Calcul de la Résistance Équivalente

Objectifs Pédagogiques

Identifier les associations de résistances en série et en parallèle dans un circuit.
Appliquer les formules correctes pour calculer la résistance équivalente pour chaque type d'association.
Simplifier un circuit mixte (série et parallèle) pour trouver sa résistance équivalente totale.

Contexte des Associations de Résistances

En électronique, les circuits sont rarement composés d'une seule résistance. Les composants sont souvent groupés, ou "associés", de deux manières principales : en série ou en parallèle. Comprendre comment calculer la résistance équivalenteLa valeur d'une résistance unique qui pourrait remplacer un ensemble de résistances sans changer la tension et le courant totaux du circuit. (\(R_{\text{éq}}\)) de ces groupements est une compétence essentielle. Cela permet de simplifier des circuits complexes pour les analyser plus facilement, notamment en utilisant la loi d'Ohm sur l'ensemble du circuit.

Données de l'étude

On analyse le circuit mixte (ou combiné) ci-dessous, composé de quatre résistances.

Valeurs des résistances :

Résistance \(R_1\) : \(100 \, \Omega\)
Résistance \(R_2\) : \(200 \, \Omega\)
Résistance \(R_3\) : \(300 \, \Omega\)
Résistance \(R_4\) : \(150 \, \Omega\)

Schéma du Circuit Mixte

Questions à traiter

Calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{23}}\)) de l'association en parallèle de \(R_2\) et \(R_3\).
Calculer la résistance équivalente totale (\(R_{\text{éq}}\)) du circuit entre les points A et B.

Correction : Calcul de la Résistance Équivalente (Associations Série et Parallèle)

Question 1 : Résistance Équivalente de la Branche Parallèle (\(R_{\text{23}}\))

Principe :

Lorsque des résistances sont en parallèleAssociation où le courant a plusieurs chemins possibles. La tension est la même aux bornes de chaque branche., le courant se divise pour passer à travers chaque branche. L'inverse de la résistance équivalente est égal à la somme des inverses de chaque résistance.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : En ajoutant des chemins pour le courant, on facilite son passage. C'est pourquoi la résistance équivalente d'une association en parallèle est **toujours plus petite** que la plus petite des résistances individuelles de la branche. C'est un bon moyen de vérifier son calcul.

Formule(s) utilisée(s) :

\frac{1}{R_{\text{23}}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \quad \Rightarrow \quad R_{\text{23}} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}

La deuxième formule (produit sur somme) est un raccourci très pratique pour **deux** résistances en parallèle uniquement.

Données(s) :

Résistance \(R_2\) : \(200 \, \Omega\)
Résistance \(R_3\) : \(300 \, \Omega\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} R_{\text{23}} &= \frac{200 \, \Omega \times 300 \, \Omega}{200 \, \Omega + 300 \, \Omega} \\ &= \frac{60000 \, \Omega^2}{500 \, \Omega} \\ &= 120 \, \Omega \end{aligned}

Résultat Question 1 : La résistance équivalente de la branche parallèle est \(R_{\text{23}} = 120 \, \Omega\).

Question 2 : Résistance Équivalente Totale (\(R_{\text{éq}}\))

Principe :

Après avoir simplifié la branche parallèle en une seule résistance équivalente \(R_{\text{23}}\), le circuit se compose maintenant de trois résistances en sérieAssociation où les composants sont connectés bout à bout, formant un seul chemin pour le courant. : \(R_1\), \(R_{\text{23}}\), et \(R_4\). Pour des résistances en série, la résistance équivalente est simplement la somme de leurs valeurs individuelles.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La stratégie pour les circuits mixtes est toujours la même : "diviser pour mieux régner". On identifie les groupes simples (série ou parallèle), on les remplace par leur résistance équivalente, et on redessine mentalement le circuit simplifié, jusqu'à n'avoir plus qu'une seule résistance.

Formule(s) utilisée(s) :

R_{\text{éq}} = R_1 + R_{\text{23}} + R_4

Données(s) :

Résistance \(R_1\) : \(100 \, \Omega\)
Résistance \(R_{\text{23}}\) : \(120 \, \Omega\) (calculé à la question 1)
Résistance \(R_4\) : \(150 \, \Omega\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} R_{\text{éq}} &= 100 \, \Omega + 120 \, \Omega + 150 \, \Omega \\ &= 370 \, \Omega \end{aligned}

Résultat Question 2 : La résistance équivalente totale du circuit est \(R_{\text{éq}} = 370 \, \Omega\).

