Exercices Électricité

Calcul et Implications du Moment Dipolaire

Calcul et Implications du Moment Dipolaire Électrique

Calcul et Implications du Moment Dipolaire Électrique

Comprendre le Moment Dipolaire Électrique

Un dipôle électrique est formé par un couple de charges électriques de même magnitude \(q\) mais de signes opposés, séparées par une distance \(d\). Le moment dipolaire électrique, noté \(\vec{p}\), est un vecteur qui caractérise ce dipôle. Sa magnitude est \(p = qd\), et il est dirigé de la charge négative vers la charge positive. Le moment dipolaire est une grandeur fondamentale car il détermine le comportement du dipôle dans un champ électrique externe (il subit un couple et possède une énergie potentielle) et décrit le champ électrique que le dipôle lui-même produit à des distances grandes par rapport à \(d\). Cet exercice explore le calcul du moment dipolaire et certaines de ses implications.

Données de l'étude

Un dipôle électrique est constitué de deux charges ponctuelles :

  • Une charge \(q_1 = +2,0 \, \text{nC}\) située au point A de coordonnées \((0, 0, +0,5 \, \text{mm})\).
  • Une charge \(q_2 = -2,0 \, \text{nC}\) située au point B de coordonnées \((0, 0, -0,5 \, \text{mm})\).

Ce dipôle est placé dans un champ électrique externe uniforme \(\vec{E}_{\text{ext}} = (500 \, \hat{i} + 0 \, \hat{j} + 0 \, \hat{k}) \, \text{N/C}\).

Constante :

  • Constante de Coulomb : \(k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Schéma : Dipôle Électrique dans un Champ Externe
{/* Axes */} {/* Axe X */} x {/* Axe Z (vertical pour le dipôle) */} z O {/* Charge q1 à A (0,0,+d/2) -> (125, 100-20=80) */} q₁ (A) {/* Charge q2 à B (0,0,-d/2) -> (125, 100+20=120) */} q₂ (B) {/* Vecteur moment dipolaire p (de q2 vers q1) */} p⃗ {/* Champ électrique externe E_ext (horizontal) */} E⃗_ext Dipôle électrique dans un champ externe

Dipôle électrique orienté selon l'axe z, placé dans un champ électrique externe \(\vec{E}_{\text{ext}}\) dirigé selon l'axe x.

Questions à traiter

  1. Déterminer le vecteur \(\vec{d}\) séparant les charges, orienté de la charge négative \(q_2\) vers la charge positive \(q_1\). Calculer sa norme \(d\).
  2. Calculer le vecteur moment dipolaire électrique \(\vec{p}\) du dipôle.
  3. Calculer le potentiel électrique \(V_P\) créé par ce dipôle en un point P de coordonnées \((x_P, y_P, z_P) = (5,0 \, \text{cm}, 0, 0)\). Utiliser l'approximation pour un point éloigné \(V_P \approx \frac{k_e \vec{p} \cdot \vec{r}_P}{r_P^3}\), où \(\vec{r}_P\) est le vecteur position du point P par rapport au centre du dipôle (l'origine ici).
  4. Calculer le couple \(\vec{\tau}\) exercé sur le dipôle par le champ électrique externe \(\vec{E}_{\text{ext}}\).
  5. Calculer l'énergie potentielle \(U_e\) du dipôle dans ce champ électrique externe.

Correction : Calcul et Implications du Moment Dipolaire Électrique

Question 1 : Vecteur \(\vec{d}\) et norme \(d\)

Principe :

Le vecteur \(\vec{d}\) est le vecteur position de la charge positive \(q_1\) (point A) par rapport à la charge négative \(q_2\) (point B). \(\vec{d} = \vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB}\).

