Exercices Électricité

Vitesse d’un Moteur CC à l’aide d’un Contrôleur PI

Vitesse d’un Moteur CC à l’aide d’un Contrôleur PI

Vitesse d’un Moteur CC à l’aide d’un Contrôleur PI

Contexte : Comment garantir qu'un moteur tourne à la bonne vitesse ?

Dans de nombreuses applications industrielles, de la robotique aux machines-outils, il est crucial de contrôler précisément la vitesse d'un moteur, même lorsque la charge qu'il entraîne varie. Un moteur à courant continu (CC) simple, alimenté par une tension fixe, verra sa vitesse chuter s'il doit fournir plus de couple. Pour surmonter ce problème, on utilise un contrôleurLe 'cerveau' de la boucle de contrôle. C'est un algorithme (ex: PI) qui calcule la commande à appliquer à l'actionneur à partir de l'erreur. en boucle fermée. Le contrôleur Proportionnel-Intégral (PI)Un type de contrôleur en boucle fermée qui utilise une action proportionnelle à l'erreur actuelle et une action intégrale qui accumule l'erreur passée. est l'un des plus utilisés. Il ajuste en permanence la tension envoyée au moteur pour que sa vitesse réelle corresponde exactement à la vitesse souhaitée (la consigne), annulant ainsi l'effet des perturbations.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans la modélisation d'un moteur à courant continu et le calcul des paramètres d'un contrôleur PI. Vous apprendrez comment l'action Proportionnelle permet de réagir rapidement à une erreur et comment l'action Intégrale garantit qu'il n'y a pas d'erreur de vitesse en régime permanent, même en présence d'un couple résistant.

Objectifs Pédagogiques

  • Modéliser un moteur à courant continu à l'aide d'une fonction de transfert.
  • Comprendre le rôle des actions Proportionnelle (P) et Intégrale (I) dans un contrôleur.
  • Calculer la fonction de transfert d'un système en boucle fermée.
  • Déterminer l'erreur en régime permanent d'un système asservi face à une perturbation.
  • Calculer la tension de commande nécessaire pour maintenir la vitesse face à une charge.

Données de l'étude

On étudie un système de contrôle de vitesse pour un moteur à courant continu. Le système est représenté par le schéma fonctionnel ci-dessous.

Schéma fonctionnel de l'asservissement de vitesse
C(p) M(p) Ωc(p) ε(p) U(p) Ω(p) Ωm(p) Cr(p)

Caractéristiques du système :

  • Fonction de transfert du moteur (simplifiée) : \(M(p) = \frac{\Omega(p)}{U(p)} = \frac{K_m}{1 + \tau p}\)
  • Gain statique du moteur : \(K_m = 15 \, \text{rad/s/V}\)
  • Constante de temps du moteur : \(\tau = 0.2 \, \text{s}\)
  • Le capteur de vitesse (tachymètre) est considéré comme parfait (gain de 1).
  • Le contrôleur est un Proportionnel-Intégral (PI) : \(C(p) = K_p + \frac{K_i}{p} = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i p}\right)\)
  • On souhaite une vitesse de consigne de \( \omega_c = 100 \, \text{rad/s} \).

Questions à traiter

  1. Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée \(H(p) = \frac{\Omega(p)}{\Omega_c(p)}\) en fonction de \(K_p\), \(K_i\), \(K_m\) et \(\tau\).
  2. On applique un couple résistant constant \(C_r\) sur l'arbre moteur, ce qui équivaut à une perturbation en entrée du sommateur. Montrer que l'erreur de vitesse en régime permanent (\(\epsilon(\infty)\)) est nulle grâce à l'action du correcteur PI.
  3. Le moteur doit vaincre un couple résistant de \(C_r = 0.5 \, \text{N.m}\). La constante de couple du moteur est \(K_t = 0.1 \, \text{N.m/A}\) et sa résistance d'induit est \(R=2\,\Omega\). Quelle est la tension \(U\) que le contrôleur doit appliquer au moteur en régime permanent pour maintenir la vitesse de 100 rad/s ?

