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Exercices Électricité

Temps de Décharge d’un Condensateur

Temps de Décharge d’un Condensateur

Temps de Décharge d’un Condensateur

Comprendre la Décharge d'un Condensateur

Lorsqu'un condensateur préalablement chargé est connecté à une résistance, il se décharge en dissipant son énergie stockée à travers la résistance. La tension aux bornes du condensateur et le courant dans le circuit diminuent de manière exponentielle avec le temps. La vitesse de cette décharge est caractérisée par la constante de temps du circuit, notée \(\tau\) (tau), qui est égale au produit de la résistance \(R\) et de la capacité \(C\). Comprendre la dynamique de la décharge d'un condensateur est fondamental dans de nombreuses applications électroniques, telles que les circuits de temporisation, les filtres, et les alimentations.

Données de l'étude

Un condensateur de capacité \(C\) est initialement chargé sous une tension \(V_0\). À l'instant \(t=0\), il est connecté à une résistance \(R\) pour se décharger.

Caractéristiques du circuit :

  • Capacité du condensateur (\(C\)) : \(100 \, \mu\text{F}\)
  • Résistance de décharge (\(R\)) : \(10 \, \text{k}\Omega\)
  • Tension initiale aux bornes du condensateur (\(V_0\)) : \(50 \, \text{V}\)
Schéma : Circuit RC de Décharge
C Vc(t) + - R t=0 i(t) Décharge d'un Condensateur

Circuit RC simple montrant la décharge du condensateur C à travers la résistance R après fermeture de l'interrupteur à \(t=0\).

Questions à traiter

  1. Calculer la constante de temps (\(\tau\)) du circuit RC.
  2. Écrire l'expression de la tension \(v_C(t)\) aux bornes du condensateur en fonction du temps \(t\) pendant la décharge.
  3. Calculer la valeur de la tension \(v_C\) aux bornes du condensateur à l'instant \(t = \tau\). Quel pourcentage de la tension initiale cela représente-t-il ?
  4. Écrire l'expression du courant \(i(t)\) circulant dans la résistance en fonction du temps \(t\) pendant la décharge.
  5. Calculer la valeur du courant \(i\) à l'instant initial (\(t=0\)) et à l'instant \(t = \tau\).
  6. Calculer le temps \(t_1\) nécessaire pour que la tension aux bornes du condensateur atteigne 10% de sa valeur initiale (\(0.1 V_0\)).
  7. Calculer l'énergie initialement emmagasinée dans le condensateur (\(W_0\)) et l'énergie restante (\(W_\tau\)) à l'instant \(t = \tau\).

Correction : Temps de Décharge d’un Condensateur

Question 1 : Constante de temps (\(\tau\)) du circuit RC

Principe :

La constante de temps (\(\tau\)) d'un circuit RC série est le produit de la résistance (\(R\)) et de la capacité (\(C\)). Elle caractérise la rapidité de la charge ou de la décharge du condensateur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\tau = R \cdot C\]
Données spécifiques (converties en unités SI) :
  • Résistance (\(R\)) : \(10 \, \text{k}\Omega = 10 \times 10^3 \, \Omega = 10^4 \, \Omega\)
  • Capacité (\(C\)) : \(100 \, \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6} \, \text{F} = 10^{-4} \, \text{F}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tau &= (10^4 \, \Omega) \times (10^{-4} \, \text{F}) \\ &= 10^{4-4} \, \text{s} \\ &= 1 \, \text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La constante de temps du circuit est \(\tau = 1 \, \text{s}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la résistance d'un circuit RC double et que la capacité reste la même, la constante de temps :

Question 2 : Expression de la tension \(v_C(t)\)

Principe :

Lors de la décharge d'un condensateur initialement chargé à \(V_0\) à travers une résistance \(R\), la tension \(v_C(t)\) aux bornes du condensateur décroît exponentiellement avec le temps.

Formule(s) utilisée(s) :
\[v_C(t) = V_0 \cdot e^{-t/\tau}\]
Données spécifiques :
  • Tension initiale (\(V_0\)) : \(50 \, \text{V}\)
  • Constante de temps (\(\tau\)) : \(1 \, \text{s}\)
Expression :
\[v_C(t) = 50 \cdot e^{-t/1} \, \text{V} = 50 \cdot e^{-t} \, \text{V} \quad (\text{pour } t \ge 0)\]
Résultat Question 2 : L'expression de la tension aux bornes du condensateur est \(v_C(t) = 50 e^{-t} \, \text{V}\) (avec \(t\) en secondes).

