Exercices Électricité

Régulateur PID avec la Méthode Ziegler-Nichols

Régulateur PID avec la Méthode de Ziegler-Nichols

Régulateur PID avec la Méthode de Ziegler-Nichols

Contexte : Comment régler un correcteur sans connaître précisément le système ?

Le régulateur Proportionnel-Intégral-Dérivé (PID)Le type de contrôleur le plus répandu dans l'industrie. Il calcule une valeur de commande en se basant sur l'erreur (action P), l'erreur accumulée (action I) et la vitesse de variation de l'erreur (action D). est le cheval de bataille de l'automatique industrielle. Cependant, son efficacité dépend crucialement du réglage de ses trois paramètres : le gain proportionnel \(K_p\), le temps d'intégration \(T_i\), et le temps de dérivation \(T_d\). Dans de nombreux cas pratiques, le modèle mathématique exact du système à commander est inconnu. Les méthodes de Ziegler-Nichols sont des techniques empiriques, basées sur l'analyse de la réponse du système à une sollicitation simple, qui permettent de proposer un premier jeu de réglages cohérents pour le PID.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la première méthode de Ziegler-Nichols (dite "en boucle ouverte" ou "de la réponse indicielle"). Nous allons analyser la réponse d'un système à un échelon, l'identifier à un modèle simple (premier ordre avec retard), et utiliser les formules de Ziegler-Nichols pour calculer les paramètres d'un régulateur PID.

Objectifs Pédagogiques

  • Analyser une réponse indicielle (réponse à un échelon) en boucle ouverte.
  • Identifier graphiquement les paramètres d'un modèle du premier ordre avec retard (gain, constante de temps, retard pur).
  • Appliquer les formules de la méthode de Ziegler-Nichols en boucle ouverte pour calculer les gains \(K_p\), \(T_i\), et \(T_d\).
  • Comprendre le rôle de chaque action (P, I, D) du correcteur.
  • Écrire la fonction de transfert complète du régulateur PID.

Données de l'étude

On souhaite réguler la vitesse d'un moteur à courant continu. Pour cela, on réalise un essai en boucle ouverte : on applique un échelon de tension de commande de \(\Delta U = 5 \, \text{V}\) à l'entrée du système (variateur + moteur) et on enregistre l'évolution de la vitesse de rotation en sortie. La réponse obtenue est tracée ci-dessous.

Réponse Indicielle du Système Moteur
t (s) Vitesse (rad/s) 100 63.2 0 0.5 1.0 2.0 3.0 4.0 T L
ParamètreDescription
Modèle du systèmePremier ordre avec retard : \(G(p) = \frac{K_s e^{-Lp}}{1+Tp}\)
Échelon d'entrée \(\Delta U\)5 V
Variation de sortie \(\Delta V\)100 rad/s (d'après le graphe)
Régulateur à réglerPID parallèle : \(C(p) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i p} + T_d p\right)\)

Questions à traiter

  1. À partir de la réponse indicielle, identifier graphiquement les paramètres du modèle du premier ordre avec retard : le gain statique \(K_s\), le retard pur \(L\), et la constante de temps \(T\).
  2. En utilisant le tableau de réglage de Ziegler-Nichols pour la méthode en boucle ouverte, calculer les paramètres \(K_p\), \(T_i\), et \(T_d\) pour un régulateur PID.
  3. Écrire la fonction de transfert complète \(C(p)\) du régulateur PID obtenu.