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Paramètre	Valeur Calculée
Résistance de la branche parallèle (\(R_{23}\))	Cliquez pour révéler
Résistance équivalente totale (\(R_{\text{éq}}\))	Cliquez pour révéler

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : Dans le même circuit, on remplace \(R_4\) par une résistance de \(80 \, \Omega\). Quelle est la nouvelle résistance équivalente totale ?

\(R_{\text{éq}}\) (en Ω) =

Pièges à Éviter

Oublier d'inverser : L'erreur la plus commune pour le calcul en parallèle est de calculer \(1/R_1 + 1/R_2\) et d'oublier de prendre l'inverse du résultat (\(1/x\)) pour obtenir \(R_{\text{éq}}\).

Raccourci abusif : La formule "produit sur somme" ne fonctionne que pour **deux** résistances en parallèle. Pour trois résistances ou plus, il faut utiliser la formule générale avec les inverses.

Simulation Interactive

Variez les valeurs des résistances pour voir comment la résistance équivalente évolue.

Paramètres de Simulation (Circuit de l'exercice)

Résistance R2 : 200 Ω

Résistance R3 : 300 Ω

Résultats Calculés

Résistance Parallèle (\(R_{23}\))

Résistance Totale (\(R_{\text{éq}}\))

Pour Aller Plus Loin

1. Diviseur de Tension

Dans un circuit série, la tension se répartit aux bornes de chaque résistance. La tension aux bornes d'une résistance \(R_x\) est \(U_x = U_{\text{total}} \cdot (R_x / R_{\text{éq}})\). Cette propriété est massivement utilisée pour créer des tensions de référence.

2. Diviseur de Courant

Dans un circuit parallèle, c'est le courant qui se divise dans chaque branche. Le courant dans une branche contenant une résistance \(R_x\) est \(I_x = I_{\text{total}} \cdot (R_{\text{éq, parallèle}} / R_x)\). Notez que la plus petite résistance reçoit le plus de courant !

Le Saviez-Vous ?

Les guirlandes de Noël à l'ancienne étaient un exemple parfait de circuit en série. Si une seule ampoule grillait (le circuit s'ouvrait), toutes les autres s'éteignaient, car le chemin unique du courant était interrompu. Les guirlandes modernes connectent les ampoules en groupes parallèles pour éviter ce problème.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la résistance équivalente parallèle est-elle toujours plus petite ?

Imaginez des caisses dans un supermarché. Chaque caisse est un chemin pour les clients (le courant). Si vous n'avez qu'une caisse (une résistance), le débit est limité. Si vous ouvrez une deuxième caisse (une résistance en parallèle), vous offrez un nouveau chemin. Le débit total de clients augmente, ce qui signifie que la "résistance" globale du système de caisses a diminué.

Que se passe-t-il si un fil court-circuite une résistance ?

Un fil a une résistance quasi nulle (\(R \approx 0 \, \Omega\)). Si vous placez un fil en parallèle d'une résistance, le courant, "paresseux", choisira le chemin de moindre résistance. Presque tout le courant passera par le fil, et la résistance sera ignorée. La résistance équivalente de cette association parallèle sera quasiment nulle.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Deux résistances de 10 Ω et 10 Ω sont en série. Leur résistance équivalente est :

20 Ω
5 Ω
10 Ω

2. Deux résistances de 10 Ω et 10 Ω sont en parallèle. Leur résistance équivalente est :

20 Ω
5 Ω
10 Ω

Glossaire

Association en Série: Montage où les composants sont connectés bout à bout. Le courant n'a qu'un seul chemin et est le même à travers tous les composants.
Association en Parallèle: Montage où les composants sont connectés aux deux mêmes nœuds. Le courant se divise pour passer dans chaque branche, mais la tension est la même aux bornes de chaque composant.
Résistance Équivalente (\(R_{\text{éq}}\)): La valeur d'une résistance unique qui pourrait remplacer un groupement de résistances sans modifier le comportement global du circuit (courant et tension totaux).