Vitesse d'un Moteur CC à l'aide d'un Contrôleur PI

Analyse d'un système de contrôle de vitesse pour un moteur à courant continu utilisant un correcteur Proportionnel-Intégral (PI).

Le contrôle de la vitesse des moteurs à courant continu (MCC) est une application courante en ingénierie des systèmes de contrôle. Pour assurer une vitesse précise et robuste face aux perturbations, des correcteurs sont souvent utilisés. Le correcteur Proportionnel-Intégral (PI) est particulièrement efficace pour annuler l'erreur statique (erreur en régime permanent) lors du suivi d'une consigne de vitesse constante.

Données du Problème

On étudie un système de contrôle de vitesse d'un moteur CC. Le système est représenté par le schéma bloc ci-dessous. On souhaite réguler la vitesse angulaire \(\Omega(t)\) du moteur pour qu'elle suive une consigne \(\Omega_{ref}(t)\).

Paramètres du moteur :
- Résistance de l'induit : \(R_a = 2 \, \Omega\)
- Constante de couple / f.c.e.m. : \(K = K_t = K_e = 0.5 \, \text{Nm/A}\) ou \(\text{Vs/rad}\)
- Inertie du rotor : \(J = 0.02 \, \text{kg.m}^2\)
- On néglige l'inductance de l'induit (\(L_a \approx 0\)) et les frottements visqueux (\(f \approx 0\)).
Paramètres du contrôleur PI :
- Gain proportionnel : \(K_p = 1.2\)
- Gain intégral : \(K_i = 5 \, \text{s}^{-1}\)
Capteur de vitesse : On suppose un capteur parfait avec un gain unitaire (\(H(s) = 1\)).
Consigne de vitesse : Un échelon d'amplitude \(\Omega_0 = 100 \, \text{rad/s}\), soit \(\Omega_{ref}(t) = \Omega_0 u(t)\).

Schéma bloc du système de contrôle de vitesse du moteur CC avec contrôleur PI.

Questions

Donner l'expression de la fonction de transfert \(C(s)\) du contrôleur PI.
Établir la fonction de transfert du moteur \(G_m(s) = \frac{\Omega(s)}{V_a(s)}\) en considérant les simplifications données ( \(L_a \approx 0\), \(f \approx 0\)). Mettre cette fonction sous la forme \(G_m(s) = \frac{K_M}{\tau_M s + 1}\) et identifier \(K_M\) et \(\tau_M\).
Calculer les valeurs numériques de \(K_M\) et \(\tau_M\).
Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte \(FTBO(s) = C(s)G_m(s)\) du système (puisque \(H(s)=1\)).
Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée \(FTBF(s) = \frac{\Omega(s)}{\Omega_{ref}(s)}\) du système. Montrer qu'elle est du second ordre.
En utilisant le théorème de la valeur finale, calculer l'erreur en régime permanent \(\epsilon_{ss} = \lim_{t\to\infty} (\Omega_{ref}(t) - \Omega(t))\) pour une consigne en échelon \(\Omega_{ref}(t) = \Omega_0 u(t)\). Conclure sur l'effet de l'action intégrale.
Quelles sont, qualitativement, les influences des gains \(K_p\) et \(K_i\) sur la rapidité de la réponse, le dépassement éventuel et la stabilité du système ?

Correction : Vitesse d’un Moteur CC avec Contrôleur PI

1. Fonction de transfert du contrôleur PI \(C(s)\)

Un contrôleur Proportionnel-Intégral (PI) combine une action proportionnelle à l'erreur et une action proportionnelle à l'intégrale de l'erreur. Sa fonction de transfert dans le domaine de Laplace est la somme de ces deux actions.

L'action proportionnelle est \(K_p E(s)\) et l'action intégrale est \(K_i \frac{E(s)}{s}\).

C(s) = \frac{V_a(s)}{E(s)} = K_p + \frac{K_i}{s} = \frac{K_p s + K_i}{s}

Résultat

La fonction de transfert du contrôleur PI est \(C(s) = K_p + \frac{K_i}{s}\).

2. Fonction de transfert du moteur \(G_m(s)\)

On établit les équations électriques et mécaniques du moteur, puis on les combine en utilisant la transformée de Laplace. On néglige \(L_a\) et \(f\).

