Circuit de Courant Alternatif dans une Maison

Les circuits électriques domestiques alimentent une variété d'appareils, chacun ayant sa propre puissance nominale et, parfois, un facteur de puissance spécifique (surtout pour les appareils à moteur). Comprendre la charge totale et les courants impliqués est important pour le dimensionnement des protections (disjoncteurs) et pour l'estimation de la consommation d'énergie.

Rappels pour les circuits monophasés :

Puissance active (P) : \(P = V \cdot I \cdot \cos(\phi)\) (en Watts, W)
Courant (I) : \(I = \frac{P}{V \cdot \cos(\phi)}\) (pour une charge donnée)
Énergie (E) : \(E = P \cdot t\) (en Wattheures, Wh, ou Kilowattheures, kWh)
Pour les charges purement résistives (ex: ampoule à incandescence, radiateur), \(\cos(\phi) = 1\).
Les appareils sont généralement connectés en parallèle sur la tension du secteur.

Données du Problème

Une installation domestique monophasée est alimentée par une tension efficace \(V_s = 230 \text{ V}\) à une fréquence de \(f = 50 \text{ Hz}\). Les appareils suivants sont utilisés simultanément :

Appareil 1 : Un radiateur électrique de puissance \(P_1 = 2000 \text{ W}\) (considéré comme purement résistif).
Appareil 2 : Un four à micro-ondes de puissance active \(P_2 = 1100 \text{ W}\) avec un facteur de puissance \(FP_2 = 0.85\) (inductif).
Appareil 3 : Cinq ampoules LED, chacune de puissance \(P_{LED} = 10 \text{ W}\) (considérées comme purement résistives).

On supposera que la tension reste constante à 230 V aux bornes de chaque appareil.

Questions

Calculer la puissance active totale (\(P_3\)) des cinq ampoules LED.
Calculer le courant efficace (\(I_1\)) consommé par le radiateur.
Calculer le courant efficace (\(I_2\)) consommé par le four à micro-ondes.
Calculer le courant efficace (\(I_3\)) consommé par l'ensemble des ampoules LED.
Déterminer la puissance apparente (\(S_1, S_2, S_3\)) et la puissance réactive (\(Q_1, Q_2, Q_3\)) pour chaque appareil/groupe d'appareils.
Calculer la puissance active totale (\(P_{tot}\)) consommée par l'installation.
Calculer la puissance réactive totale (\(Q_{tot}\)) consommée par l'installation. (Attention aux signes pour les charges inductives/capacitives, ici toutes inductives ou résistives).
Calculer la puissance apparente totale (\(S_{tot}\)) de l'installation.
Calculer le facteur de puissance global (\(FP_{tot}\)) de l'installation.
Calculer le courant total efficace (\(I_{tot}\)) fourni par la source. (Ne pas simplement additionner les courants \(I_1, I_2, I_3\) car ils ne sont pas nécessairement en phase).
Si tous ces appareils fonctionnent simultanément pendant 2 heures, quelle est l'énergie totale consommée (\(E_{tot}\)) en kWh ?
Si le coût de l'électricité est de 0.18 €/kWh, quel est le coût de fonctionnement de ces appareils pendant ces 2 heures ?

Correction : Circuit de Courant Alternatif dans une Maison

1. Puissance Active Totale (\(P_3\)) des Ampoules LED

Chaque ampoule consomme \(P_{LED} = 10 \text{ W}\). Il y a 5 ampoules.

\begin{aligned} P_3 &= 5 \times P_{LED} \\ &= 5 \times 10 \text{ W} \\ &= 50 \text{ W} \end{aligned}

La puissance active totale des LED est \(P_3 = 50 \text{ W}\).

2. Courant Efficace (\(I_1\)) du Radiateur

Le radiateur est purement résistif (\(FP_1 = \cos(\phi_1) = 1\)). On utilise \(P_1 = V_s I_1 \cos(\phi_1)\).

Données :
\(P_1 = 2000 \text{ W}\)
\(V_s = 230 \text{ V}\)
\(FP_1 = 1\)

\begin{aligned} I_1 &= \frac{P_1}{V_s \times FP_1} \\ &= \frac{2000 \text{ W}}{230 \text{ V} \times 1} \\ &\approx 8.6956 \text{ A} \end{aligned}

Le courant consommé par le radiateur est \(I_1 \approx 8.70 \text{ A}\).

3. Courant Efficace (\(I_2\)) du Four à Micro-ondes

On utilise \(P_2 = V_s I_2 FP_2\).

