de l'impulsion sur la largeur de son spectre.

Données de l'étude

On considère une impulsion rectangulaire \(x(t)\) centrée sur l'origine, d'amplitude \(A\) et de durée totale \(\tau\). Ce signal représente, par exemple, un bit de donnée dans une transmission numérique ou une porte temporelle dans un système radar.

Signal Impulsionnel Rectangulaire

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Amplitude du signal	\(A\)	5	\(\text{V}\)
Durée de l'impulsion	\(\tau\)	200	\(\mu\text{s}\)

Questions à traiter

Donner l'expression mathématique de \(x(t)\) et calculer sa transformée de Fourier \(X(f)\).
Exprimer le résultat sous la forme d'un sinus cardinal (sinc).
Calculer la valeur du spectre à la fréquence nulle (\(f=0\)).
Déterminer les fréquences des deux premiers zéros du spectre (les premières annulations de part et d'autre de \(f=0\)).

Les bases de la Transformée de Fourier

Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés de l'analyse de Fourier.

1. Définition de la Transformée de Fourier :
La transformée de Fourier d'un signal \(x(t)\), notée \(X(f)\) ou \(\mathcal{F}\{x(t)\}\), est donnée par l'intégrale : \[ X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j2\pi f t} dt \] Cette intégrale calcule "l'amplitude complexe" de chaque composante fréquentielle \(f\) contenue dans le signal \(x(t)\).

2. La fonction Sinus Cardinal :
La fonction sinus cardinal, notée \(\text{sinc}(u)\), est une fonction mathématique fondamentale qui apparaît très souvent en traitement du signal. Elle est définie par : \[ \text{sinc}(u) = \frac{\sin(\pi u)}{\pi u} \] Cette fonction a une valeur de 1 pour \(u=0\) et s'annule pour toutes les autres valeurs entières de \(u\) (\(u = \pm 1, \pm 2, \dots\)).

3. Dualité Temps-Fréquence :
C'est un principe fondamental : un signal qui est très court (concentré) dans le domaine temporel aura un spectre très large (étalé) dans le domaine fréquentiel, et vice-versa. Un signal rectangulaire de durée \(\tau\) aura un spectre dont la largeur est proportionnelle à \(1/\tau\).

Correction : Transformée de Fourier d’un Signal Rectangulaire

Question 1 : Calculer la transformée de Fourier \(X(f)\)

Principe (le concept physique)

La transformée de Fourier est un outil mathématique qui agit comme un prisme pour la lumière : elle décompose un signal complexe en ses "couleurs" fondamentales, qui sont les fréquences sinusoïdales. Pour notre signal rectangulaire, nous allons appliquer la définition mathématique pour trouver l'amplitude de chaque "couleur" (fréquence) qui le compose. Comme le signal est non nul uniquement sur une durée finie, l'intégrale de Fourier devient calculable sur cet intervalle.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule d'Euler, \(e^{-j\theta} = \cos(\theta) - j\sin(\theta)\), est la clé pour comprendre l'intégrale de Fourier. Le terme \(e^{-j2\pi f t}\) est une "sinusoïde complexe" tournante. L'intégrale mesure la corrélation entre le signal \(x(t)\) et cette sinusoïde à chaque fréquence \(f\). Une forte corrélation signifie que la fréquence \(f\) est très présente dans le signal.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul de la transformée de Fourier d'une porte rectangulaire est L'EXEMPLE fondamental à maîtriser. C'est le pont entre le monde numérique (où les signaux sont souvent des impulsions) et le monde analogique (où les signaux sont décrits par leurs fréquences). Comprendre ce calcul, c'est comprendre pourquoi un signal numérique rapide nécessite une grande largeur de bande.