Correction : Régulateur PID avec la Méthode de Ziegler-Nichols

Question 1 : Identification graphique des paramètres du modèle

Principe (le concept physique)

La méthode de la tangente consiste à approximer la réponse en forme de "S" du système par un modèle simple du premier ordre avec un retard. On trace la tangente au point d'inflexion de la courbe. L'intersection de cette tangente avec les axes de temps et de valeur finale permet d'identifier graphiquement le retard \(L\) et la constante de temps \(T\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le modèle \(G(p) = \frac{K_s e^{-Lp}}{1+Tp}\) est très utilisé pour représenter des systèmes réels (thermiques, chimiques, mécaniques). \(K_s\) est le gain statique (\(\Delta \text{Sortie} / \Delta \text{Entrée}\)). \(L\) est le temps mort avant que le système ne commence à réagir de manière significative. \(T\) est la constante de temps, qui caractérise la "lenteur" de la réponse ; après un temps \(L+T\), la sortie a atteint 63.2% de sa valeur finale.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le plus difficile est de tracer correctement la tangente au point d'inflexion (là où la pente est maximale). Dans un exercice, cette tangente est souvent déjà tracée pour vous. Il suffit alors de lire attentivement les intersections pour déterminer les durées.

Astuces (Pour aller plus vite)

Astuce : Le gain statique est toujours la première chose à calculer, c'est le plus simple : variation totale de la sortie divisée par la variation de l'entrée. Pour \(L\) et \(T\), lisez simplement les durées sur l'axe des temps à partir des intersections de la tangente.

Normes (la référence réglementaire)

Bien qu'empiriques, les méthodes d'identification comme celle-ci sont couramment utilisées dans l'industrie pour une première mise en service rapide des régulateurs. Elles sont souvent décrites dans les manuels techniques des automates programmables industriels (API) et des régulateurs numériques.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous faisons l'hypothèse fondamentale que le comportement du système réel peut être raisonnablement approximé par un modèle du premier ordre avec retard. Cette approximation est la clé de la méthode de Ziegler-Nichols.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Gain statique :

\[ K_s = \frac{\Delta V_{\text{sortie}}}{\Delta U_{\text{entrée}}} \]

Identification graphique :

  • \(L\) est le temps entre le début de l'échelon et l'intersection de la tangente avec l'axe des temps.
  • \(T\) est le temps entre l'intersection de la tangente avec l'axe des temps et son intersection avec la droite de la valeur finale.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Échelon d'entrée \(\Delta U = 5 \, \text{V}\)
  • Variation de sortie (lue sur le graphe) \(\Delta V = 100 \, \text{rad/s}\)
  • Lecture graphique du début de la réaction (intersection tangente/axe temps) : \(t_1 = 0.5 \, \text{s}\)
  • Lecture graphique de la fin de la réaction (intersection tangente/valeur finale) : \(t_2 = 1.5 \, \text{s}\)
Schéma (Avant les calculs)
Analyse de la Réponse Indicielle
t (s)Vitesse (rad/s) 100 0 t₁ t₂ L = t₁ T = t₂ - t₁
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du gain statique \(K_s\) :

\[ \begin{aligned} K_s &= \frac{\Delta V}{\Delta U} \\ &= \frac{100 \, \text{rad/s}}{5 \, \text{V}} \\ &= 20 \, \frac{\text{rad/s}}{\text{V}} \end{aligned} \]

2. Calcul du retard pur \(L\) :

\[ \begin{aligned} L &= t_1 \\ &= 0.5 \, \text{s} \end{aligned} \]

3. Calcul de la constante de temps \(T\) :

\[ \begin{aligned} T &= t_2 - t_1 \\ &= 1.5 \, \text{s} - 0.5 \, \text{s} \\ &= 1.0 \, \text{s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Modèle identifié :

\[ G(p) = \frac{20 e^{-0.5p}}{1+p} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons transformé une courbe expérimentale complexe en un modèle mathématique simple avec seulement trois paramètres. Ce modèle, bien qu'étant une approximation, capture l'essence du comportement du système : son gain, sa lenteur et son temps de réaction. C'est sur cette base simplifiée que nous allons pouvoir construire notre régulateur.

Points à retenir

L'identification d'un système par la méthode de la tangente sur sa réponse indicielle permet d'obtenir un modèle de type "premier ordre avec retard" caractérisé par son gain \(K_s\), son retard \(L\) et sa constante de temps \(T\).