Données :
\(P_2 = 1100 \text{ W}\)
\(V_s = 230 \text{ V}\)
\(FP_2 = 0.85\)

\begin{aligned} I_2 &= \frac{P_2}{V_s \times FP_2} \\ &= \frac{1100 \text{ W}}{230 \text{ V} \times 0.85} \\ &= \frac{1100}{195.5} \text{ A} \\ &\approx 5.6266 \text{ A} \end{aligned}

Le courant consommé par le micro-ondes est \(I_2 \approx 5.63 \text{ A}\).

4. Courant Efficace (\(I_3\)) des Ampoules LED

Les LED sont considérées comme purement résistives (\(FP_3 = \cos(\phi_3) = 1\)).

Données :
\(P_3 = 50 \text{ W}\)
\(V_s = 230 \text{ V}\)
\(FP_3 = 1\)

\begin{aligned} I_3 &= \frac{P_3}{V_s \times FP_3} \\ &= \frac{50 \text{ W}}{230 \text{ V} \times 1} \\ &\approx 0.2174 \text{ A} \end{aligned}

Le courant consommé par les LED est \(I_3 \approx 0.22 \text{ A}\).

Quiz Intermédiaire : Courant et FP

5. Puissances Apparente (\(S\)) et Réactive (\(Q\)) par Appareil

\(S = P / FP\). \(Q = \sqrt{S^2 - P^2}\) ou \(Q = P \tan(\phi)\). Pour les charges résistives, \(Q=0\) et \(S=P\). Pour le micro-ondes (\(FP_2 = 0.85\)), \(\phi_2 = \arccos(0.85) \approx 31.79^\circ\). \(\sin(\phi_2) \approx 0.5268\).

Appareil 1 (Radiateur) :

\(P_1 = 2000 \text{ W}\)
\(FP_1 = 1 \Rightarrow S_1 = P_1 = 2000 \text{ VA}\)
\(Q_1 = 0 \text{ VAR}\)

Appareil 2 (Micro-ondes) :

\(P_2 = 1100 \text{ W}\)
\(S_2 = P_2 / FP_2 = 1100 / 0.85 \approx 1294.12 \text{ VA}\)
\(Q_2 = S_2 \sin(\phi_2) \approx 1294.12 \times 0.5268 \approx 681.76 \text{ VAR}\) (inductif)

Appareil 3 (LEDs) :

\(P_3 = 50 \text{ W}\)
\(FP_3 = 1 \Rightarrow S_3 = P_3 = 50 \text{ VA}\)
\(Q_3 = 0 \text{ VAR}\)

Radiateur : \(S_1=2000 \text{ VA}, Q_1=0 \text{ VAR}\)
Micro-ondes : \(S_2 \approx 1294.1 \text{ VA}, Q_2 \approx 681.8 \text{ VAR}\)
LEDs : \(S_3=50 \text{ VA}, Q_3=0 \text{ VAR}\)

Quiz Intermédiaire : Nature de Q

6. Puissance Active Totale (\(P_{tot}\))

La puissance active totale est la somme des puissances actives de chaque appareil.

\begin{aligned} P_{tot} &= P_1 + P_2 + P_3 \\ &= 2000 \text{ W} + 1100 \text{ W} + 50 \text{ W} \\ &= 3150 \text{ W} \end{aligned}

La puissance active totale est \(P_{tot} = 3150 \text{ W}\).

7. Puissance Réactive Totale (\(Q_{tot}\))

La puissance réactive totale est la somme algébrique des puissances réactives de chaque appareil.

\begin{aligned} Q_{tot} &= Q_1 + Q_2 + Q_3 \\ &= 0 \text{ VAR} + 681.76 \text{ VAR} + 0 \text{ VAR} \\ &= 681.76 \text{ VAR} \end{aligned}

La puissance réactive totale est \(Q_{tot} \approx 681.8 \text{ VAR}\) (inductive).

8. Puissance Apparente Totale (\(S_{tot}\))

On utilise \(S_{tot} = \sqrt{P_{tot}^2 + Q_{tot}^2}\).

Données :
\(P_{tot} = 3150 \text{ W}\)
\(Q_{tot} \approx 681.76 \text{ VAR}\)

\begin{aligned} S_{tot} &= \sqrt{(3150)^2 + (681.76)^2} \\ &= \sqrt{9922500 + 464836.6976} \\ &= \sqrt{10387336.6976} \\ &\approx 3222.939 \text{ VA} \end{aligned}

La puissance apparente totale est \(S_{tot} \approx 3222.9 \text{ VA}\).