Normes (la référence réglementaire)

Bien qu'il s'agisse d'un calcul théorique, ses conséquences sont très réglementées. Par exemple, la largeur du spectre d'une impulsion radar (qui est proche d'un signal rectangulaire) détermine le canal de fréquence qu'elle occupe. Les normes de l'UIT (Union Internationale des Télécommunications) allouent ces canaux pour éviter les interférences entre systèmes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Définition de la transformée de Fourier :

X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j2\pi f t} dt

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le signal \(x(t)\) est une fonction porte (ou rectangulaire), notée \(\text{rect}_\tau(t)\), définie comme valant \(A\) pour \(t \in [-\tau/2, \tau/2]\) et 0 ailleurs.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Amplitude, \(A = 5 \, \text{V}\)
Durée, \(\tau = 200 \, \mu\text{s} = 200 \times 10^{-6} \, \text{s}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

L'intégrale d'une exponentielle, \(\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax}\), est la seule compétence de calcul requise ici. Soyez méthodique avec les bornes d'intégration et les termes complexes.

Schéma (Avant les calculs)

Signal Temporel à Transformer

Calcul(s) (l'application numérique)

Comme \(x(t)\) est nul en dehors de \( [-\tau/2, \tau/2] \), l'intégrale se simplifie :

\begin{aligned} X(f) &= \int_{-\tau/2}^{\tau/2} A e^{-j2\pi f t} dt \\ &= A \left[ \frac{e^{-j2\pi f t}}{-j2\pi f} \right]_{-\tau/2}^{\tau/2} \\ &= A \left( \frac{e^{-j\pi f \tau} - e^{j\pi f \tau}}{-j2\pi f} \right) \\ &= A \left( \frac{e^{j\pi f \tau} - e^{-j\pi f \tau}}{j2\pi f} \right) \end{aligned}

En utilisant la formule d'Euler \(\sin(\theta) = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j}\), on obtient :

\begin{aligned} X(f) &= A \left( \frac{2j \sin(\pi f \tau)}{j2\pi f} \right) \\ &= A \frac{\sin(\pi f \tau)}{\pi f} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Forme du Spectre Fréquentiel

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat \(A \frac{\sin(\pi f \tau)}{\pi f}\) est la description complète du contenu fréquentiel de notre signal. Ce n'est pas une fréquence unique, mais un continuum de fréquences dont l'amplitude varie selon cette formule. On voit que l'amplitude est maximale à \(f=0\) et décroît en oscillant. Cette forme est caractéristique et s'appelle un sinus cardinal.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur fréquente est de mal gérer les signes dans l'exponentielle lors de l'évaluation de l'intégrale aux bornes. Une autre est de se tromper dans la formule d'Euler pour le sinus (il y a un \(2j\) au dénominateur). Soyez rigoureux avec les termes complexes.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La transformée de Fourier d'un rectangle est une fonction en sinus.
Le calcul se fait en appliquant la définition de l'intégrale de Fourier sur l'intervalle où le signal est non nul.
La formule d'Euler est l'outil clé pour simplifier le résultat.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En optique, le phénomène de diffraction d'une lumière monochromatique par une fente rectangulaire produit une figure d'interférence dont l'intensité lumineuse suit précisément le carré de la fonction sinus cardinal. C'est une manifestation physique directe de la transformée de Fourier : la fente est un "signal" rectangulaire dans l'espace, et la figure de diffraction est son spectre spatial.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'expression de la transformée de Fourier du signal rectangulaire est \(X(f) = A \frac{\sin(\pi f \tau)}{\pi f}\).

A vous de jouer

Quelle serait la forme générale du résultat si l'impulsion n'était pas centrée en 0 mais en \(t_0\) ?