Correction : Vitesse d’un Moteur CC à l’aide d’un Contrôleur PI

Question 1 : Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée

Principe (le concept physique)
Système en Boucle Fermée H(p) Ωc(p) Ω(p) H(p) = Ω(p) / Ωc(p)

La fonction de transfertModèle mathématique (dans le domaine de Laplace) qui décrit la relation entre la sortie et l'entrée d'un système. en boucle fermée décrit le comportement global du système, de la consigne à la sortie. Elle permet de caractériser la stabilité, la rapidité et la précision du système. Elle se calcule en utilisant l'algèbre des schémas fonctionnels, en particulier la formule classique de la contre-réaction.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour un système à retour unitaire standard, avec une chaîne directe de fonction de transfert \(G(p)\) et un correcteur \(C(p)\), la fonction de transfert en boucle ouverte est \(FTBO(p) = C(p)G(p)\). La fonction de transfert en boucle fermée \(H(p)\) est alors donnée par la formule de Black : \(H(p) = \frac{\text{Chaîne Directe}}{1 + \text{Chaîne de Retour}} = \frac{C(p)G(p)}{1 + C(p)G(p)}\). Cette formule est fondamentale en automatique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : L'étape la plus importante est de bien identifier la chaîne directeEnsemble des blocs fonctionnels situés entre le point de comparaison de l'erreur et la sortie du système. (tout ce qui se trouve entre le comparateurÉlément qui calcule la différence (l'erreur) entre la valeur de consigne et la valeur mesurée par la chaîne de retour. et la sortie) et la chaîne de retourEnsemble des blocs (souvent juste un capteur) qui ramènent l'information de la sortie vers le comparateur.. Ici, la chaîne directe est \(C(p)M(p)\) et le retour est unitaireCas particulier d'une boucle de rétroaction où la sortie est directement comparée à la consigne, sans être modifiée par un capteur (gain du capteur = 1). (gain de 1).

Normes (la référence réglementaire)

Il n'y a pas de norme spécifique pour ce calcul, qui relève des fondements mathématiques de la théorie du contrôle. Cependant, la notation (utilisation de la variable de Laplace \(p\)) est standardisée par des organismes comme l'ISO et l'IEC.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le système est Linéaire et Invariant dans le Temps (LIT), ce qui permet d'utiliser l'outil de la transformée de Laplace et les fonctions de transfert.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de Black pour un système à retour unitaire :

\[ H(p) = \frac{C(p)M(p)}{1 + C(p)M(p)} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(C(p) = K_p + \frac{K_i}{p} = \frac{K_p p + K_i}{p}\)
  • \(M(p) = \frac{K_m}{1 + \tau p}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

On calcule d'abord le produit \(C(p)M(p)\) :

\[ C(p)M(p) = \frac{K_p p + K_i}{p} \times \frac{K_m}{1 + \tau p} = \frac{K_m(K_p p + K_i)}{p(1 + \tau p)} \]

On applique ensuite la formule de Black :

\[ \begin{aligned} H(p) &= \frac{\frac{K_m(K_p p + K_i)}{p(1 + \tau p)}}{1 + \frac{K_m(K_p p + K_i)}{p(1 + \tau p)}} \\ &= \frac{K_m(K_p p + K_i)}{p(1 + \tau p) + K_m(K_p p + K_i)} \\ &= \frac{K_m K_p p + K_m K_i}{\tau p^2 + p + K_m K_p p + K_m K_i} \\ &= \frac{K_m K_p p + K_m K_i}{\tau p^2 + (1 + K_m K_p)p + K_m K_i} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La fonction de transfert en boucle fermée est un système du second ordre. Les coefficients du dénominateur (\(\tau\), \(1+K_m K_p\), \(K_m K_i\)) dépendent des paramètres du moteur ET des gains du correcteur. En ajustant \(K_p\) et \(K_i\), on peut donc modifier le comportement du système (amortissement, temps de réponse) pour qu'il corresponde au cahier des charges.

