Calcul des Tensions et Courants

Contexte : Le calcul de circuit DCAnalyse des circuits électriques à courant continu (Direct Current), où le flux de charge est constant..

Cet exercice est une application fondamentale des lois de l'électricité pour analyser un circuit à courant continu. Nous allons décomposer un circuit "mixte", qui combine des éléments en série et en parallèle, pour déterminer les tensions et courants en chaque point. C'est une compétence essentielle pour tout ingénieur ou technicien en électricité ou en électronique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème complexe (circuit mixte) en sous-problèmes plus simples (associations série et parallèle). Vous appliquerez la Loi d'OhmRelation fondamentale V = R * I liant tension, résistance et courant. et les Lois de KirchhoffLois des nœuds (courants) et des mailles (tensions) qui régissent tous les circuits électriques. de manière systématique.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer la loi d'Ohm (\(V = R \cdot I\)) pour calculer une tension, un courant ou une résistance.
Calculer la résistance équivalente d'un groupe de résistances en série.
Calculer la résistance équivalente d'un groupe de résistances en parallèle.
Appliquer la loi des nœuds de Kirchhoff pour déterminer la répartition des courants.
Appliquer la loi des mailles de Kirchhoff pour vérifier la répartition des tensions.

Données de l'étude

On étudie le circuit DC (courant continu) ci-dessous, alimenté par une source de tension continue parfaite. Le circuit est composé de trois résistances : R1, R2 et R3.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Source de Tension (\(V_S\))	12 V
Type de circuit	Série / Parallèle (Mixte)
Objectif	Calculer tous les courants et tensions

Schéma du Circuit Électrique

Composant	Symbole	Valeur	Unité
Source de Tension	\(V_S\)	12	V (Volts)
Résistance 1	R1	100	\(\Omega\) (Ohms)
Résistance 2	R2	200	\(\Omega\) (Ohms)
Résistance 3	R3	300	\(\Omega\) (Ohms)

Questions à traiter

Calculer la résistance équivalente \(R_P\) du groupement parallèle (composé de R2 et R3).
Calculer la résistance équivalente totale \(R_{eq}\) du circuit complet.
Calculer le courant total \(I_T\) débité par la source \(V_S\).
Calculer la tension \(V_{R1}\) aux bornes de R1 et la tension \(V_P\) aux bornes du groupement parallèle (entre les nœuds A et B).
Calculer les courants \(I_2\) (traversant R2) et \(I_3\) (traversant R3).

Les bases sur les Circuits Électriques

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de trois outils principaux : la Loi d'Ohm, les règles d'association de résistances, et les Lois de Kirchhoff.

1. La Loi d'Ohm
Elle relie la tension (\(V\)) aux bornes d'un composant, le courant (\(I\)) qui le traverse, et sa résistance (\(R\)). C'est la loi la plus fondamentale de l'électricité. \[ V = R \cdot I \] On peut aussi l'écrire : \( I = V / R \) ou \( R = V / I \).

2. Associations de Résistances

Série : Lorsque des résistances sont bout à bout (traversées par le *même* courant), leurs valeurs s'ajoutent : \( R_{eq} = R_1 + R_2 + \dots \)
Parallèle : Lorsque des résistances sont connectées aux *mêmes* deux nœuds (soumises à la *même* tension), l'inverse de l'équivalente est la somme des inverses : \( \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots \)

3. Lois de Kirchhoff

Loi des Nœuds (Conservation de la charge) : La somme des courants qui entrent dans un nœud (point de connexion) est égale à la somme des courants qui en sortent. \( \sum I_{entrant} = \sum I_{sortant} \)
Loi des Mailles (Conservation de l'énergie) : Dans une boucle fermée (une maille), la somme algébrique des tensions (gains et chutes) est nulle. \( \sum V = 0 \)

Correction : Calcul des Tensions et Courants dans un Circuit Mixte

Question 1 : Calculer la résistance équivalente \(R_P\) du groupement parallèle (R2 et R3).

Principe

L'objectif est de simplifier le circuit. Nous remplaçons les deux résistances R2 et R3, qui sont en parallèle, par une seule résistance fictive, \(R_P\), qui aurait le même effet sur le reste du circuit.

