Comportement Temporel du Courant
Analyser la charge d'un condensateur à travers une résistance et calculer les grandeurs caractéristiques.
Lorsqu'un condensateur initialement déchargé est connecté à une source de tension continue \(E\) à travers une résistance \(R\), il se charge progressivement. Le courant dans le circuit et la tension aux bornes du condensateur varient avec le temps.
La tension aux bornes du condensateur \(u_C(t)\) lors de la charge est donnée par :
L'intensité du courant \(i(t)\) dans le circuit lors de la charge est donnée par :
Où :
- \(E\) est la tension de la source (en Volts, V).
- \(R\) est la valeur de la résistance (en Ohms, \(\Omega\)).
- \(C\) est la capacité du condensateur (en Farads, F).
- \(\tau\) (tau) est la constante de temps du circuit, donnée par \(\tau = R \times C\) (en secondes, s). Elle caractérise la rapidité de la charge.
- \(t\) est le temps (en secondes, s).
- \(e\) est la base du logarithme népérien (\(e \approx 2.718\)).
Données du Problème
Un circuit RC série est constitué d'un générateur de tension continue de f.e.m. \(E = 10 \text{ V}\), d'un interrupteur K, d'une résistance \(R = 100 \text{ } \Omega\) et d'un condensateur de capacité \(C = 470 \text{ } \mu\text{F}\).
Initialement, le condensateur est déchargé. À l'instant \(t=0\), on ferme l'interrupteur K.
- \(E = 10 \text{ V}\)
- \(R = 100 \text{ } \Omega\)
- \(C = 470 \text{ } \mu\text{F}\)
Questions
- Convertir la capacité \(C\) du condensateur en Farads (F).
- Calculer la constante de temps \(\tau\) du circuit.
- Écrire l'expression de la tension \(u_C(t)\) aux bornes du condensateur en fonction du temps lors de la charge.
- Calculer la valeur de la tension \(u_C\) aux bornes du condensateur à l'instant \(t = \tau\). Quel pourcentage de la tension finale \(E\) cela représente-t-il ?
- Calculer la valeur de la tension \(u_C\) aux bornes du condensateur à l'instant \(t = 5\tau\). Quel pourcentage de la tension finale \(E\) cela représente-t-il ? (On considère généralement qu'à \(t=5\tau\), le condensateur est pratiquement chargé).
- Écrire l'expression de l'intensité du courant \(i(t)\) dans le circuit en fonction du temps lors de la charge.
- Calculer la valeur de l'intensité du courant \(i(0)\) à l'instant \(t=0\) (début de la charge).
- Calculer la valeur de l'intensité du courant \(i(\tau)\) à l'instant \(t=\tau\).
Correction : Comportement Temporel du Courant
1. Conversion de la Capacité \(C\)
Il faut convertir les microfarads (\(\mu\text{F}\)) en Farads (F).
Données :
\(C = 470 \text{ } \mu\text{F}\)
1 \(\mu\text{F}\) = \(10^{-6}\) F
La capacité du condensateur est \(C = 4.70 \times 10^{-4} \text{ F}\).
2. Calcul de la Constante de Temps \(\tau\)
La constante de temps \(\tau\) est donnée par \(\tau = R \times C\).
Données :
\(R = 100 \text{ } \Omega\)
\(C = 4.70 \times 10^{-4} \text{ F}\) (calculé à l'étape 1)
La constante de temps du circuit est \(\tau = 0.0470 \text{ s}\) (ou 47.0 ms).
Quiz Intermédiaire
3. Expression de la Tension \(u_C(t)\)
Pour un condensateur initialement déchargé, \(u_C(t) = E (1 - e^{-t/\tau})\).
Données :
\(E = 10 \text{ V}\)
\(\tau = 0.0470 \text{ s}\)
où \(u_C(t)\) est en Volts et \(t\) en secondes.
L'expression de la tension aux bornes du condensateur est \(u_C(t) = 10 (1 - e^{-t/0.0470})\) V.
