Capacité d'un condensateur plan avec diélectrique

Contexte : L'étude des condensateursUn composant électronique qui stocke de l'énergie sous la forme d'un champ électrique. Il est constitué de deux conducteurs (armatures) séparés par un isolant. est fondamentale en électromagnétisme.

Ces composants sont omniprésents dans les circuits électroniques pour stocker de l'énergie, filtrer des signaux ou temporiser des circuits. Un condensateur plan est la géométrie la plus simple pour comprendre les principes de base. L'ajout d'un matériau diélectriqueUn matériau isolant qui, lorsqu'il est soumis à un champ électrique, se polarise et augmente la capacité du condensateur. entre ses armatures permet d'augmenter sa capacité de stockage d'énergie. Cet exercice a pour but de quantifier cet effet.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer la capacité d'un condensateur plan et à comprendre l'influence d'un matériau diélectrique sur ses propriétés électriques et énergétiques.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la capacité d'un condensateur plan dans le vide.
Comprendre et utiliser le concept de permittivité relative.
Déterminer la nouvelle capacité après l'insertion d'un diélectrique.
Calculer la charge et l'énergie stockées par le condensateur.

Données de l'étude

On considère un condensateur plan dont les armatures sont des carrés de côté \(a\). Ces armatures sont séparées par une distance \(d\) et soumises à une différence de potentiel \(V\).

Schéma du Condensateur

Condensateur Plan (a) à vide et (b) avec diélectrique

Paramètre	Description	Valeur	Unité
a	Côté des armatures carrées	10	cm
d	Distance entre les armatures	1	mm
V	Tension appliquée	12	V
\(\varepsilon_r\)	Permittivité relative du diélectrique	4	(sans unité)
\(\varepsilon_0\)	Permittivité du vide (constante)	8.854 x 10⁻¹²	F/m

Questions à traiter

Calculer la surface \(A\) des armatures.
Calculer la capacité \(C_0\) du condensateur sans diélectrique (à vide).
Calculer la capacité \(C\) du condensateur une fois l'espace entre les armatures rempli par le diélectrique.
Déterminer la charge électrique \(Q\) accumulée sur les armatures en présence du diélectrique.
Calculer l'énergie \(W\) emmagasinée par le condensateur avec le diélectrique.

Les bases sur les Condensateurs

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser deux concepts clés : la capacité d'un condensateur plan et l'effet d'un matériau diélectrique.

1. Capacité d'un Condensateur Plan à Vide
La capacitéLa capacité (C) est une mesure de l'aptitude d'un condensateur à stocker des charges électriques pour une tension donnée. Son unité est le Farad (F). \(C_0\) d'un condensateur plan est directement proportionnelle à la surface \(A\) de ses armatures et inversement proportionnelle à la distance \(d\) qui les sépare. \[ C_0 = \varepsilon_0 \frac{A}{d} \] Où \(\varepsilon_0\) est la permittivité diélectrique du vide, une constante fondamentale.

2. Effet d'un Diélectrique
L'insertion d'un matériau diélectrique isolant entre les armatures augmente la capacité. Cet effet est quantifié par la permittivité relativeAussi appelée constante diélectrique (εr), c'est un nombre sans dimension qui indique de combien un matériau augmente la capacité par rapport au vide. \(\varepsilon_r\). La nouvelle capacité \(C\) est : \[ \begin{aligned} C &= \varepsilon_r \cdot C_0 \\ &= \varepsilon_r \cdot \varepsilon_0 \frac{A}{d} \end{aligned} \]

Correction : Capacité d’un Condensateur Plan avec Diélectrique

Question 1 : Calculer la surface \(A\) des armatures.

Principe (le concept physique)

L'énoncé précise que les armatures sont des carrés. La surface d'un carré se calcule simplement en élevant la longueur de son côté au carré. C'est une étape préliminaire mais essentielle pour les calculs de capacité.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En géométrie euclidienne, la surface (ou aire) d'un polygone est la mesure de la superficie de sa face. Pour un rectangle de côtés \(L\) et \(l\), l'aire est \(A = L \times l\). Un carré est un cas particulier de rectangle où \(L = l = a\), d'où la formule \(A = a \times a = a²\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette première étape semble simple, mais elle est cruciale. Une erreur ici se répercutera sur toutes les questions suivantes. Prenez l'habitude de toujours commencer par identifier et calculer les grandeurs géométriques de base.