Point à retenir

Le correcteur modifie le comportement dynamique du système en changeant les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le calcul de la FTBF est une étape mathématique essentielle qui permet de passer d'un schéma-bloc à une équation unique. Cette équation est la base de toute l'analyse de performance du système (stabilité, rapidité, précision).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur fréquente est de mal réduire les fractions au même dénominateur lors de l'application de la formule de Black. Il est conseillé de procéder par étapes, en calculant d'abord la boucle ouverte \(C(p)M(p)\) avant de l'injecter dans la formule finale.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La formule de Black a été développée par Harold Stephen Black, un ingénieur chez Bell Labs, dans les années 1920. Il aurait eu l'idée en traversant l'Hudson sur un ferry, en griffonnant le diagramme sur un journal. Cette formule a révolutionné la conception des amplificateurs pour les télécommunications longue distance.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le dénominateur est-il si important ?

Le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée est appelé le "polynôme caractéristique". Les racines de ce polynôme, appelées "pôles", déterminent entièrement la stabilité et la dynamique du système. Le but du réglage du contrôleur est de placer ces pôles à des endroits judicieux dans le plan complexe.

Résultat Final : \( H(p) = \frac{K_m K_p p + K_m K_i}{\tau p^2 + (1 + K_m K_p)p + K_m K_i} \)

À vous de jouer !

Question 2 : Montrer que l'erreur de vitesse est nulle face à une perturbation

Principe (le concept physique)
C(p) M(p) Ωc=0 ε(p) U(p) Ω(p) Cr(p)

Une des qualités principales d'un bon système de contrôle est sa capacité à maintenir la sortie sur sa consigne même si une perturbation externe apparaît (ici, un couple résistant). On utilise le théorème de la valeur finaleThéorème mathématique qui permet de trouver la valeur d'un signal en régime permanent (quand t → ∞) directement à partir de sa transformée de Laplace, en calculant la limite de p.F(p) quand p → 0. pour calculer la valeur de l'erreur lorsque le temps tend vers l'infini. L'objectif est de montrer que cette erreur tend vers zéro.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'action Intégrale (\(K_i/p\)) est la clé pour annuler l'erreur en régime permanentDifférence entre la consigne et la sortie du système après que tous les effets transitoires se soient estompés (quand le temps tend vers l'infini). face à une perturbation en échelon. Le terme \(1/p\) dans le domaine de Laplace correspond à une intégration dans le temps. Tant qu'il y a une erreur, même minime, l'intégrateur accumule cette erreur et augmente la commande jusqu'à ce que l'erreur soit complètement annulée. Un système avec un intégrateur dans sa boucle ouverte aura une erreur nulle en réponse à une consigne ou une perturbation en échelon.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Pour analyser l'effet d'une perturbation seule, on utilise le principe de superpositionPour un système linéaire, la réponse totale à plusieurs entrées est la somme des réponses à chaque entrée prise individuellement. en posant la consigne à zéro. On calcule alors la fonction de transfert entre la perturbation et l'erreur.

Normes (la référence réglementaire)

Ce calcul est basé sur la théorie de l'automatique linéaire. Les normes comme l'IEC 61131 sur les automates programmables standardisent la manière d'implémenter des blocs fonctionnels comme les correcteurs PI dans les systèmes de contrôle industriels.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère une perturbation constante, ce qui correspond à un échelon dans le domaine de Laplace (\(C_r(p) = C_r/p\)). La consigne est nulle (\(\Omega_c(p)=0\)) pour isoler l'effet de la perturbation.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Erreur en fonction des entrées :

\[ \epsilon(p) = \frac{1}{1+C(p)M(p)}\Omega_c(p) - \frac{M(p)}{1+C(p)M(p)}C_r(p) \]