Mini-Cours

Pour des résistances en parallèle, la conductance (l'inverse de la résistance) s'ajoute. La formule générale est \( \frac{1}{R_P} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \). Une fois le calcul de droite effectué, il ne faut pas oublier d'inverser le résultat pour trouver \(R_P\).

Remarque Pédagogique

C'est la première étape de la méthode "diviser pour régner". On simplifie le circuit morceau par morceau. Identifier les blocs "série" et "parallèle" purs est la clé. Ici, R2 et R3 sont en parallèle car elles sont connectées aux mêmes deux nœuds (A et B).

Normes

Le calcul des résistances équivalentes est une application directe des lois fondamentales de l'électricité (Ohm, Kirchhoff) et ne dépend pas d'une norme de construction spécifique, mais de la théorie des circuits elle-même.

Formule(s)

Formule générale (parallèle)

\frac{1}{R_P} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}

Formule simplifiée (pour 2 résistances)

R_P = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}

Hypothèses

Nous posons les hypothèses d'un circuit idéal :

Les fils de connexion ont une résistance nulle.
Les résistances R2 et R3 sont des dipôles ohmiques parfaits (leur valeur est constante).

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs de R2 et R3 de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance 2	R2	200	\(\Omega\)
Résistance 3	R3	300	\(\Omega\)

Astuces

Pour *deux* résistances en parallèle, la formule "produit sur somme" \((R_P = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3})\) est souvent plus rapide et évite l'oubli de l'inversion finale. De plus, la résistance équivalente parallèle est *toujours* plus petite que la plus petite des résistances du groupe (ici, \(R_P\) doit être < 200 \(\Omega\)). C'est un bon moyen de vérifier son résultat.

Schéma (Avant les calculs)

On se concentre sur le bloc parallèle entre les nœuds A et B.

Bloc Parallèle (R2 || R3)

Calcul(s)

Étape 1 : Application de la formule (produit sur somme)

\begin{aligned} R_P &= \frac{200 \, \Omega \cdot 300 \, \Omega}{200 \, \Omega + 300 \, \Omega} \\ &= \frac{60000}{500} \, \Omega \end{aligned}

Étape 2 : Résultat

R_P = 120 \, \Omega

Schéma (Après les calculs)

Le bloc parallèle peut maintenant être remplacé par une seule résistance \(R_P\).

Bloc Simplifié

Réflexions

Le résultat \(R_P = 120 \, \Omega\) est bien inférieur à 200 \(\Omega\) (la plus petite des deux résistances), ce qui est cohérent avec une association en parallèle. Le circuit peut maintenant être vu comme R1 en série avec une seule résistance de 120 \(\Omega\).

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier d'inverser en utilisant la première formule. Si vous aviez calculé \(\frac{1}{200} + \frac{1}{300} = 0.005 + 0.0033... = 0.00833\), vous auriez pu oublier d'inverser ce résultat (\(1 / 0.00833 \approx 120\)).

Points à retenir

Association parallèle : la tension est la même, le courant se divise.
La résistance équivalente est *toujours* plus faible.

Le saviez-vous ?

La formule d'association en parallèle vient de la loi des nœuds. Le courant total \(I_P\) se divise : \(I_P = I_2 + I_3\). Or, \(I_P = V_P/R_P\), \(I_2 = V_P/R_2\), et \(I_3 = V_P/R_3\). En remplaçant : \(V_P/R_P = V_P/R_2 + V_P/R_3\). En simplifiant par \(V_P\) (qui est la même partout), on obtient \(\frac{1}{R_P} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\).

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La résistance équivalente du groupement parallèle (R2 || R3) est \(R_P = 120 \, \Omega\).

A vous de jouer

La meilleure façon d'apprendre, c'est de pratiquer ! Que deviendrait \(R_P\) si R3 était aussi de 200 \(\Omega\) ? (Astuce : la résistance équivalente de deux résistances identiques en parallèle est la moitié de leur valeur).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Association de résistances en parallèle.
Formule Essentielle : \(R_P = (R_2 \cdot R_3) / (R_2 + R_3)\) ou \(1/R_P = 1/R_2 + 1/R_3\).
Point de Vigilance : \(R_P\) est *toujours* < min(R2, R3).

