Transformée de Fourier d'un Signal Rectangulaire

Comprendre et calculer la transformée de Fourier d'un signal rectangulaire simple, et interpréter son spectre.

La transformée de Fourier est un outil mathématique fondamental en traitement du signal qui permet de décomposer un signal temporel en ses différentes composantes fréquentielles. Le signal rectangulaire, aussi appelé fonction porte ou impulsion rectangulaire, est un signal de base dont l'analyse spectrale est très instructive.

La transformée de Fourier \(X(f)\) d'un signal \(x(t)\) est définie par :

X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt

Où \(j\) est l'unité imaginaire (\(j^2 = -1\)), \(f\) est la fréquence en Hertz (Hz), et \(t\) est le temps en secondes (s). L'exponentielle complexe \(e^{-j2\pi ft}\) représente une base de fonctions sinusoïdales (cosinus et sinus) à différentes fréquences.

Données du Problème

On considère un signal rectangulaire \(x(t)\) défini comme suit :

Amplitude \(A = 1\)
Durée totale de l'impulsion \(T = 2 \text{ s}\)

L'impulsion est centrée à l'origine, c'est-à-dire qu'elle est non nulle pour \(-\frac{T}{2} \le t \le \frac{T}{2}\).

Autrement dit : \[ x(t) = \begin{cases} A & \text{si } -\frac{T}{2} \le t \le \frac{T}{2} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \]

Signal rectangulaire \(x(t)\) dans le domaine temporel et son module de transformée de Fourier \(|X(f)|\) (fonction sinus cardinal) dans le domaine fréquentiel.

Questions

Définir mathématiquement le signal rectangulaire \(x(t)\) avec les paramètres donnés (amplitude \(A=1\), durée \(T=2\text{s}\), centré à l'origine).
Écrire l'intégrale de la transformée de Fourier \(X(f)\) pour ce signal spécifique, en précisant les bornes d'intégration.
Calculer l'intégrale pour obtenir l'expression de \(X(f)\).
Exprimer \(X(f)\) en utilisant la fonction sinus cardinal (sinc). Rappeler la définition de la fonction \(\text{sinc}(y) = \frac{\sin(\pi y)}{\pi y}\).
Quelle est la valeur de \(X(0)\) (la composante continue) ? Vérifier si cela correspond à l'aire du signal \(x(t)\).
Pour quelles valeurs de fréquence \(f\) (différentes de zéro) la transformée de Fourier \(X(f)\) s'annule-t-elle pour la première fois de chaque côté de l'origine (premiers zéros) ?
Esquisser l'allure du module (amplitude) de la transformée de Fourier \(|X(f)|\). (Déjà fait dans le schéma ci-dessus, mais l'expliquer).
Quel est l'effet sur la largeur du lobe principal du spectre \(|X(f)|\) si la durée \(T\) du pulse augmente ? Et si elle diminue ?

Correction : Transformée de Fourier d’un Signal Rectangulaire

1. Définition Mathématique du Signal \(x(t)\)

Le signal rectangulaire, souvent noté \(\text{rect}_T(t)\) ou \(\Pi_T(t)\), est caractérisé par une amplitude constante \(A\) pendant une durée finie \(T\), et est nul en dehors de cet intervalle. Dans notre cas, le signal est centré à l'origine (\(t=0\)), ce qui signifie qu'il s'étend de \(-T/2\) à \(+T/2\). Avec une amplitude \(A=1\) et une durée totale \(T=2\text{s}\), les bornes sont \(-2/2 = -1\text{s}\) et \(+2/2 = +1\text{s}\). Le signal est donc égal à 1 entre -1s et +1s, et 0 partout ailleurs.

x(t) = \begin{cases} 1 & \text{si } -1 \le t \le 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

Le signal est \(x(t) = 1\) pour \(-1 \le t \le 1\), et \(0\) ailleurs.

2. Intégrale de la Transformée de Fourier \(X(f)\)

La transformée de Fourier \(X(f)\) est obtenue en intégrant le produit du signal \(x(t)\) avec une exponentielle complexe \(e^{-j2\pi ft}\) sur tout l'axe du temps. Puisque notre signal \(x(t)\) est nul en dehors de l'intervalle \([-T/2, T/2]\) (ici, \([-1, 1]\)), l'intégrale de \(-\infty\) à \(+\infty\) se simplifie. L'intégration ne portera que sur l'intervalle où \(x(t)\) est non nul, et dans cet intervalle, \(x(t)=A\).