Théorème de la valeur finale :

\[ \epsilon(\infty) = \lim_{t \to \infty} \epsilon(t) = \lim_{p \to 0} p \cdot \epsilon(p) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\Omega_c(p) = 0\)
  • \(C_r(p) = C_r/p\) (échelon)
  • \(C(p) = \frac{K_p p + K_i}{p}\)
  • \(M(p) = \frac{K_m}{1 + \tau p}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Avec \(\Omega_c(p) = 0\), l'expression de l'erreur devient :

\[ \begin{aligned} \epsilon(p) &= - \frac{M(p)}{1+C(p)M(p)} C_r(p) \\ &= - \frac{\frac{K_m}{1 + \tau p}}{1 + \frac{K_m(K_p p + K_i)}{p(1 + \tau p)}} \frac{C_r}{p} \\ &= - \frac{K_m p}{p(1 + \tau p) + K_m(K_p p + K_i)} C_r \end{aligned} \]

On applique le théorème de la valeur finale :

\[ \begin{aligned} \epsilon(\infty) &= \lim_{p \to 0} p \cdot \left( - \frac{K_m p}{p(1 + \tau p) + K_m(K_p p + K_i)} \frac{C_r}{p} \right) \\ &= \lim_{p \to 0} \left( - \frac{K_m p \cdot C_r}{p(1 + \tau p) + K_m(K_p p + K_i)} \right) \\ &= - \frac{K_m \cdot 0 \cdot C_r}{0(1+0) + K_m(K_p \cdot 0 + K_i)} \\ &= - \frac{0}{K_m K_i} \\ &= 0 \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le calcul montre que l'erreur en régime permanent est nulle. C'est une propriété fondamentale des systèmes contenant un intégrateur (le terme \(1/p\) dans le contrôleur). L'intégrateur "force" l'erreur à zéro, ce qui signifie que le système est capable de rejeter parfaitement une perturbation constante et de maintenir la vitesse à sa consigne.

Point à retenir

L'action Intégrale (\(K_i\)) dans un correcteur PI garantit une erreur de position nulle en réponse à une perturbation en échelon.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape prouve mathématiquement l'intérêt majeur de l'action intégrale. Sans elle (avec un correcteur P simple), il subsisterait une erreur permanente proportionnelle au couple résistant.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas simplifier le \(p\) du numérateur avec celui du dénominateur avant d'avoir fait la limite. La limite doit être calculée sur l'expression complète \(p \cdot \epsilon(p)\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de "servomécanisme", qui est un système asservi, a été développé massivement pendant la Seconde Guerre Mondiale pour des applications comme le pointage automatique des canons antiaériens, qui nécessitaient de suivre une cible mobile avec une très grande précision.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passerait-il si la perturbation n'était pas constante ?

Si la perturbation était une rampe (un couple qui augmente linéairement avec le temps), un contrôleur PI laisserait subsister une erreur constante. Pour annuler une erreur face à une rampe, il faudrait un contrôleur avec une double intégration (un terme en \(1/p^2\)).

Résultat Final : Grâce à l'intégrateur du correcteur PI, l'erreur de vitesse en régime permanent face à une perturbation de couple constante est nulle.

À vous de jouer !

Question 3 : Calculer la tension de commande en régime permanent

Principe (le concept physique)
Moteur CC U Ω = 100 rad/s Cr = 0.5 N.m U = ?

