Calcul de la Chute de Tension dans un Système Triphasé
Contexte : Alimentation d'un Moteur dans un Atelier.
Le transport de l'énergie électrique sur des câbles n'est jamais parfait. Une partie de la tension est "perdue" en route à cause de l'impédance du câble. Ce phénomène, appelé chute de tensionDiminution de la tension électrique le long d'un conducteur, due à son impédance., est crucial en électrotechnique car une chute trop importante peut provoquer un dysfonctionnement des appareils. Cet exercice a pour but de vérifier si le câble alimentant un nouveau moteur dans un atelier est correctement dimensionné pour respecter les normes en vigueur.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer la chute de tension pour un récepteur triphasé (moteur), une compétence essentielle pour tout électricien ou ingénieur afin de garantir la sécurité et la performance des installations électriques.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le courant d'emploi d'un moteur triphasé.
- Comprendre et utiliser la formule de la chute de tension en triphasé.
- Calculer la chute de tension en valeur absolue (Volts) et en pourcentage (%).
- Vérifier la conformité d'une installation par rapport à la norme NF C 15-100.
Données de l'étude
Schéma de l'installation électrique
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Puissance utile du moteur (\(P_u\)) | 15 kW |
| Tension d'alimentation (U) | 400 V (triphasé) |
| Facteur de puissance (\(\cos \varphi\)) | 0.82 |
| Rendement du moteur (\(\eta\)) | 0.90 |
| Longueur du câble (L) | 85 m |
| Section du câble en cuivre (S) | 10 mm² |
| Résistance linéique du câble (R') | 2.3 Ω/km |
| Réactance linéique du câble (X') | 0.08 Ω/km |
Questions à traiter
- Calculer la puissance absorbée (\(P_a\)) par le moteur.
- Déterminer le courant d'emploi (\(I_u\)) consommé par le moteur.
- Calculer la chute de tension (\(\Delta U\)) dans le câble en Volts.
- Calculer la chute de tension en pourcentage (\(\Delta U\)\ %).
- Conclure sur la conformité de l'installation, sachant que la norme NF C 15-100 impose une chute de tension maximale de 5% pour les circuits moteurs.
Les bases sur la Chute de Tension
La chute de tension dans une ligne triphasée équilibrée est calculée à l'aide d'une formule approchée, mais très précise pour les applications courantes. Elle prend en compte la résistance et la réactance du câble, ainsi que le déphasage courant-tension du récepteur (\(\cos \varphi\)).
1. Puissance et Courant en Triphasé
La puissance active absorbée par un récepteur triphasé est liée à la tension, au courant et au facteur de puissance par la relation :
\[ P_{\text{a}} = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos \varphi \]
On peut donc isoler le courant : \(I = P_{\text{a}} / (\sqrt{3} \cdot U \cdot \cos \varphi)\)
2. Formule de la Chute de Tension
La formule approchée pour la chute de tension en triphasé est :
\[ \Delta U \approx \sqrt{3} \cdot I \cdot L \cdot (R' \cos \varphi + X' \sin \varphi) \]
Où R' et X' sont les résistances et réactances linéiques (en Ω/km), L la longueur en km, I en Ampères.
Correction : Calcul de la Chute de Tension dans un Système Triphasé
Question 1 : Calculer la puissance absorbée (\(P_a\)) par le moteur.
Principe
Le moteur a une puissance "utile" (celle fournie à l'arbre, 15 kW) mais pour la fournir, il doit "absorber" plus de puissance du réseau électrique à cause de son rendement qui n'est pas parfait (pertes internes). On doit donc calculer cette puissance réellement consommée.
Mini-Cours
Le rendement (η), un nombre sans unité compris entre 0 et 1, est le rapport entre la puissance qu'un système fournit (utile) et la puissance qu'il consomme (absorbée). Pour un moteur, la puissance utile est mécanique (sur l'arbre), tandis que la puissance absorbée est électrique (sur le réseau). La différence correspond aux pertes, principalement dissipées sous forme de chaleur (effet Joule, pertes fer, pertes mécaniques).
Remarque Pédagogique
Pensez toujours à vérifier de quelle puissance il est question. Les fiches techniques des moteurs indiquent la puissance utile. Pour les calculs de dimensionnement électrique (courant, chute de tension), c'est toujours la puissance absorbée qui doit être utilisée comme point de départ.