Question 2 : Calculer la résistance équivalente totale \(R_{eq}\) du circuit complet.

Principe

L'objectif est de simplifier totalement le circuit. Maintenant que nous avons remplacé R2 et R3 par leur équivalente \(R_P\), le circuit est devenu un simple circuit série. Il ne reste plus qu'à additionner R1 et \(R_P\) pour trouver la résistance totale que "voit" la source de tension.

Mini-Cours

Lorsque des composants sont en série (ils sont traversés l'un après l'autre par le *même* courant), leurs résistances s'additionnent. C'est l'opposé de l'association en parallèle. La résistance totale sera donc plus grande que R1 et plus grande que \(R_P\).

Remarque Pédagogique

C'est la deuxième et dernière étape de notre simplification. Nous avons transformé un circuit mixte complexe de 3 résistances en un circuit simple avec une seule résistance équivalente \(R_{eq}\). C'est la clé pour trouver le courant total.

Normes

Ce calcul est une application directe de la théorie des circuits pour les associations en série.

Formule(s)

Association en Série

R_{eq} = R_1 + R_P

Hypothèses

Nous utilisons les mêmes hypothèses de circuit idéal que précédemment (fils parfaits).

Donnée(s)

Nous utilisons la valeur de R1 et le résultat de la Question 1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance 1	R1	100	\(\Omega\)
Résistance Parallèle (Q1)	\(R_P\)	120	\(\Omega\)

Astuces

L'addition de résistances en série est simple, mais ne la confondez pas avec la formule en parallèle ! En série, la résistance équivalente est *toujours* plus grande que la plus grande des résistances. (Notre \(R_{eq}\) doit être > 120 \(\Omega\)).

Schéma (Avant les calculs)

Voici le circuit simplifié après l'étape 1, que nous allons simplifier davantage.

Circuit Simplifié (Série)

Calcul(s)

On additionne R1 et \(R_P\).

\begin{aligned} R_{eq} &= R_1 + R_P \\ &= 100 \, \Omega + 120 \, \Omega \\ &= 220 \, \Omega \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le circuit est maintenant réduit à sa forme la plus simple : une source et une résistance.

Circuit Équivalent Total

Réflexions

Notre circuit mixte complexe se comporte, du point de vue de la source, exactement comme une simple résistance de 220 \(\Omega\). Cette valeur unique est la seule chose que "voit" la source \(V_S\).

Points de vigilance

Assurez-vous de n'additionner que des composants qui sont réellement en série (traversés par le même courant). R1 n'était pas en série avec R2 (car le courant se divise au nœud A), mais elle est en série avec le *bloc* (R2 || R3).

Points à retenir

Association série : le courant est le même, la tension se divise.
La résistance équivalente est la somme des résistances.

Le saviez-vous ?

Cette méthode de simplification (calculer \(R_{eq}\)) est la base de l'analyse de circuits. Pour des circuits plus complexes (avec plusieurs sources ou des boucles entrelacées), on utilise des méthodes plus puissantes comme l'analyse nodale ou l'analyse des mailles (basées directement sur les lois de Kirchhoff).

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La résistance équivalente totale du circuit est \(R_{eq} = 220 \, \Omega\).

A vous de jouer

En gardant \(R_P = 120 \, \Omega\), si R1 était de 50 \(\Omega\), que vaudrait \(R_{eq}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Association de résistances en série.
Formule Essentielle : \(R_{eq} = R_1 + R_2 + \dots\).
Point de Vigilance : Ne pas confondre avec la formule parallèle.

Question 3 : Calculer le courant total \(I_T\) débité par la source \(V_S\).

Principe

Maintenant que nous avons la résistance totale (\(R_{eq}\)) du circuit vue par la source, nous pouvons appliquer la loi d'Ohm à l'ensemble du circuit pour trouver le courant total (\(I_T\)) fourni par la source (\(V_S\)).

Mini-Cours

La loi d'Ohm \(V=RI\) peut s'appliquer à un composant unique (ex: \(V_{R1} = R_1 \cdot I_1\)) ou à un circuit entier. Dans ce cas, "V" est la tension totale de la source (\(V_S\)), "R" est la résistance totale équivalente (\(R_{eq}\)), et "I" est le courant total débité (\(I_T\)).

