Analyse de Circuit avec les Lois d’Ohm et de Kirchhoff
Contexte : L'analyse de circuits électriques est la pierre angulaire de l'électrotechnique.
Comprendre comment le courantLe flux de charge électrique, mesuré en Ampères (A). circule et comment la tensionLa différence de potentiel électrique entre deux points, mesurée en Volts (V). se répartit dans un circuit est essentiel pour concevoir et dépanner tout système électrique. Cet exercice vous guidera à travers l'application des lois les plus fondamentales : la loi d'Ohm et les lois de Kirchhoff, pour déterminer les grandeurs inconnues dans un circuit en courant continu.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème complexe en étapes simples en utilisant une méthode systématique d'analyse de circuit, une compétence cruciale pour tout ingénieur ou technicien en électricité.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la Loi d'Ohm pour lier tension, courant et résistance.
- Utiliser la Loi des Nœuds de Kirchhoff (KCL) pour analyser la distribution des courants.
- Utiliser la Loi des Mailles de Kirchhoff (KVL) pour analyser la répartition des tensions.
- Résoudre un système d'équations pour trouver les courants et tensions dans un circuit à plusieurs branches.
Données de l'étude
Schéma du Circuit Électrique
| Composant | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Source de tension 1 | \(V_1\) | \(20 \text{ V}\) |
| Source de tension 2 | \(V_2\) | \(5 \text{ V}\) |
| Résistance 1 | \(R_1\) | \(5 \text{ } \Omega\) |
| Résistance 2 | \(R_2\) | \(10 \text{ } \Omega\) |
| Résistance 3 | \(R_3\) | \(5 \text{ } \Omega\) |
Questions à traiter
- Écrire l'équation de la loi des nœuds au nœud A.
- Écrire l'équation de la loi des mailles pour la maille de gauche (contenant \(V_1\), \(R_1\), \(R_2\)).
- Écrire l'équation de la loi des mailles pour la maille de droite (contenant \(R_2\), \(R_3\), \(V_2\)).
- Résoudre le système d'équations pour déterminer les valeurs des courants \(I_1\), \(I_2\) et \(I_3\).
- Calculer la tensionLa différence de potentiel électrique entre deux points, mesurée en Volts (V). \(V_{AB}\) aux bornes de la résistance \(R_2\).
Les bases sur les Circuits Électriques
Pour résoudre cet exercice, trois lois fondamentales de l'électricité sont nécessaires.
1. Loi d'Ohm
Elle établit une relation entre la tension \(V\) aux bornes d'une résistance, le courant \(I\) qui la traverse, et sa valeur de résistance \(R\).
\[ V = I \cdot R \]
2. Loi des Nœuds de Kirchhoff (KCL)
La somme algébrique des courants entrant dans un nœudUn point de connexion dans un circuit où plusieurs branches se rejoignent. est toujours nulle. Autrement dit, la somme des courants qui arrivent à un nœud est égale à la somme des courants qui en repartent.
\[ \sum I_{\text{entrant}} = \sum I_{\text{sortant}} \]
3. Loi des Mailles de Kirchhoff (KVL)
Dans une mailleUn chemin fermé ou une boucle dans un circuit électrique. quelconque d'un circuit, la somme algébrique des tensions (forces électromotrices des générateurs et chutes de tension aux bornes des récepteurs) est nulle.
\[ \sum V = 0 \]
Correction : Analyse de Circuit avec les Lois d’Ohm et de Kirchhoff
Question 1 : Écrire l'équation de la loi des nœuds au nœud A.
Principe
Le concept physique derrière la loi des nœuds est la conservation de la charge électrique. Imaginez un carrefour : il ne peut pas y avoir plus de voitures qui y entrent qu'il n'en sort. Pour un nœud électrique, c'est pareil : la charge ne peut pas s'y accumuler. Le total du flux de charges (courant) qui arrive doit donc être égal au total du flux qui repart.
Mini-Cours
Un nœud est un point de connexion où au moins trois chemins (ou "branches") se rencontrent. La Loi des Courants de Kirchhoff (KCL) dit que la somme algébrique des courants dans les branches connectées à un nœud est nulle. Cela signifie que la somme des courants entrant est rigoureusement égale à la somme des courants sortant.
Remarque Pédagogique
Pour appliquer cette loi sans se tromper, la première étape est de définir arbitrairement une direction pour chaque courant inconnu (comme les flèches sur le schéma). Ensuite, au niveau du nœud, choisissez une convention : par exemple, comptez positivement les courants qui arrivent et négativement ceux qui repartent. Le plus important est d'être cohérent.