Question 3 : Tension \(v_C\) à \(t = \tau\)

Principe :

À l'instant \(t = \tau\), la tension aux bornes du condensateur a chuté à une fraction spécifique de sa valeur initiale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[v_C(\tau) = V_0 \cdot e^{-\tau/\tau} = V_0 \cdot e^{-1}\]
Données spécifiques :
  • \(V_0 = 50 \, \text{V}\)
  • \(e^{-1} \approx 0.36788\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_C(\tau) &= 50 \, \text{V} \times e^{-1} \\ &\approx 50 \times 0.36788 \, \text{V} \\ &\approx 18.394 \, \text{V} \end{aligned} \]

Pourcentage de la tension initiale :

\[ \frac{v_C(\tau)}{V_0} = e^{-1} \approx 0.36788 \]

Cela représente environ \(36.79\%\) de la tension initiale.

Résultat Question 3 : À \(t = \tau\), la tension est \(v_C(\tau) \approx 18.39 \, \text{V}\), soit environ \(36.79\%\) de \(V_0\).

Question 4 : Expression du courant \(i(t)\)

Principe :

Le courant \(i(t)\) lors de la décharge est le courant traversant la résistance. Il est donné par \(i(t) = \frac{v_C(t)}{R}\). Puisque \(v_C(t)\) décroît, \(i(t)\) décroît également. Le sens du courant est tel qu'il sort de la borne positive du condensateur.

Alternativement, \(i(t) = C \frac{dv_C(t)}{dt}\). Pour la décharge, si on oriente le courant sortant de la borne positive du condensateur, \(i(t) = -C \frac{dv_C(t)}{dt}\) n'est pas correct. La loi d'Ohm aux bornes de la résistance est \(v_R(t) = R i(t)\). Dans la maille, \(v_C(t) + v_R(t) = 0\) si on considère la décharge seule (pas de source). Donc \(v_C(t) = -R i(t)\) si \(i(t)\) est le courant entrant dans C. Si \(i(t)\) est le courant sortant de C et traversant R, alors \(v_C(t) = R i(t)\). Le courant de décharge est \(i(t) = \frac{V_0}{R} e^{-t/\tau}\) et il est orienté de la borne positive vers la borne négative du condensateur à travers la résistance.

Formule(s) utilisée(s) :
\[i(t) = \frac{v_C(t)}{R} = \frac{V_0}{R} e^{-t/\tau}\]
Données spécifiques :
  • \(V_0 = 50 \, \text{V}\)
  • \(R = 10^4 \, \Omega\)
  • \(\tau = 1 \, \text{s}\)
Expression :
\[ \begin{aligned} i(t) &= \frac{50 \, \text{V}}{10^4 \, \Omega} e^{-t/1} \\ &= 50 \times 10^{-4} e^{-t} \, \text{A} \\ &= 5 \times 10^{-3} e^{-t} \, \text{A} \\ &= 5 e^{-t} \, \text{mA} \quad (\text{pour } t \ge 0) \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'expression du courant est \(i(t) = 5 e^{-t} \, \text{mA}\) (avec \(t\) en secondes).

Quiz Intermédiaire 2 : Lors de la décharge d'un condensateur dans une résistance, le courant :

Question 5 : Courant \(i\) à \(t=0\) et \(t=\tau\)

Principe :

On utilise l'expression de \(i(t)\) trouvée précédemment.

Formule(s) utilisée(s) :
\[i(t) = 5 e^{-t} \, \text{mA}\]
Calcul :

À \(t=0\):

\[ \begin{aligned} i(0) &= 5 e^{-0} \, \text{mA} \\ &= 5 \times 1 \, \text{mA} \\ &= 5 \, \text{mA} \end{aligned} \]

À \(t=\tau = 1 \, \text{s}\):

\[ \begin{aligned} i(\tau) &= 5 e^{-1} \, \text{mA} \\ &\approx 5 \times 0.36788 \, \text{mA} \\ &\approx 1.8394 \, \text{mA} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 :
  • Courant initial : \(i(0) = 5 \, \text{mA}\)
  • Courant à \(t=\tau\) : \(i(\tau) \approx 1.84 \, \text{mA}\)

Question 6 : Temps \(t_1\) pour que \(v_C(t_1) = 0.1 V_0\)

Principe :

On utilise l'expression de \(v_C(t)\) et on résout pour \(t_1\) lorsque \(v_C(t_1) = 0.1 V_0\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[v_C(t_1) = V_0 e^{-t_1/\tau}\] \[0.1 V_0 = V_0 e^{-t_1/\tau}\] \[0.1 = e^{-t_1/\tau}\] \[\ln(0.1) = -t_1/\tau\] \[t_1 = -\tau \ln(0.1) = \tau \ln(10)\]
Données spécifiques :
  • \(\tau = 1 \, \text{s}\)
  • \(\ln(10) \approx 2.302585\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} t_1 &= 1 \, \text{s} \times \ln(10) \\ &\approx 1 \times 2.302585 \, \text{s} \\ &\approx 2.303 \, \text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le temps nécessaire pour que la tension atteigne 10% de sa valeur initiale est \(t_1 \approx 2.303 \, \text{s}\).