Normes (la référence réglementaire)

Pour ce calcul géométrique fondamental, il n'y a pas de "norme" d'ingénierie spécifique autre que les définitions mathématiques standard (Système International d'unités, ISO 80000-2 pour les grandeurs mathématiques).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la surface d'un carré

\[ A = a^2 \]

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les armatures sont des carrés parfaits.
On suppose que les armatures sont parfaitement planes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les données pour cette question proviennent directement de l'énoncé de l'exercice.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Côté de l'armature	a	10	cm

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour convertir des centimètres (cm) en mètres (m), on divise par 100 (ou \(10^2\)). Pour convertir des cm² en m², il faut donc diviser par \(100^2\), soit 10 000 (ou \(10^4\)). Pensez \((10^{-2})^2 = 10^{-4}\).

Schéma (Avant les calculs)

Représentation d'une armature carrée

Calcul(s) (l'application numérique)

Avant le calcul, il est crucial de convertir toutes les dimensions en unités du Système International (mètres) pour la cohérence des calculs à venir.

Étape 1 : Conversion des unités

\begin{aligned} a &= 10 \text{ cm} \\ &= 10 \times 10^{-2} \text{ m} \\ &= 0.1 \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la surface

\begin{aligned} A &= a^2 \\ &= (0.1 \text{ m})^2 \\ &= 0.01 \text{ m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Schéma de l'armature avec surface calculée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat \(0.01 \text{ m}^2\) est la surface active qui sera utilisée dans la formule de la capacité. C'est une valeur de base pour la suite de l'exercice.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de convertir les unités AVANT le calcul. Calculer \(A = 10^2 = 100 \text{ cm}^2\) puis mal convertir (\(0.1 \text{ m}^2\) ou \(1 \text{ m}^2\)) est une source d'erreur majeure. Toujours convertir en SI (`mètres`) d'abord.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Formule de la surface d'un carré : \(A = a^2\).
Conversion d'unité : \(1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m}\).
Conversion de surface : \(1 \text{ cm}^2 = (10^{-2} \text{ m})^2 = 10^{-4} \text{ m}^2\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La notion de "surface" est l'une des plus anciennes en mathématiques. Les Babyloniens et les Égyptiens savaient déjà calculer l'aire de figures simples pour l'agriculture (cadastre) et la construction, bien avant la formalisation par les Grecs comme Euclide.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La surface de chaque armature est \(A = 0.01 \text{ m}^2\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Si l'armature était un disque de 10 cm de diamètre, quelle serait sa surface en m² ? (Rappel : \(A = \pi r^2\))

Question 2 : Calculer la capacité \(C_0\) du condensateur sans diélectrique (à vide).

Principe (le concept physique)

On applique la formule fondamentale du condensateur plan, qui relie sa capacité \(C_0\) à ses caractéristiques géométriques (surface \(A\) et distance \(d\)) et à la permittivité du milieu (ici, le vide \(\varepsilon_0\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La capacité est définie par \(C = Q/V\). Pour un condensateur plan, le champ électrique est uniforme (en négligeant les effets de bord) et vaut \(E = \sigma/\varepsilon_0\), où \(\sigma = Q/A\) est la densité de charge. La tension est \(V = E \times d = (Qd)/(A\varepsilon_0)\). En réarrangeant pour \(C_0 = Q/V\), on isole \(C_0 = \varepsilon_0 A/d\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette formule \(C_0 = \varepsilon_0 A/d\) est le point de départ de toute étude de condensateur plan. Mémorisez-la. Vous voyez ici que la capacité ne dépend *que* de la géométrie et du milieu, pas de la tension ou de la charge (qui sont proportionnelles).