Normes
La loi des nœuds n'est pas une "norme" au sens réglementaire (comme une norme NFC ou IEC), mais une loi physique fondamentale de l'électricité, universellement reconnue et appliquée dans toutes les analyses de circuits.
Formule(s)
Formule générale de la loi des nœuds
Où \(I_k\) sont les n courants qui se rejoignent au nœud, avec un signe positif s'ils entrent et négatif s'ils sortent (ou l'inverse).
Hypothèses
Cette loi s'applique en supposant que les conducteurs (fils) ont une résistance nulle et qu'il n'y a aucune accumulation de charge dans le temps au niveau du nœud (régime stationnaire).
Donnée(s)
Pour cette question, nous nous basons uniquement sur la topologie du circuit (le schéma) pour identifier les courants qui se rencontrent au nœud A. Aucune valeur numérique n'est nécessaire à ce stade.
Astuces
Un moyen rapide de vérifier votre équation est de vous assurer qu'elle a du sens physiquement. Mettez tous les courants entrants d'un côté de l'égalité et tous les courants sortants de l'autre. L'équation \(I_{\text{entrant1}} + I_{\text{entrant2}} = I_{\text{sortant1}}\) est souvent plus intuitive à poser.
Schéma (Avant les calculs)
Focus sur le Nœud A
Calcul(s)
En appliquant la convention "entrants = sortants" au nœud A :
Le courant \(I_1\) est le seul à entrer.
Les courants \(I_2\) et \(I_3\) sortent du nœud.
Équation sous forme d'égalité
Équation sous forme de somme nulle
Schéma (Après les calculs)
Nœud A et son Équation de Conservation
Réflexions
Cette simple équation est la première brique de notre système. Elle nous dit que le courant total fourni par la branche de gauche se divise entre la branche centrale et la branche de droite. C'est une information cruciale mais insuffisante à elle seule pour trouver les valeurs des courants.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est une erreur de signe. Choisissez bien au début quels courants vous considérez comme entrants et sortants et ne changez pas en cours de route. Une flèche sur un schéma représente une direction positive *supposée*.
Points à retenir
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : Conservation de la charge électrique en un point.
- Règle simple : Ce qui entre = Ce qui sort.
- Application : Identifier un nœud, lister les courants entrants et sortants, puis poser l'égalité.
Le saviez-vous ?
Gustav Kirchhoff, un physicien allemand, a formulé ses lois sur les circuits en 1845, alors qu'il n'était encore qu'un étudiant. Ces lois ont permis de généraliser les travaux de Georg Ohm et sont fondamentales pour l'analyse de circuits complexes.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait l'équation au nœud B ? (Indice : c'est le miroir du nœud A).
Question 2 : Écrire l'équation de la loi des mailles pour la maille de gauche.
Principe
Le concept physique sous-jacent à la loi des mailles est la conservation de l'énergie. L'énergie par unité de charge (le potentiel électrique) gagnée en traversant une source de tension doit être "dépensée" ou "perdue" en traversant les composants comme les résistances. Au bout d'un tour complet d'une boucle, le potentiel doit revenir à sa valeur de départ, donc la somme des gains et des pertes est nulle.
Mini-Cours
Une maille est une boucle fermée dans un circuit. La Loi des Tensions de Kirchhoff (KVL) stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de n'importe quelle maille est nulle. On distingue les forces électromotrices (f.é.m.) des générateurs (sources), qui augmentent le potentiel, et les chutes de tension aux bornes des récepteurs (résistances), qui le diminuent.
Remarque Pédagogique
La méthode la plus sûre est la suivante : 1. Choisissez un sens de parcours pour votre maille (par exemple, le sens horaire). 2. Parcourez la maille : si vous traversez une source de la borne '-' vers la borne '+', la tension est positive. Si vous traversez une résistance dans le même sens que le courant fléché, la chute de tension est négative (-R*I). Si vous la traversez en sens inverse, elle est positive (+R*I).
Normes
Comme la loi des nœuds, la loi des mailles est une loi physique fondamentale et non une norme industrielle.
Formule(s)
Formule générale de la loi des mailles
Hypothèses
On suppose que les sources de tension sont idéales (sans résistance interne) et que le champ magnétique à travers la boucle est constant (ce qui est vrai en régime continu).
Donnée(s)
Pour cette maille, les données de l'énoncé sont nécessaires :
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Source de tension 1 | \(V_1\) | \(20 \text{ V}\) |
| Résistance 1 | \(R_1\) | \(5 \text{ } \Omega\) |
| Résistance 2 | \(R_2\) | \(10 \text{ } \Omega\) |
Astuces
Pour éviter les erreurs de signe, fléchez toujours la tension aux bornes d'une résistance dans le sens opposé du courant qui la traverse. Ainsi, en parcourant la maille, si vous allez dans le même sens que la flèche de tension, vous la comptez négativement.
