Analyse d'un Système du Second Ordre

Contexte : Pourquoi étudier les systèmes du second ordre ?

Les systèmes du second ordre sont fondamentaux en automatique et en génie électrique car ils modélisent le comportement de très nombreux dispositifs physiques. Des circuits RLC aux systèmes mécaniques masse-ressort-amortisseur, leur réponse à une sollicitation (comme un échelon de tension) révèle des caractéristiques essentielles de rapidité, de stabilité et d'oscillation. Le circuit RLC série est l'archétype du système du second ordre en électricité. L'analyse de sa réponse nous permet de comprendre et de prédire comment le système réagira, et de le concevoir pour qu'il réponde à un cahier des charges précis (filtrage, oscillation, etc.).

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers la modélisation complète d'un circuit RLC. Nous établirons son équation différentielle, déterminerons sa fonction de transfert, et nous analyserons sa réponse à un échelon de tension. L'objectif est de lier les paramètres physiques (R, L, C) aux caractéristiques de performance du système (temps de réponse, dépassement, oscillations).

Objectifs Pédagogiques

Modéliser un circuit RLC série à l'aide des lois de Kirchhoff.
Établir l'équation différentielle du second ordre régissant la tension aux bornes du condensateur.
Déterminer la fonction de transfert du système et l'identifier à la forme canonique du second ordre.
Calculer la pulsation propre non amortie (\(\omega_n\)) et le coefficient d'amortissement (\(\zeta\)).
Analyser l'influence de la résistance sur le régime transitoire (sous-amorti, critique, sur-amorti).
Calculer les performances temporelles clés : dépassement maximal, temps de pic, et temps de réponse.

Données de l'étude

On considère le circuit RLC série ci-dessous. Le circuit est initialement au repos (tensions et courants nuls). À l'instant \(t=0\), on applique à l'entrée un échelon de tension \(v_e(t)\) passant de 0 V à 10 V. On étudie la tension \(v_s(t)\) aux bornes du condensateur.

Schéma du Circuit RLC Série

Paramètre	Valeur
Résistance, \(R\)	\(10 \, \Omega\)
Inductance, \(L\)	\(50 \, \text{mH}\)
Capacité, \(C\)	\(200 \, \mu\text{F}\)
Échelon de tension d'entrée, \(E\)	\(10 \, \text{V}\)

Questions à traiter

Établir l'équation différentielle reliant la tension de sortie \(v_s(t)\) à la tension d'entrée \(v_e(t)\).
Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte \(H(s) = V_s(s) / V_e(s)\).
Identifier la pulsation propre \(\omega_n\) et le coefficient d'amortissement \(\zeta\). En déduire le type de régime transitoire.
Calculer le dépassement maximal en pourcentage (\%D), le temps de pic (\(t_p\)) et le temps de réponse à 5% (\(t_{s5\%}\)).

Correction : Analyse d'un Système du Second Ordre

Question 1 : Établir l'équation différentielle

Principe (le concept physique)

Pour modéliser le circuit, nous utilisons la loi des mailles de Kirchhoff, qui stipule que la somme algébrique des tensions dans une boucle fermée est nulle. Nous exprimons ensuite chaque tension en fonction du courant unique \(i(t)\) qui traverse le circuit série, puis nous lions ce courant à la tension de sortie \(v_s(t)\) via la relation caractéristique du condensateur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les relations tension-courant pour les composants passifs linéaires sont : \(v_R(t) = R \cdot i(t)\) pour la résistance (loi d'Ohm), \(v_L(t) = L \frac{di(t)}{dt}\) pour l'inductance, et \(i(t) = C \frac{dv_C(t)}{dt}\) pour le condensateur. La combinaison de ces lois fondamentales avec les lois de Kirchhoff permet de décrire la dynamique de n'importe quel circuit électrique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La loi des mailles est votre outil le plus fiable pour commencer l'analyse de n'importe quel circuit. L'astuce est de toujours bien définir le sens du courant et les conventions de fléchage des tensions pour éviter les erreurs de signe. Ici, le courant \(i(t)\) est le "lien" qui connecte tous les composants.

Astuces (Pour aller plus vite)

Astuce : Exprimez d'abord toutes les tensions en fonction de \(i(t)\) et de ses dérivées/intégrales. Ensuite, utilisez la relation du composant de sortie (ici, \(i(t) = C \frac{dv_s}{dt}\)) pour substituer \(i(t)\) et ne conserver que la variable de sortie \(v_s(t)\).

