Analyse d'un Système du Second Ordre

Comprendre et analyser la réponse temporelle des systèmes de contrôle du second ordre en fonction de leurs paramètres caractéristiques, notamment la pulsation propre non amortie et le coefficient d'amortissement.

Les systèmes du second ordre sont fréquemment rencontrés en ingénierie (systèmes mécaniques masse-ressort-amortisseur, circuits RLC, etc.) et leur étude est fondamentale pour comprendre des comportements dynamiques plus complexes. Leur réponse à une entrée, typiquement un échelon, est caractérisée par des paramètres clés tels que le dépassement, le temps de pic, et le temps de réponse.

La fonction de transfert canonique d'un système du second ordre est donnée par :

H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}

Où :

\(Y(s)\) est la transformée de Laplace de la sortie.
\(U(s)\) est la transformée de Laplace de l'entrée.
\(\omega_n\) est la pulsation propre non amortie (en rad/s).
\(\zeta\) (zeta) est le coefficient d'amortissement (sans dimension).

Données du Problème

On considère un système du second ordre dont la fonction de transfert est celle donnée ci-dessus. Nous allons analyser son comportement pour différentes valeurs de \(\zeta\) et \(\omega_n\).

Cas 1 : \(\omega_n = 5 \text{ rad/s}\), \(\zeta = 0.3\) (Régime sous-amorti)

Cas 2 : \(\omega_n = 5 \text{ rad/s}\), \(\zeta = 1\) (Régime critiquement amorti)

Cas 3 : \(\omega_n = 5 \text{ rad/s}\), \(\zeta = 1.5\) (Régime sur-amorti)

Diagramme de blocs d'un système asservi du second ordre avec retour unitaire.

Questions

Déterminer l'équation caractéristique du système. Quels sont les pôles du système en fonction de \(\zeta\) et \(\omega_n\)?
Pour chacun des Cas 1, 2 et 3 :
- Calculer les valeurs numériques des pôles.
- Identifier le régime de réponse du système (sous-amorti, critiquement amorti, sur-amorti).
Pour le Cas 1 (régime sous-amorti, \(\zeta = 0.3, \omega_n = 5 \text{ rad/s}\)), calculer :
- La pulsation propre amortie \(\omega_d\).
- Le temps de pic \(t_p\) (temps pour atteindre le premier maximum).
- Le dépassement maximal en pourcentage (\(D\%\) ou \(M_p\)).
- Le temps de réponse à 5% (\(t_{r5\%}\)).
Comment la position des pôles dans le plan complexe influence-t-elle la stabilité et la nature de la réponse temporelle du système ?
Tracer qualitativement l'allure de la réponse indicielle \(y(t)\) (réponse à un échelon unitaire \(u(t)=1\) pour \(t \ge 0\), avec conditions initiales nulles) pour les trois cas. Annoter les caractéristiques importantes pour le Cas 1.

Correction : Analyse d’un Système du Second Ordre

1. Équation Caractéristique et Pôles

L'équation caractéristique est obtenue à partir du dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée.

La fonction de transfert en boucle fermée est donnée par \(H(s)\). L'équation caractéristique est le dénominateur de \(H(s)\) égalé à zéro :

s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0

Les pôles du système sont les racines de cette équation caractéristique. On peut les trouver en utilisant la formule quadratique \(s = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) avec \(a=1, b=2\zeta\omega_n, c=\omega_n^2\):

s_{1,2} = \frac{-2\zeta\omega_n \pm \sqrt{(2\zeta\omega_n)^2 - 4\omega_n^2}}{2} \] \[ s_{1,2} = \frac{-2\zeta\omega_n \pm \sqrt{4\zeta^2\omega_n^2 - 4\omega_n^2}}{2} \] \[ s_{1,2} = \frac{-2\zeta\omega_n \pm 2\omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1}}{2}

Résultat

Les pôles du système sont : \(s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1}\).