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est indispensable car les formules de Ziegler-Nichols ne s'appliquent pas directement à la courbe, mais aux paramètres \(K_s\), \(L\), et \(T\) du modèle approché. L'identification est le pont entre le monde réel (la mesure) et le monde théorique (les formules de réglage).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur de lecture graphique : La précision de la méthode dépend entièrement de la qualité du tracé de la tangente et de la lecture des intersections. Une petite erreur sur la lecture de \(L\) ou \(T\) peut avoir un impact significatif sur les réglages finaux.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Il existe de nombreuses autres méthodes d'identification plus sophistiquées (comme la méthode de Broïda ou des modèles d'ordre supérieur) qui peuvent donner une meilleure approximation du système, mais au prix d'une complexité mathématique accrue. La méthode de la tangente reste la plus rapide et la plus intuitive.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette méthode fonctionne-t-elle si la réponse n'a pas la forme d'un "S" ?

Non. La méthode de Ziegler-Nichols en boucle ouverte est spécifiquement conçue pour les systèmes dont la réponse indicielle a cette forme sigmoïdale caractéristique, qui peut être bien approchée par un premier ordre avec retard. Pour des systèmes très oscillants ou d'ordre élevé, d'autres méthodes (comme celle en boucle fermée) sont plus appropriées.

Résultat Final : Les paramètres identifiés sont \(K_s = 20 \, \frac{\text{rad/s}}{\text{V}}\), \(L = 0.5 \, \text{s}\), et \(T = 1.0 \, \text{s}\).

À vous de jouer : Si le temps \(t_2\) lu sur le graphe était de 2.0 s au lieu de 1.5 s, quelle serait la nouvelle valeur de la constante de temps T ?

Question 2 : Calculer les paramètres du régulateur PID

Principe (le concept physique)

La méthode de Ziegler-Nichols fournit un ensemble de formules empiriques (un "livre de recettes") qui relient directement les paramètres du modèle identifié (\(K_s, L, T\)) aux paramètres du régulateur PID (\(K_p, T_i, T_d\)). Ces formules ont été établies expérimentalement pour donner une réponse en boucle fermée jugée acceptable dans de nombreux cas.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les formules de Ziegler-Nichols visent un compromis. Elles donnent souvent une réponse assez rapide mais avec un dépassement notable (environ 25%). Elles ne sont pas "optimales" au sens mathématique, mais elles fournissent un excellent point de départ pour un réglage fin manuel. L'idée est de placer le système à la limite de la stabilité pour obtenir une bonne réactivité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Il est crucial d'utiliser le bon tableau de formules. Il existe des tables pour les régulateurs P, PI, et PID. Assurez-vous de sélectionner les lignes correspondant au régulateur demandé dans l'énoncé (ici, un PID).

Astuces (Pour aller plus vite)

Astuce : Calculez d'abord le rapport \(T/L\), car il apparaît dans le calcul de \(K_p\). Une fois \(K_p\) trouvé, les calculs de \(T_i\) et \(T_d\) sont directs car ils ne dépendent que de \(L\).

Normes (la référence réglementaire)

Il n'y a pas de "norme" pour les méthodes de réglage, mais les formules de Ziegler-Nichols sont si classiques qu'elles constituent un standard de fait dans l'industrie et l'enseignement de l'automatique depuis leur publication en 1942.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que les formules de Ziegler-Nichols sont applicables et donneront un résultat satisfaisant pour notre système. Nous utilisons les valeurs de \(K_s, L, T\) identifiées à la question précédente.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Table de Ziegler-Nichols (boucle ouverte) pour un régulateur PID :

Type de régulateur\(K_p\)\(T_i\)\(T_d\)
PID\(1.2 \frac{T}{K_s L}\)\(2L\)\(0.5L\)
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(K_s = 20 \, \text{rad/s/V}\)
  • \(L = 0.5 \, \text{s}\)
  • \(T = 1.0 \, \text{s}\)
Schéma (Avant les calculs)

