Classification de systèmes de contrôle
Contexte : Pourquoi contrôler un système ?
Un système de contrôle vise à maintenir une grandeur physique (la sortie) à une valeur désirée (la consigne), malgré les perturbations. Pour un moteur, la sortie est sa vitesse de rotation. En **boucle ouverte**, on applique une tension et on "espère" que le moteur tournera à la bonne vitesse. Mais que se passe-t-il si la charge change ? La vitesse chutera. C'est là qu'intervient la **boucle fermée** : on mesure la vitesse réelle, on la compare à la vitesse désirée, et on ajuste la tension en fonction de l'erreur. C'est le principe du régulateur de vitesse.
Remarque Pédagogique : Cet exercice complet vous guidera dans la comparaison entre ces deux approches. En **Partie A**, nous analyserons le moteur seul (boucle ouverte). En **Partie B**, nous ajouterons une boucle de rétroaction pour créer un système asservi (boucle fermée) et nous comparerons leurs performances en termes de précision, de rapidité et de stabilité.
Objectifs Pédagogiques
- Modéliser un système en boucle ouverte et calculer sa fonction de transfert (FTBO).
- Analyser la stabilité, la rapidité et la précision d'un système en boucle ouverte.
- Calculer la fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) d'un système avec retour unitaire.
- Analyser l'impact d'un correcteur proportionnel sur les performances du système.
- Comparer quantitativement la précision (erreur statique) et la rapidité des deux approches.
Partie A : Analyse en Boucle Ouverte
Schéma du Moteur à Courant Continu (Boucle Ouverte)
- Résistance de l'induit : \(R = 2 \, \Omega\)
- Inductance de l'induit : \(L = 0.5 \, \text{H}\)
- Constante de couple / f.c.e.m : \(K = 0.1 \, \text{V/(rad/s) ou N} \cdot \text{m/A}\)
- Moment d'inertie du rotor : \(J = 0.02 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\)
- Coefficient de frottement visqueux : \(f = 0.01 \, \text{N} \cdot \text{m/(rad/s)}\)
Partie B : Analyse en Boucle Fermée
Schéma-bloc du Système en Boucle Fermée
Questions à traiter
- (Partie A) Établir la fonction de transfert en boucle ouverte \(G(p) = \frac{\Omega(p)}{V(p)}\) et calculer ses caractéristiques (ordre, gain, pôles, stabilité).
- (Partie B) Établir la fonction de transfert en boucle fermée \(F(p) = \frac{\Omega(p)}{\Omega_c(p)}\) en fonction de \(G(p)\) et \(K_p\).
- (Partie B) Pour \(K_p=1\), calculer le nouveau gain statique du système bouclé et l'erreur statique \(\epsilon_{\text{ss}}\) pour une consigne en échelon \(\omega_c(t) = 40 \, \text{rad/s}\). Comparer à la boucle ouverte.
- (Partie B) Pour \(K_p=1\), calculer les nouveaux pôles du système en boucle fermée. Conclure sur sa rapidité par rapport à la boucle ouverte.
Correction : Classification de systèmes de contrôle
Partie A : Analyse en Boucle Ouverte
Question 1 : Fonction de Transfert et caractéristiques en Boucle Ouverte (FTBO)
Principe avec image animée (le concept physique)
Pour trouver la fonction de transfertModèle mathématique reliant la sortie d'un système à son entrée dans le domaine de Laplace., nous devons modéliser le système. Cela implique d'écrire les équations physiques qui régissent le circuit électrique et la partie mécanique. Ensuite, nous passons ces équations dans le domaine de LaplaceEspace mathématique où les équations différentielles deviennent des équations algébriques, simplifiant l'analyse. pour les manipuler et isoler le rapport \(\Omega(p)/V(p)\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La transformée de Laplace est un outil qui transforme les équations différentielles en équations algébriques simples. La dérivation \(d/dt\) devient une multiplication par la variable de Laplace \(p\). Cela nous permet de définir la fonction de transfert, qui est le "portrait" mathématique du système et contient toutes les informations sur son comportement dynamique (stabilité, rapidité, etc.).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : La modélisation est l'étape la plus importante. Une erreur ici faussera toute l'analyse. Il faut bien identifier les entrées, les sorties, et les relations physiques qui les lient. Le couplage électromécanique via la constante K est le cœur de ce système.