Normes (la référence réglementaire)

Les définitions de la capacité (en Farad) et de la permittivité du vide (\(\varepsilon_0\), aussi appelée "constante électrique") sont standardisées au niveau international par la Commission Électrotechnique Internationale (CEI) et le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la capacité à vide

C_0 = \varepsilon_0 \frac{A}{d}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On néglige les effets de bord (le champ électrique est supposé parfaitement uniforme et confiné entre les armatures).
L'espace entre les armatures est un vide parfait (permittivité \(\varepsilon_0\)).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les données proviennent de l'énoncé (\(d\), \(\varepsilon_0\)) et du résultat de la Question 1 (\(A\)).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Surface (calculée Q1)	A	0.01	m²
Distance	d	1	mm
Permittivité du vide	\(\varepsilon_0\)	8.854 x 10⁻¹²	F/m

Astuces (Pour aller plus vite)

Le résultat sera en Farads (F) mais sera très petit. Pensez aux sous-multiples : 1 mF (milli) = \(10^{-3}\) F, 1 µF (micro) = \(10^{-6}\) F, 1 nF (nano) = \(10^{-9}\) F, 1 pF (pico) = \(10^{-12}\) F. Un résultat en \(10^{-11}\) ou \(10^{-10}\) s'exprime souvent en pF.

Schéma (Avant les calculs)

Modélisation du condensateur à vide (vue isométrique)

Calcul(s) (l'application numérique)

Assurons-nous que toutes les données sont en unités SI : \(A\) en m², \(d\) en m, et \(\varepsilon_0\) en F/m.

Étape 1 : Conversion de la distance

\begin{aligned} d &= 1 \text{ mm} \\ &= 1 \times 10^{-3} \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Application numérique

\begin{aligned} C_0 &= (8.854 \times 10^{-12} \text{ F/m}) \times \frac{0.01 \text{ m}^2}{1 \times 10^{-3} \text{ m}} \\ &= 8.854 \times 10^{-11} \text{ F} \\ &= 88.54 \times 10^{-12} \text{ F} \\ &\Rightarrow C_0 = 88.54 \text{ pF} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Champ Électrique (Effets de bord négligés)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

88.54 pF est une valeur de capacité faible, ce qui est typique pour un condensateur "fait maison" de cette taille. Les condensateurs industriels utilisent des surfaces enroulées très grandes et des distances très faibles pour atteindre des valeurs en µF ou mF.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est la conversion de \(d\). Oublier de convertir 1 mm en \(10^{-3} \text{ m}\) est fatal. Une autre erreur est de mal diviser les exposants : \(10^{-12} \times 10^{-2} / 10^{-3}\) donne \(10^{-11}\), pas \(10^{-13}\) ou \(10^{-17}\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Formule de base : \(C_0 = \varepsilon_0 A/d\).
La capacité est proportionnelle à la surface \(A\).
La capacité est inversement proportionnelle à la distance \(d\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le Farad (F) est une unité de capacité "énorme". La capacité de la planète Terre entière, si on la considère comme une sphère conductrice isolée dans l'espace, n'est que d'environ 710 microFarads (µF), soit 0.00071 F.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La capacité du condensateur à vide est \(C_0 = 88.54 \text{ pF}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Si on double la distance \(d\) (à 2 mm) et qu'on double le côté \(a\) (à 20 cm, donc \(A\) est x4), que devient \(C_0\) ?

Question 3 : Calculer la capacité \(C\) du condensateur avec le diélectrique.

Principe (le concept physique)

L'insertion d'un matériau diélectrique isolant entre les armatures modifie le champ électrique. Le matériau se polarise, créant un champ interne qui s'oppose au champ extérieur. L'effet net est une augmentation de la capacité d'un facteur \(\varepsilon_r\), la permittivité relative.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La permittivité d'un matériau est \(\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0\). Le champ électrique dans le diélectrique devient \(E = E_0 / \varepsilon_r\). La tension devient \(V = E \times d = (E_0 d) / \varepsilon_r = V_0 / \varepsilon_r\). Comme \(C = Q/V\) (et Q ne change pas si le condensateur est isolé), on a \(C = Q / (V_0 / \varepsilon_r) = \varepsilon_r (Q / V_0) = \varepsilon_r C_0\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le nombre \(\varepsilon_r\) (ou \(\kappa\) dans certains livres) est votre "multiplicateur de capacité". C'est l'unique but d'un diélectrique dans un condensateur : stocker plus de charges pour la *même* tension. C'est un simple facteur multiplicatif.