Normes (la référence réglementaire)

Bien qu'il n'y ait pas de "norme" pour écrire une équation différentielle, la convention en automatique est de la présenter sous forme "canonique", avec la sortie et ses dérivées à gauche, et l'entrée à droite. C'est ce que nous faisons ici.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que les composants R, L, et C sont idéaux et linéaires (leurs valeurs ne changent pas avec le courant, la tension ou la température) et que les fils de connexion ont une résistance nulle. Le système est également supposé être initialement au repos (conditions initiales nulles).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Loi des mailles de Kirchhoff :

\[ v_e(t) = v_R(t) + v_L(t) + v_s(t) \]

Relation courant-tension du condensateur :

i(t) = C \frac{dv_s(t)}{dt}

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Pour cette première étape, nous travaillons de manière purement littérale. Les valeurs numériques ne sont pas encore nécessaires.

Schéma (Avant les calculs)

Circuit avec tensions et courant fléchés

Calcul(s) (l'application numérique)

Expression de la tension aux bornes de la résistance :

v_R(t) = R \cdot i(t) = RC \frac{dv_s(t)}{dt}

Expression de la tension aux bornes de l'inductance :

v_L(t) = L \frac{di(t)}{dt} = L \frac{d}{dt}\left(C \frac{dv_s(t)}{dt}\right) = LC \frac{d^2v_s(t)}{dt^2}

Substitution dans la loi des mailles :

v_e(t) = \left(LC \frac{d^2v_s(t)}{dt^2}\right) + \left(RC \frac{dv_s(t)}{dt}\right) + v_s(t)

Schéma (Après les calculs)

Modèle Mathématique du Circuit

Le circuit physique est maintenant représenté par son équation différentielle, qui est son modèle mathématique complet.

LC \frac{d^2v_s}{dt^2} + RC \frac{dv_s}{dt} + v_s = v_e

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette équation montre que la tension d'entrée \(v_e\) est "équilibrée" par trois termes : la tension aux bornes du condensateur \(v_s\), une tension proportionnelle à la vitesse de changement de \(v_s\) (liée à R et C), et une tension proportionnelle à l'accélération de \(v_s\) (liée à L et C). C'est la signature d'un système dynamique du second ordre.

Points à retenir

L'équation différentielle d'un circuit RLC série est du second ordre car elle implique deux composants de stockage d'énergie (L et C) dont les dynamiques sont décrites par des dérivées.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Établir l'équation différentielle est la première étape fondamentale de la modélisation. C'est la description mathématique la plus complète du comportement temporel du circuit, à partir de laquelle toutes les autres analyses (Laplace, fréquentielle) découlent.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur de dérivation : L'erreur la plus commune est de se tromper dans la relation entre \(i(t)\) et \(v_s(t)\). Rappelez-vous que \(i = C \frac{dv_s}{dt}\), et donc \(\frac{di}{dt} = C \frac{d^2v_s}{dt^2}\). Une autre erreur est d'oublier un terme dans la loi des mailles.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final : L'équation différentielle est \(LC \frac{d^2v_s(t)}{dt^2} + RC \frac{dv_s(t)}{dt} + v_s(t) = v_e(t)\).

À vous de jouer : Quelle serait l'équation différentielle si la sortie était la tension aux bornes de la résistance, \(v_R(t)\) ?

Question 2 : Déterminer la fonction de transfert

Principe (le concept physique)

La fonction de transfert est la représentation du système dans le domaine de Laplace (domaine des fréquences complexes 's'). Elle est obtenue en appliquant la transformée de Laplace à l'équation différentielle, en supposant des conditions initiales nulles. Elle décrit comment le système transforme une entrée en une sortie, indépendamment de la forme du signal d'entrée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La transformée de Laplace est un outil mathématique puissant qui transforme les équations différentielles (difficiles à résoudre) en équations algébriques (faciles à manipuler). La propriété clé est que l'opération de dérivation par rapport au temps, \(\frac{d}{dt}\), devient une multiplication par la variable de Laplace, \(s\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le passage au domaine de Laplace simplifie énormément l'analyse. Au lieu de résoudre une équation différentielle, on manipule des fractions rationnelles. La fonction de transfert contient toute l'information sur la dynamique intrinsèque du système (stabilité, rapidité, amortissement).