Normes (la référence réglementaire)
La démarche de modélisation est universelle en ingénierie et se base sur les lois fondamentales de la physique : la loi des mailles de Kirchhoff pour l'électricité et le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) pour la mécanique.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On considère le système comme Linéaire et Invariant dans le Temps (LIT). Cela signifie que ses paramètres (R, L, J, f, K) ne changent pas au cours du temps et que le principe de superposition s'applique. Les conditions initiales sont supposées nulles pour le calcul de la fonction de transfert.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Équation électrique temporelle :
Équation mécanique temporelle :
Équations dans le domaine de Laplace :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(R = 2 \, \Omega\), \(L = 0.5 \, \text{H}\), \(K = 0.1\), \(J = 0.02 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\), \(f = 0.01\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Expression littérale de la fonction de transfert :
Application numérique de la fonction de transfert :
Caractéristiques :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le modèle mathématique nous dit que le moteur est un système stable du second ordre. Le gain de 3.33 signifie qu'en régime permanent, pour chaque volt appliqué, le moteur tournera à 3.33 rad/s. Les pôles réels indiquent que sa réponse à un échelon sera apériodique (sans oscillations).
Point à retenir : La fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) décrit le comportement intrinsèque du système. Son analyse (ordre, gain, pôles) est la première étape pour comprendre et ensuite contrôler le système.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Cette étape est fondamentale. Sans le modèle G(p), il est impossible de concevoir un contrôleur de manière scientifique. On serait obligé de procéder par essais-erreurs, ce qui est inefficace et potentiellement dangereux.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Erreurs de signes : Une erreur de signe dans les équations initiales, notamment pour la force contre-électromotrice \(e(t)\) qui s'oppose à la tension \(v(t)\), peut mener à un modèle complètement faux, voire instable.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer : Si on négligeait l'inductance L (L=0), quel serait l'ordre du système ?
Partie B : Analyse en Boucle Fermée
Question 2 : Fonction de Transfert en Boucle Fermée (FTBF)
Principe avec image animée (le concept physique)
En fermant la boucle, la sortie du système est réinjectée à l'entrée pour être comparée à la consigne. L'actionneur (le correcteur) agit sur l'erreur et non plus sur la consigne directement. Cela change fondamentalement la dynamique du système. La nouvelle fonction de transfert, dite en boucle ferméeSystème de commande qui utilise une mesure de la sortie (rétroaction) pour la comparer à la consigne et ajuster la commande., se calcule à partir de celle en boucle ouverte.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule \(F(p) = \frac{G_{\text{directe}}}{1+G_{\text{boucle}}}\) est l'un des résultats les plus importants de la théorie du contrôle. \(G_{\text{directe}}\) est le produit des fonctions de transfert sur le chemin direct (de l'erreur à la sortie), et \(G_{\text{boucle}}\) est le produit de toutes les fonctions de transfert dans la boucle. Pour un retour unitaireCas où la sortie est directement soustraite à la consigne, sans être modifiée par un capteur (fonction de transfert du capteur H(p)=1)., \(G_{\text{directe}} = G_{\text{boucle}} = K_p G(p)\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Notez que le dénominateur de la FTBF est \(1 + K_p G(p)\). Cela signifie que les nouveaux pôles du système (en boucle fermée) sont les racines de l'équation \(1 + K_p G(p) = 0\), qui est appelée "équation caractéristique". C'est en jouant sur \(K_p\) que l'on peut déplacer ces pôles et donc modifier le comportement du système.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul de la fonction de transfert en boucle fermée est une application standard de l'algèbre des schémas-blocs, une méthode graphique et algébrique décrite dans tous les ouvrages de référence sur les systèmes de contrôle (par ex. "Modern Control Engineering" de Ogata).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose un "retour unitaire", c'est-à-dire que le capteur de vitesse est parfait et a une fonction de transfert égale à 1. Dans la réalité, le capteur a sa propre dynamique, mais elle est souvent assez rapide pour être négligée.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de Black pour un retour unitaire :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(G(p) = \frac{0.1}{0.01p^2 + 0.045p + 0.03}\)
- Correcteur : \(K_p\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Remplacement de G(p) dans la formule :
Simplification de l'expression :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La nouvelle fonction de transfert a le même numérateur (à un facteur \(K_p\) près) mais un dénominateur différent. Le terme constant du dénominateur, qui fixe le gain, et les autres coefficients, qui fixent les pôles, dépendent maintenant de notre choix de \(K_p\). Nous avons maintenant un "levier" pour ajuster les performances.