Normes
Le calcul du rendement est une application directe des principes de la physique. Cependant, les méthodes de mesure du rendement pour classifier les moteurs sont, elles, standardisées par des normes internationales comme la norme IEC 60034-2-1, qui définit les classes de rendement (IE1, IE2, IE3, IE4).
Formule(s)
Relation entre Puissance Utile et Absorbée
Hypothèses
Pour ce calcul, nous faisons l'hypothèse que le moteur fonctionne à son point nominal, c'est-à-dire que la puissance utile et le rendement fournis par le constructeur sont bien ceux de notre cas d'utilisation.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance utile | \(P_{\text{u}}\) | 15 | kW |
| Rendement | \(\eta\) | 0.90 | (sans unité) |
Astuces
Pour passer rapidement de la puissance utile à la puissance absorbée, il suffit de diviser par le rendement. Si le rendement est de 90% (0.9), la puissance absorbée sera environ 11% plus grande que la puissance utile (\(1/0.9 \approx 1.11\)).
Schéma (Avant les calculs)
Un schéma de flux de puissances est idéal pour visualiser la relation entre les différentes grandeurs.
Bilan de puissance du moteur
Calcul(s)
Conversion de la puissance utile en Watts
Calcul de la puissance absorbée
Schéma (Après les calculs)
Le bilan de puissance peut être mis à jour avec les valeurs calculées.
Bilan de puissance chiffré du moteur
Réflexions
La puissance absorbée (16.67 kW) est logiquement supérieure à la puissance utile (15 kW). La différence, 1.67 kW, représente les pertes du moteur dissipées en chaleur. C'est cette puissance de 16.67 kW que le réseau électrique doit être capable de fournir.
Points de vigilance
Attention à ne pas utiliser directement la puissance utile dans les calculs de courant. C'est une erreur très fréquente qui mène à sous-estimer le courant et, par conséquent, la section de câble nécessaire et la chute de tension.
Points à retenir
Pour passer de la puissance mécanique utile à la puissance électrique absorbée, on divise par le rendement : \(P_{\text{a}} = P_{\text{u}} / \eta\).
Le saviez-vous ?
Les moteurs électriques modernes à haut rendement (classe IE3 ou IE4) permettent de réduire considérablement les pertes d'énergie. Sur la durée de vie d'un moteur industriel, le coût de l'électricité consommée peut être plusieurs dizaines de fois supérieur à son prix d'achat initial.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le même moteur avait un rendement de 85% (\(\eta\)=0.85), quelle serait sa puissance absorbée en kW ?
Question 2 : Déterminer le courant d'emploi (\(I_u\)) consommé par le moteur.
Principe
Maintenant que nous connaissons la puissance électrique réellement consommée par le moteur, nous pouvons calculer le courant qui va circuler dans chaque phase du câble d'alimentation en utilisant la formule de la puissance en triphasé, qui lie puissance, tension, courant et facteur de puissance.
Mini-Cours
En régime triphasé équilibré, la puissance active (P, en Watts) est \(P = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos \varphi\). La puissance réactive (Q, en VAR) est \(Q = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \sin \varphi\). La puissance apparente (S, en VA) est \(S = \sqrt{3} \cdot U \cdot I = \sqrt{P^2 + Q^2}\). Le courant calculé ici est le courant de ligne (celui qui passe dans le câble).
Remarque Pédagogique
N'oubliez jamais le facteur \(\sqrt{3}\) dans les formules de puissance triphasée lorsque vous utilisez la tension entre phases (comme 400V). C'est une source d'erreur classique si on est habitué au monophasé.
Normes
Le calcul du courant est une application de la loi d'Ohm généralisée. La norme NF C 15-100 n'impose pas la méthode de calcul, mais elle impose de protéger le câble contre les surintensités avec un disjoncteur dont le calibre doit être adapté à ce courant d'emploi et à la section du câble.
Formule(s)
Formule du courant d'emploi en triphasé
Hypothèses
Nous supposons que le réseau est parfaitement équilibré (tensions et courants identiques sur les trois phases) et que la tension de 400V est stable à l'arrivée au TGBT.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance absorbée | \(P_{\text{a}}\) | 16667 | W |
| Tension | U | 400 | V |
| Facteur de puissance | \(\cos \varphi\) | 0.82 |
Astuces
Une estimation rapide du courant pour un moteur triphasé en 400V est d'environ 2A par kW de puissance utile. Pour 15 kW, on s'attend donc à un courant proche de 30A. C'est un bon moyen de vérifier l'ordre de grandeur de votre résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma général de l'installation permet de situer où le courant \(I_u\) va circuler.