Astuces (Pour aller plus vite)

Astuce : Pour passer rapidement de l'équation différentielle à la fonction de transfert, remplacez chaque \(\frac{d^n}{dt^n}\) par \(s^n\). Ainsi, \(LC \frac{d^2v_s}{dt^2} + RC \frac{dv_s}{dt} + v_s = v_e\) devient immédiatement \(LCs^2V_s(s) + RCsV_s(s) + V_s(s) = V_e(s)\).

Normes (la référence réglementaire)

La notation \(H(s)\) est la convention universelle pour désigner une fonction de transfert. De même, les majuscules (ex: \(V_s(s)\)) sont utilisées pour les signaux dans le domaine de Laplace, tandis que les minuscules (ex: \(v_s(t)\)) sont pour le domaine temporel.

Hypothèses (le cadre du calcul)

L'hypothèse fondamentale pour calculer une fonction de transfert est que toutes les conditions initiales sont nulles. Cela signifie que le système est au repos avant l'application de l'entrée (\(v_s(0)=0\) et \(\frac{dv_s}{dt}(0)=0\)).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Propriété de la dérivation de Laplace (avec conditions initiales nulles) :

\mathcal{L}\left\{\frac{d^n f(t)}{dt^n}\right\} = s^n F(s)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Cette étape est également une dérivation littérale.

Schéma (Avant les calculs)

Représentation en Boîte Noire

Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la transformée de Laplace à l'équation différentielle :

\[ LC s^2 V_s(s) + RC s V_s(s) + V_s(s) = V_e(s) \]

Factorisation par \(V_s(s)\) :

\[ V_s(s) (LC s^2 + RC s + 1) = V_e(s) \]

Expression de la fonction de transfert \(H(s)\) :

H(s) = \frac{V_s(s)}{V_e(s)} = \frac{1}{LC s^2 + RC s + 1}

Schéma (Après les calculs)

Fonction de Transfert du Système

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La fonction de transfert est une fraction rationnelle. Les racines du dénominateur, appelées "pôles" du système, déterminent entièrement la nature de la réponse transitoire. Le fait que le polynôme soit du second degré confirme que c'est un système du second ordre.

Points à retenir

La fonction de transfert \(H(s)\) est le rapport de la transformée de Laplace de la sortie sur celle de l'entrée, avec des conditions initiales nulles.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est essentielle car la fonction de transfert est un modèle universel. Elle permet de comparer notre circuit RLC à d'autres systèmes (mécaniques, thermiques...) et d'utiliser les outils standards de l'automatique pour l'analyse et la commande.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur d'algèbre : La principale source d'erreur est une mauvaise factorisation ou une erreur de signe lors de la mise en forme de la fraction. Vérifiez toujours que vous avez bien isolé le rapport \(V_s(s)/V_e(s)\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final : La fonction de transfert est \(H(s) = \frac{1}{LC s^2 + RC s + 1}\).

À vous de jouer : Quelle serait la fonction de transfert \(H(s) = V_R(s) / V_e(s)\) si la sortie était la tension aux bornes de la résistance ?

Question 3 : Identifier \(\omega_n\), \(\zeta\) et le régime transitoire

Principe (le concept physique)

Tout système du second ordre peut être décrit par une forme canonique qui dépend de deux paramètres clés : la pulsation propre non amortie \(\omega_n\) et le coefficient d'amortissement \(\zeta\). \(\omega_n\) représente la vitesse d'oscillation naturelle du système, tandis que \(\zeta\) décrit comment ces oscillations sont atténuées. La valeur de \(\zeta\) détermine la nature de la réponse : sous-amortie (\(0 < \zeta < 1\)), critique (\(\zeta = 1\)) ou sur-amortie (\(\zeta > 1\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La forme canonique \(H(s) = \frac{K_{\text{stat}} \omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}\) est la "carte d'identité" d'un système du second ordre. \(K_{\text{stat}}\) est le gain statique (la valeur finale de la sortie pour un échelon unitaire), \(\omega_n\) est la pulsation propre, et \(\zeta\) est le coefficient d'amortissement. Ces trois paramètres décrivent entièrement le comportement du système.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : L'identification est l'étape cruciale qui relie le modèle physique (avec R, L, C) au modèle mathématique standard (avec \(\omega_n\), \(\zeta\)). Une fois cette identification faite, on peut utiliser toutes les formules et abaques standards de l'automatique pour prédire le comportement du circuit sans avoir à résoudre l'équation différentielle à chaque fois.

Astuces (Pour aller plus vite)

Astuce : Pour mettre la fonction de transfert sous forme canonique, assurez-vous d'abord que le coefficient de \(s^2\) au dénominateur est 1. Divisez le numérateur et le dénominateur par tout ce qui multiplie \(s^2\) (ici, \(LC\)). Ensuite, l'identification est directe.