Point à retenir : La FTBF d'un système à retour unitaire est \(F(p) = \frac{K_p G(p)}{1 + K_p G(p)}\). Le dénominateur \(1+K_p G(p)\) détermine les nouvelles caractéristiques de stabilité et de rapidité.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Cette étape est cruciale car elle nous donne le modèle mathématique du système *contrôlé*. C'est sur la base de cette nouvelle fonction F(p) que nous allons pouvoir analyser les performances du système asservi et les comparer à celles du système en boucle ouverte.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Erreur de formule : Une erreur fréquente est d'oublier le "1 +" au dénominateur ou d'utiliser un signe moins. La formule de Black est un résultat fondamental à connaître par cœur.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer : Quel est le dénominateur de la FTBF si \(K_p = 5\) ?
Question 3 : Précision du Système en Boucle Fermée
Principe avec image animée (le concept physique)
La précision mesure la capacité du système à atteindre la cible. En régime permanentÉtat atteint par le système après que toutes les dynamiques transitoires se sont estompées (t → ∞)., on mesure l'erreur statiqueDifférence entre la consigne et la sortie en régime permanent. Une faible erreur statique est synonyme de bonne précision. : l'écart entre ce qu'on voulait (\(\omega_c\)) et ce qu'on a obtenu (\(\omega_{\text{ss}}\)). Un des buts de la boucle fermée est de minimiser cette erreur.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'erreur statique dépend du "type" du système. Le type est le nombre d'intégrateurs (pôles à p=0) dans la boucle ouverte \(K_p G(p)\). Notre système est de type 0. Pour une entrée en échelon, un système de type 0 aura toujours une erreur statique finie non nulle. Un système de type 1 (avec un intégrateur) aurait une erreur statique nulle.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Ne confondez pas le gain statique de la boucle ouverte \(K_{\text{BO}}\) et celui de la boucle fermée \(K_{\text{BF}}\). C'est ce dernier qui donne le rapport entre la sortie finale et la consigne. \(K_{\text{BF}}\) sera toujours inférieur à 1 pour un système de type 0, ce qui explique l'erreur statique.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul de la valeur finale de la sortie se fait rigoureusement à l'aide du Théorème de la Valeur Finale, qui stipule que \(\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{p \to 0} p F(p)\), à condition que le système soit stable.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On analyse la réponse à une consigne en échelon d'amplitude 40 rad/s. C'est le test le plus courant pour évaluer la précision d'un système de régulation.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Sortie en régime permanent :
Erreur statique :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(K_p = 1\)
- \(G(0) = K_{\text{BO}} = 3.33\)
- Consigne \(\omega_c = 40 \, \text{rad/s}\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul du gain statique en boucle fermée :
Calcul de la sortie finale :
Calcul de l'erreur statique :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La boucle fermée a permis de créer un système qui tente de suivre une consigne, ce que la boucle ouverte ne fait pas. Cependant, avec un simple correcteur proportionnel, il subsiste une erreur significative de 23.1%. Le système est plus "intelligent" mais pas encore parfait. Pour améliorer la précision, il faudrait augmenter \(K_p\) ou utiliser un correcteur plus complexe (PI).