Remarque Pédagogique

C'est la première étape du "retour". Après avoir simplifié le circuit (Q1, Q2) en une seule résistance, on calcule la grandeur globale (\(I_T\)). Nous allons ensuite utiliser cette information pour "dé-simplifier" le circuit et trouver les valeurs internes (Q4, Q5).

Normes

La loi d'Ohm est la loi fondamentale. Les unités doivent être cohérentes : Volts (V), Ohms (\(\Omega\)) et Ampères (A).

Formule(s)

Loi d'Ohm appliquée au circuit total

I_T = \frac{V_S}{R_{eq}}

Hypothèses

Nous supposons que la source de tension est "parfaite", c'est-à-dire qu'elle peut fournir n'importe quel courant tout en maintenant sa tension de 12 V (elle n'a pas de résistance interne).

Donnée(s)

On utilise la tension de la source et le résultat de la Question 2.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension Source	\(V_S\)	12	V
Résistance Totale (Q2)	\(R_{eq}\)	220	\(\Omega\)

Astuces

Gardez la valeur exacte de vos calculs intermédiaires (\(12/220\)) dans votre calculatrice aussi longtemps que possible pour éviter les erreurs d'arrondi. \(12/220 = 3/55\).

Schéma (Avant les calculs)

Nous utilisons le circuit équivalent total pour trouver le courant total.

Circuit Équivalent Total avec \(I_T\)

Calcul(s)

Application numérique de la loi d'Ohm.

\begin{aligned} I_T &= \frac{V_S}{R_{eq}} \\ &= \frac{12 \, \text{V}}{220 \, \Omega} \\ &\approx 0.054545... \, \text{A} \\ &\Rightarrow I_T \approx 54.55 \, \text{mA} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On reporte cette valeur sur le schéma du circuit série (de la Q2). C'est le courant qui traverse R1 et \(R_P\).

Circuit Simplifié avec \(I_T\)

Réflexions

Le résultat est en Ampères (A). Il est souvent plus pratique de l'exprimer en milliampères (mA) en multipliant par 1000. \(I_T \approx 54.55 \, \text{mA}\). C'est ce courant qui sort de la borne + de la source, traverse R1, et arrive au nœud A.

Points de vigilance

Assurez-vous que vos unités sont cohérentes. Des Volts (\(\text{V}\)) divisés par des Ohms (\(\Omega\)) donnent des Ampères (\(\text{A}\)). Ne mélangez pas des Ohms et des kOhms sans conversion !

Points à retenir

La loi d'Ohm s'applique à l'ensemble du circuit (\(V_S = R_{eq} \cdot I_T\)) comme à chaque partie.
\(I_T\) est le courant qui traverse R1, mais *pas* R2 ni R3.

Le saviez-vous ?

Le courant \(\approx 54.55 \, \text{mA}\) représente un flux d'environ \(3.4 \times 10^{17}\) électrons passant par la résistance R1 chaque seconde ! (Car 1 Ampère = 1 Coulomb/seconde, et 1 Coulomb \(\approx 6.24 \times 10^{18}\) électrons).

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

Le courant total \(I_T\) débité par la source est d'environ 0.0545 A (ou 54.55 mA).

A vous de jouer

Si la tension \(V_S\) était de 24 V (le double), que vaudrait \(I_T\) (en A) ? (Astuce : la relation est linéaire).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Loi d'Ohm globale.
Formule Essentielle : \(I_T = V_S / R_{eq}\).
Point de Vigilance : \(I_T\) est le courant dans R1, mais il se divise ensuite.

Question 4 : Calculer la tension \(V_{R1}\) aux bornes de R1 et la tension \(V_P\) aux bornes du groupement parallèle (entre les nœuds A et B).

Principe

Nous utilisons la loi d'Ohm, mais cette fois-ci appliquée aux *morceaux* de notre circuit simplifié (R1 et \(R_P\)). Le courant total \(I_T\) (calculé en Q3) traverse R1, ce qui crée une chute de tension \(V_{R1}\) à ses bornes. Ce *même* courant \(I_T\) traverse la résistance équivalente \(R_P\), créant une chute de tension \(V_P\) à ses bornes. \(V_P\) est la tension entre les nœuds A et B.