Question 2 : Exprimer le résultat en sinus cardinal (sinc)

Principe (le concept physique)

La fonction sinus cardinal, \(\text{sinc}(u)\), est une notation standardisée qui permet de représenter de manière compacte et élégante les spectres de signaux rectangulaires. En factorisant notre résultat pour faire apparaître la forme \(\frac{\sin(\pi u)}{\pi u}\), nous utilisons un langage commun en traitement du signal, ce qui facilite la reconnaissance de la forme du spectre et l'application de ses propriétés connues.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La transformée de Fourier de la fonction \(\text{rect}(t/\tau)\) (une porte de largeur \(\tau\) et d'amplitude 1) est \(\tau \text{sinc}(f\tau)\). C'est une des paires de transformées de Fourier les plus célèbres. Par la propriété de linéarité, la transformée de \(A \cdot \text{rect}(t/\tau)\) est simplement \(A \cdot \tau \text{sinc}(f\tau)\). Notre calcul doit aboutir à cette forme.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Savoir reconnaître et manipuler la fonction sinc est une compétence essentielle. L'astuce consiste toujours à multiplier et diviser par le terme manquant pour faire apparaître l'argument \(\pi u\) à la fois dans le sinus et au dénominateur. Ici, l'argument du sinus est \(\pi f \tau\), donc on cherche à avoir \(\pi f \tau\) au dénominateur.

Normes (la référence réglementaire)

Il existe deux définitions courantes du sinus cardinal. La version "normalisée" \( \text{sinc}(u) = \frac{\sin(\pi u)}{\pi u} \) est fréquente en traitement du signal. Une version "non normalisée" \( \text{sinc}(u) = \frac{\sin(u)}{u} \) est parfois utilisée en mathématiques. Il est important de savoir quelle convention est utilisée dans un contexte donné. Nous utilisons la version normalisée.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Définition du sinus cardinal normalisé :

\text{sinc}(u) = \frac{\sin(\pi u)}{\pi u}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Aucune nouvelle hypothèse n'est nécessaire, il s'agit d'une simple réécriture algébrique du résultat précédent.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Résultat de la Q1 : \(X(f) = A \frac{\sin(\pi f \tau)}{\pi f}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Pour passer de \(\frac{\sin(\pi f \tau)}{\pi f}\) à la forme \(\text{sinc}(f\tau)\), il manque un \(\tau\) au dénominateur. Il suffit donc de multiplier le numérateur et le dénominateur par \(\tau\).

Schéma (Avant les calculs)

Objectif : Mettre en Forme Standard

Calcul(s) (l'application numérique)

On part du résultat de la question 1 et on le réarrange :

\begin{aligned} X(f) &= A \frac{\sin(\pi f \tau)}{\pi f} \\ &= A \tau \cdot \frac{\sin(\pi f \tau)}{\pi f \tau} \end{aligned}

En posant \(u = f\tau\), on reconnaît la forme du sinus cardinal :

X(f) = A\tau \, \text{sinc}(f\tau)

Schéma (Après les calculs)

Expression Finale du Spectre

Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'expression \(A\tau \, \text{sinc}(f\tau)\) est la forme canonique du spectre d'une impulsion rectangulaire. Le terme \(A\tau\) représente l'aire du rectangle dans le domaine temporel et correspond à l'amplitude maximale du spectre à \(f=0\). Le terme \(\text{sinc}(f\tau)\) décrit la forme du spectre, avec ses lobes et ses zéros.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que l'argument du sinc est correct. C'est le produit de la fréquence \(f\) et de la durée \(\tau\). Une erreur sur ce terme changera complètement la largeur du spectre et la position de ses zéros.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La transformée de Fourier d'un rectangle est un sinus cardinal.
La forme standard est \(X(f) = A\tau \, \text{sinc}(f\tau)\).
L'amplitude à l'origine (\(f=0\)) est l'aire du rectangle temporel.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La fonction sinc est la réponse impulsionnelle d'un filtre passe-bas idéal. Par la propriété de dualité de la transformée de Fourier, si un rectangle dans le temps donne un sinc en fréquence, alors un sinc dans le temps donne un spectre parfaitement rectangulaire. C'est pourquoi le sinc joue un rôle si important dans la théorie de l'échantillonnage et la reconstruction de signaux.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'expression du spectre sous forme de sinus cardinal est \(X(f) = A\tau \, \text{sinc}(f\tau)\).