Normes (la référence réglementaire)

Les symboles \(\omega_n\) (pulsation propre) et \(\zeta\) (ou parfois z, xi) pour le coefficient d'amortissement sont des notations standardisées internationalement dans tous les domaines de l'ingénierie (mécanique, électrique, acoustique...).

Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que la fonction de transfert trouvée à l'étape 2 est correcte et que les valeurs des composants sont positives et non nulles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Forme canonique du second ordre (avec gain statique unitaire) :

H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Résistance, \(R = 10 \, \Omega\)
Inductance, \(L = 50 \, \text{mH} = 0.05 \, \text{H}\)
Capacité, \(C = 200 \, \mu\text{F} = 200 \times 10^{-6} \, \text{F}\)

Schéma (Avant les calculs)

Identification par Comparaison

On compare la forme obtenue à la forme canonique pour extraire les paramètres.

Calcul(s) (l'application numérique)

Mise en forme canonique :

H(s) = \frac{1}{LC s^2 + RC s + 1} = \frac{1/LC}{s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC}}

Identification de la pulsation propre :

\begin{aligned} \omega_n^2 &= \frac{1}{LC} \\ \Rightarrow \omega_n &= \frac{1}{\sqrt{LC}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{0.05 \times 200 \times 10^{-6}}} \\ &= 316.2 \, \text{rad/s} \end{aligned}

Identification du coefficient d'amortissement :

\begin{aligned} 2\zeta\omega_n &= \frac{R}{L} \\ \Rightarrow \zeta &= \frac{R}{2L\omega_n} \\ &= \frac{10}{2 \times 0.05 \times 316.2} \\ &= 0.316 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Position des Pôles dans le Plan Complexe

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Puisque \(\zeta = 0.316\) est compris entre 0 et 1, le système est en régime sous-amorti (ou pseudo-périodique). Cela signifie que sa réponse à un échelon présentera des oscillations avant de se stabiliser à sa valeur finale. Le système est "rapide" (car \(\omega_n\) est élevé) mais il oscille à cause du faible amortissement.

Points à retenir

La valeur du coefficient d'amortissement \(\zeta\) détermine le régime transitoire : \(\zeta < 1\) (sous-amorti, oscillant), \(\zeta = 1\) (critique, le plus rapide sans oscillation), \(\zeta > 1\) (sur-amorti, lent).

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Qualifier le régime est la première étape de l'analyse des performances. Savoir si le système est sous-amorti, critique ou sur-amorti nous dit immédiatement quelle sera l'allure générale de sa réponse et quelles formules utiliser pour calculer ses performances détaillées.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur d'identification : Assurez-vous que le dénominateur est bien sous la forme \(s^2 + (...)s + (...)\) avant d'identifier les termes. Une erreur fréquente est d'oublier de diviser par \(LC\) et d'identifier incorrectement \(\omega_n^2\) comme étant 1.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final : \(\omega_n = 316.2 \, \text{rad/s}\), \(\zeta = 0.316\). Le système est en régime sous-amorti.

À vous de jouer : Quelle valeur de Résistance R (en \(\Omega\)) faudrait-il pour obtenir un amortissement critique (\(\zeta = 1\)) ?

Question 4 : Calculer les performances temporelles

Principe (le concept physique)

Pour un système sous-amorti, la réponse à un échelon est caractérisée par plusieurs indicateurs de performance. Le dépassement maximal (\%D) mesure l'amplitude de la première oscillation au-delà de la valeur finale. Le temps de pic (\(t_p\)) est l'instant où ce dépassement se produit. Le temps de réponse (\(t_{s5\%}\)) est le temps nécessaire pour que la réponse entre et reste dans une bande de \(\pm 5\%\) autour de la valeur finale.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ces performances sont directement issues de la solution de l'équation différentielle pour un échelon. La réponse est de la forme \(v_s(t) = E(1 - e^{-\zeta\omega_n t} \times \text{sinusoïdes})\). Le terme exponentiel \(e^{-\zeta\omega_n t}\) est "l'enveloppe" qui amortit les oscillations. Plus le produit \(\zeta\omega_n\) est grand, plus l'amortissement est rapide et plus le système se stabilise vite.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Ces formules sont des outils de conception essentiels. Si un cahier des charges impose un dépassement maximal de 10%, vous pouvez utiliser la formule pour calculer le \(\zeta\) requis, puis en déduire les valeurs de R, L, C nécessaires pour l'atteindre.