Mini-Cours

C'est une application de la "Loi des Mailles" de Kirchhoff (aussi appelée diviseur de tension). Dans un circuit série (comme notre circuit simplifié R1 et \(R_P\)), la tension totale de la source \(V_S\) se répartit entre les composants. La somme des chutes de tension (\(V_{R1} + V_P\)) doit être égale à la tension de la source (\(V_S\)).

Remarque Pédagogique

Connaître \(V_P\) (la tension aux bornes du bloc parallèle) est l'étape la plus importante, car c'est cette tension qui est appliquée à la fois à R2 et R3. C'est la clé pour résoudre la dernière question.

Normes

La loi des mailles de Kirchhoff (\(\sum V = 0\)) stipule que la somme algébrique des tensions dans une boucle est nulle. Dans notre boucle principale : \(+V_S - V_{R1} - V_P = 0\), ce qui confirme que \(V_S = V_{R1} + V_P\). C'est une excellente façon de vérifier les calculs.

Formule(s)

Loi d'Ohm sur R1

V_{R1} = R_1 \cdot I_T

Loi d'Ohm sur \(R_P\)

V_P = R_P \cdot I_T

Hypothèses

Les calculs supposent que \(I_T\) est bien le courant qui traverse R1 et le bloc \(R_P\), ce qui est vrai car ils sont en série (voir Q2).

Donnée(s)

On utilise les valeurs de R1, \(R_P\) (Q1) et \(I_T\) (Q3).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Courant Total (Q3)	\(I_T\)	\(\approx 0.05455\)	A
Résistance 1	R1	100	\(\Omega\)
Résistance Parallèle (Q1)	\(R_P\)	120	\(\Omega\)
Tension Source	\(V_S\)	12	V

Astuces

Une fois que vous avez calculé \(V_{R1}\), vous pouvez trouver \(V_P\) sans utiliser \(R_P\), simplement avec la loi des mailles : \(V_P = V_S - V_{R1}\). C'est plus rapide et c'est une bonne vérification croisée. \(V_P = 12 \, \text{V} - 5.4545... \, \text{V} = 6.5454... \, \text{V}\). Les deux méthodes doivent correspondre !

Schéma (Avant les calculs)

On visualise les chutes de tension \(V_{R1}\) et \(V_P\) sur le circuit simplifié.

Visualisation des Tensions

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(V_{R1}\) (Chute de tension sur R1)

\begin{aligned} V_{R1} &= R_1 \cdot I_T \\ &= 100 \, \Omega \cdot 0.054545... \, \text{A} \\ &= 5.4545... \, \text{V} \\ &\Rightarrow V_{R1} \approx 5.45 \, \text{V} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de \(V_P\) (Tension au nœud A)

\begin{aligned} V_P &= R_P \cdot I_T \\ &= 120 \, \Omega \cdot 0.054545... \, \text{A} \\ &= 6.5454... \, \text{V} \\ &\Rightarrow V_P \approx 6.55 \, \text{V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On peut reporter ces tensions sur le schéma d'origine. \(V_P\) est la tension aux bornes de R2 et R3.

Tensions du Circuit

Réflexions

Vérification cruciale par la Loi des Mailles : Est-ce que la somme des chutes de tension est égale à la tension de la source ? \(V_{R1} + V_P = 5.4545... \, \text{V} + 6.5454... \, \text{V} = 12.0 \, \text{V}\). C'est exactement \(V_S\). Nos calculs sont cohérents.

Points de vigilance

Ne présumez pas que la tension se divise en deux (\(6\text{V} / 6\text{V}\)) juste parce qu'il y a deux composants. La tension se répartit proportionnellement aux résistances. Puisque \(R_P (120 \Omega)\) est plus grande que \(R_1 (100 \Omega)\), il est logique que la chute de tension \(V_P\) soit plus grande que \(V_{R1}\).

Points à retenir

La tension aux bornes d'un bloc parallèle (\(V_P\)) est la *même* pour tous les composants de ce bloc (R2 et R3).
Loi des mailles : \(V_S = V_{R1} + V_P\).

Le saviez-vous ?