Normes (la référence réglementaire)

Les valeurs de permittivité relative des matériaux sont des grandeurs physiques mesurées et tabulées (par ex. dans les normes ASTM D150 pour les plastiques).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la capacité avec diélectrique (relative)

C = \varepsilon_r \cdot C_0

Formule de la capacité avec diélectrique (absolue)

C = \varepsilon_r \varepsilon_0 \frac{A}{d}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le diélectrique remplit *entièrement* l'espace entre les armatures.
Le matériau est homogène et isotrope (ses propriétés sont les mêmes partout et dans toutes les directions).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les données proviennent de l'énoncé (\(\varepsilon_r\)) et du résultat de la Question 2 (\(C_0\)).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Capacité à vide (calculée Q2)	\(C_0\)	88.54	pF
Permittivité relative	\(\varepsilon_r\)	4	(sans unité)

Astuces (Pour aller plus vite)

Puisque \(C_0\) est déjà calculé en pF, il suffit de multiplier ce nombre par \(\varepsilon_r\) pour obtenir le résultat final directement en pF, sans repasser par la formule complète et les puissances de 10.

Schéma (Avant les calculs)

Modélisation du condensateur avec diélectrique

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la nouvelle capacité C

\begin{aligned} C &= 4 \times C_0 \\ &= 4 \times 88.54 \text{ pF} \\ &\Rightarrow C = 354.16 \text{ pF} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Phénomène de Polarisation

Réflexions (l'interprétation du résultat)

En insérant ce diélectrique, nous avons multiplié par 4 la capacité du composant sans changer sa taille. C'est la principale technique utilisée pour fabriquer des condensateurs compacts et performants.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre permittivité (\(\varepsilon\)) et permittivité relative (\(\varepsilon_r\)). La relative \(\varepsilon_r\) est un nombre pur (comme 4 ici). La permittivité absolue \(\varepsilon\) a une unité (F/m) et vaut \(\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Un diélectrique augmente la capacité.
Le facteur d'augmentation est la permittivité relative \(\varepsilon_r\).
Formule clé : \(C = \varepsilon_r C_0\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Certains matériaux, dits "ferroélectriques" (comme le Titanate de Baryum), ont des permittivités relatives \(\varepsilon_r\) qui peuvent dépasser 10 000 ! C'est ce qui permet de créer des condensateurs céramiques multicouches (MLCC) de très haute capacité (plusieurs µF) dans des tailles minuscules (quelques mm³).

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La capacité du condensateur avec le diélectrique est \(C = 354.16 \text{ pF}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Quel \(\varepsilon_r\) faudrait-il pour atteindre une capacité de 1 nF (1000 pF) avec ce condensateur ?

Question 4 : Déterminer la charge électrique \(Q\) accumulée.

Principe (le concept physique)

La charge \(Q\) stockée par un condensateur (sur une armature, l'autre ayant \(-Q\)) est, par définition, le produit de sa capacité \(C\) et de la différence de potentiel (tension) \(V\) appliquée à ses bornes.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La relation \(Q = C V\) est la définition même de la capacité \(C\). \(C\) est le coefficient de proportionnalité constant qui lie la charge \(Q\) à la tension \(V\). Si vous doublez la tension \(V\), vous doublez la charge \(Q\) stockée. La capacité \(C\) (en Farads) est la "quantité de charge" (en Coulombs) que le condensateur peut stocker "par Volt" de tension appliquée.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à un seau. La tension \(V\) est la hauteur d'eau que vous mettez dedans. La charge \(Q\) est le volume d'eau total. La capacité \(C\) est la "largeur" du seau. Pour une même hauteur \(V\), un seau plus large (\(C\) plus grand) contient plus d'eau (\(Q\) plus grande).

Normes (la référence réglementaire)

La relation \(Q = C V\) est la définition standard de la capacité. Les unités (Coulomb, Farad, Volt) sont celles du Système International (SI).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la charge

Q = C \cdot V

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le condensateur est à l'équilibre (il est complètement chargé).
La tension \(V\) est une tension continue (DC).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les données proviennent de l'énoncé (\(V\)) et du résultat de la Question 3 (\(C\)).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Capacité (calculée Q3)	C	354.16	pF
Tension appliquée	V	12	V

Astuces (Pour aller plus vite)

Puisque \(C\) est en pico-Farads (\(10^{-12}\) F) et V en Volts, le résultat \(Q\) sera en pico-Coulombs (pC) ou nano-Coulombs (nC, \(10^{-9}\) C). \(354 \text{ pF} \times 12 \text{ V} \approx 4200 \text{ pC} \approx 4.2 \text{ nC}\).