X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt = \int_{-T/2}^{T/2} A e^{-j2\pi ft} dt

En remplaçant par les valeurs spécifiques de l'exercice (\(A=1\) et l'intervalle \([-1, 1]\)) :

X(f) = \int_{-1}^{1} 1 \cdot e^{-j2\pi ft} dt

L'intégrale à calculer est \(X(f) = \int_{-1}^{1} e^{-j2\pi ft} dt\).

3. Calcul de l'Intégrale \(X(f)\)

Nous devons calculer l'intégrale définie de la fonction \(e^{-j2\pi ft}\) par rapport à \(t\). La variable \(f\) est considérée comme une constante pendant l'intégration par rapport à \(t\). La primitive de \(e^{kt}\) est \(\frac{1}{k}e^{kt}\). Ici, \(k = -j2\pi f\). Ce calcul est valable pour \(f \neq 0\). Le cas \(f=0\) sera traité séparément car il mènerait à une division par zéro dans la primitive.

\begin{aligned} X(f) &= \int_{-1}^{1} e^{-j2\pi ft} dt \\ &= \left[ \frac{e^{-j2\pi ft}}{-j2\pi f} \right]_{-1}^{1} \quad (\text{pour } f \neq 0) \\ &= \frac{1}{-j2\pi f} \left( e^{-j2\pi f(1)} - e^{-j2\pi f(-1)} \right) \\ &= \frac{1}{-j2\pi f} (e^{-j2\pi f} - e^{j2\pi f}) \\ &= \frac{e^{j2\pi f} - e^{-j2\pi f}}{j2\pi f} \quad (\text{en multipliant numérateur et dénominateur par } -1) \end{aligned}

Pour simplifier davantage, nous utilisons la formule d'Euler qui relie les exponentielles complexes aux fonctions sinusoïdales : \(e^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2i\sin(\theta)\). Ici, \(\theta = 2\pi f\).

\begin{aligned} X(f) &= \frac{2j\sin(2\pi f)}{j2\pi f} \\ &= \frac{2\sin(2\pi f)}{2\pi f} \\ &= \frac{\sin(2\pi f)}{\pi f} \end{aligned}

Rappelons que pour \(f=0\), l'intégrale de départ est \(\int_{-1}^{1} e^0 dt = \int_{-1}^{1} 1 dt = [t]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2\).

Pour \(f \neq 0\), \(X(f) = \frac{\sin(2\pi f)}{\pi f}\). Pour \(f=0\), \(X(0)=2\).

Quiz Intermédiaire : Primitive

4. Expression de \(X(f)\) avec la Fonction Sinus Cardinal (sinc)

La fonction sinus cardinal, ou \(\text{sinc}\), est fréquemment rencontrée en traitement du signal, notamment comme transformée de Fourier de la fonction porte. La définition normalisée (utilisée en traitement du signal) est \(\text{sinc}(y) = \frac{\sin(\pi y)}{\pi y}\). Notre expression pour \(X(f)\) est \(\frac{\sin(2\pi f)}{\pi f}\). Pour la faire correspondre à la forme \(\text{sinc}(y)\), nous devons identifier \(y\). Si nous posons \(\pi y = 2\pi f\), alors \(y = 2f\). Nous voulons donc obtenir un terme \(\pi (2f)\) au dénominateur.

Partons de \(X(f) = \frac{\sin(2\pi f)}{\pi f}\). Multiplions le numérateur et le dénominateur par 2 :

\begin{aligned} X(f) &= \frac{2 \cdot \sin(2\pi f)}{2 \cdot \pi f} \\ &= 2 \cdot \frac{\sin(\pi (2f))}{\pi (2f)} \end{aligned}

En posant \(y = 2f\), cela devient \(X(f) = 2 \cdot \text{sinc}(2f)\).

