Construction d’un Diagramme de Fresnel (Circuit RLC Série)
Contexte : Électrocinétique et Courant Alternatif.
Dans ce module, nous allons étudier le comportement d'un circuit RLC série alimenté par une tension sinusoïdale. L'objectif est de déterminer la tension totale et le déphasage à l'aide de la représentation vectorielle, aussi appelée Diagramme de FresnelReprésentation graphique de grandeurs sinusoïdales par des vecteurs tournants.. Nous analyserons les ImpédancesOpposition d'un composant au passage du courant alternatif (en Ohms). de chaque composant.
1. La rupture avec le courant continu
En courant continu (DC), comme celui fourni par une batterie, l'addition des tensions est simple : \(U_{\text{total}} = U_1 + U_2\). C'est une addition arithmétique. Mais en courant alternatif (AC), celui de nos prises électriques, la tension varie constamment selon une courbe sinusoïdale. Le problème majeur surgit lorsque nous mettons des composants différents en série : leurs pics de tension ne se produisent pas au même moment. C'est ce qu'on appelle le déphasage.
Essayer d'additionner simplement les valeurs efficaces (ce qu'affiche un multimètre) revient à dire que 1+1=2, alors qu'en alternatif, 1+1 peut faire 0 (si les ondes sont opposées) ! Nous avons donc besoin d'un nouvel outil mathématique pour gérer ce décalage temporel : le vecteur.
2. Le trio R-L-C : une équipe aux comportements opposés
Le circuit RLC série met en jeu trois acteurs fondamentaux :
- La Résistance (R) : C'est l'élément passif par excellence. Elle s'oppose au passage du courant en dissipant de l'énergie sous forme de chaleur. Elle ne crée aucun déphasage : la tension à ses bornes est parfaitement synchronisée avec le courant.
- L'Inductance (L) : (ou bobine). Elle stocke l'énergie sous forme magnétique. Elle s'oppose aux variations de courant, ce qui crée un "retard" du courant sur la tension. En d'autres termes, la tension est en avance.
- Le Condensateur (C) : (ou capacité). Il stocke l'énergie sous forme électrique. Il s'oppose aux variations de tension. Pour lui, le courant est en avance, donc la tension est en retard.
3. La solution de Fresnel : Transformer le temps en espace
Plutôt que de manipuler des fonctions sinusoïdales compliquées du type \(u(t) = U\sqrt{2}\sin(\omega t + \varphi)\), Augustin Fresnel a proposé de représenter chaque tension par un vecteur tournant. La longueur du vecteur représente l'amplitude (ou la valeur efficace) et l'angle du vecteur représente le déphasage.
Grâce à cette méthode géométrique, le problème physique complexe devient un simple problème de construction vectorielle : additionner des flèches bout à bout. Cela nous permet de calculer la tension totale et le déphasage global du circuit avec de simples formules de trigonométrie (Pythagore).
Pourquoi cet exercice est-il fondamental ?
En courant continu, l'intuition est simple : les tensions s'additionnent arithmétiquement (10V + 5V = 15V). En courant alternatif sinusoïdal, cette intuition devient fausse et dangereuse. Les tensions ne sont pas synchronisées dans le temps : quand la tension aux bornes de la résistance est maximale, celle de la bobine est nulle, et inversement.
Cet exercice vous apprend à passer d'une vision "temporelle" (compliquée avec des courbes sinusoïdales décalées) à une vision "vectorielle" (géométrique et visuelle). La maîtrise du diagramme de Fresnel est la clé de voûte de l'électrotechnique pour trois raisons majeures :
- La Sécurité et le Dimensionnement : Comme vous le verrez, la tension aux bornes d'un composant (ex: la bobine) peut être largement supérieure à la tension du générateur. Ignorer cela peut mener à la destruction du matériel par claquage.
- L'Efficacité Énergétique : Comprendre le déphasage est le prérequis pour maîtriser le "Facteur de Puissance" (\(\cos \varphi\)). C'est ce principe qui permet aux industriels de réduire leur facture d'électricité en installant des batteries de condensateurs pour compenser les moteurs.
- Le Filtrage et la Résonance : C'est la base théorique pour comprendre comment une radio sélectionne une fréquence (résonance) ou comment une enceinte sépare les basses des aigus (filtrage).
Voyez cet exercice non pas comme un simple calcul de triangles, mais comme l'apprentissage du langage universel des électriciens pour gérer l'énergie alternative.
Objectifs Pédagogiques
À la fin de cet exercice, l'apprenant devra être capable de maîtriser les compétences clés suivantes, essentielles pour l'analyse de tout système électrique en courant alternatif :
-
1. Maîtriser la Loi d'Ohm généralisée aux dipôles réactifs
Il ne suffit pas de connaître \(U=RI\). L'objectif est de comprendre comment cette loi s'étend aux bobines et condensateurs via la notion d'impédance. Vous devrez savoir calculer les réactances \(X_L\) et \(X_C\) en fonction de la fréquence, et déterminer les chutes de tension efficaces aux bornes de chaque composant, en comprenant que ces tensions ne sont pas atteintes au même instant.
-
2. Construire et interpréter un Diagramme de Fresnel
C'est le cœur de la compétence visée. Vous devez être capable de traduire des équations temporelles complexes en une représentation vectorielle géométrique simple. Cela implique de savoir placer le vecteur de référence (courant), de dessiner les vecteurs tensions avec le bon angle (0°, +90°, -90°) et de réaliser graphiquement la somme vectorielle pour visualiser la tension résultante. C'est le passage indispensable de l'algèbre à la géométrie.