Schéma (Avant les calculs)

Circuit de charge du condensateur

Calcul(s) (l'application numérique)

On utilise la capacité \(C\) (avec diélectrique) et la tension \(V\). On pense à convertir la capacité en Farads (F) pour obtenir une charge en Coulombs (C).

Calcul de la charge Q

\begin{aligned} Q &= C \cdot V \\ &= (354.16 \times 10^{-12} \text{ F}) \times 12 \text{ V} \\ &= 4249.92 \times 10^{-12} \text{ C} \\ &\approx 4.25 \times 10^{-9} \text{ C} \\ &\Rightarrow Q = 4.25 \text{ nC} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Condensateur chargé

Réflexions (l'interprétation du résultat)

4.25 nanoCoulombs est la quantité de charge (environ 26 milliards d'électrons) qui a été déplacée d'une armature à l'autre par la source de tension de 12V. Sans le diélectrique, la charge n'aurait été que de \(C_0 \times V = 88.54 \text{ pF} \times 12 \text{ V} \approx 1.06 \text{ nC}\).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser la bonne capacité ! La question demande la charge *en présence du diélectrique*, il faut donc utiliser \(C\) (354.16 pF) et non \(C_0\) (88.54 pF).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La relation fondamentale : \(Q = C V\).
La charge \(Q\) est proportionnelle à la capacité \(C\).
La charge \(Q\) est proportionnelle à la tension \(V\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Un Coulomb (C) est une quantité de charge énorme. Un éclair typique transfère entre 5 et 20 Coulombs en une fraction de seconde. Votre condensateur ne stocke que des nanoCoulombs (milliardièmes de Coulomb).

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La charge accumulée sur les armatures est \(Q = 4.25 \text{ nC}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Si on garde ce condensateur (\(C = 354.16 \text{ pF}\)) mais qu'on applique 5V, quelle est la charge \(Q\) en nC ?

Question 5 : Calculer l'énergie \(W\) emmagasinée.

Principe (le concept physique)

Stocker de la charge sur un condensateur demande du travail à la source de tension (elle doit "pousser" les charges contre le champ électrique qui se crée). Ce travail est stocké sous forme d'énergie potentielle électrique \(W\) (ou \(E_p\), \(U\)) dans le champ électrique entre les armatures.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'énergie \(dW\) pour ajouter une petite charge \(dq\) à un condensateur déjà à la tension \(v = q/C\) est \(dW = v dq = (q/C) dq\). En intégrant de 0 à la charge finale \(Q\), on obtient \(W = \int(q/C) dq = (1/C) [q^2/2]_0^Q = Q^2 / (2C)\). En utilisant \(Q = CV\), on trouve aussi \(W = (CV)^2 / (2C) = C^2V^2 / (2C) = \frac{1}{2} CV^2\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La formule \(W = \frac{1}{2} CV^2\) est la plus facile à utiliser lorsque la tension \(V\) est connue (ce qui est souvent le cas). C'est l'équivalent de l'énergie cinétique \(\frac{1}{2} mv^2\) ou de l'énergie d'un ressort \(\frac{1}{2} kx^2\). Notez le facteur \(\frac{1}{2}\) !

Normes (la référence réglementaire)

La définition de l'énergie (en Joules, J) et les formules qui en découlent sont des principes fondamentaux de la physique (thermodynamique et électromagnétisme), standardisés par le SI.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de l'énergie (en fonction de C et V)

W = \frac{1}{2} C V^2

Formule de l'énergie (en fonction de Q et C)

W = \frac{Q^2}{2C}

Formule de l'énergie (en fonction de Q et V)

W = \frac{1}{2} Q V

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose un condensateur "idéal" (pas de résistance interne ou de fuite de courant).
Toute l'énergie est stockée dans le champ électrique.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les données proviennent de l'énoncé (\(V\)) et des résultats des Questions 3 (\(C\)) et 4 (\(Q\)).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Capacité (calculée Q3)	C	354.16	pF
Tension appliquée	V	12	V
Charge (calculée Q4)	Q	4.25	nC