Plus généralement, pour une impulsion rectangulaire d'amplitude \(A\) et de durée \(T\), la transformée de Fourier est \(X(f) = AT \cdot \text{sinc}(fT)\). Dans notre cas, \(A=1\) et \(T=2\), donc \(AT = 1 \cdot 2 = 2\), et l'argument du sinc est \(fT = f \cdot 2 = 2f\). Cela confirme notre résultat : \(X(f) = 2 \cdot \text{sinc}(2f)\).

La transformée de Fourier est \(X(f) = 2 \cdot \text{sinc}(2f)\).

Quiz Intermédiaire : Forme Sinc

5. Valeur de \(X(0)\) et Correspondance avec l'Aire

La valeur de la transformée de Fourier à la fréquence nulle, \(X(0)\), a une signification physique importante : elle représente la composante continue (DC component) du signal, qui est égale à la valeur moyenne du signal sur tout le temps, multipliée par une constante si la définition de la TF n'est pas normalisée. Plus directement, \(X(0)\) est l'intégrale du signal \(x(t)\) sur tout le temps, c'est-à-dire l'aire totale sous la courbe de \(x(t)\).

Méthode 1 : Calcul direct de \(X(0)\) à partir de la définition de l'intégrale de Fourier :

\begin{aligned} X(0) &= \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi (0)t} dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{0} dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \cdot 1 dt \\ &= \int_{-1}^{1} 1 dt \quad (\text{car } x(t)=1 \text{ sur } [-1,1] \text{ et } 0 \text{ ailleurs}) \\ &= [t]_{-1}^{1} \\ &= 1 - (-1) = 2 \end{aligned}

Méthode 2 : Utilisation de la limite de l'expression \(X(f) = 2 \cdot \text{sinc}(2f)\) lorsque \(f \to 0\).
Nous savons que \(\lim_{y\to 0} \text{sinc}(y) = \lim_{y\to 0} \frac{\sin(\pi y)}{\pi y} = 1\) (c'est une limite fondamentale, souvent démontrée avec la règle de L'Hôpital ou un développement limité).

Donc, pour \(y = 2f\), lorsque \(f \to 0\), \(y \to 0\). Ainsi :

\begin{aligned} X(0) &= \lim_{f\to 0} 2 \cdot \text{sinc}(2f) \\ &= 2 \cdot \text{sinc}(0) \\ &= 2 \cdot 1 = 2 \end{aligned}

L'aire du signal rectangulaire \(x(t)\) est simplement l'aire d'un rectangle : Amplitude \(\times\) Durée = \(A \times T\). Avec \(A=1\) et \(T=2\), l'aire est \(1 \times 2 = 2\).

\(X(0) = 2\). Cela correspond bien à l'aire du signal \(x(t)\).

6. Premiers Zéros de \(X(f)\)

Les zéros de la transformée de Fourier \(X(f) = 2 \cdot \text{sinc}(2f)\) correspondent aux fréquences pour lesquelles le signal \(x(t)\) ne possède aucune énergie. La fonction \(\text{sinc}(y) = \frac{\sin(\pi y)}{\pi y}\) s'annule lorsque son numérateur \(\sin(\pi y)\) est nul, à condition que son dénominateur \(\pi y\) ne soit pas nul en même temps (ce qui arrive à \(y=0\), où la fonction vaut 1). Donc, \(\sin(\pi y) = 0\) lorsque \(\pi y = k\pi\), où \(k\) est un entier quelconque (\(k \in \mathbb{Z}\)). Cela implique \(y = k\). Puisque nous cherchons les zéros pour \(y \neq 0\) (car \(\text{sinc}(0)=1\)), nous prenons \(k \in \mathbb{Z}^*\) (entiers non nuls). Dans notre expression \(X(f) = 2 \cdot \text{sinc}(2f)\), l'argument de la fonction sinc est \(y = 2f\).

Les zéros se produisent donc lorsque \(2f = k\), pour \(k \in \mathbb{Z}^*\).

\begin{aligned} 2f &= k \\ f &= \frac{k}{2} \quad (\text{pour } k \in \mathbb{Z}^*) \end{aligned}

En utilisant la durée \(T=2\text{s}\), on peut aussi écrire \(f = \frac{k}{T}\).

