Capacité d’un condensateur plan avec diélectrique
Comprendre la Capacité d’un condensateur plan avec diélectrique
Un condensateur plan est constitué de deux plaques parallèles, chacune ayant une aire \(A = 0.5 \, \text{m}^2\), et séparées par une distance \(d = 2 \, \text{mm}\). Un matériau diélectrique est inséré entre les plaques, remplissant complètement l’espace entre elles. Le matériau a une permittivité relative \(\epsilon_r = 3\).
1. Calcul de la capacité du condensateur sans diélectrique:
Calculer la capacité du condensateur si l’espace entre les plaques était vide (i.e., seulement l’air avec \(\epsilon_r = 1\)).
2. Effet du diélectrique:
Calculer la nouvelle capacité du condensateur lorsque le diélectrique est inséré.
3. Charge et tension:
Si une tension de \(100 \, \text{V}\) est appliquée à ce condensateur, calculer la charge sur les plaques avec et sans le diélectrique.
4. Énergie stockée:
Calculer l’énergie stockée dans le condensateur dans les deux cas.
Données nécessaires
- Permittivité du vide, \(\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\).
Correction : Capacité d’un condensateur plan avec diélectrique
1. Calcul de la capacité du condensateur sans diélectrique
La capacité d’un condensateur plan sans diélectrique (seulement avec l’air, pour lequel la permittivité relative \(\epsilon_r = 1\)) se calcule avec la formule suivante :
\[ C_0 = \frac{\epsilon_0 \times A}{d} \]
où
- \(\epsilon_0\) est la permittivité du vide,
- \(A\) est l’aire des plaques,
- \(d\) est la distance entre les plaques.
Données
- \(\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\, \text{F/m}\)
- \(A = 0.5\, \text{m}^2\)
- \(d = 2\, \text{mm} = 0.002\, \text{m}\)
Calcul
Substituons les valeurs dans la formule :
\[ C_0 = \frac{8.85 \times 10^{-12}\, \text{F/m} \times 0.5\, \text{m}^2}{0.002\, \text{m}} \] \[ C_0 = \frac{4.425 \times 10^{-12}\, \text{F}\cdot\text{m}}{0.002\, \text{m}} \] \[ C_0 = 2.2125 \times 10^{-9}\, \text{F} \]
Résultat : \(C_0 = 2.2125 \times 10^{-9}\, \text{F}\) ou environ 2.21 nF.
2. Effet du diélectrique : Calcul de la nouvelle capacité
Lorsque le diélectrique est inséré, la capacité augmente d’un facteur égal à la permittivité relative \(\epsilon_r\) du matériau. La formule devient :
\[ C = \frac{\epsilon_0 \times \epsilon_r \times A}{d} \]
Données
- \(\epsilon_r = 3\)
- \(\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\, \text{F/m}\)
- \(A = 0.5\, \text{m}^2\)
- \(d = 0.002\, \text{m}\)
Calcul
Substituons les valeurs :
\[ C = \frac{8.85 \times 10^{-12}\, \text{F/m} \times 3 \times 0.5\, \text{m}^2}{0.002\, \text{m}} \] \[ C = \frac{13.275 \times 10^{-12}\, \text{F}\cdot\text{m}}{0.002\, \text{m}} \] \[ C = 6.6375 \times 10^{-9}\, \text{F} \]
Résultat : \(C = 6.6375 \times 10^{-9}\, \text{F}\) ou environ 6.64 nF.
3. Charge et tension
La charge stockée sur un condensateur est liée à sa capacité et à la tension appliquée par la relation :
\[ Q = C \times V \]
Nous allons calculer la charge pour les deux cas.
Données
- Tension \(V = 100\, \text{V}\)
- Pour le cas sans diélectrique : \(C_0 = 2.2125 \times 10^{-9}\, \text{F}\)
- Pour le cas avec diélectrique : \(C = 6.6375 \times 10^{-9}\, \text{F}\)
Calculs
Sans diélectrique
\[ Q_0 = C_0 \times V \] \[ Q_0 = 2.2125 \times 10^{-9}\, \text{F} \times 100\, \text{V} \] \[ Q_0 = 2.2125 \times 10^{-7}\, \text{C} \]
Avec diélectrique
\[ Q = C \times V \] \[ Q = 6.6375 \times 10^{-9}\, \text{F} \times 100\, \text{V} \] \[ Q = 6.6375 \times 10^{-7}\, \text{C} \]
Résultats :
- Charge sans diélectrique : \(Q_0 = 2.2125 \times 10^{-7}\, \text{C}\)
- Charge avec diélectrique : \(Q = 6.6375 \times 10^{-7}\, \text{C}\)
4. Énergie stockée
L’énergie stockée dans un condensateur est donnée par la formule :
\[ U = \frac{1}{2} \, C \, V^2 \]
Données
- \(V = 100\, \text{V}\)
- Pour le cas sans diélectrique : \(C_0 = 2.2125 \times 10^{-9}\, \text{F}\)
- Pour le cas avec diélectrique : \(C = 6.6375 \times 10^{-9}\, \text{F}\)
Calculs
Sans diélectrique
\[ U_0 = \frac{1}{2} \, C_0 \, V^2 \] \[ U_0 = \frac{1}{2} \times 2.2125 \times 10^{-9}\, \text{F} \times (100\, \text{V})^2 \] \[ U_0 = \frac{1}{2} \times 2.2125 \times 10^{-9}\, \text{F} \times 10\,000 \] \[ U_0 = 0.5 \times 2.2125 \times 10^{-5}\, \text{J} \] \[ U_0 = 1.10625 \times 10^{-5}\, \text{J} \]
Avec diélectrique
\[ U = \frac{1}{2} \, C \, V^2 \] \[ U = \frac{1}{2} \times 6.6375 \times 10^{-9}\, \text{F} \times 10\,000 \] \[ U = 0.5 \times 6.6375 \times 10^{-5}\, \text{J} \] \[ U = 3.31875 \times 10^{-5}\, \text{J} \]
Résultats :
- Énergie sans diélectrique : \(U_0 = 1.10625 \times 10^{-5}\, \text{J}\)
- Énergie avec diélectrique : \(U = 3.31875 \times 10^{-5}\, \text{J}\)
Capacité d’un condensateur plan avec diélectrique
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