Schéma (Avant les calculs)
Focus sur la Maille de Gauche
Calcul(s)
Nous parcourons la maille dans le sens horaire en partant du point B, en bas.
Équation littérale de la maille
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des Tensions de la Maille Gauche
Réflexions
Cette équation lie les courants \(I_1\) et \(I_2\). Elle montre comment la tension \(V_1\) se répartit en chutes de tension aux bornes des résistances \(R_1\) et \(R_2\). C'est notre deuxième équation indépendante.
Points de vigilance
La principale erreur est d'oublier un terme ou de se tromper sur un signe. Parcourez la maille méthodiquement, composant par composant, en appliquant la règle des signes à chaque fois.
Points à retenir
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : Conservation de l'énergie le long d'une boucle fermée.
- Règle simple : Somme des "montées" de potentiel = Somme des "descentes" de potentiel.
Le saviez-vous ?
Le concept de "différence de potentiel" a été introduit par Alessandro Volta, l'inventeur de la pile électrique. C'est en son honneur que l'unité de tension a été nommée le Volt.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait l'équation si on parcourait la même maille dans le sens anti-horaire ?
Question 3 : Écrire l'équation de la loi des mailles pour la maille de droite.
Principe
Le principe reste la conservation de l'énergie, comme pour la question 2. Nous appliquons la même méthode d'analyse à la deuxième boucle du circuit. La principale difficulté ici sera de bien gérer le signe de la tension aux bornes de la résistance R₂, qui est commune aux deux mailles et sera traversée dans le sens opposé au courant \(I_2\) si l'on choisit un parcours horaire.
Mini-Cours
La loi des mailles (KVL) s'applique à n'importe quelle boucle fermée, quelle que soit sa complexité. La clé est de sommer algébriquement toutes les différences de potentiel. Une tension est comptée positivement si l'on va de la borne '-' à la borne '+', et négativement dans le cas contraire. Pour une résistance, la chute de tension \(V=RI\) est négative si l'on se déplace dans le même sens que le courant, et positive si l'on se déplace dans le sens opposé.
Remarque Pédagogique
Pour cette maille, il est stratégique de choisir un sens de parcours (par exemple, horaire) et de le suivre rigoureusement. Vous remarquerez que vous traverserez la résistance R₂ de bas en haut, c'est-à-dire dans le sens opposé au courant I₂. C'est un point clé pour obtenir le bon signe (+R₂I₂) dans l'équation. C'est l'erreur de signe la plus fréquente à ce niveau.
Normes
Comme pour les questions précédentes, il s'agit d'une loi physique fondamentale de l'électrocinétique.
Formule(s)
Formule générale de la loi des mailles
Hypothèses
Les hypothèses sont identiques à celles de la question 2 : sources idéales et régime continu (pas de variation des champs magnétiques).
Donnée(s)
Les données pertinentes pour cette maille sont :
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Source de tension 2 | \(V_2\) | \(5 \text{ V}\) |
| Résistance 2 | \(R_2\) | \(10 \text{ } \Omega\) |
| Résistance 3 | \(R_3\) | \(5 \text{ } \Omega\) |
Astuces
En cas de doute sur le signe d'une tension, pensez "montée" ou "descente" de potentiel. Traverser une source de - à + est une "montée" (+V). Traverser une résistance dans le sens du courant est une "descente" (-RI).
Schéma (Avant les calculs)
Focus sur la Maille de Droite
Calcul(s)
Parcourons la maille dans le sens horaire en partant du nœud A.
Équation littérale de la maille
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des Tensions de la Maille Droite
Réflexions
Cette deuxième équation de maille nous fournit la deuxième relation indépendante nécessaire. On remarque que la tension aux bornes de R₂ est positive dans cette équation car on la parcourt à "contre-courant", ce qui est cohérent.
Points de vigilance
Le point le plus délicat est la tension aux bornes du composant partagé (R₂). Son signe dépend du sens de parcours de la maille par rapport au sens du courant \(I_2\). Une erreur ici est très fréquente et invalide tout le système d'équations.
Points à retenir
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Conservation de l'énergie dans une boucle.
- Point crucial : Le signe de la tension d'une résistance dépend du sens de parcours par rapport au sens du courant.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si V₂ était inversée (borne + en bas), quelle serait la nouvelle équation pour cette maille ?