Astuces (Pour aller plus vite)

Astuce : Le temps de réponse \(t_{\text{s5\%}} \approx \frac{3}{\zeta\omega_n}\) est une approximation très utile et facile à retenir. Le terme \(\tau = 1/(\zeta\omega_n)\) est appelé la constante de temps de l'enveloppe de la réponse. Le temps de réponse est donc environ 3 fois cette constante de temps.

Normes (la référence réglementaire)

La définition du temps de réponse peut varier. On utilise souvent le temps de réponse à 5% (\(t_{\text{s5\%}}\)), mais parfois à 2% (\(t_{\text{s2\%}} \approx 4/(\zeta\omega_n)\)). Il est important de toujours préciser le critère utilisé.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Ces formules ne sont valables que pour un système du second ordre pur en régime sous-amorti (\(0 < \zeta < 1\)) en réponse à un échelon. Elles ne s'appliquent pas aux régimes critique ou sur-amorti, ni à d'autres signaux d'entrée.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du dépassement maximal :

\%D = 100 \times e^{\frac{-\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}

Formule du temps de pic :

t_p = \frac{\pi}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}}

Formule du temps de réponse à 5% :

t_{\text{s5\%}} \approx \frac{3}{\zeta\omega_n}

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

\(\omega_n = 316.2 \, \text{rad/s}\)
\(\zeta = 0.316\)

Schéma (Avant les calculs)

Définition Graphique des Performances

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du dépassement maximal :

\begin{aligned} \%D &= 100 \times e^{\frac{-\pi \times 0.316}{\sqrt{1-0.316^2}}} \\ &= 100 \times e^{\frac{-0.9927}{0.9487}} \\ &= 100 \times e^{-1.046} \\ &\approx 35.1\% \end{aligned}

Calcul du temps de pic :

\begin{aligned} t_p &= \frac{\pi}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}} \\ &= \frac{\pi}{316.2 \times 0.9487} \\ &= \frac{\pi}{299.96} \\ &\approx 0.0105 \, \text{s} \end{aligned}

Calcul du temps de réponse à 5% :

\begin{aligned} t_{\text{s5\%}} &\approx \frac{3}{\zeta\omega_n} \\ &= \frac{3}{0.316 \times 316.2} \\ &= \frac{3}{99.9} \\ &\approx 0.03 \, \text{s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Performances sur la Réponse Indiciaire

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le système réagit très vite (en quelques millisecondes) mais au prix d'un dépassement important (35%). La tension aux bornes du condensateur va donc monter jusqu'à 13.5 V avant de se stabiliser à 10 V. Selon l'application, ce dépassement peut être acceptable ou non. Si ce circuit alimentait un composant sensible ne supportant pas plus de 12V, il faudrait revoir sa conception.

Points à retenir

Les performances temporelles d'un système du second ordre (dépassement, temps de réponse) sont directement calculables à partir de sa pulsation propre \(\omega_n\) et de son coefficient d'amortissement \(\zeta\).

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape finale quantifie le comportement qualifié à l'étape 3. Elle permet de vérifier si le système respecte un cahier des charges précis (par exemple : "le système doit se stabiliser en moins de 50 ms avec un dépassement inférieur à 20%").

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Unités : Assurez-vous que \(\omega_n\) est bien en radians par seconde (rad/s) et non en Hertz (Hz) pour utiliser ces formules. Le résultat pour les temps sera en secondes.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final : Dépassement \(\%D \approx 35.1\%\), temps de pic \(t_p \approx 10.5 \, \text{ms}\), temps de réponse \(t_{\text{s5\%}} \approx 30 \, \text{ms}\).

À vous de jouer : Si on voulait diviser le dépassement par deux (environ 17.5%), quel devrait être le nouveau coefficient d'amortissement \(\zeta\) ? (Indice: il faut manipuler la formule du \%D).

Mini Fiche Mémo : Analyse d'un Système du 2nd Ordre

Étape	Action	Objectif
1. Modélisation	Appliquer les lois physiques (Kirchhoff).	Obtenir l'équation différentielle du système.
2. Transfert	Appliquer la transformée de Laplace.	Trouver la fonction de transfert \(H(s)\).
3. Identification	Comparer \(H(s)\) à la forme canonique.	Extraire \(\omega_n\) et \(\zeta\), puis qualifier le régime.
4. Performances	Utiliser les formules basées sur \(\omega_n\) et \(\zeta\).	Calculer \%D, \(t_p\), \(t_s\), etc.