Ce circuit est un "diviseur de tension". La tension de sortie \(V_P\) est une fraction de la tension d'entrée \(V_S\), déterminée par le ratio des résistances : \(V_P = V_S \cdot \frac{R_P}{R_1 + R_P}\). \(V_P = 12\text{V} \cdot \frac{120}{100 + 120} = 12\text{V} \cdot \frac{120}{220} \approx 6.545 \, \text{V}\). C'est une autre façon de trouver \(V_P\) directement.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La tension aux bornes de R1 est \(V_{R1} \approx 5.45 \, \text{V}\).
La tension aux bornes du groupe parallèle est \(V_P \approx 6.55 \, \text{V}\).

A vous de jouer

Si le courant total \(I_T\) était de 0.1 A, que vaudrait \(V_{R1}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Loi d'Ohm locale et Loi des mailles.
Formule Essentielle : \(V_x = R_x \cdot I_x\) et \(V_S = \sum V_{\text{chutes}}\).
Point de Vigilance : \(V_P\) est la tension aux bornes de R2 et de R3.

Question 5 : Calculer les courants \(I_2\) (traversant R2) et \(I_3\) (traversant R3).

Principe

Nous connaissons maintenant la tension \(V_P\) (environ 6.55 V) qui est appliquée aux bornes du groupe parallèle (entre les nœuds A et B). Puisque R2 et R3 sont en parallèle, elles sont *toutes les deux* soumises à cette même tension \(V_P\). Nous pouvons appliquer la loi d'Ohm à R2 et R3 individuellement pour trouver les courants \(I_2\) et \(I_3\) qui les traversent.

Mini-Cours

C'est une application de la "Loi des Nœuds" de Kirchhoff (aussi appelée diviseur de courant). Le courant total \(I_T\) arrive au nœud A et se sépare en \(I_2\) et \(I_3\). La loi nous dit que \(I_T = I_2 + I_3\). Le courant se répartit de manière inversement proportionnelle à la résistance : la branche avec le moins de résistance (R2, 200 \(\Omega\)) prendra plus de courant que la branche avec plus de résistance (R3, 300 \(\Omega\)).

Remarque Pédagogique

C'est la dernière étape de notre analyse. Nous utilisons la tension locale \(V_P\) que nous avons trouvée pour calculer les derniers détails inconnus : les courants de branche \(I_2\) et \(I_3\). La vérification \(I_T = I_2 + I_3\) est le test final qui prouve que toute notre analyse est cohérente.

Normes

La loi des nœuds de Kirchhoff (\(\sum I = 0\)) est fondamentale. Au nœud A : \(I_T - I_2 - I_3 = 0\), ce qui confirme que \(I_T = I_2 + I_3\). C'est la loi de la conservation de la charge électrique (aucun électron n'est perdu ou créé au nœud).

Formule(s)

Loi d'Ohm sur R2

I_2 = \frac{V_P}{R_2}

Loi d'Ohm sur R3

I_3 = \frac{V_P}{R_3}

Hypothèses

Nous supposons que le nœud A divise parfaitement le courant \(I_T\) sans aucune perte, et que le nœud B le rassemble parfaitement.

Donnée(s)

On utilise la tension \(V_P\) (Q4) et les résistances R2 et R3.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension Parallèle (Q4)	\(V_P\)	\(\approx 6.5455\)	V
Résistance 2	R2	200	\(\Omega\)
Résistance 3	R3	300	\(\Omega\)
Courant Total (Q3)	\(I_T\)	\(\approx 0.05455\)	A

Astuces

Une fois \(I_2\) calculé, vous pouvez trouver \(I_3\) avec la loi des nœuds : \(I_3 = I_T - I_2\). \(I_3 = 0.054545... - 0.032727... = 0.021818...\) A. Cela correspond au calcul direct et sert de vérification.

Schéma (Avant les calculs)

On se concentre sur le nœud A où le courant \(I_T\) se divise.

Division du Courant au Nœud A

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(I_2\) (Courant dans R2)

\begin{aligned} I_2 &= \frac{V_P}{R_2} \\ &= \frac{6.5454... \, \text{V}}{200 \, \Omega} \\ &= 0.032727... \, \text{A} \\ &\Rightarrow I_2 \approx 32.73 \, \text{mA} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de \(I_3\) (Courant dans R3)

\begin{aligned} I_3 &= \frac{V_P}{R_3} \\ &= \frac{6.5454... \, \text{V}}{300 \, \Omega} \\ &= 0.021818... \, \text{A} \\ &\Rightarrow I_3 \approx 21.82 \, \text{mA} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On reporte tous les courants calculés sur le schéma d'origine. C'est l'état final de notre analyse.