Point à retenir : La boucle fermée améliore la robustesse et permet de suivre une consigne, mais un correcteur proportionnel sur un système de type 0 laissera toujours une erreur statique.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Analyser la précision est fondamental. Un régulateur de vitesse qui se trompe de 23% n'est pas très utile ! Cette étape quantifie l'une des performances clés du système asservi et nous motive à chercher des solutions pour l'améliorer.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Calculer l'erreur sur la tension : L'erreur se calcule entre grandeurs de même nature : la sortie (\(\omega\)) et la consigne (\(\omega_c\)). Il ne faut pas la confondre avec l'erreur \(\epsilon(p)\) du schéma-bloc qui est souvent une tension ou un courant.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer : Quelle serait l'erreur statique (en rad/s) si on utilisait un correcteur avec \(K_p = 9.7\) ?
Question 4 : Stabilité et Rapidité en Boucle Fermée
Principe avec image animée (le concept physique)
La boucle fermée déplace les pôlesRacines du dénominateur de la fonction de transfert. Ils dictent la stabilité et la rapidité du système. du système. Leur nouvelle position détermine la nouvelle dynamique. La rapidité est liée à la partie réelle des pôles : plus ils sont à gauche dans le plan complexe, plus le système est rapide. L'apparition d'une partie imaginaire indique un comportement oscillatoire.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le "lieu des racinesReprésentation graphique de la trajectoire des pôles en boucle fermée lorsque le gain Kp varie de 0 à l'infini." (ou lieu d'Evans) est une technique graphique qui montre comment les pôles en boucle fermée se déplacent dans le plan complexe lorsque le gain \(K_p\) varie de 0 à l'infini. C'est un outil très puissant pour concevoir un correcteur, car il permet de choisir un gain qui place les pôles à un endroit désiré pour obtenir la rapidité et l'amortissement voulus.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : En augmentant \(K_p\), on rend le système plus rapide (la partie réelle des pôles devient plus négative) et plus précis (l'erreur diminue). C'est le double avantage de la boucle fermée. Mais attention, un gain trop élevé peut aussi amener des oscillations indésirables, voire rendre le système instable.
Normes (la référence réglementaire)
L'analyse de la position des pôles pour déterminer le comportement transitoire (temps de réponse, dépassement) est une méthode standard en automatique. Des critères comme celui de Routh-Hurwitz permettent de vérifier la stabilitéPropriété d'un système à revenir à son état d'équilibre après une perturbation. sans calculer explicitement les pôles.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On se place dans le cas où le correcteur est un simple gain \(K_p = 1\) pour pouvoir comparer les pôles avant et après la mise en boucle.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Équation caractéristique (dénominateur de F(p)) :
Constante de temps pour des pôles complexes \(p = -\sigma \pm j\omega_d\) :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Équation caractéristique avec \(K_p = 1\) : \(0.01p^2 + 0.045p + 0.13 = 0\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul du discriminant :
Calcul des pôles complexes conjugués :
Calcul de la constante de temps équivalente :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La boucle fermée a radicalement changé le comportement. Les pôles, qui étaient réels, sont devenus complexes : le système, autrefois lent et sans oscillations, est devenu plus rapide mais oscillatoire. La constante de temps dominante est passée de 1.23 s à 0.44 s, le système est donc presque 3 fois plus rapide.
Point à retenir : La boucle fermée modifie la position des pôles. Le gain du correcteur \(K_p\) est un paramètre de réglage qui permet de déplacer ces pôles pour obtenir un compromis souhaité entre rapidité, précision et stabilité.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Cette analyse est le cœur de la conception d'un système asservi. Elle montre comment, en choisissant un contrôleur, on peut sculpter la dynamique d'un système pour qu'il réponde à un cahier des charges (par exemple, "atteindre 95% de la consigne en moins de 2 secondes avec un dépassement inférieur à 10%").
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Confondre les pôles BO et BF : Il est crucial de bien utiliser l'équation caractéristique de la boucle fermée (\(1+K_p G(p) = 0\)) pour trouver les pôles du système asservi, et non les pôles de la boucle ouverte.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer : Quelle est la partie réelle des pôles si \(K_p = 0\) (ce qui revient à la boucle ouverte) ?
