Calcul des Intensités Efficace et Maximale
Déterminer les valeurs efficace et maximale du courant dans un circuit RLC série alimenté en courant alternatif, à partir des caractéristiques de la source et des composants du circuit.
En courant alternatif (CA), le courant et la tension varient de manière sinusoïdale. On distingue deux valeurs importantes pour caractériser l'amplitude du courant :
- Intensité maximale (\(I_{max}\)) : C'est la valeur de crête du signal sinusoïdal de courant.
- Intensité efficace (\(I_{eff}\) ou simplement \(I\)) : C'est la valeur qui produirait le même effet Joule (échauffement) dans une résistance qu'un courant continu de même valeur. Pour un signal sinusoïdal, la relation est : \(I_{eff} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}\).
La loi d'Ohm en régime sinusoïdal permanent s'écrit avec les valeurs efficaces et l'impédance : \(V_{eff} = |Z| \cdot I_{eff}\), d'où \(I_{eff} = \frac{V_{eff}}{|Z|}\).
L'expression temporelle du courant est de la forme \(i(t) = I_{max} \sin(\omega t + \phi_I)\), où \(\phi_I\) est la phase du courant.
Données du Problème
Un circuit RLC série est alimenté par une source de tension alternative.
- Tension efficace de la source : \(V_s = 230 \text{ V}\)
- Fréquence de la source : \(f = 50 \text{ Hz}\)
- Résistance : \(R = 25 \, \Omega\)
- Inductance : \(L = 120 \text{ mH}\)
- Capacité : \(C = 80 \, \mu\text{F}\)
Questions
- Calculer la pulsation (\(\omega\)) de la source.
- Calculer la réactance inductive (\(X_L\)) et la réactance capacitive (\(X_C\)).
- Déterminer l'impédance totale du circuit (\(Z_{tot}\)) en forme rectangulaire et polaire (module et phase).
- Calculer l'intensité efficace (\(I_{eff}\)) du courant circulant dans le circuit.
- Calculer l'intensité maximale (\(I_{max}\)) du courant.
- Si la tension source est prise comme référence de phase (\(V_s = 230 \angle 0^\circ \text{ V}\)), déterminer la phase du courant (\(\phi_I\)).
- Écrire l'expression temporelle du courant \(i(t)\).
Correction : Calcul des Intensités Efficace et Maximale
1. Calcul de la Pulsation (\(\omega\))
La pulsation \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\).
Donnée : \(f = 50 \text{ Hz}\)
La pulsation est \(\omega = 100\pi \text{ rad/s} \approx 314.16 \text{ rad/s}\).
2. Calcul des Réactances (\(X_L\) et \(X_C\))
Réactance inductive : \(X_L = \omega L\). Réactance capacitive : \(X_C = \frac{1}{\omega C}\).
Données :
\(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)
\(L = 120 \text{ mH} = 0.12 \text{ H}\)
\(C = 80 \, \mu\text{F} = 80 \times 10^{-6} \text{ F}\)
Réactance inductive \(X_L\) :
Réactance capacitive \(X_C\) :
- Réactance inductive : \(X_L \approx 37.70 \, \Omega\)
- Réactance capacitive : \(X_C \approx 39.79 \, \Omega\)
3. Détermination de l'Impédance Totale (\(Z_{tot}\))
Pour un circuit RLC série, \(Z_{tot} = R + j(X_L - X_C)\).
Données :
\(R = 25 \, \Omega\)
\(X_L \approx 37.70 \, \Omega\)
\(X_C \approx 39.79 \, \Omega\)
Réactance totale : \(X_{tot} = X_L - X_C \approx 37.70 - 39.79 = -2.09 \, \Omega\)
Forme rectangulaire :
Module de l'impédance :
Phase de l'impédance :
Forme polaire :
- Forme rectangulaire : \(Z_{tot} \approx 25 - j2.09 \, \Omega\)
- Forme polaire : \(Z_{tot} \approx 25.09 \angle -4.78^\circ \, \Omega\)
Quiz Intermédiaire : Impédance
4. Calcul de l'Intensité Efficace (\(I_{eff}\))
L'intensité efficace est \(I_{eff} = \frac{V_s}{|Z_{tot}|}\).
Données :
\(V_s = 230 \text{ V}\)
\(|Z_{tot}| \approx 25.09 \, \Omega\)
L'intensité efficace du courant est \(I_{eff} \approx 9.17 \text{ A}\).
5. Calcul de l'Intensité Maximale (\(I_{max}\))
Pour un signal sinusoïdal, \(I_{max} = I_{eff} \times \sqrt{2}\).
Donnée : \(I_{eff} \approx 9.167 \text{ A}\)
L'intensité maximale du courant est \(I_{max} \approx 12.96 \text{ A}\).
Quiz Intermédiaire : Valeurs Efficace et Maximale
6. Phase du Courant (\(\phi_I\))
La phase du courant \(\phi_I\) est donnée par \(\phi_I = \phi_V - \phi_Z\). Si la tension source est la référence de phase, \(\phi_V = 0^\circ\).
Données :
\(\phi_V = 0^\circ\)
\(\phi_Z \approx -4.78^\circ\)
Le courant est en avance de \(4.78^\circ\) sur la tension, ce qui est cohérent avec un circuit globalement capacitif.
La phase du courant est \(\phi_I \approx 4.78^\circ\).
7. Expression Temporelle du Courant \(i(t)\)
L'expression est \(i(t) = I_{max} \sin(\omega t + \phi_I)\).
Données :
\(I_{max} \approx 12.96 \text{ A}\)
\(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)
\(\phi_I \approx 4.78^\circ\)
Il est préférable de convertir \(\phi_I\) en radians pour l'expression temporelle : \(\phi_I (\text{rad}) = 4.78^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx 0.0834 \text{ rad}\).
Ou en radians :
L'expression temporelle du courant est \(i(t) \approx 12.96 \sin(100\pi t + 4.78^\circ) \text{ A}\).
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Glossaire des Termes Clés
Intensité Efficace (\(I_{eff}\) ou \(I\)) :
Valeur quadratique moyenne du courant. Pour un signal sinusoïdal, \(I_{eff} = I_{max} / \sqrt{2}\). C'est la valeur mesurée par la plupart des ampèremètres en CA.
Intensité Maximale (\(I_{max}\)) :
Amplitude de crête du signal de courant sinusoïdal.
Impédance (\(Z\)) :
Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. Comprend la résistance et la réactance. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Loi d'Ohm en CA :
Relation entre tension efficace, courant efficace et module de l'impédance : \(V_{eff} = |Z| \cdot I_{eff}\).
Phase du Courant (\(\phi_I\)) :
Décalage angulaire du signal de courant par rapport à une référence (souvent la tension source). Unité : degrés ou radians.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Pourquoi la valeur efficace est-elle plus couramment utilisée que la valeur maximale dans les spécifications électriques et les calculs de puissance ?
2. Comment la fréquence de la source affecte-t-elle l'intensité du courant dans un circuit RLC série ? Discuter des cas où le circuit est principalement résistif, inductif ou capacitif.
3. Que se passe-t-il avec l'intensité du courant à la fréquence de résonance d'un circuit RLC série ?
4. Si la tension source était donnée par \(v_s(t) = V_{max} \cos(\omega t)\) au lieu de \(\sin(\omega t)\), comment cela affecterait-il la phase du courant calculée et son expression temporelle ?
5. Dans les systèmes polyphasés (par exemple, triphasés), comment les concepts d'intensité efficace et maximale s'appliquent-ils à chaque phase et aux courants de ligne ?
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