Question 4 : Résoudre le système pour trouver \(I_1\), \(I_2\) et \(I_3\).
Principe
Le concept physique est que, pour un circuit donné, il n'existe qu'un seul état d'équilibre stable où toutes les lois (Ohm, KCL, KVL) sont respectées simultanément. Mathématiquement, cela se traduit par la recherche de la solution unique d'un système d'équations linéaires.
Mini-Cours
Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations où les inconnues n'apparaissent qu'à la puissance 1. Pour résoudre un système de 'n' équations à 'n' inconnues (ici 3), la méthode de substitution est efficace. Elle consiste à isoler une inconnue dans une équation, puis à la remplacer (substituer) dans les autres pour réduire la taille du système, jusqu'à obtenir une seule équation avec une seule inconnue.
Remarque Pédagogique
L'organisation est la clé. Numérotez vos équations (1, 2, 3). Lorsque vous en déduisez une nouvelle (ex: 2'), notez-la. Documentez chaque étape de substitution. Commencez par l'équation la plus simple pour isoler une variable (ici, l'équation (1) est parfaite pour isoler \(I_1\)).
Normes
Il ne s'agit pas de normes techniques mais de méthodes mathématiques standards (algèbre linéaire).
Formule(s)
Système d'équations à résoudre
Hypothèses
On fait l'hypothèse mathématique que le système a une solution unique, ce qui est physiquement garanti pour un circuit résistif standard avec des sources fixes.
Donnée(s)
Les données d'entrée sont les trois équations que nous avons établies aux questions 1, 2 et 3.
| Numéro | Équation | Origine |
|---|---|---|
| (1) | \(I_1 - I_2 - I_3 = 0\) | Loi des Nœuds (Q1) |
| (2) | \(20 - 5 I_1 - 10 I_2 = 0\) | Loi des Mailles Gauche (Q2) |
| (3) | \(5 + 10 I_2 - 5 I_3 = 0\) | Loi des Mailles Droite (Q3) |
Astuces
Après avoir trouvé une première inconnue (ex: \(I_2\)), ne vous précipitez pas. Remontez calmement les substitutions pour trouver les autres. Une fois que vous avez les trois valeurs, injectez-les dans l'une des équations de départ (celle que vous avez le moins utilisée) pour vérifier qu'elle est bien satisfaite. C'est un excellent moyen de détecter une erreur de calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit Complet avec Courants Inconnus
Calcul(s)
Étape 1 : Substitution de \(I_1\)
De l'équation (1), on exprime \(I_1\) : \( I_1 = I_2 + I_3 \). On remplace \(I_1\) dans l'équation (2) :
Étape 2 : Nouveau système et substitution de \(I_3\)
Nous avons maintenant un système 2x2 avec les équations (2') et (3). Exprimons \(I_3\) depuis l'équation (3) : \( 5 I_3 = 10 I_2 + 5 \Rightarrow I_3 = 2 I_2 + 1 \). On remplace cette expression de \(I_3\) dans l'équation (2') :
Étape 3 : Résolution pour \(I_2\)
Développement de l'équation :
Simplification :
Résolution :
Étape 4 : Calcul de \(I_3\) et \(I_1\)
Calcul de \(I_3\) en utilisant sa relation avec \(I_2\) :
Calcul de \(I_1\) en utilisant la loi des nœuds :
Schéma (Après les calculs)
Circuit avec Courants Calculés
Réflexions
Les valeurs des courants sont toutes positives. Cela signifie que les directions que nous avions initialement choisies pour \(I_1\), \(I_2\) et \(I_3\) étaient correctes. On voit bien que \(I_1\) (2.8 A) se divise bien en \(I_2\) (0.6 A) et \(I_3\) (2.2 A) au nœud A, ce qui confirme la loi des nœuds.
Points de vigilance
La principale source d'erreur dans cette étape est l'erreur de calcul algébrique. Prenez votre temps, écrivez chaque étape de la substitution et vérifiez vos calculs. Une simple erreur de signe au début faussera tous les résultats finaux.
Points à retenir
La méthode est toujours la même : poser autant d'équations indépendantes qu'il y a d'inconnues (en utilisant KCL et KVL), puis résoudre le système mathématique obtenu.
Le saviez-vous ?
Pour les circuits plus complexes avec de nombreuses mailles, les ingénieurs utilisent des méthodes matricielles (comme la méthode des mailles avec les matrices d'impédance) et des logiciels de simulation (comme SPICE) pour résoudre ces systèmes d'équations beaucoup plus rapidement.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(V_1\) était de \(10\text{ V}\) au lieu de \(20\text{ V}\), quelle serait la nouvelle valeur de \(I_2\) ? Utilisez les mêmes formules.