En régime permanent, le moteur tourne à vitesse constante. Cela signifie que le couple moteur compense exactement le couple résistant. En utilisant les équations électromécaniques du moteur, on peut relier ce couple au courant d'induit, puis ce courant à la tension d'alimentation, en tenant compte de la force contre-électromotrice (f.c.e.m)Tension générée par un moteur en rotation, qui s'oppose à la tension d'alimentation. Elle est proportionnelle à la vitesse de rotation. générée par la rotation.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Un moteur à courant continu est un convertisseur d'énergie. Il obéit à deux lois fondamentales : 1) La loi du couple : le couple moteur \(C_m\) est proportionnel au courant d'induit \(I_a\) (\(C_m = K_t I_a\)). 2) La loi de la f.c.e.m : le moteur, en tournant, agit comme un générateur et produit une tension \(E\) proportionnelle à sa vitesse \(\Omega\) (\(E = K_e \Omega\)). Pour un même moteur, les constantes de couple et de f.c.e.m sont égales en unités SI (\(K_t = K_e\)). La loi d'Ohm pour l'induit est alors \(U = R I_a + E\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : C'est un excellent exemple de la façon dont le contrôleur travaille. Pour contrer le couple résistantLe couple que la charge mécanique (ex: frottements, poids à soulever) oppose à la rotation du moteur., il doit faire circuler un certain courant dans le moteur. Pour faire circuler ce courant ET vaincre la f.c.e.mForce contre-électromotrice. Tension générée par un moteur en rotation, qui s'oppose à la tension d'alimentation. due à la vitesse, il doit appliquer une tension bien précise. C'est le rôle du PI de calculer et d'appliquer cette tension.

Normes (la référence réglementaire)

IEC 60034-1 : Cette norme définit les caractéristiques nominales des machines électriques, y compris les paramètres comme la résistance d'induit et les constantes de couple, qui sont essentiels pour ces calculs.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On se place en régime permanent (vitesse et courant constants). On suppose que le couple moteur \(C_m\) est égal au couple résistant \(C_r\). On considère que les constantes \(K_t\) et \(K_e\) sont égales, ce qui est vrai en unités SI.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Courant d'induit :

\[ I_a = \frac{C_r}{K_t} \]

Force contre-électromotrice :

\[ E = K_e \Omega \]

Tension d'alimentation :

\[ U = R I_a + E \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(C_r = 0.5 \, \text{N.m}\)
  • \(K_t = K_e = 0.1 \, \text{N.m/A}\) (ou V/(rad/s))
  • \(R = 2 \, \Omega\)
  • \(\Omega = 100 \, \text{rad/s}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du courant nécessaire pour produire le couple :

\[ \begin{aligned} I_a &= \frac{0.5 \, \text{N.m}}{0.1 \, \text{N.m/A}} \\ &= 5 \, \text{A} \end{aligned} \]

2. Calcul de la f.c.e.m. à la vitesse de consigne :

\[ \begin{aligned} E &= 0.1 \, \text{V/(rad/s)} \times 100 \, \text{rad/s} \\ &= 10 \, \text{V} \end{aligned} \]

3. Calcul de la tension totale à appliquer :

\[ \begin{aligned} U &= (2 \, \Omega \times 5 \, \text{A}) + 10 \, \text{V} \\ &= 10 \, \text{V} + 10 \, \text{V} \\ &= 20 \, \text{V} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Pour maintenir la vitesse de 100 rad/s tout en luttant contre le couple résistant de 0.5 N.m, le contrôleur PI doit fournir une tension constante de 20 V au moteur. 10 V servent à "vaincre" la f.c.e.m. et les 10 V restants sont convertis en couple via le courant de 5 A.

Point à retenir

La tension appliquée à un moteur CC se répartit entre la chute de tension résistive (\(R \cdot I_a\)), qui est liée au couple, et la force contre-électromotrice (\(E\)), qui est liée à la vitesse.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape relie la théorie du contrôle (le rôle du PI) à la physique du moteur. Elle montre concrètement comment la sortie du contrôleur (une tension) agit sur le système pour atteindre l'objectif de vitesse malgré la charge.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Confondre les constantes de couple (\(K_t\)) et de vitesse (\(K_e\)). Bien qu'elles aient la même valeur numérique en unités SI, elles n'ont pas la même unité physique. Il faut être rigoureux dans les équations.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le contrôle PI est si fondamental qu'il est utilisé dans d'innombrables applications, bien au-delà des moteurs. Les algorithmes qui gèrent la température des processeurs d'ordinateurs, le débit dans les pipelines chimiques ou même certains modèles économiques utilisent des principes de contrôle PI.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si le couple résistant est nul ?