Équations du moteur

Équation électrique (loi des mailles pour l'induit, \(L_a=0\)) :

\[ V_a(t) = R_a i_a(t) + e_b(t) \]

Force contre-électromotrice (f.c.e.m.) :

e_b(t) = K_e \Omega(t) = K \Omega(t)

Couple moteur :

\[ T_m(t) = K_t i_a(t) = K i_a(t) \]

Équation mécanique (principe fondamental de la dynamique en rotation, \(f=0\), pas de couple de charge) :

T_m(t) = J \frac{d\Omega(t)}{dt}

Combinaison et transformée de Laplace

De l'équation électrique : \(i_a(t) = \frac{V_a(t) - K \Omega(t)}{R_a}\).

En substituant \(i_a(t)\) dans l'équation du couple, puis dans l'équation mécanique :

K \left( \frac{V_a(t) - K \Omega(t)}{R_a} \right) = J \frac{d\Omega(t)}{dt} \] \[ K V_a(t) - K^2 \Omega(t) = R_a J \frac{d\Omega(t)}{dt} \] \[ R_a J \frac{d\Omega(t)}{dt} + K^2 \Omega(t) = K V_a(t)

En passant dans le domaine de Laplace (conditions initiales nulles pour la fonction de transfert) :

R_a J s \Omega(s) + K^2 \Omega(s) = K V_a(s) \] \[ (R_a J s + K^2) \Omega(s) = K V_a(s) \] \[ G_m(s) = \frac{\Omega(s)}{V_a(s)} = \frac{K}{R_a J s + K^2}

Pour la mettre sous la forme \(G_m(s) = \frac{K_M}{\tau_M s + 1}\), on factorise \(K^2\) au dénominateur :

G_m(s) = \frac{K}{K^2 \left( \frac{R_a J}{K^2} s + 1 \right)} = \frac{1/K}{\frac{R_a J}{K^2} s + 1}

On identifie alors :

K_M = \frac{1}{K} \quad \text{et} \quad \tau_M = \frac{R_a J}{K^2}

Résultat

La fonction de transfert du moteur est \(G_m(s) = \frac{K}{R_a J s + K^2}\).

Sous forme canonique : \(G_m(s) = \frac{K_M}{\tau_M s + 1}\) avec \(K_M = \frac{1}{K}\) (gain statique du moteur) et \(\tau_M = \frac{R_a J}{K^2}\) (constante de temps mécanique du moteur).

Quiz Intermédiaire

3. Valeurs numériques de \(K_M\) et \(\tau_M\)

On utilise les valeurs numériques fournies pour \(R_a, J, K\).

Calculs

K_M = \frac{1}{K} = \frac{1}{0.5 \, \text{Vs/rad}} = 2 \, \text{rad/(sV)} \] \[ \tau_M = \frac{R_a J}{K^2} = \frac{(2 \, \Omega) \times (0.02 \, \text{kg.m}^2)}{(0.5 \, \text{Vs/rad})^2} = \frac{0.04}{0.25} \, \text{s} = 0.16 \, \text{s}

Résultat

Les valeurs numériques sont : \(K_M = 2 \, \text{rad/(sV)}\) et \(\tau_M = 0.16 \, \text{s}\).

Donc, \(G_m(s) = \frac{2}{0.16 s + 1}\).

4. Fonction de transfert en boucle ouverte \(FTBO(s)\)

La FTBO est le produit des fonctions de transfert des éléments dans la chaîne directe (ici, le contrôleur et le moteur, car \(H(s)=1\)).

Calcul

FTBO(s) = C(s) G_m(s) = \left( K_p + \frac{K_i}{s} \right) \left( \frac{K_M}{\tau_M s + 1} \right) \] \[ FTBO(s) = \frac{K_p s + K_i}{s} \cdot \frac{K_M}{\tau_M s + 1} = \frac{K_M (K_p s + K_i)}{s (\tau_M s + 1)}

Avec les valeurs numériques : \(K_p=1.2\), \(K_i=5\), \(K_M=2\), \(\tau_M=0.16\)

FTBO(s) = \frac{2 (1.2 s + 5)}{s (0.16 s + 1)} = \frac{2.4 s + 10}{0.16 s^2 + s}

Résultat

La fonction de transfert en boucle ouverte est \(FTBO(s) = \frac{K_M (K_p s + K_i)}{s (\tau_M s + 1)}\).