Quiz Intermédiaire
4. Tension \(u_C\) à \(t = \tau\)
On remplace \(t\) par \(\tau\) dans l'expression de \(u_C(t)\).
Données :
\(E = 10 \text{ V}\)
Pourcentage de la tension finale :
À \(t = \tau\), la tension aux bornes du condensateur est \(u_C(\tau) \approx 6.32 \text{ V}\), soit environ 63.2% de la tension finale \(E\).
5. Tension \(u_C\) à \(t = 5\tau\)
On remplace \(t\) par \(5\tau\) dans l'expression de \(u_C(t)\).
Données :
\(E = 10 \text{ V}\)
Pourcentage de la tension finale :
À \(t = 5\tau\), la tension aux bornes du condensateur est \(u_C(5\tau) \approx 9.93 \text{ V}\), soit environ 99.3% de la tension finale \(E\).
6. Expression de l'Intensité du Courant \(i(t)\)
L'intensité du courant lors de la charge est \(i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/\tau}\).
Données :
\(E = 10 \text{ V}\)
\(R = 100 \text{ } \Omega\)
\(\tau = 0.0470 \text{ s}\)
Courant initial \(I_0 = E/R\):
Expression de \(i(t)\):
où \(i(t)\) est en Ampères et \(t\) en secondes.
L'expression de l'intensité du courant est \(i(t) = 0.10 \cdot e^{-t/0.0470}\) A.
7. Intensité du Courant \(i(0)\) à \(t=0\)
On remplace \(t\) par 0 dans l'expression de \(i(t)\).
L'intensité du courant à \(t=0\) est \(i(0) = 0.10 \text{ A}\).
8. Intensité du Courant \(i(\tau)\) à \(t=\tau\)
On remplace \(t\) par \(\tau\) dans l'expression de \(i(t)\).
Données :
\(i(0) = 0.10 \text{ A}\)
À \(t=\tau\), le courant a chuté à environ 36.8% de sa valeur initiale.
L'intensité du courant à \(t=\tau\) est \(i(\tau) \approx 0.0368 \text{ A}\) (ou 36.8 mA).
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Glossaire des Termes Clés
Circuit RC série :
Circuit électrique comprenant une résistance (R) et un condensateur (C) connectés en série.
Condensateur :
Composant électronique capable de stocker de l'énergie sous forme de champ électrique entre deux armatures conductrices séparées par un isolant (diélectrique).
Capacité (C) :
Mesure de l'aptitude d'un condensateur à stocker des charges électriques pour une tension donnée. Unité : Farad (F).
Constante de Temps (\(\tau\)) :
Caractéristique d'un circuit RC (ou RL) qui indique la rapidité de la charge ou de la décharge du condensateur (ou de l'établissement du courant dans la bobine). Pour un circuit RC, \(\tau = RC\).
Tension Instantanée (\(u(t)\)) :
Valeur de la tension à un instant \(t\) précis.
Intensité du Courant Instantanée (\(i(t)\)) :
Valeur de l'intensité du courant à un instant \(t\) précis.
Régime Transitoire :
Phase pendant laquelle les grandeurs électriques (tension, courant) varient dans le temps avant d'atteindre un régime permanent (stable).
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Que se passe-t-il si le condensateur est initialement chargé à une tension \(U_0\) avant de fermer l'interrupteur K pour le connecter au générateur E ? Comment les équations de \(u_C(t)\) et \(i(t)\) seraient-elles modifiées ?
2. Décrivez ce qui se passe lors de la décharge d'un condensateur (initialement chargé à une tension E) à travers une résistance R. Quelles seraient les expressions de \(u_C(t)\) et \(i(t)\) ?
3. Comment la constante de temps \(\tau\) influence-t-elle la forme des courbes de charge et de décharge ? Que se passe-t-il si \(\tau\) est très petit ou très grand ?
4. Quelle est l'énergie stockée par le condensateur lorsqu'il est complètement chargé sous une tension E ?
5. Les circuits RC ont de nombreuses applications (temporisateurs, filtres, etc.). Citez un exemple d'application et expliquez brièvement son fonctionnement basé sur la charge ou la décharge du condensateur.
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