Tous les Courants du Circuit

Réflexions

Vérifions avec la loi des nœuds : \(I_2 + I_3 = 32.73 \, \text{mA} + 21.82 \, \text{mA} = 54.55 \, \text{mA}\). C'est bien égal au courant total \(I_T\) (54.55 mA) que nous avons calculé à la question 3. Les calculs sont corrects. On note aussi que \(I_2 > I_3\), car \(R_2 < R_3\), ce qui est logique (le courant préfère le chemin le plus facile).

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'utiliser la tension totale \(V_S\) (12V) pour calculer \(I_2\) et \(I_3\). C'est faux. R2 et R3 ne "voient" que la tension \(V_P \approx 6.55\text{V}\), car R1 a déjà "consommé" une partie de la tension (\(V_{R1} \approx 5.45\text{V}\)).

Points à retenir

La tension est la même aux bornes de composants en parallèle.
La loi des nœuds (\(I_T = I_2 + I_3\)) est un outil de vérification puissant.

Le saviez-vous ?

On peut aussi utiliser la formule du "diviseur de courant" pour trouver \(I_2\) et \(I_3\) à partir de \(I_T\), sans connaître \(V_P\). \(I_2 = I_T \cdot \frac{R_3}{R_2 + R_3}\) (on utilise la résistance de l'*autre* branche en haut). \(I_2 = 54.55 \text{mA} \cdot \frac{300}{200+300} = 54.55 \text{mA} \cdot 0.6 = 32.73 \text{mA}\). \(I_3 = 54.55 \text{mA} \cdot \frac{200}{200+300} = 54.55 \text{mA} \cdot 0.4 = 21.82 \text{mA}\). Les résultats sont identiques !

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

Le courant dans R2 est \(I_2 \approx 32.73 \, \text{mA}\).
Le courant dans R3 est \(I_3 \approx 21.82 \, \text{mA}\).

A vous de jouer

Si la tension \(V_P\) était de 10 V, que vaudrait \(I_2\) (en Ampères) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Loi d'Ohm locale et Loi des nœuds.
Formule Essentielle : \(I_x = V_P / R_x\) et \(I_T = I_2 + I_3\).
Point de Vigilance : Utiliser \(V_P\), pas \(V_S\), pour ces calculs.

Outil Interactif : Simulateur de Circuit

Utilisez les sliders pour modifier la tension d'alimentation \(V_S\) et la résistance \(R_1\). Observez comment le courant total \(I_T\) et la tension \(V_P\) (aux bornes de R2||R3) évoluent. Le graphique montre la relation linéaire entre \(V_S\) et \(I_T\) pour la \(R_1\) sélectionnée.

Paramètres d'Entrée

Tension d'alimentation \(V_S\) (V) 12 V

Résistance \(R_1\) (\(\Omega\)) 100 \(\Omega\)

Résultats Clés

Courant Total \(I_T\) (mA) -

Tension Parallèle \(V_P\) (V) -

Glossaire

Tension (V): La différence de potentiel électrique entre deux points. C'est la "force" qui pousse les charges électriques. Mesurée en Volts (V).
Courant (I): Le flux de charge électrique à travers un composant. C'est le "débit" d'électricité. Mesuré en Ampères (A).
Résistance (\(\Omega\)): L'opposition d'un matériau au passage du courant électrique. Mesurée en Ohms (\(\Omega\)).
Loi d'Ohm: La relation fondamentale qui lie tension, courant et résistance : \(V = R \cdot I\).
Loi des Nœuds (Kirchhoff): Principe de conservation de la charge : la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants en sortant (\(\sum I_{in} = \sum I_{out}\)).
Loi des Mailles (Kirchhoff): Principe de conservation de l'énergie : la somme algébrique des tensions (gains et chutes) dans une boucle fermée est nulle (\(\sum V = 0\)).
Circuit Mixte: Un circuit électrique qui combine des sections connectées en série et des sections connectées en parallèle.