A vous de jouer

Quelle est la valeur de \(\text{sinc}(1.5)\) ?

Question 3 : Calculer la valeur du spectre à \(f=0\)

Principe (le concept physique)

La valeur du spectre à la fréquence nulle, \(X(0)\), représente la composante continue (DC) du signal. C'est la valeur moyenne du signal sur tout le temps. Pour une impulsion unique comme notre rectangle, cette valeur est directement liée à l'aire totale du signal dans le domaine temporel. C'est une propriété générale et très importante de la transformée de Fourier.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En reprenant la définition de la transformée de Fourier et en l'évaluant à \(f=0\), on obtient : \(X(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j2\pi \cdot 0 \cdot t} dt = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{0} dt = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) dt\). Cette équation démontre que la composante DC du spectre est toujours égale à l'intégrale (l'aire) du signal temporel.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est un excellent moyen de vérifier rapidement un calcul de transformée de Fourier. Calculez l'aire de votre signal temporel. Calculez la valeur de votre spectre à f=0. Les deux doivent être égaux. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur quelque part. Ici, l'aire du rectangle est simplement sa hauteur multipliée par sa largeur.

Normes (la référence réglementaire)

Dans les analyseurs de spectre, la mesure à 0 Hz (ou DC) est souvent une mesure critique, par exemple pour détecter une "offset DC" indésirable dans un circuit AC ou pour mesurer la puissance moyenne d'un signal.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Valeur du spectre à l'origine :

X(0) = A\tau \, \text{sinc}(0) = A\tau

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise le fait que \(\text{sinc}(0) = 1\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Amplitude, \(A = 5 \, \text{V}\)
Durée, \(\tau = 200 \, \mu\text{s} = 2 \times 10^{-4} \, \text{s}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul est une simple multiplication. Attention aux unités : si A est en Volts et \(\tau\) en secondes, le résultat sera en V·s (Volt-secondes), qui est l'unité correcte pour un spectre en V/Hz.

Schéma (Avant les calculs)

Aire du Signal Temporel

Calcul(s) (l'application numérique)

On calcule la valeur de \(X(f)\) pour \(f=0\).

\begin{aligned} X(0) &= A \cdot \tau \\ &= 5 \, \text{V} \cdot (200 \times 10^{-6} \, \text{s}) \\ &= 1000 \times 10^{-6} \, \text{V} \cdot \text{s} \\ &= 1 \times 10^{-3} \, \text{V} \cdot \text{s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Amplitude Maximale du Spectre

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur de \(10^{-3} \, \text{V}\cdot\text{s}\) (ou 1 mV/Hz) est l'amplitude maximale du spectre. Toutes les autres composantes fréquentielles auront une amplitude inférieure (ou négative). Cette valeur est le point de référence pour l'ensemble du spectre fréquentiel.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Faites attention aux unités. Le produit d'une tension (V) et d'un temps (s) donne des Volt-secondes (V·s). C'est l'unité d'une densité spectrale d'amplitude. Ne soyez pas surpris par cette unité, elle est correcte.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

\(X(0)\) représente la composante continue (DC) du signal.
\(X(0)\) est toujours égal à l'aire du signal temporel \(x(t)\).
Pour un rectangle, \(X(0) = A\tau\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En communication, on cherche souvent à supprimer la composante DC d'un signal avant de le transmettre, car elle consomme de la puissance sans porter d'information variable. C'est ce que fait un simple condensateur de liaison en série : il bloque la composante à \(f=0\) (le continu) et ne laisse passer que les composantes alternatives (AC).

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La valeur du spectre à la fréquence nulle est \(X(0) = 1 \times 10^{-3} \, \text{V}\cdot\text{s}\).