2. Calcul des Pôles et Identification des Régimes

Nous appliquons la formule des pôles pour chaque cas.

Cas 1 : \(\omega_n = 5 \text{ rad/s}\), \(\zeta = 0.3\)

Puisque \(\zeta < 1\), le terme \(\sqrt{\zeta^2 - 1}\) sera imaginaire. \(\sqrt{0.3^2 - 1} = \sqrt{0.09 - 1} = \sqrt{-0.91} = j\sqrt{0.91} \approx j0.954\).

s_{1,2} = -0.3 \times 5 \pm 5 \times j\sqrt{1 - 0.3^2} \] \[ s_{1,2} = -1.5 \pm 5 \times j\sqrt{1 - 0.09} = -1.5 \pm 5 \times j\sqrt{0.91} \] \[ s_{1,2} \approx -1.5 \pm j(5 \times 0.9539) \approx -1.5 \pm j4.77

Les pôles sont complexes conjugués : \(s_1 \approx -1.5 + j4.77\) et \(s_2 \approx -1.5 - j4.77\).

Régime : Sous-amorti (car \(0 < \zeta < 1\)). Pôles : \(s_{1,2} \approx -1.5 \pm j4.77 \text{ rad/s}\).

Cas 2 : \(\omega_n = 5 \text{ rad/s}\), \(\zeta = 1\)

Puisque \(\zeta = 1\), le terme \(\sqrt{\zeta^2 - 1} = \sqrt{1^2 - 1} = 0\).

s_{1,2} = -1 \times 5 \pm 5\sqrt{1^2 - 1} = -5 \pm 0

Les pôles sont réels et confondus : \(s_1 = s_2 = -5\).

Régime : Critiquement amorti (car \(\zeta = 1\)). Pôles : \(s_{1,2} = -5 \text{ rad/s}\) (pôle double réel).

Cas 3 : \(\omega_n = 5 \text{ rad/s}\), \(\zeta = 1.5\)

Puisque \(\zeta > 1\), le terme \(\sqrt{\zeta^2 - 1}\) sera réel. \(\sqrt{1.5^2 - 1} = \sqrt{2.25 - 1} = \sqrt{1.25} \approx 1.118\).

s_{1,2} = -1.5 \times 5 \pm 5\sqrt{1.5^2 - 1} = -7.5 \pm 5\sqrt{1.25} \] \[ s_{1,2} \approx -7.5 \pm 5 \times 1.118 = -7.5 \pm 5.59

Les pôles sont réels et distincts : \(s_1 \approx -7.5 + 5.59 = -1.91\) et \(s_2 \approx -7.5 - 5.59 = -13.09\).

Régime : Sur-amorti (car \(\zeta > 1\)). Pôles : \(s_1 \approx -1.91 \text{ rad/s}\), \(s_2 \approx -13.09 \text{ rad/s}\).

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3. Caractéristiques de la Réponse pour le Cas 1 (Sous-amorti)

Pour un système sous-amorti (\(0 < \zeta < 1\)), la réponse indicielle présente des oscillations. Les formules suivantes permettent de quantifier ces caractéristiques. Données : \(\zeta = 0.3\), \(\omega_n = 5 \text{ rad/s}\).

Pulsation propre amortie \(\omega_d\)

\omega_d = \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2} \] \[ \omega_d = 5 \sqrt{1 - 0.3^2} = 5 \sqrt{1 - 0.09} = 5 \sqrt{0.91} \approx 5 \times 0.9539 \] \[ \omega_d \approx 4.77 \text{ rad/s}

\(\omega_d \approx 4.77 \text{ rad/s}\)

Temps de pic \(t_p\)

C'est le temps nécessaire pour que la réponse atteigne son premier pic de dépassement.

t_p = \frac{\pi}{\omega_d} \] \[ t_p = \frac{\pi}{4.77} \approx \frac{3.14159}{4.77} \approx 0.6586 \text{ s}

\(t_p \approx 0.659 \text{ s}\)

Dépassement maximal en pourcentage (\(D\%\))

C'est l'amplitude maximale de la réponse au-delà de sa valeur finale, exprimée en pourcentage de la valeur finale.