\(K_s, L, T \quad \xrightarrow{\text{Formules Z-N}} \quad K_p, T_i, T_d\)

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du gain proportionnel \(K_p\) :

\[ \begin{aligned} K_p &= 1.2 \frac{T}{K_s L} \\ &= 1.2 \times \frac{1.0}{20 \times 0.5} \\ &= 1.2 \times \frac{1}{10} \\ &= 0.12 \end{aligned} \]

2. Calcul du temps d'intégration \(T_i\) :

\[ \begin{aligned} T_i &= 2L \\ &= 2 \times 0.5 \\ &= 1.0 \, \text{s} \end{aligned} \]

3. Calcul du temps de dérivation \(T_d\) :

\[ \begin{aligned} T_d &= 0.5L \\ &= 0.5 \times 0.5 \\ &= 0.25 \, \text{s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Paramètres du régulateur PID

\(K_p=0.12\), \(T_i = 1.0\) s, \(T_d = 0.25\) s

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons maintenant un jeu de trois valeurs numériques concrètes à programmer dans un régulateur pour commander notre moteur. Le gain \(K_p\) est relativement faible, ce qui est typique lorsque le rapport \(T/L\) n'est pas très grand. Le temps d'intégration \(T_i\) est égal à la constante de temps du système, ce qui est une coïncidence intéressante dans ce cas.

Points à retenir

La méthode de Ziegler-Nichols en boucle ouverte fournit des formules directes pour calculer les paramètres \(K_p, T_i, T_d\) d'un régulateur PID à partir des caractéristiques \(K_s, L, T\) de la réponse indicielle du système.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est le cœur de la méthode. Elle traduit les caractéristiques observées du système en actions de contrôle concrètes. C'est ici que l'on passe de l'analyse du système à la synthèse du correcteur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utilisation du mauvais gain : Attention à ne pas confondre le gain statique du système \(K_s\) (qui est au dénominateur) avec le gain proportionnel du régulateur \(K_p\) (que l'on cherche à calculer).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

John G. Ziegler et Nathaniel B. Nichols n'étaient pas des universitaires mais des ingénieurs chez Taylor Instrument Company. Ils ont développé leurs méthodes de manière purement pratique pour aider leurs clients à régler les régulateurs de processus industriels, ce qui explique pourquoi leur approche est si pragmatique et durable.

FAQ (pour lever les doutes)
Les unités de Kp sont-elles toujours les mêmes ?

Non, les unités de \(K_p\) dépendent des unités de la commande et de la mesure. Ici, la commande est en Volts et la mesure en rad/s, donc \(K_p\) est sans dimension (V/V si on considère que l'erreur est en rad/s et la sortie du correcteur en V). Il est crucial de bien analyser la boucle de régulation pour déterminer les unités correctes.

Résultat Final : Les paramètres du régulateur PID sont \(K_p = 0.12\), \(T_i = 1.0 \, \text{s}\), et \(T_d = 0.25 \, \text{s}\).

À vous de jouer : En utilisant les mêmes formules, quels seraient les paramètres pour un régulateur de type PI seulement ? (Indice : Pour un PI, \(K_p = 0.9 \frac{T}{K_s L}\) et \(T_i = L/0.3\))

Question 3 : Écrire la fonction de transfert du régulateur

Principe (le concept physique)

La fonction de transfert du régulateur, \(C(p)\), est la représentation mathématique dans le domaine de Laplace de l'algorithme de contrôle. Elle décrit comment le régulateur transforme le signal d'erreur \( \epsilon(p) \) en un signal de commande \(U(p)\). Il suffit de remplacer les paramètres \(K_p, T_i, T_d\) par leurs valeurs numériques dans la formule standard du PID.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La fonction de transfert \(C(p) = K_p (1 + \frac{1}{T_i p} + T_d p)\) montre bien les trois actions. L'action Proportionnelle (\(K_p\)) réagit instantanément à l'erreur. L'action Intégrale (\(\frac{K_p}{T_i p}\)) accumule l'erreur passée pour annuler l'erreur statique. L'action Dérivée (\(K_p T_d p\)) anticipe le futur en réagissant à la vitesse de variation de l'erreur, ce qui a un effet stabilisateur.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Une fois les paramètres calculés, cette étape est une simple substitution. L'objectif est de formaliser le résultat final sous une forme mathématique standard, prête à être utilisée pour une analyse plus poussée (par exemple, l'étude de la stabilité en boucle fermée).