A vous de jouer

Si l'amplitude A était de 10 V et la durée \(\tau\) de 1 ms, quelle serait la valeur de \(X(0)\) en V·s ?

Question 4 : Déterminer les fréquences des premiers zéros

Principe (le concept physique)

Le spectre d'une impulsion rectangulaire n'est pas lisse ; il oscille et s'annule à des fréquences spécifiques. Ces "zéros" (ou "nulls") sont des points où l'énergie spectrale est nulle. Ils sont très importants car ils définissent la structure du spectre, notamment la largeur de son "lobe principal", qui contient la majeure partie de l'énergie du signal. Trouver ces zéros nous permet de quantifier la largeur de bande effective du signal.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les zéros du spectre \(X(f) = A\tau \, \text{sinc}(f\tau)\) correspondent aux zéros de la fonction sinus cardinal. La fonction \(\text{sinc}(u)\) s'annule lorsque son numérateur, \(\sin(\pi u)\), est nul, à l'exception de \(u=0\). Le sinus s'annule pour tout multiple entier de \(\pi\). Donc, \(\sin(\pi u) = 0\) lorsque \(\pi u = k\pi\), où \(k\) est un entier non nul (\(k = \pm 1, \pm 2, \dots\)). Cela implique que les zéros se trouvent à \(u=k\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La position du premier zéro est particulièrement importante. La distance entre \(f=0\) et le premier zéro (\(f=1/\tau\)) est souvent utilisée comme une mesure de la largeur de bande du signal. On voit ici directement la relation inverse : plus l'impulsion est courte (petit \(\tau\)), plus le premier zéro est loin, et donc plus le spectre est large.

Normes (la référence réglementaire)

En télécommunications numériques, la largeur du lobe principal est critique. Pour éviter les interférences entre symboles, on utilise souvent des formes d'impulsion plus complexes que le rectangle (comme le "cosinus surélevé") dont le spectre a des lobes secondaires qui s'atténuent beaucoup plus vite, concentrant l'énergie plus efficacement.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les zéros du spectre se produisent lorsque l'argument du sinus cardinal est un entier non nul :

f\tau = k, \quad k \in \mathbb{Z}^* \quad (\text{entiers non nuls})

Ce qui donne les fréquences :

f_k = \frac{k}{\tau}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le calcul est basé sur l'expression du spectre trouvée précédemment.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Durée, \(\tau = 200 \, \mu\text{s} = 2 \times 10^{-4} \, \text{s}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Le premier zéro correspond simplement à \(k=1\) (et \(k=-1\)). La fréquence est donc juste l'inverse de la durée de l'impulsion, \(1/\tau\). C'est une relation très simple et fondamentale à retenir.

Schéma (Avant les calculs)

Localisation des Zéros sur le Spectre

Calcul(s) (l'application numérique)

Les premiers zéros correspondent à \(k=1\) et \(k=-1\).

\begin{aligned} f_1 &= \frac{1}{\tau} \\ &= \frac{1}{200 \times 10^{-6} \, \text{s}} \\ &= \frac{1}{2 \times 10^{-4}} \\ &= 0.5 \times 10^4 \, \text{Hz} \\ &= 5000 \, \text{Hz} \quad \text{ou} \quad 5 \, \text{kHz} \end{aligned}

Les deux premiers zéros sont donc à \(+5 \, \text{kHz}\) et \(-5 \, \text{kHz}\).