Localisation du courant d'emploi
Calcul(s)
Calcul du courant d'emploi
Schéma (Après les calculs)
On peut représenter le résultat sur le schéma de l'installation.
Courant circulant dans le câble
Réflexions
Un courant de 29.34 A est un courant significatif. Le choix d'un câble de section 10 mm² pour ce courant semble a priori cohérent (l'admissibilité est d'environ 57A pour cette section en pose de référence), mais seule la vérification de la chute de tension nous le confirmera.
Points de vigilance
Assurez-vous d'utiliser la puissance absorbée (\(P_{\text{a}}\)) et non la puissance utile (\(P_{\text{u}}\)) dans cette formule. C'est la conséquence directe de la question 1.
Points à retenir
La formule du courant en triphasé \(I = P_{\text{a}} / (\sqrt{3} \cdot U \cdot \cos \varphi)\) est fondamentale et doit être parfaitement maîtrisée.
Le saviez-vous ?
Le facteur de puissance \(\cos \varphi\) est crucial. S'il est faible, le courant augmente pour une même puissance active, ce qui augmente les pertes en ligne (en \(I^2\)). C'est pourquoi on cherche souvent à le relever près des grosses charges inductives (moteurs) en ajoutant des batteries de condensateurs.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait le courant si le facteur de puissance du moteur était de 0.75 au lieu de 0.82 ?
Question 3 : Calculer la chute de tension (\(\Delta U\)) dans le câble en Volts.
Principe
Nous allons maintenant utiliser la formule approchée de la chute de tension. Elle prend en compte le courant qui circule, la longueur du câble, sa résistance (qui crée une chute de tension "active", en phase avec le courant) et sa réactance (qui crée une chute de tension "réactive", déphasée de 90°).
Mini-Cours
La chute de tension totale n'est pas la simple addition des chutes dues à R et X car elles sont déphasées. La formule approchée \(\Delta U \approx \sqrt{3} \cdot I \cdot L \cdot (R' \cos \varphi + X' \sin \varphi)\) est en fait une projection de ces chutes de tension vectorielles sur l'axe de la tension d'origine. C'est une simplification très efficace de la construction vectorielle de Fresnel.
Remarque Pédagogique
Notez bien la structure de la formule : on multiplie les éléments "résistifs" (R') par la partie "active" du courant (représentée par cos φ) et les éléments "réactifs" (X') par la partie "réactive" du courant (représentée par sin φ).
Normes
Cette formule de calcul est universellement reconnue dans les guides techniques et les normes d'installation électrique, comme le guide UTE C 15-105 qui est un complément à la norme NF C 15-100.
Formule(s)
Formule de la chute de tension en triphasé
Hypothèses
La formule est dite "approchée" car elle néglige un terme lié au déphasage de la tension elle-même, mais l'erreur est très faible pour les chutes de tension usuelles (< 10%). On suppose aussi que R' et X' sont constants sur la longueur du câble.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Courant d'emploi | \(I_{\text{u}}\) | 29.34 | A |
| Longueur | L | 85 | m |
| Résistance linéique | R' | 2.3 | Ω/km |
| Réactance linéique | X' | 0.08 | Ω/km |
| Facteur de puissance | \(\cos \varphi\) | 0.82 |
Astuces
Pour les petits câbles et les charges résistives (\(\cos \varphi\) ≈ 1), on peut souvent négliger le terme avec la réactance (X'). Ici, comme le câble est long et la charge inductive, il est plus prudent de le conserver.
Schéma (Avant les calculs)
On peut visualiser la chute de tension sur un diagramme de phase simplifié (diagramme de Fresnel).
Diagramme vectoriel simplifié
Calcul(s)
Calcul de \(\sin \varphi\)
Conversion de la longueur en kilomètres
Calcul de la chute de tension
Schéma (Après les calculs)
Le résultat peut être visualisé sur le schéma de l'installation.