D\% = M_p = 100 \times e^{\frac{-\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \] \[ D\% = 100 \times e^{\frac{-0.3\pi}{\sqrt{1-0.3^2}}} = 100 \times e^{\frac{-0.3\pi}{0.9539}} \] \[ D\% = 100 \times e^{\frac{-0.94247}{0.9539}} \approx 100 \times e^{-0.988} \approx 100 \times 0.3723 \] \[ D\% \approx 37.23\%

\(D\% \approx 37.23\%\)

Temps de réponse à 5% (\(t_{r5\%}\))

C'est le temps nécessaire pour que la réponse atteigne et reste à l'intérieur d'une bande de \(\pm 5\%\) de sa valeur finale.

t_{r5\%} \approx \frac{3}{\zeta\omega_n} \quad (\text{approximation courante}) \] \[ t_{r5\%} \approx \frac{3}{0.3 \times 5} = \frac{3}{1.5} = 2 \text{ s}

\(t_{r5\%} \approx 2 \text{ s}\)

4. Influence de la Position des Pôles

La position des pôles dans le plan complexe est cruciale pour déterminer le comportement du système.

Pour un système linéaire invariant dans le temps (LTI), la stabilité est déterminée par la position de ses pôles dans le plan complexe :

Stabilité : Un système est stable si tous ses pôles ont une partie réelle strictement négative (c'est-à-dire, sont situés dans le demi-plan gauche du plan complexe). Si au moins un pôle a une partie réelle positive, le système est instable. Si des pôles sont sur l'axe imaginaire (partie réelle nulle) et qu'il n'y a pas de pôles à partie réelle positive, le système est marginalement stable (ou simplement stable, selon les conventions, mais peut présenter des oscillations non amorties ou une réponse qui ne tend pas vers zéro en l'absence d'entrée).

La nature de la réponse temporelle est influencée comme suit :

Pôles réels négatifs distincts (\(\zeta > 1\)) : Réponse sur-amortie, pas d'oscillations, convergence relativement lente vers la valeur finale. Plus les pôles sont éloignés de l'axe imaginaire (plus ils sont négatifs), plus la réponse est rapide. Le pôle le plus proche de l'axe imaginaire (pôle dominant) a tendance à dicter la lenteur de la réponse.
Pôles réels négatifs confondus (\(\zeta = 1\)) : Réponse critiquement amortie, pas d'oscillations, convergence la plus rapide possible sans dépassement.
Pôles complexes conjugués à partie réelle négative (\(0 < \zeta < 1\)) : Réponse sous-amortie, oscillations amorties. La partie réelle (\(-\zeta\omega_n\)) détermine la vitesse d'amortissement des oscillations (plus elle est négative, plus l'amortissement est rapide). La partie imaginaire (\(\pm \omega_d = \pm \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\)) détermine la fréquence des oscillations.
Pôles imaginaires purs (\(\zeta = 0\)) : Oscillations non amorties de fréquence \(\omega_n\). Le système est marginalement stable.
Pôles avec partie réelle positive : Réponse instable, qui diverge exponentiellement (si réel positif) ou avec des oscillations d'amplitude croissante (si complexes conjugués à partie réelle positive).

En résumé, plus les pôles sont à gauche dans le plan complexe, plus la réponse est rapide et bien amortie (pour les pôles dominants). La présence de parties imaginaires indique un comportement oscillatoire.

5. Allure Qualitative des Réponses Indicielles

Les différentes valeurs de \(\zeta\) modifient radicalement l'allure de la réponse à un échelon.

Allure qualitative des réponses indicielles pour différents coefficients d'amortissement.