Schéma (Après les calculs)

Largeur du Lobe Principal

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le lobe principal du spectre, qui contient la majeure partie de l'énergie du signal, s'étend de -5 kHz à +5 kHz, soit une largeur totale de 10 kHz. Pour transmettre cette impulsion de 200 µs sans trop de distorsion, un canal de communication doit avoir une largeur de bande d'au moins 10 kHz. Cela illustre parfaitement la dualité temps-fréquence : une impulsion courte nécessite une large bande passante.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la largeur du lobe principal (de \(-1/\tau\) à \(+1/\tau\), soit une largeur de \(2/\tau\)) avec la position du premier zéro (\(1/\tau\)). La largeur de bande est souvent définie par la largeur du lobe principal.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Les zéros du spectre d'un rectangle de durée \(\tau\) sont aux fréquences \(f_k = k/\tau\) pour \(k \neq 0\).
Le premier zéro est à \(1/\tau\).
La largeur du lobe principal est \(2/\tau\).
Plus \(\tau\) est petit, plus le spectre est large.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En communications numériques, l'étalement spectral d'une impulsion rectangulaire est un problème, car les lobes secondaires peuvent interférer avec les canaux voisins. C'est pourquoi on utilise des techniques de "mise en forme d'impulsion" (pulse shaping) pour créer des signaux dont le spectre décroît beaucoup plus rapidement, minimisant ainsi les interférences.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les deux premiers zéros du spectre sont situés aux fréquences \(f = \pm 5 \, \text{kHz}\).

A vous de jouer

Si la durée de l'impulsion était de 10 µs, quelle serait la fréquence du premier zéro en kHz ?

Outil Interactif : Dualité Temps-Fréquence

Modifiez la durée de l'impulsion rectangulaire et observez l'effet direct sur la largeur de son spectre.

Paramètres de l'Impulsion

Durée de l'impulsion τ (µs) 200 µs

Résultats Spectraux

Position du 1er Zéro -

Largeur du Lobe Principal -

Le Saviez-Vous ?

La Transformée de Fourier Rapide (FFT - Fast Fourier Transform) est un algorithme découvert dans les années 1960 qui permet de calculer la transformée de Fourier sur un ordinateur de manière extrêmement efficace. Cette découverte a révolutionné le traitement numérique du signal et a rendu possibles des technologies comme la téléphonie mobile, le Wi-Fi, le MP3 et l'imagerie médicale (IRM).

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi le spectre a-t-il des fréquences négatives ?

Les fréquences négatives sont une conséquence naturelle de l'utilisation des exponentielles complexes dans la définition de la transformée de Fourier. Pour un signal réel comme le nôtre, le spectre est toujours symétrique : la partie à fréquences négatives est l'image miroir de la partie à fréquences positives. Elles n'ont pas de sens physique direct mais sont nécessaires pour que les mathématiques fonctionnent et que le signal temporel puisse être reconstruit correctement.

Que se passe-t-il si le signal est un train d'impulsions périodique ?

Si le signal rectangulaire se répète périodiquement (un signal carré), son spectre change radicalement. Au lieu d'être un sinus cardinal continu, il devient une série de raies discrètes (une série de Fourier). Les fréquences de ces raies sont des multiples de la fréquence de répétition du signal, et leurs amplitudes sont déterminées par l'enveloppe du sinus cardinal que nous avons calculée.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on rend une impulsion rectangulaire deux fois plus longue (durée \(2\tau\)), la largeur de son lobe principal en fréquence devient...

Deux fois plus large
Inchangée
Deux fois plus étroite

2. La valeur du spectre d'un signal à \(f=0\) est toujours égale à...

L'aire du signal dans le domaine temporel
L'amplitude maximale du signal
Zéro, car c'est la composante continue

Transformée de Fourier: Opération mathématique qui décompose un signal temporel en son spectre de fréquences, révélant les différentes composantes sinusoïdales qui le constituent.
Sinus Cardinal (sinc): Fonction mathématique de la forme \(\sin(\pi u)/(\pi u)\) qui décrit le spectre d'une impulsion rectangulaire et la réponse impulsionnelle d'un filtre passe-bas idéal.
Lobe Principal: Partie centrale du spectre d'un signal (par exemple, d'un sinc) où se concentre la majorité de l'énergie. Sa largeur est une mesure importante de la bande passante du signal.