Visualisation de la chute de tension
Réflexions
Une chute de 8.35V sur 400V semble faible, ce qui est un bon signe. On remarque que le terme résistif (1.886) est bien plus important que le terme réactif (0.0458), ce qui est typique pour les câbles de petite et moyenne section.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune ici est d'oublier de convertir la longueur du câble en kilomètres pour qu'elle soit cohérente avec les unités de la résistance et de la réactance linéiques (Ω/km). Une autre erreur est d'oublier le \(\sqrt{3}\) au début de la formule.
Points à retenir
La formule \(\Delta U = \sqrt{3} \cdot I \cdot L \cdot (R' \cos \varphi + X' \sin \varphi)\) est l'outil principal pour le dimensionnement des câbles en triphasé vis-à-vis de la chute de tension.
Le saviez-vous ?
Pour les très grosses sections de câble et les très hautes tensions, la réactance linéique X' peut devenir aussi, voire plus, importante que la résistance R'. Le terme en \(\sin \varphi\) n'est alors plus du tout négligeable.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la chute de tension en Volts si on utilisait un câble en aluminium (R' = 3.6 Ω/km) ?
Question 4 : Calculer la chute de tension en pourcentage (\(\Delta U\) %).
Principe
Exprimer la chute de tension en pourcentage permet de la comparer facilement aux limites fixées par les normes, quelle que soit la tension de départ du réseau. On la rapporte simplement à la tension nominale entre phases.
Mini-Cours
La chute de tension en % est une valeur relative. Une chute de 10V est acceptable sur un réseau 400V (2.5%), mais serait inacceptable sur un réseau 230V (4.3%) si la limite est de 3%. Le pourcentage est donc un indicateur de performance universel qui permet de juger de la qualité d'une ligne électrique indépendamment de sa tension nominale.
Remarque Pédagogique
Veillez à toujours diviser par la tension nominale de départ (celle au TGBT), et non par la tension d'arrivée au moteur, qui est justement plus faible. C'est la tension de référence de l'installation qui compte.
Normes
C'est cette valeur en pourcentage qui est directement utilisée dans les normes comme la NF C 15-100 pour définir les seuils de conformité. Les limites normatives sont toujours exprimées en pourcentage de la tension nominale de l'installation.
Formule(s)
Formule de la chute de tension en pourcentage
Hypothèses
On suppose que la tension nominale de référence est bien de 400V et qu'elle est stable à l'origine de l'installation.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Chute de tension | \(\Delta U\) | 8.35 | V |
| Tension nominale | U | 400 | V |
Astuces
Pour un calcul mental rapide sur un réseau 400V, retenez que 1% de chute de tension correspond à 4V. Si vous calculez une chute de 8V, vous savez immédiatement que vous êtes autour de 2%.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma suivant illustre le rapport entre la chute de tension et la tension totale.
Rapport tension/chute de tension
Calcul(s)
Calcul du pourcentage de chute de tension
Schéma (Après les calculs)
On peut maintenant positionner la valeur calculée sur une jauge.
Pourcentage de Chute de Tension
Réflexions
Une chute de tension d'environ 2% est considérée comme très bonne pour un départ moteur. Cela laisse de la marge pour d'éventuelles extensions ou des conditions de fonctionnement plus sévères (température ambiante élevée, etc.).
Points de vigilance
Assurez-vous de bien multiplier par 100 pour obtenir un résultat en pourcentage, et de ne pas confondre la chute de tension en Volts et en pourcentage dans votre conclusion finale.
Points à retenir
La chute de tension en % est le critère final de validation. On la calcule par le rapport (chute en volts / tension nominale), le tout multiplié par 100.
Le saviez-vous ?
Au démarrage, un moteur asynchrone peut appeler un courant 5 à 8 fois supérieur à son courant nominal. La chute de tension est alors beaucoup plus importante, pouvant atteindre 15% à 20%. C'est une chute de tension transitoire qui doit être prise en compte pour s'assurer que les autres équipements sur la même ligne ne se mettent pas en défaut.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la tension du réseau était de 410V au lieu de 400V, quelle serait la nouvelle chute de tension en % (la chute en Volts reste la même) ?
Question 5 : Conclure sur la conformité de l'installation.
Principe
La dernière étape consiste à jouer le rôle de l'ingénieur ou du technicien de bureau de contrôle : comparer le résultat obtenu par le calcul à la limite fixée par la réglementation en vigueur pour valider ou non le dimensionnement du câble.
Mini-Cours
Les normes comme la NF C 15-100 sont établies pour garantir la sécurité des personnes et des biens, mais aussi le bon fonctionnement des matériels. Une chute de tension trop élevée peut entraîner une baisse de performance du moteur (baisse du couple), un échauffement excessif, et perturber d'autres équipements sensibles.