9. Facteur de Puissance Global (\(FP_{tot}\))

\(FP_{tot} = \frac{P_{tot}}{S_{tot}}\).

Données :
\(P_{tot} = 3150 \text{ W}\)
\(S_{tot} \approx 3222.939 \text{ VA}\)

\begin{aligned} FP_{tot} &= \frac{3150 \text{ W}}{3222.939 \text{ VA}} \\ &\approx 0.97737 \end{aligned}

Le facteur de puissance global est \(FP_{tot} \approx 0.977\) (inductif).

10. Courant Total Efficace (\(I_{tot}\))

On utilise \(S_{tot} = V_s I_{tot}\) ou \(P_{tot} = V_s I_{tot} FP_{tot}\).

Données :
\(S_{tot} \approx 3222.939 \text{ VA}\)
\(V_s = 230 \text{ V}\)

\begin{aligned} I_{tot} &= \frac{S_{tot}}{V_s} \\ &\approx \frac{3222.939 \text{ VA}}{230 \text{ V}} \\ &\approx 14.0128 \text{ A} \end{aligned}

Note : On ne peut pas simplement additionner \(I_1, I_2, I_3\) car ils ont des phases différentes (sauf \(I_1\) et \(I_3\)). L'addition vectorielle serait nécessaire, ou ce calcul via les puissances totales.

Le courant total efficace fourni par la source est \(I_{tot} \approx 14.01 \text{ A}\).

Quiz Intermédiaire : Addition des Courants

11. Énergie Totale Consommée (\(E_{tot}\)) en 2 heures

\(E_{tot} = P_{tot} \times t\). \(P_{tot}\) doit être en kW et \(t\) en heures.

Données :
\(P_{tot} = 3150 \text{ W} = 3.15 \text{ kW}\)
\(t = 2 \text{ heures}\)

\begin{aligned} E_{tot} &= 3.15 \text{ kW} \times 2 \text{ h} \\ &= 6.3 \text{ kWh} \end{aligned}

L'énergie totale consommée en 2 heures est \(E_{tot} = 6.3 \text{ kWh}\).

12. Coût de Fonctionnement

Coût = Énergie consommée \(\times\) Prix unitaire.

Données :
\(E_{tot} = 6.3 \text{ kWh}\)
Prix = 0.18 €/kWh

\begin{aligned} \text{Coût} &= 6.3 \text{ kWh} \times 0.18 \text{ €/kWh} \\ &= 1.134 \text{ €} \end{aligned}

Le coût de fonctionnement pendant 2 heures est de 1.134 €.

Glossaire des Termes Clés

Circuit Domestique Monophasé :

Installation électrique typique d'une habitation alimentée par une seule phase de tension alternative (et un neutre).

Puissance Nominale :

Puissance active qu'un appareil est conçu pour consommer en fonctionnement normal.

Facteur de Puissance (FP) :

Rapport entre la puissance active et la puissance apparente. Indique l'efficacité de l'utilisation de l'énergie électrique par un appareil.

Charge Résistive :

Appareil qui convertit l'énergie électrique principalement en chaleur (ex: radiateur, ampoule à incandescence). Son facteur de puissance est proche de 1.

Charge Inductive :

Appareil contenant des bobinages (ex: moteurs, transformateurs). Son facteur de puissance est inférieur à 1 et le courant est en retard sur la tension.

Kilowattheure (kWh) :

Unité d'énergie. 1 kWh correspond à la consommation d'une puissance de 1000 watts pendant une heure.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Pourquoi est-il important de ne pas surcharger un circuit électrique domestique ? Quel est le rôle des disjoncteurs ?

2. Comment le choix d'appareils à haut rendement énergétique (par exemple, avec un bon label énergétique) peut-il impacter la consommation totale d'une maison ?

3. Si de nombreux appareils inductifs sont utilisés, comment cela affecte-t-il le facteur de puissance global de l'installation et quelles pourraient en être les conséquences ?

4. En quoi la tension du réseau (par exemple, 120V en Amérique du Nord vs 230V en Europe) influence-t-elle le courant nécessaire pour une même puissance d'appareil ?

5. Comment les compteurs d'énergie modernes (comme Linky en France) mesurent-ils la consommation d'énergie et quelles informations supplémentaires peuvent-ils fournir par rapport aux anciens compteurs ?

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