Mini Fiche Mémo : Boucle Ouverte vs. Boucle Fermée
| Caractéristique | Boucle Ouverte (BO) | Boucle Fermée (BF) |
|---|---|---|
| Précision | Sensible aux perturbations. Pas de correction d'erreur. | Robuste aux perturbations. Réduit l'erreur statique. |
| Rapidité | Dépend uniquement des paramètres physiques du système. | Peut être augmentée en ajustant le gain du correcteur. |
| Stabilité | Généralement stable si le système physique l'est. | Peut devenir instable si le gain du correcteur est trop élevé. |
| Coût / Complexité | Simple, économique. | Plus complexe, nécessite un capteur et un contrôleur. |
Outil Interactif : BO vs. BF
Ajustez le gain du correcteur \(K_p\) et observez son impact sur les performances en boucle fermée.
Paramètres du Correcteur
Performances en Boucle Ouverte (Référence)
Résultats Calculés en Boucle Fermée
Pour Aller Plus Loin
Au-delà du Correcteur Proportionnel : Pour annuler complètement l'erreur statique, on utilise un correcteur Proportionnel-Intégral (PI). Le terme Intégral accumule l'erreur passée et continue d'augmenter la commande tant que l'erreur n'est pas nulle. Pour améliorer la réponse transitoire (réduire les oscillations), on peut ajouter un terme Dérivé (D), qui anticipe le futur en regardant la vitesse de variation de l'erreur. C'est le fameux correcteur PID, le plus utilisé dans l'industrie.
Autres pistes d'étude :
- Analyse fréquentielle : Étudier le comportement du système non pas avec un échelon, mais avec des signaux sinusoïdaux de différentes fréquences (Diagrammes de Bode, Nyquist).
- Représentation d'état : Modéliser le système avec un ensemble d'équations différentielles du premier ordre (variables d'état), une approche plus puissante pour les systèmes complexes et multi-variables.
- Commande numérique : Adapter ces concepts pour les implémenter sur un microcontrôleur ou un ordinateur, où les signaux sont échantillonnés (transformée en Z).
Le Saviez-Vous ?
L'un des premiers et des plus ingénieux systèmes de contrôle automatique fut le régulateur à boules de James Watt, inventé en 1788. Il utilisait la force centrifuge pour réguler la vitesse d'une machine à vapeur, sans aucune intervention humaine. C'est un ancêtre direct de toute la théorie moderne de l'automatique.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi l'erreur statique n'est-elle pas nulle avec un correcteur proportionnel ?
Un correcteur proportionnel génère une commande proportionnelle à l'erreur (\(V = K_p \cdot \epsilon\)). Pour qu'il y ait une tension non nulle en sortie pour faire tourner le moteur, il faut qu'il y ait une erreur non nulle en entrée. Pour annuler l'erreur statique, il faut ajouter un terme Intégral au correcteur (correcteur PI), qui peut maintenir une commande non nulle même lorsque l'erreur est nulle.
Que se passe-t-il si on augmente trop le gain \(K_p\) ?
Augmenter \(K_p\) rend le système plus rapide et plus précis (l'erreur diminue). Cependant, cela déplace les pôles du système. Si on l'augmente trop, les pôles peuvent passer dans le demi-plan droit, rendant le système instable. C'est le compromis fondamental en automatique : performance contre robustesse/stabilité.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Pour diminuer l'erreur statique d'un système en boucle fermée, il faut principalement :
2. Le principal avantage de la boucle fermée par rapport à la boucle ouverte est :
- Boucle Ouverte (BO)
- Système de commande où l'action de commande est indépendante de la sortie. Le système ne "sait" pas s'il a atteint son objectif.
- Boucle Fermée (BF)
- Système de commande qui utilise une mesure de la sortie (rétroaction) pour la comparer à la consigne et ajuster la commande en fonction de l'erreur. Aussi appelé système asservi.
- Erreur Statique
- Différence entre la consigne et la sortie en régime permanent (\(t \to \infty\)). Une faible erreur statique est synonyme de bonne précision.
- Correcteur Proportionnel (P)
- Type de contrôleur où la commande est simplement proportionnelle à l'erreur (\(\text{Commande} = K_p \times \text{Erreur}\)).
D’autres exercices de systemes de controle:
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