Remarque Pédagogique
La conclusion doit toujours être claire et non ambiguë : "conforme" ou "non conforme". Si elle est non conforme, un professionnel doit proposer une solution (généralement, augmenter la section du câble).
Normes
La norme française NF C 15-100Réglementation française fixant les règles de conception, de réalisation et d'entretien des installations électriques basse tension. stipule que la chute de tension entre l'origine de l'installation (le TGBT ici) et tout point d'utilisation ne doit pas excéder 5% pour un circuit alimentant un moteur (éclairage : 3%).
Formule(s)
Critère de conformité
Hypothèses
On suppose que l'installation ne comporte pas d'autres longueurs de câble significatives en amont du TGBT qui s'ajouteraient à notre calcul et que la norme NF C 15-100 est bien celle qui s'applique à ce projet.
Donnée(s)
Il s'agit de comparer la valeur calculée à la limite normative.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Chute de tension calculée | \(\Delta U\)(\%) | 2.09 | % |
| Chute de tension normative | \(\Delta U_{\text{norme}}\)(\%) | 5 | % |
Astuces
Dans un projet réel, visez toujours une marge de sécurité. Ne dimensionnez pas un câble pour avoir une chute de tension de 4.9%. Viser 3% ou 4% au maximum permet d'anticiper les imprévus (température plus élevée, légère surcharge, etc.).
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma suivant présente la jauge de conformité avant d'y placer notre résultat.
Jauge de conformité normative
Calcul(s)
Vérification de la conformité
Schéma (Après les calculs)
On peut illustrer la conformité en plaçant notre résultat sur la jauge de validation.
Vérification de la conformité
Réflexions
La section de 10 mm² est bien dimensionnée pour cette application. Elle offre une marge de sécurité confortable. Il n'est pas nécessaire de surdimensionner le câble (passer à 16 mm²), ce qui représenterait un surcoût inutile en cuivre et en main d'œuvre.
Points de vigilance
Attention, la conformité doit être vérifiée pour le cas le plus défavorable : en régime permanent établi, à la puissance maximale du moteur. La chute de tension au démarrage est un phénomène transitoire qui fait l'objet d'une vérification distincte.
Points à retenir
Une installation est conforme si \(\Delta U_{\text{calculée}} (\%) \le \Delta U_{\text{norme}} (\%)\). Pour les moteurs, la limite est de 5% en France.
Le saviez-vous ?
Dans certains pays ou pour certaines applications très sensibles (ex: hôpitaux, data centers), les limites de chute de tension peuvent être encore plus strictes (par exemple 3% ou 4%) pour garantir une qualité d'alimentation électrique optimale.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Le client souhaite déplacer le moteur, la nouvelle longueur de câble serait de 150 m. L'installation est-elle toujours conforme ? (Calculez la nouvelle \(\Delta U\) %)
Outil Interactif : Simulateur de Chute de Tension
Utilisez les curseurs pour faire varier la longueur du câble et la puissance du moteur, et observez en temps réel l'impact sur la chute de tension.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (pour S=10mm²)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si la longueur du câble double, la chute de tension...
2. Quelle est la principale raison d'augmenter la section d'un câble ?
3. Un facteur de puissance (\(\cos \varphi\)) faible (ex: 0.7) par rapport à un \(\cos \varphi\) élevé (ex: 0.95)...
4. La norme NF C 15-100 limite la chute de tension pour les circuits moteurs à :
5. La réactance (X) d'un câble est principalement due à :
- Chute de tension
- Diminution de la tension électrique le long d'un conducteur, due à son impédance (résistance + réactance).
- NF C 15-100
- Réglementation française fixant les règles de conception, de réalisation et d'entretien des installations électriques basse tension.
- Facteur de Puissance (\(\cos \varphi\))
- Valeur qui mesure le déphasage entre la tension et le courant. Il représente l'efficacité avec laquelle la puissance électrique est convertie en travail utile.
- Puissance Utile (\(P_u\))
- La puissance mécanique réellement disponible sur l'arbre d'un moteur.
- Puissance Absorbée (\(P_a\))
- La puissance électrique que le moteur consomme sur le réseau pour fonctionner.
D’autres exercices d’electrotechnique:
0 commentaires