Les premiers zéros de chaque côté de l'origine sont obtenus pour les plus petites valeurs entières non nulles de \(k\) :

Pour \(k=1\): \(f = \frac{1}{2} = 0.5 \text{ Hz}\)
Pour \(k=-1\): \(f = \frac{-1}{2} = -0.5 \text{ Hz}\)
Les zéros suivants sont pour \(k=\pm 2\), donnant \(f = \pm \frac{2}{2} = \pm 1 \text{ Hz}\), et ainsi de suite.

Les premiers zéros de \(X(f)\) (hors \(f=0\)) sont pour \(f = \pm \frac{k}{T}\) avec \(k \in \mathbb{Z}^*\). Avec \(T=2\text{s}\), les premiers zéros sont à \(f = \pm 0.5 \text{ Hz}\), puis \(f = \pm 1 \text{ Hz}\), etc.

Quiz Intermédiaire : Signification des Zéros

7. Esquisse du Module \(|X(f)|\)

Le module de la transformée de Fourier, \(|X(f)|\), représente l'amplitude de chaque composante fréquentielle du signal. Nous avons \(X(f) = 2 \cdot \text{sinc}(2f)\). Donc, \(|X(f)| = |2 \cdot \text{sinc}(2f)| = 2 |\text{sinc}(2f)|\). La fonction \(\text{sinc}(y)\) est maximale à \(y=0\) où elle vaut 1. Pour \(y \neq 0\), elle oscille avec une amplitude qui décroît à mesure que \(|y|\) augmente. Le module \(|\text{sinc}(y)|\) aura donc une forme similaire, mais toutes les parties négatives de \(\text{sinc}(y)\) deviendront positives. Le spectre d'amplitude \(|X(f)|\) présente :

Un lobe principal : C'est le pic central, le plus large et le plus haut. Il est centré à \(f=0\). Son amplitude maximale est \(X(0) = AT = 2\). Il s'étend jusqu'aux premiers zéros du sinc, qui sont à \(2f = \pm 1\), soit \(f = \pm 1/2 = \pm 1/T\). La largeur totale du lobe principal (entre ces premiers zéros) est donc \(2/T\).
Des lobes secondaires : Ce sont les pics plus petits qui apparaissent de chaque côté du lobe principal. Leurs amplitudes diminuent à mesure qu'on s'éloigne de \(f=0\). Ils sont situés entre les zéros successifs de la fonction sinc. Par exemple, le premier lobe secondaire de chaque côté est situé entre \(|f|=1/T\) et \(|f|=2/T\).

Le schéma fourni dans l'énoncé illustre bien cette structure caractéristique en "chapeau de gendarme" pour le lobe principal, suivi de lobes secondaires d'amplitude décroissante.

Pour notre signal avec \(T=2\text{s}\) :

Amplitude maximale à \(f=0\) : \(|X(0)| = 2\).
Premiers zéros à \(f = \pm 1/T = \pm 1/2 = \pm 0.5 \text{ Hz}\).
Largeur du lobe principal : \(2/T = 2/2 = 1 \text{ Hz}\).
Zéros suivants à \(f = \pm 2/T = \pm 1 \text{ Hz}\), \(f = \pm 3/T = \pm 1.5 \text{ Hz}\), etc.

Le module \(|X(f)|\) a la forme d'une fonction \(|\text{sinc}|\) multipliée par \(AT\), avec un lobe principal centré à l'origine, dont la hauteur est \(AT\) et la largeur (entre les premiers zéros) est \(2/T\), suivi de lobes secondaires d'amplitude décroissante.

8. Effet de la Durée \(T\) sur le Spectre

Cette question explore la relation inverse entre la durée d'un signal dans le domaine temporel et l'étalement de son spectre dans le domaine fréquentiel. C'est une manifestation du principe d'incertitude temps-fréquence. La transformée de Fourier est \(X(f) = AT \cdot \text{sinc}(fT)\). La largeur du lobe principal est \(2/T\), et l'amplitude à \(f=0\) est \(AT\).