Si \(C_r = 0\), alors le courant \(I_a\) nécessaire est nul (en négligeant les frottements internes du moteur). La tension à appliquer serait alors simplement \(U = E = 10 \, \text{V}\). La tension ne sert qu'à maintenir la vitesse, pas à fournir du couple.

Résultat Final : Le contrôleur doit appliquer une tension de 20 V au moteur.

À vous de jouer !

Mini Fiche Mémo : Rôles du Correcteur PI

Action Proportionnelle (P) - Le Réactif
  • Rôle : Réagit instantanément à l'erreur.
  • Effet : Plus l'erreur est grande, plus la commande est forte.
  • Avantage : Améliore la rapidité du système.
  • Inconvénient : Laisse subsister une erreur permanente (statique) en présence de perturbation.
Action Intégrale (I) - Le Tenace
  • Rôle : Accumule l'erreur au fil du temps.
  • Effet : Augmente la commande tant qu'une erreur persiste.
  • Avantage : Annule l'erreur statique, garantit la précision.
  • Inconvénient : Peut ralentir la réponse et introduire des oscillations si mal réglée.

Outil Interactif : Réglage du Contrôleur PI

Ajustez les gains \(K_p\) et \(K_i\) et observez leur effet sur la réponse du système à un échelon de vitesse.

Paramètres du Contrôleur
1.0
5.0
Réponse du Système

Pour Aller Plus Loin : L'action Dérivée (D)

Pour améliorer encore la réponse, on ajoute souvent une action Dérivée (D) pour former un contrôleur PID. L'action dérivée réagit à la vitesse de variation de l'erreur. Elle a un effet "anticipateur" : si l'erreur change rapidement, elle applique une forte commande pour freiner le système et éviter qu'il ne dépasse la consigne. Cela permet de réduire les oscillations et d'améliorer la stabilité, surtout pour les systèmes rapides.

Le Saviez-Vous ?

Le premier contrôleur PID a été développé par l'ingénieur Elmer Sperry en 1911 pour le pilotage automatique de navires. La théorie mathématique rigoureuse derrière le réglage des PID (la méthode de Ziegler-Nichols) n'a été publiée que dans les années 1940, mais l'algorithme est si robuste et efficace qu'il reste aujourd'hui le plus utilisé dans l'industrie, représentant plus de 95% des boucles de régulation.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi ne pas utiliser juste un contrôleur Intégral (I) ?

Un contrôleur purement Intégral annulerait bien l'erreur statique, mais il serait très lent à réagir, car il doit "attendre" que l'erreur s'accumule. L'ajout du terme Proportionnel (P) permet une réaction immédiate à l'erreur, rendant le système beaucoup plus rapide.

Qu'est-ce que le "windup" de l'intégrateur ?

Si l'actionneur sature (par exemple, la tension maximale est atteinte), mais que l'erreur persiste, le terme intégral peut continuer de croître de manière démesurée ("windup"). Lorsque l'erreur change de signe, l'intégrateur est si "chargé" qu'il faut beaucoup de temps pour qu'il se "décharge", causant un très mauvais comportement transitoire. Les contrôleurs modernes incluent des logiques anti-windup pour éviter ce problème.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle action du contrôleur PI est primordiale pour annuler l'erreur en régime permanent ?

2. Augmenter le gain proportionnel (Kp) a tendance à rendre le système :

Contrôleur PI
Contrôleur en boucle fermée dont la sortie est la somme d'un terme proportionnel à l'erreur et d'un terme proportionnel à l'intégrale de l'erreur.
Fonction de Transfert
Rapport de la transformée de Laplace de la sortie sur la transformée de Laplace de l'entrée d'un système linéaire, supposant des conditions initiales nulles.
Erreur en Régime Permanent
Différence entre la consigne et la sortie du système après que tous les effets transitoires se soient estompés (quand le temps tend vers l'infini).
Théorème de la Valeur Finale
Théorème qui permet de calculer la valeur en régime permanent d'un signal temporel à partir de sa transformée de Laplace.
Systèmes de Contrôle : Vitesse d'un Moteur CC

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