Astuces (Pour aller plus vite)

Astuce : Il est souvent utile de mettre la fonction de transfert sur un dénominateur commun pour obtenir une fraction rationnelle, ce qui facilite l'analyse des pôles et des zéros du correcteur : \(C(p) = \frac{K_p(T_i T_d p^2 + T_i p + 1)}{T_i p}\).

Normes (la référence réglementaire)

La structure \(C(p) = K_p (1 + \frac{1}{T_i p} + T_d p)\) est appelée forme "parallèle" ou "non interactive" du PID. C'est la forme la plus couramment utilisée et enseignée. D'autres formes (série, mixte) existent et sont parfois implémentées dans les régulateurs industriels.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que le régulateur à implémenter suit bien la structure parallèle standard, comme indiqué dans l'énoncé.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Fonction de transfert du régulateur PID parallèle :

\[ C(p) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i p} + T_d p\right) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(K_p = 0.12\)
  • \(T_i = 1.0 \, \text{s}\)
  • \(T_d = 0.25 \, \text{s}\)
Schéma (Avant les calculs)

\(K_p, T_i, T_d \quad \xrightarrow{\text{Substitution}} \quad C(p)\)

Calcul(s) (l'application numérique)

On remplace les valeurs numériques dans la formule :

\[ \begin{aligned} C(p) &= 0.12 \left(1 + \frac{1}{1.0 \times p} + 0.25 p\right) \\ &= 0.12 \left(1 + \frac{1}{p} + 0.25 p\right) \end{aligned} \]

En mettant sur un dénominateur commun :

\[ \begin{aligned} C(p) &= 0.12 \left(\frac{p + 1 + 0.25 p^2}{p}\right) \\ &= \frac{0.03 p^2 + 0.12 p + 0.12}{p} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Fonction de Transfert du Régulateur

\[ C(p) = \frac{0.03 p^2 + 0.12 p + 0.12}{p} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La fonction de transfert finale est une expression mathématique qui peut être directement implémentée dans un logiciel de simulation (comme MATLAB/Simulink) ou discrétisée pour être programmée dans un microcontrôleur ou un automate. Elle représente l'algorithme complet que le régulateur exécutera.

Points à retenir

La fonction de transfert d'un régulateur PID est obtenue en substituant les valeurs calculées de \(K_p, T_i, T_d\) dans sa forme mathématique standard.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape conclut le processus de conception du régulateur en produisant son modèle mathématique final. Ce modèle est la "carte d'identité" du correcteur, contenant toutes les informations sur son comportement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur de développement : Lors de la mise au même dénominateur, assurez-vous de bien multiplier chaque terme. Une erreur fréquente est d'oublier de multiplier le terme \(K_p\) par tous les termes du numérateur.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les implémentations numériques réelles, l'action dérivée pure (\(T_d p\)) est souvent remplacée par une dérivée filtrée (\(\frac{T_d p}{1+\alpha T_d p}\)) pour éviter d'amplifier excessivement le bruit de mesure à haute fréquence, qui est un problème majeur avec l'action D.

FAQ (pour lever les doutes)
Peut-on utiliser cette fonction de transfert directement dans un programme ?

Pas directement. Cette fonction de transfert est en temps continu. Pour l'implémenter dans un microcontrôleur, il faut d'abord la "discrétiser" en utilisant une transformation mathématique comme la transformée en Z (par exemple, avec l'approximation de Tustin ou d'Euler) pour obtenir une équation de récurrence qui peut être calculée à chaque pas de temps d'échantillonnage.