Numériquement : \(FTBO(s) = \frac{2.4 s + 10}{0.16 s^2 + s}\).

Quiz Intermédiaire

5. Fonction de transfert en boucle fermée \(FTBF(s)\)

Pour un système à retour unitaire (\(H(s)=1\)), la fonction de transfert en boucle fermée est donnée par \(FTBF(s) = \frac{FTBO(s)}{1 + FTBO(s)}\).

Calcul

\begin{aligned} FTBF(s) &= \frac{\frac{K_M (K_p s + K_i)}{s (\tau_M s + 1)}}{1 + \frac{K_M (K_p s + K_i)}{s (\tau_M s + 1)}} \\ &= \frac{K_M (K_p s + K_i)}{s (\tau_M s + 1) + K_M (K_p s + K_i)} \\ &= \frac{K_M K_p s + K_M K_i}{\tau_M s^2 + s + K_M K_p s + K_M K_i} \\ &= \frac{K_M K_p s + K_M K_i}{\tau_M s^2 + (1 + K_M K_p) s + K_M K_i} \end{aligned}

Le dénominateur est un polynôme du second degré en \(s\), donc la fonction de transfert en boucle fermée est du second ordre.

Avec les valeurs numériques :

\begin{aligned} K_M K_p &= 2 \times 1.2 = 2.4 \\ K_M K_i &= 2 \times 5 = 10 \\ \tau_M &= 0.16 \\ 1 + K_M K_p &= 1 + 2.4 = 3.4 \end{aligned}

FTBF(s) = \frac{2.4 s + 10}{0.16 s^2 + 3.4 s + 10}

Résultat

La fonction de transfert en boucle fermée est \(FTBF(s) = \frac{K_M K_p s + K_M K_i}{\tau_M s^2 + (1 + K_M K_p) s + K_M K_i}\).

Numériquement : \(FTBF(s) = \frac{2.4 s + 10}{0.16 s^2 + 3.4 s + 10}\). C'est un système du second ordre.

6. Erreur en régime permanent \(\epsilon_{ss}\)

L'erreur est \(E(s) = \Omega_{ref}(s) - \Omega(s)\). Comme \(\Omega(s) = FTBF(s) \Omega_{ref}(s)\), on a \(E(s) = \Omega_{ref}(s) (1 - FTBF(s))\). Or, \(1 - FTBF(s) = 1 - \frac{FTBO(s)}{1+FTBO(s)} = \frac{1}{1+FTBO(s)}\). Donc \(E(s) = \frac{\Omega_{ref}(s)}{1+FTBO(s)}\). L'erreur en régime permanent \(\epsilon_{ss}\) est la limite de \(e(t)\) quand \(t \rightarrow \infty\), ce qui peut être calculé par \(\lim_{s\to 0} s E(s)\) (théorème de la valeur finale). La consigne est un échelon : \(\Omega_{ref}(t) = \Omega_0 u(t) \Rightarrow \Omega_{ref}(s) = \frac{\Omega_0}{s}\).

Calcul

\begin{aligned} \epsilon_{ss} &= \lim_{s\to 0} s E(s) = \lim_{s\to 0} s \frac{\frac{\Omega_0}{s}}{1+FTBO(s)} \\ &= \lim_{s\to 0} \frac{\Omega_0}{1+FTBO(s)} \\ &= \frac{\Omega_0}{1 + \lim_{s\to 0} FTBO(s)} \end{aligned}

Calculons \(\lim_{s\to 0} FTBO(s)\) :

\lim_{s\to 0} FTBO(s) = \lim_{s\to 0} \frac{K_M (K_p s + K_i)}{s (\tau_M s + 1)} = \lim_{s\to 0} \frac{K_M K_i}{s} \rightarrow \infty

Puisque \(\lim_{s\to 0} FTBO(s) \rightarrow \infty\), alors :

\epsilon_{ss} = \frac{\Omega_0}{1 + \infty} = 0

L'erreur en régime permanent est nulle. Ceci est dû à la présence de l'intégrateur (terme en \(1/s\)) dans la FTBO, introduit par le contrôleur PI.