Données spécifiques (converties en mètres) :
  • Position de A (pour \(q_1\)) : \((0; 0; +0,0005 \, \text{m})\)
  • Position de B (pour \(q_2\)) : \((0; 0; -0,0005 \, \text{m})\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{d} &= (0-0)\hat{i} + (0-0)\hat{j} + (0,0005 - (-0,0005))\hat{k} \, \text{m} \\ &= 0\hat{i} + 0\hat{j} + (0,0005 + 0,0005)\hat{k} \, \text{m} \\ &= 0,0010\hat{k} \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} d &= |\vec{d}| \\ &= \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (0,0010 \, \text{m})^2} \\ &= 0,0010 \, \text{m} \quad (= 1,0 \, \text{mm}) \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • \(\vec{d} = 0,0010\hat{k} \, \text{m}\)
  • \(d = 0,0010 \, \text{m}\)

Question 2 : Vecteur moment dipolaire électrique \(\vec{p}\)

Principe :

Le moment dipolaire \(\vec{p}\) est défini par \(\vec{p} = q \vec{d}\), où \(q\) est la magnitude de la charge positive (\(q_1\)) et \(\vec{d}\) est le vecteur allant de la charge négative à la charge positive.

Données spécifiques :
  • \(q = q_1 = +2,0 \, \text{nC} = +2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(\vec{d} = 0,0010\hat{k} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{p} &= (2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}) \times (0,0010\hat{k} \, \text{m}) \\ &= 2,0 \times 10^{-12} \hat{k} \, \text{C} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : \(\vec{p} = 2,0 \times 10^{-12} \hat{k} \, \text{C} \cdot \text{m}\).

Question 3 : Potentiel électrique \(V_P\) créé par le dipôle en P

Principe :

Pour un point P éloigné du dipôle (\(r_P \gg d\)), le potentiel créé par le dipôle est approximé par \(V_P \approx \frac{k_e \vec{p} \cdot \vec{r}_P}{r_P^3}\), où \(\vec{r}_P\) est le vecteur position de P par rapport au centre du dipôle (ici, l'origine).

Données spécifiques (converties en mètres) :
  • \(\vec{p} = 2,0 \times 10^{-12} \hat{k} \, \text{C} \cdot \text{m}\)
  • Position de P : \((0,05 \, \text{m}; 0 \, \text{m}; 0 \, \text{m})\) \(\Rightarrow \vec{r}_P = 0,05\hat{i} \, \text{m}\)
  • \(r_P = |\vec{r}_P| = 0,05 \, \text{m}\)
  • \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)

Vérification de l'approximation : \(d = 0,001 \, \text{m}\), \(r_P = 0,05 \, \text{m}\). \(r_P\) est 50 fois plus grand que \(d\), donc l'approximation est raisonnable.

Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{r}_P &= (0\hat{i} + 0\hat{j} + 2,0 \times 10^{-12}\hat{k}) \cdot (0,05\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}) \, \text{C} \cdot \text{m}^2 \\ &= (0 \times 0,05) + (0 \times 0) + (2,0 \times 10^{-12} \times 0) \\ &= 0 \, \text{C} \cdot \text{m}^2 \end{aligned} \]

Puisque \(\vec{p} \cdot \vec{r}_P = 0\), le potentiel \(V_P\) calculé avec cette approximation est nul.

\[ V_P \approx \frac{k_e \times 0}{(0,05)^3} = 0 \, \text{V} \]

Cela est dû au fait que le point P se trouve dans le plan médiateur du dipôle (\(z=0\)), où le potentiel d'un dipôle est nul par symétrie (pour l'approximation dipolaire).

Résultat Question 3 : Le potentiel électrique au point P, en utilisant l'approximation dipolaire, est \(V_P \approx 0 \, \text{V}\).

Question 4 : Couple \(\vec{\tau}\) sur le dipôle

Principe :

Le couple \(\vec{\tau}\) exercé sur un dipôle \(\vec{p}\) placé dans un champ électrique externe \(\vec{E}_{\text{ext}}\) est \(\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}_{\text{ext}}\).