Outil Interactif : Simulateur de Circuit RLC

Modifiez les valeurs de R, L et C pour observer leur influence sur l'amortissement et la réponse du système.

Paramètres du Circuit

Résistance R (\(\Omega\)) 10 \(\Omega\)

Inductance L (mH) 50 mH

Capacité C (\(\mu\)F) 200 \(\mu\)F

Caractéristiques du Système

Pulsation Propre \(\omega_n\) (rad/s) -

Amortissement \(\zeta\) -

Régime Transitoire -

Dépassement Max (\%D) -

Temps de Réponse à 5% (ms) -

Le Saviez-Vous ?

Les circuits RLC sont au cœur des technologies de communication. En ajustant la capacité (C) ou l'inductance (L), on modifie la fréquence de résonance du circuit (\(\omega_0 = \omega_n\)). C'est exactement ce que vous faites en tournant le bouton d'une vieille radio pour sélectionner une station : vous ajustez un condensateur variable pour faire résonner le circuit à la fréquence de la station que vous voulez écouter, amplifiant ainsi son signal tout en ignorant les autres.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la résistance R est nulle ?

Si R=0, le coefficient d'amortissement \(\zeta\) devient nul. Le système est alors non amorti. En théorie, sa réponse à un échelon serait une oscillation sinusoïdale pure de pulsation \(\omega_n\) qui ne s'arrêterait jamais. En pratique, il y a toujours une petite résistance résiduelle dans les composants qui amortit légèrement les oscillations.

Pourquoi utilise-t-on la tension aux bornes du condensateur comme sortie ?

C'est un choix courant car la tension du condensateur est souvent plus "lisse" que le courant ou la tension de l'inductance, ce qui en fait un bon indicateur de l'état énergétique du système. De plus, cela mène à une fonction de transfert passe-bas, un type de filtre extrêmement courant en électronique. On pourrait aussi choisir le courant ou la tension aux bornes de la résistance comme sortie, ce qui donnerait une fonction de transfert passe-bande.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour rendre le système RLC de l'exercice critiquement amorti (\(\zeta = 1\)), il faudrait :

Diminuer la résistance R.
Augmenter la résistance R.
Augmenter la capacité C.

2. Un système avec un coefficient d'amortissement \(\zeta > 1\) (sur-amorti) :

N'oscille jamais et atteint sa valeur finale lentement.
Oscille beaucoup avant de se stabiliser.
Atteint sa valeur finale le plus rapidement possible sans dépassement.

Fonction de Transfert: Rapport, dans le domaine de Laplace, de la sortie d'un système à son entrée, en supposant des conditions initiales nulles. Elle caractérise la dynamique intrinsèque du système.
Pulsation Propre (\(\omega_n\)): Pulsation (en rad/s) à laquelle le système oscillerait naturellement en l'absence de tout amortissement. Elle définit la rapidité intrinsèque du système.
Coefficient d'Amortissement (\(\zeta\)): Nombre sans dimension qui caractérise la façon dont les oscillations d'un système sont atténuées. Il détermine la forme de la réponse transitoire (sous-amortie, critique ou sur-amortie).
Dépassement Maximal (\%D): Valeur de pic maximale de la réponse transitoire, exprimée en pourcentage de la valeur finale.

Analyse d’un Système du Second Ordre

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma du Circuit RLC Série

Questions à traiter

Correction : Analyse d'un Système du Second Ordre

Question 1 : Établir l'équation différentielle

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Astuces (Pour aller plus vite)

Normes (la référence réglementaire)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Schéma (Avant les calculs)

Circuit avec tensions et courant fléchés

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Modèle Mathématique du Circuit

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points à retenir

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Question 2 : Déterminer la fonction de transfert

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Astuces (Pour aller plus vite)

Normes (la référence réglementaire)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Schéma (Avant les calculs)

Représentation en Boîte Noire

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Fonction de Transfert du Système

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points à retenir

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Question 3 : Identifier \(\omega_n\), \(\zeta\) et le régime transitoire

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Astuces (Pour aller plus vite)

Normes (la référence réglementaire)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Schéma (Avant les calculs)

Identification par Comparaison

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Position des Pôles dans le Plan Complexe

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points à retenir

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Question 4 : Calculer les performances temporelles

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Astuces (Pour aller plus vite)

Normes (la référence réglementaire)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Schéma (Avant les calculs)

Définition Graphique des Performances

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Performances sur la Réponse Indiciaire