Description des allures :

Cas 1 (Sous-amorti, \(\zeta=0.3\), bleu) : La réponse dépasse la valeur finale (1), oscille autour de cette valeur avec une amplitude décroissante, puis se stabilise. Les caractéristiques \(t_p\), \(D\%\), et \(t_{r5\%}\) sont visibles.
Cas 2 (Critiquement amorti, \(\zeta=1\), vert) : La réponse atteint la valeur finale le plus rapidement possible sans aucun dépassement ni oscillation.
Cas 3 (Sur-amorti, \(\zeta=1.5\), rouge) : La réponse atteint la valeur finale sans oscillation, mais plus lentement que le cas critiquement amorti. Elle semble "traîner" pour atteindre la consigne.

Glossaire des Termes Clés

Système du Second Ordre :

Système dont la dynamique est décrite par une équation différentielle linéaire du second ordre. Sa fonction de transfert a un polynôme de degré 2 au dénominateur.

Pulsation Propre Non Amortie (\(\omega_n\)) :

Fréquence à laquelle le système oscillerait en l'absence de tout amortissement (\(\zeta=0\)). Elle est liée à la "rapidité" intrinsèque du système.

Coefficient d'Amortissement (\(\zeta\)) :

Paramètre sans dimension qui caractérise la manière dont les oscillations sont amorties. Il détermine la nature de la réponse (sous-amortie, critiquement amortie, sur-amortie).

Pôles du Système :

Racines du dénominateur de la fonction de transfert (ou racines de l'équation caractéristique). Leur position dans le plan complexe détermine la stabilité et la nature de la réponse temporelle.

Réponse Indicielle (ou à un échelon) :

Sortie du système lorsque l'entrée est un échelon unitaire (un signal qui passe de 0 à 1 à \(t=0\) et reste à 1).

Régime Sous-amorti (\(0 < \zeta < 1\)) :

La réponse présente des oscillations amorties avant de se stabiliser. Les pôles sont complexes conjugués à partie réelle négative.

Régime Critiquement Amorti (\(\zeta = 1\)) :

La réponse atteint la valeur finale le plus rapidement possible sans oscillations. Les pôles sont réels, négatifs et confondus.

Régime Sur-amorti (\(\zeta > 1\)) :

La réponse atteint la valeur finale sans oscillations, mais plus lentement que le régime critiquement amorti. Les pôles sont réels, négatifs et distincts.

Pulsation Propre Amortie (\(\omega_d\)) :

Fréquence des oscillations dans un régime sous-amorti. \(\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}\).

Temps de Pic (\(t_p\)) :

Instant où la réponse indicielle atteint son premier maximum (dans un régime sous-amorti).

Dépassement Maximal (\(D\%\) ou \(M_p\)) :

Valeur maximale de la réponse au-delà de sa valeur finale, exprimée en pourcentage de cette valeur finale.

Temps de Réponse (\(t_r\)) :

Temps nécessaire pour que la réponse atteigne et reste à l'intérieur d'un certain pourcentage (ex: 2% ou 5%) de sa valeur finale.

Temps de Montée (\(t_m\)) :

Temps nécessaire pour que la réponse passe d'un faible pourcentage (ex: 10%) à un fort pourcentage (ex: 90%) de sa valeur finale.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment la présence de zéros dans la fonction de transfert d'un système du second ordre affecterait-elle sa réponse indicielle, en particulier le dépassement ?

2. Si l'on souhaite qu'un système du second ordre ait une réponse rapide avec peu ou pas de dépassement, quelles valeurs de \(\zeta\) et \(\omega_n\) faudrait-il viser ? Quels sont les compromis ?

3. Comment pourrait-on expérimentalement estimer \(\zeta\) et \(\omega_n\) à partir d'une réponse indicielle observée d'un système supposé du second ordre ?

4. Discutez de l'impact de l'ajout d'un correcteur (par exemple, un correcteur Proportionnel-Intégral-Dérivé, PID) sur les pôles en boucle fermée d'un système du second ordre et, par conséquent, sur sa réponse temporelle.

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