Question 5 : Calculer la tension \(V_{AB}\) aux bornes de la résistance \(R_2\).
Principe
La tension aux bornes d'un composant passif comme une résistance est directement liée au courant qui le traverse. C'est l'application la plus directe de la loi d'Ohm. \(V_{AB}\) représente la différence de potentiel entre le point A et le point B, qui est la "force" qui pousse le courant à travers R₂.
Mini-Cours
La loi d'Ohm, \(V=RI\), est la relation la plus fondamentale en électricité pour les composants résistifs. Elle stipule que pour une résistance donnée, la chute de tension à ses bornes est directement proportionnelle au courant qui la traverse. La constante de proportionnalité est la valeur de la résistance en Ohms (Ω).
Remarque Pédagogique
Faites bien attention à l'indice de la tension : \(V_{AB}\) signifie Potentiel de A moins Potentiel de B (\(V_A - V_B\)). Puisque le courant \(I_2\) s'écoule de A vers B (on a trouvé \(I_2 > 0\)), cela signifie que le potentiel en A est plus élevé que celui en B. Le résultat de \(V_{AB}\) doit donc être positif. Si on avait demandé \(V_{BA}\), le résultat aurait été négatif.
Normes
La loi d'Ohm est une loi physique, pas une norme.
Formule(s)
Loi d'Ohm
Hypothèses
On suppose que R₂ est une résistance idéale (ou "ohmique"), c'est-à-dire que sa valeur ne change pas avec le courant ou la température, et qu'elle suit parfaitement la loi d'Ohm.
Donnée(s)
Nous utilisons la valeur de \(R_2\) de l'énoncé et la valeur de \(I_2\) que nous venons de calculer à la question 4.
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Résistance 2 | \(R_2\) | \(10 \text{ } \Omega\) |
| Courant 2 | \(I_2\) | \(0.6 \text{ A}\) |
Astuces
Pour vérifier votre travail sur tout l'exercice, calculez la tension \(V_{AB}\) en passant par les autres branches. Vous devez trouver le même résultat. Par exemple, en passant par la branche de gauche :
Vérification par la maille de gauche
Ça correspond ! C'est une excellente façon de s'assurer que tout le système est cohérent.
Schéma (Avant les calculs)
Focus sur la Résistance R₂
Calcul(s)
Calcul de la tension \(V_{AB}\)
Schéma (Après les calculs)
Tension aux bornes de R₂
Réflexions
Cette tension de 6V est la "force" qui pousse le courant de 0.6A à travers la résistance de 10Ω. Elle représente l'énergie "perdue" par chaque unité de charge qui traverse ce composant, énergie qui est dissipée sous forme de chaleur.
Points de vigilance
Attention à ne pas utiliser le mauvais courant. La tension aux bornes de R₂ dépend uniquement du courant qui la traverse, \(I_2\), et non de \(I_1\) ou \(I_3\).
Points à retenir
La loi d'Ohm est fondamentale pour passer d'un courant à une tension pour une résistance, et vice-versa. La tension aux bornes d'un composant ne dépend que du courant qui traverse CE composant.
Le saviez-vous ?
Georg Ohm a publié sa fameuse loi en 1827. Son travail a été accueilli avec froideur par la communauté scientifique allemande de l'époque, qui le trouvait trop basé sur l'expérimentation et pas assez sur la théorie pure. Il n'a été largement reconnu que bien des années plus tard.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la puissance (en Watts) dissipée par la résistance R₂ en utilisant la formule \(P = V \cdot I\).
Outil Interactif : Simulateur de Circuit
Utilisez les curseurs pour modifier la tension de la source \(V_1\) et la valeur de la résistance \(R_2\). Observez comment le courant total \(I_1\) et la puissance dissipée par \(R_2\) changent en temps réel.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'énonce la loi d'Ohm ?
2. La loi des nœuds de Kirchhoff est une application du principe de conservation de :
3. Dans une maille, la somme algébrique des tensions est...
- Tension (V)
- La différence de potentiel électrique entre deux points, qui pousse les charges à se déplacer. Son unité est le Volt (V).
- Courant (I)
- Le débit de charge électrique à travers un conducteur. Son unité est l'Ampère (A).
- Résistance (R)
- La mesure de l'opposition au passage du courant électrique. Son unité est l'Ohm (Ω).
- Nœud
- Un point dans un circuit où au moins trois branches se connectent.
- Maille
- Toute boucle fermée dans un circuit électrique.
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