Données spécifiques :
  • \(\vec{p} = 2,0 \times 10^{-12} \hat{k} \, \text{C} \cdot \text{m}\)
  • \(\vec{E}_{\text{ext}} = 500 \hat{i} \, \text{N/C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{\tau} &= (2,0 \times 10^{-12} \hat{k}) \times (500 \hat{i}) \, \text{N} \cdot \text{m} \\ &= (2,0 \times 10^{-12} \times 500) (\hat{k} \times \hat{i}) \, \text{N} \cdot \text{m} \\ &= 1000 \times 10^{-12} (\hat{j}) \, \text{N} \cdot \text{m} \\ &= 1,0 \times 10^{-9} \hat{j} \, \text{N} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

(Rappel : \(\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}\), \(\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}\), \(\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}\))

Résultat Question 4 : Le couple exercé sur le dipôle est \(\vec{\tau} = 1,0 \times 10^{-9} \hat{j} \, \text{N} \cdot \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Le couple sur un dipôle dans un champ électrique externe uniforme est maximal lorsque l'angle entre \(\vec{p}\) et \(\vec{E}_{\text{ext}}\) est :

Question 5 : Énergie potentielle \(U_e\) du dipôle

Principe :

L'énergie potentielle \(U_e\) d'un dipôle \(\vec{p}\) dans un champ électrique externe \(\vec{E}_{\text{ext}}\) est \(U_e = -\vec{p} \cdot \vec{E}_{\text{ext}}\).

Données spécifiques :
  • \(\vec{p} = 2,0 \times 10^{-12} \hat{k} \, \text{C} \cdot \text{m}\)
  • \(\vec{E}_{\text{ext}} = 500 \hat{i} \, \text{N/C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} U_e &= -(2,0 \times 10^{-12} \hat{k}) \cdot (500 \hat{i}) \, \text{J} \\ &= - ( (0 \times 500) + (0 \times 0) + (2,0 \times 10^{-12} \times 0) ) \, \text{J} \\ &= 0 \, \text{J} \end{aligned} \]

L'énergie potentielle est nulle car le moment dipolaire \(\vec{p}\) (selon \(\hat{k}\)) est perpendiculaire au champ électrique externe \(\vec{E}_{\text{ext}}\) (selon \(\hat{i}\)). C'est la position de référence pour l'énergie potentielle si on choisit \(U_e=0\) lorsque \(\theta=90^{\circ}\).

Résultat Question 5 : L'énergie potentielle du dipôle dans ce champ est \(U_e = 0 \, \text{J}\).

Quiz Intermédiaire 2 : L'énergie potentielle d'un dipôle dans un champ électrique externe uniforme est minimale lorsque :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le moment dipolaire électrique \(\vec{p}\) est un vecteur :

2. Le potentiel électrique créé par un dipôle en un point P situé sur son plan médiateur (perpendiculaire à l'axe du dipôle et passant par son centre) est, dans l'approximation dipolaire :

3. Un dipôle électrique placé dans un champ électrique externe uniforme subit :

Glossaire

Dipôle Électrique
Ensemble de deux charges électriques de même magnitude \(q\) mais de signes opposés, séparées par une distance \(d\).
Moment Dipolaire Électrique (\(\vec{p}\))
Vecteur défini comme \(\vec{p} = q\vec{d}\), où \(\vec{d}\) est le vecteur allant de la charge négative à la charge positive. Sa magnitude est \(p=qd\). Unité : Coulomb-mètre (C·m).
Potentiel d'un Dipôle (approximation)
À grande distance \(r\) du dipôle, le potentiel est \(V_P \approx \frac{k_e \vec{p} \cdot \hat{u}_r}{r^2} = \frac{k_e p \cos\theta}{r^2}\), où \(\theta\) est l'angle entre \(\vec{p}\) et la direction d'observation.
Couple sur un Dipôle (\(\vec{\tau}\))
Dans un champ électrique externe \(\vec{E}_{\text{ext}}\), un dipôle subit un couple \(\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}_{\text{ext}}\). Ce couple tend à aligner \(\vec{p}\) avec \(\vec{E}_{\text{ext}}\).
Énergie Potentielle d'un Dipôle (\(U_e\))
L'énergie potentielle d'un dipôle \(\vec{p}\) dans un champ électrique externe \(\vec{E}_{\text{ext}}\) est \(U_e = -\vec{p} \cdot \vec{E}_{\text{ext}}\).
Constante de Coulomb (\(k_e\))
Constante de proportionnalité, \(k_e \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).
Calcul et Implications du Moment Dipolaire Électrique

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