Si la durée \(T\) augmente (l'impulsion rectangulaire est plus longue dans le temps) :
- Le terme \(1/T\) diminue. Par conséquent, les zéros de la fonction sinc (\(f = k/T\)) se rapprochent de l'origine \(f=0\).
- La largeur du lobe principal, qui est \(2/T\), diminue. Cela signifie que l'énergie du signal se concentre sur une plage de fréquences plus étroite autour de \(f=0\). Le spectre est plus "resserré".
- L'amplitude maximale à \(f=0\), qui est \(AT\), augmente (si l'amplitude \(A\) reste constante). Le spectre devient plus "pointu".
Si la durée \(T\) diminue (l'impulsion rectangulaire est plus courte dans le temps) :
- Le terme \(1/T\) augmente. Les zéros de la fonction sinc s'éloignent de l'origine \(f=0\).
- La largeur du lobe principal, \(2/T\), augmente. L'énergie du signal est répartie sur une plage de fréquences plus large. Le spectre est plus "étalé".
- L'amplitude maximale à \(f=0\), \(AT\), diminue (si l'amplitude \(A\) reste constante). Le spectre devient plus "aplati".

En résumé, un signal bref dans le temps a un spectre large en fréquence, et un signal long dans le temps a un spectre étroit en fréquence. C'est une propriété fondamentale en traitement du signal.

Si \(T\) augmente, le lobe principal du spectre se rétrécit et son amplitude à l'origine augmente. Si \(T\) diminue, le lobe principal du spectre s'élargit et son amplitude à l'origine diminue (pour A constant).

Glossaire des Termes Clés

Transformée de Fourier (TF) :

Opération mathématique qui transforme un signal du domaine temporel vers le domaine fréquentiel, révélant les fréquences qui composent le signal.

Signal Rectangulaire (Fonction Porte, \(\text{rect}_T(t)\) ou \(\Pi_T(t)\)) :

Signal qui a une amplitude constante sur un intervalle de temps fini et qui est nul ailleurs.

Spectre d'Amplitude (\(|X(f)|\)) :

Représentation de l'amplitude des différentes composantes fréquentielles d'un signal. C'est le module de la transformée de Fourier.

Fréquence (\(f\)) :

Nombre d'occurrences d'un phénomène périodique par unité de temps. Unité : Hertz (Hz).

Sinus Cardinal (\(\text{sinc}(y)\)) :

Fonction mathématique définie par \(\text{sinc}(y) = \frac{\sin(\pi y)}{\pi y}\) (forme normalisée) ou parfois \(\frac{\sin(y)}{y}\). Elle apparaît fréquemment dans la transformée de Fourier de signaux rectangulaires ou carrés.

Domaine Temporel :

Représentation d'un signal en fonction du temps.

Domaine Fréquentiel :

Représentation d'un signal en fonction de ses composantes de fréquence (obtenue par la transformée de Fourier).

Composante Continue (DC Component) :

Valeur moyenne d'un signal, correspondant à la valeur de sa transformée de Fourier à la fréquence nulle (\(X(0)\)).

Lobe Principal / Lobes Secondaires :

Caractéristiques du spectre d'une fonction sinc. Le lobe principal est le pic central le plus large et le plus haut. Les lobes secondaires sont les pics plus petits de chaque côté.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Quelle est la relation (principe d'incertitude ou de dualité temps-fréquence) entre la durée d'une impulsion rectangulaire et la largeur de son lobe principal dans le domaine fréquentiel ?

2. Si le signal rectangulaire \(x(t)\) est décalé dans le temps, par exemple \(x(t-t_0)\), comment sa transformée de Fourier \(X(f)\) est-elle affectée (en module et en phase) ?

3. Quelle est la transformée de Fourier d'une fonction \(\text{sinc}(at)\) dans le domaine temporel ? (Indice : propriété de dualité de la transformée de Fourier).

4. Comment la transformée de Fourier d'une impulsion rectangulaire est-elle utilisée dans la conception de filtres en traitement du signal (par exemple, la méthode de la fenêtre rectangulaire pour les filtres RIF) ?

5. Si on considère une séquence d'impulsions rectangulaires périodiques (un signal carré), utiliseriez-vous une transformée de Fourier ou une décomposition en série de Fourier pour analyser son contenu fréquentiel ? Pourquoi ?

Transformée de Fourier d’un Signal Rectangulaire