Résultat

L'erreur en régime permanent pour une consigne en échelon est \(\epsilon_{ss} = 0\).

Conclusion : L'action intégrale du contrôleur PI permet d'annuler l'erreur statique de position (ici, de vitesse) face à une consigne en échelon.

Quiz Intermédiaire

7. Influence qualitative de \(K_p\) et \(K_i\)

Les gains \(K_p\) et \(K_i\) du contrôleur PI ont des effets distincts sur la performance du système asservi.

Influence de \(K_p\) (Gain Proportionnel) :

Une augmentation de \(K_p\) tend à rendre le système plus rapide (temps de montée plus court).
Elle réduit l'erreur statique (mais ne l'annule pas seule dans la plupart des cas pour un système moteur qui est de type 0 sans l'intégrateur).
Cependant, un \(K_p\) trop élevé peut augmenter le dépassement (overshoot) et même conduire à l'instabilité du système.

Influence de \(K_i\) (Gain Intégral) :

L'action intégrale vise principalement à éliminer l'erreur en régime permanent (erreur statique). C'est son rôle majeur.
Une augmentation de \(K_i\) peut accélérer l'élimination de l'erreur statique.
Cependant, une action intégrale trop forte ( \(K_i\) trop grand) peut ralentir la réponse transitoire, augmenter le dépassement et potentiellement dégrader la stabilité du système (introduit un retard de phase).

Le réglage des paramètres \(K_p\) et \(K_i\) est donc un compromis pour obtenir une réponse rapide, précise (erreur statique nulle) et stable, avec un dépassement acceptable.

Glossaire des Termes Clés

Moteur à Courant Continu (MCC) :

Machine électrique qui convertit l'énergie électrique en énergie mécanique de rotation, caractérisée par des équations électriques et mécaniques spécifiques.

Contrôleur PI (Proportionnel-Intégral) :

Type de correcteur utilisé en automatique qui génère un signal de commande proportionnel à l'erreur et à l'intégrale de l'erreur.

Fonction de Transfert (FT) :

Rapport, dans le domaine de Laplace, de la transformée de la sortie d'un système à la transformée de son entrée, en supposant des conditions initiales nulles.

Boucle Ouverte (FTBO) :

Fonction de transfert de la chaîne directe du système asservi (généralement \(C(s)G(s)H(s)\)).

Boucle Fermée (FTBF) :

Fonction de transfert du système global, prenant en compte le retour (feedback), reliant la sortie à la consigne.

Erreur Statique (ou en Régime Permanent) :

Différence entre la consigne et la sortie du système lorsque le temps tend vers l'infini.

Transformée de Laplace :

Outil mathématique permettant de transformer des équations différentielles linéaires en équations algébriques, facilitant l'analyse des systèmes dynamiques.

Constante de Temps Mécanique (\(\tau_M\)) :

Caractéristique d'un moteur indiquant la rapidité de sa réponse mécanique (vitesse) à une variation de tension.

Gain Proportionnel (\(K_p\)) :

Paramètre du contrôleur qui multiplie l'erreur actuelle pour générer une partie du signal de commande.

Gain Intégral (\(K_i\)) :

Paramètre du contrôleur qui multiplie l'intégrale de l'erreur passée pour générer une autre partie du signal de commande, visant à éliminer l'erreur statique.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment l'ajout de l'inductance d'induit \(L_a\) (non négligée) modifierait-il la fonction de transfert du moteur \(G_m(s)\) et l'ordre du système en boucle fermée ?

2. Expliquez le phénomène de "saturation de l'intégrateur" (ou "intégral windup") qui peut survenir avec les contrôleurs PI et quelles sont les techniques pour l'atténuer.

3. Quelles sont les méthodes courantes pour régler les paramètres \(K_p\) et \(K_i\) d'un contrôleur PI (par exemple, la méthode de Ziegler-Nichols) ?

4. Comparez qualitativement les performances d'un contrôleur P, PI, et PID (Proportionnel-Intégral-Dérivé) pour le contrôle de vitesse d'un moteur CC.

5. Comment un couple de charge \(T_L\) appliqué à l'arbre du moteur affecterait-il la vitesse en régime permanent si on utilisait un contrôleur purement proportionnel ? Et avec le contrôleur PI ?

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