Question 7 : Énergie stockée \(W_0\) et \(W_\tau\)

Principe :

L'énergie \(W\) stockée dans un condensateur de capacité \(C\) chargé sous une tension \(v_C\) est \(W = \frac{1}{2} C v_C^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_0 = \frac{1}{2} C V_0^2\] \[W_\tau = \frac{1}{2} C (v_C(\tau))^2\]
Données spécifiques :
  • \(C = 10^{-4} \, \text{F}\)
  • \(V_0 = 50 \, \text{V}\)
  • \(v_C(\tau) \approx 18.394 \, \text{V}\) (de Q3, ou \(V_0 e^{-1}\))
Calcul :

Énergie initiale \(W_0\):

\[ \begin{aligned} W_0 &= \frac{1}{2} \times (10^{-4} \, \text{F}) \times (50 \, \text{V})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 10^{-4} \times 2500 \, \text{J} \\ &= 1250 \times 10^{-4} \, \text{J} \\ &= 0.125 \, \text{J} \quad (\text{ou } 125 \, \text{mJ}) \end{aligned} \]

Énergie à \(t=\tau\), \(W_\tau\):

\[ \begin{aligned} v_C(\tau) &= V_0 e^{-1} \\ (v_C(\tau))^2 &= (V_0 e^{-1})^2 = V_0^2 e^{-2} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} W_\tau &= \frac{1}{2} C (V_0 e^{-1})^2 \\ &= \left(\frac{1}{2} C V_0^2\right) e^{-2} \\ &= W_0 e^{-2} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} e^{-2} &\approx (0.36788)^2 \approx 0.13534 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} W_\tau &\approx 0.125 \, \text{J} \times 0.13534 \\ &\approx 0.0169175 \, \text{J} \\ &\approx 16.92 \, \text{mJ} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 :
  • Énergie initiale : \(W_0 = 0.125 \, \text{J}\)
  • Énergie à \(t=\tau\) : \(W_\tau \approx 0.0169 \, \text{J}\) (soit environ \(13.5\%\) de \(W_0\))

Quiz Intermédiaire 3 : Après un temps égal à \(3\tau\), la tension aux bornes d'un condensateur en décharge est approximativement :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La constante de temps \(\tau\) d'un circuit RC représente :

2. Pendant la décharge d'un condensateur dans une résistance, l'énergie stockée dans le condensateur :

3. Si la capacité \(C\) d'un condensateur dans un circuit RC est doublée, le temps nécessaire pour que la tension chute à un certain pourcentage de sa valeur initiale (par exemple 10%) :

Glossaire

Condensateur
Composant électronique passif capable d'emmagasiner de l'énergie sous forme de champ électrique entre deux conducteurs (armatures) séparés par un diélectrique.
Capacité (\(C\))
Mesure de l'aptitude d'un condensateur à stocker une charge électrique pour une différence de potentiel donnée. Unité SI : Farad (F).
Résistance (\(R\))
Propriété d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique. Unité SI : Ohm (\(\Omega\)).
Circuit RC
Circuit électrique composé d'une résistance et d'un condensateur.
Décharge d'un Condensateur
Processus par lequel un condensateur préalablement chargé perd sa charge électrique, généralement à travers un circuit externe.
Constante de Temps (\(\tau\))
Dans un circuit RC, produit de la résistance et de la capacité (\(\tau = RC\)). Elle caractérise la rapidité de la charge ou de la décharge du condensateur.
Tension Électrique (\(V\))
Différence de potentiel électrique entre deux points. Unité SI : Volt (V).
Courant Électrique (\(I\))
Flux de charges électriques. Unité SI : Ampère (A).
Énergie Électrique Stockée (\(W\))
Énergie potentielle emmagasinée dans le champ électrique d'un condensateur. \(W = \frac{1}{2}CV^2\).
Décroissance Exponentielle
Type de diminution où la quantité décroît à un taux proportionnel à sa valeur actuelle. Caractéristique de la tension et du courant lors de la décharge d'un condensateur.
Temps de Décharge d’un Condensateur

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