Astuces (Pour aller plus vite)

Utiliser \(W = \frac{1}{2} Q V\) est souvent le plus rapide si vous venez de calculer \(Q\). \(W = 0.5 \times (4.25 \text{ nC}) \times (12 \text{ V})\). Puisque \(\text{nC} \times \text{V} = 10^{-9} \text{ C} \times \text{V} = 10^{-9} \text{ J} = \text{nJ}\), le calcul donne \(0.5 \times 4.25 \times 12 \approx 25.5 \text{ nJ}\).

Schéma (Avant les calculs)

Stockage de l'énergie dans le diélectrique

Calcul(s) (l'application numérique)

Nous utilisons la formule la plus directe \(W = \frac{1}{2} CV^2\).

Calcul de l'énergie W

\begin{aligned} W &= \frac{1}{2} C V^2 \\ &= \frac{1}{2} \times (354.16 \times 10^{-12} \text{ F}) \times (12 \text{ V})^2 \\ &= 0.5 \times (354.16 \times 10^{-12}) \times 144 \\ &= 25499.5 \times 10^{-12} \text{ J} \\ &\approx 2.55 \times 10^{-8} \text{ J} \\ &\Rightarrow W = 25.5 \text{ nJ} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Relation Énergie-Tension

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Si on double la tension à 24V sur ce même condensateur (\(C = 354.16 \text{ pF}\)), que devient l'énergie \(W\) en nJ ?

Outil Interactif : Simulateur & Canvas

Utilisez les curseurs pour modifier les paramètres (Surface, Distance, εr) et voir les résultats (Capacité, Énergie) mis à jour en temps réel. La tension V est fixée à 12V pour le calcul de l'énergie.

Paramètres d'Entrée

Surface (A) 100 cm²

Distance (d) 1.0 mm

Permittivité (εr) 4.0

Résultats Clés

Capacité (C) -

Énergie (W à 12V) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la distance \(d\) entre les armatures d'un condensateur plan, sa capacité est :

Doublée
Divisée par deux
Inchangée

2. Si on double la surface \(A\) des armatures, la capacité :

Est doublée
Est divisée par deux
Est multipliée par quatre

3. Si on double la tension \(V\) appliquée au condensateur, l'énergie \(W\) stockée :

Est doublée
Reste la même (W ne dépend pas de V)
Est multipliée par quatre (car \(W \propto V^2\))

Glossaire

Capacité (C): Grandeur physique caractérisant la capacité d'un condensateur à accumuler des charges électriques pour une tension donnée. Elle se mesure en Farads (F).
Condensateur: Composant électronique passif utilisé pour stocker de l'énergie dans un champ électrique. Il est composé de deux conducteurs (armatures) en influence mutuelle, séparés par un isolant.
Diélectrique: Matériau isolant qui a la propriété de se polariser sous l'effet d'un champ électrique. Placé dans un condensateur, il augmente sa capacité.
Permittivité (ε): Grandeur qui décrit la réponse d'un milieu à un champ électrique. La permittivité du vide \(\varepsilon_0\) est une constante physique. La permittivité relative \(\varepsilon_r\) d'un matériau est le rapport de sa permittivité sur celle du vide.

Capacité d’un condensateur plan avec diélectrique

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma du Condensateur

Condensateur Plan (a) à vide et (b) avec diélectrique

Questions à traiter

Les bases sur les Condensateurs

Correction : Capacité d’un Condensateur Plan avec Diélectrique

Question 1 : Calculer la surface \(A\) des armatures.

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Représentation d'une armature carrée

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Schéma de l'armature avec surface calculée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Question 2 : Calculer la capacité \(C_0\) du condensateur sans diélectrique (à vide).

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Modélisation du condensateur à vide (vue isométrique)

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Champ Électrique (Effets de bord négligés)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Question 3 : Calculer la capacité \(C\) du condensateur avec le diélectrique.

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Modélisation du condensateur avec diélectrique

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Phénomène de Polarisation

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Question 4 : Déterminer la charge électrique \(Q\) accumulée.

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)