Résultat Final : La fonction de transfert du régulateur est \(C(p) = 0.12 \left(1 + \frac{1}{p} + 0.25 p\right) = \frac{0.03 p^2 + 0.12 p + 0.12}{p}\).

À vous de jouer : À partir de la forme \(C(p) = K_p + \frac{K_i}{p} + K_d p\), quelles sont les valeurs des gains \(K_i\) (gain intégral) et \(K_d\) (gain dérivé) ?

Mini Fiche Mémo : Réglage PID par Ziegler-Nichols (B.O.)

ÉtapeActionObjectif
1. Essai Indiciel Appliquer un échelon en boucle ouverte et enregistrer la sortie. Obtenir la courbe de réaction du système.
2. Identification Tracer la tangente au point d'inflexion. Mesurer graphiquement le gain \(K_s\), le retard \(L\) et la constante de temps \(T\).
3. Calcul Appliquer les formules de la table de Z-N. Déterminer les paramètres \(K_p, T_i, T_d\).
4. Implémentation Écrire la fonction de transfert \(C(p)\) du régulateur. Formaliser le correcteur pour l'analyse ou la programmation.

Outil Interactif : Calculateur Ziegler-Nichols

Entrez les paramètres identifiés de votre système pour calculer les gains PID.

Paramètres Identifiés
Paramètres PID Calculés
Gain Proportionnel Kp -
Temps d'Intégration Ti (s) -
Temps de Dérivation Td (s) -

Le Saviez-Vous ?

Plus de 95% des boucles de régulation dans l'industrie utilisent une variante de l'algorithme PID. Son succès vient de sa simplicité, de sa robustesse et du fait qu'il ne nécessite pas de modèle complexe du système pour fonctionner efficacement, comme le prouvent les méthodes de Ziegler-Nichols.

Foire Aux Questions (FAQ)

Les réglages de Ziegler-Nichols sont-ils toujours les meilleurs ?

Non. Ils sont considérés comme un excellent point de départ, mais souvent "agressifs", c'est-à-dire qu'ils privilégient la rapidité au détriment de la stabilité (dépassement élevé). Dans de nombreuses applications (chimie, régulation de température), un comportement plus "doux" est préférable. Les réglages Z-N sont alors utilisés comme base, puis affinés manuellement (généralement en réduisant \(K_p\) et en ajustant \(T_i\)) pour obtenir la performance désirée.

Existe-t-il une autre méthode de Ziegler-Nichols ?

Oui, il existe une deuxième méthode, dite "en boucle fermée" ou "de la limite d'oscillation". Elle consiste à mettre le système en boucle fermée avec un régulateur purement proportionnel. On augmente progressivement son gain (\(K_u\)) jusqu'à ce que le système se mette à osciller de manière entretenue. On mesure alors la période de ces oscillations (\(T_u\)). Les paramètres du PID sont ensuite calculés à partir de \(K_u\) et \(T_u\). Cette méthode est utilisée pour les systèmes que l'on ne peut pas tester en boucle ouverte.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. L'action Intégrale (I) d'un régulateur PID sert principalement à :

2. Dans la méthode de Ziegler-Nichols en boucle ouverte, si le retard L du système est très faible par rapport à la constante de temps T, le gain Kp du régulateur PID sera :

Régulateur PID
Correcteur qui calcule une commande à partir de trois termes : une action Proportionnelle à l'erreur, une action Intégrale de l'erreur passée, et une action Dérivée anticipant l'erreur future.
Réponse Indicielle
Réponse temporelle d'un système à une entrée en forme d'échelon (un changement brusque et permanent de la consigne).
Méthode de Ziegler-Nichols
Ensemble de règles empiriques permettant de déterminer un premier jeu de réglages pour un régulateur PID à partir d'un essai simple sur le système.
Régulateur PID avec la Méthode de Ziegler-Nichols

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