-
3. Analyser l'Impédance Totale et le Facteur de Puissance
Au-delà du simple calcul, l'objectif est de déduire les propriétés globales du circuit. Vous devrez utiliser le théorème de Pythagore pour trouver l'impédance équivalente \(Z\) du circuit (qui n'est pas la somme des impédances !). De plus, vous devrez savoir déterminer l'angle de déphasage \(\varphi\), qui est crucial pour qualifier le circuit (inductif, capacitif ou résisif) et pour calculer ultérieurement la puissance active via le \( \cos \varphi \).
Données et Analyse du Problème
1. Contexte Physique
Le circuit RLC série est une brique fondamentale de l'électronique. On le retrouve dans les filtres audio (pour séparer les graves des aigus), dans les systèmes d'accord des radios (pour sélectionner une station précise via la résonance) ou encore dans la compensation d'énergie réactive sur les réseaux de distribution électrique. Comprendre comment la tension se répartit entre ces trois composants est crucial pour éviter des surtensions destructrices ou pour concevoir des systèmes efficaces.
2. Description du Système
Nous étudions ici un circuit composé de trois éléments passifs linéaires connectés en série :
- Un Résistor (R) : Il dissipe l'énergie électrique sous forme de chaleur (effet Joule). En alternatif, il ne crée aucun déphasage entre le courant et la tension à ses bornes. C'est l'élément "résistif" pur.
- Une Bobine d'Inductance (L) : Elle stocke de l'énergie sous forme magnétique. Elle s'oppose aux variations brutales de courant. En régime sinusoïdal, elle provoque une "avance" de la tension sur le courant de 90°. On la considère ici comme idéale (résistance interne nulle).
- Un Condensateur de Capacité (C) : Il stocke de l'énergie sous forme électrostatique. Il s'oppose aux variations de tension. En régime sinusoïdal, il provoque un "retard" de la tension sur le courant de 90°.
3. Hypothèses de Travail
- Régime Sinusoïdal Forcé : Le générateur impose une tension et un courant de forme sinusoïdale pure. Le régime transitoire (allumage) est terminé.
- Composants Idéaux : Les composants sont parfaits (pas de pertes parasites, L est purement inductive, C est purement capacitif).
- Référence de Phase : Comme le circuit est en série, l'intensité \(i(t)\) est la même partout. Nous choisirons donc le vecteur courant comme origine des phases (horizontal sur le diagramme de Fresnel).
4. Données Numériques
| Grandeur / Composant | Symbole | Valeur | Unité SI |
|---|---|---|---|
| Intensité du courant (efficace) | \(I\) | 2 | A (Ampère) |
| Fréquence du signal | \(f\) | 50 | Hz (Hertz) |
| Résistance | \(R\) | 10 | \(\Omega\) (Ohm) |
| Inductance de la bobine | \(L\) | 0.05 | H (Henry) |
| Capacité du condensateur | \(C\) | 500 | \(\mu\text{F}\) (Microfarad) |
Schéma Électrique Normalisé
Représentation symbolique pour l'analyse théorique.
Vue Réaliste du Montage
Aspect visuel des composants réels en laboratoire.
5. Travail Demandé
Notre objectif est de caractériser le comportement global de ce circuit :
- Analyse fréquentielle : Calculer la pulsation \(\omega\) et les réactances \(X_{\text{L}}\) et \(X_{\text{C}}\).
- Loi d'Ohm locale : Calculer les valeurs efficaces des tensions \(U_{\text{R}}\), \(U_{\text{L}}\) et \(U_{\text{C}}\).
- Synthèse vectorielle : Construire le diagramme de Fresnel associé pour visualiser les phases.
- Résolution : En déduire la tension totale \(U_{\text{tot}}\) du générateur et l'impédance totale \(Z\).
Correction : Construction d’un Diagramme de Fresnel (Circuit RLC Série)
Question 1 : Pulsation et Réactances
1. Principe Physique
Avant de tracer des vecteurs, nous devons quantifier l'opposition que chaque composant offre au passage du courant. En courant continu, seule la résistance \(R\) compte. En alternatif, les bobines et condensateurs s'opposent aussi au courant, mais d'une manière qui dépend de la fréquence : c'est la Réactance (\(X\)).
Pour effectuer ces calculs, nous avons besoin d'une grandeur intermédiaire : la pulsation \(\omega\). Elle représente la vitesse de rotation des vecteurs de Fresnel. Si la fréquence \(f\) est le nombre de tours par seconde, la pulsation est le nombre de radians par seconde. C'est le "rythme cardiaque" mathématique du circuit.
2. Mini-Cours : L'influence de la Fréquence
Il est crucial de comprendre le comportement fréquentiel :
- L'Inductance (\(X_L = L\omega\)) : Sa réactance est proportionnelle à la fréquence. Plus la fréquence est élevée, plus la bobine "résiste". C'est pourquoi les bobines bloquent les parasites haute fréquence (rôle de filtre passe-bas).
- Le Condensateur (\(X_C = 1/C\omega\)) : Sa réactance est inversement proportionnelle à la fréquence. À très basse fréquence (ou en continu f=0), \(X_C\) est infini : le condensateur est un interrupteur ouvert. À haute fréquence, il devient presque un court-circuit.
3. Remarque Pédagogique sur les Unités
Le piège mortel des préfixes :
En électronique, les valeurs de capacité sont souvent données en microfarads (\(\mu\text{F}\)) ou nanofarads (\(\text{nF}\)). Les formules physiques exigent l'unité légale du Système International : le Farad (\(\text{F}\)).
Oublier de convertir \(500\mu\text{F}\) en \(500 \times 10^{-6} \text{F}\) est l'erreur n°1 des étudiants, faussant le résultat d'un facteur 1 000 000 !
4. Normes et Symboles
Nous utilisons les notations normalisées par la Commission Électrotechnique Internationale (IEC 60027). \(X\) désigne une réactance (imaginaire pure), \(Z\) une impédance (complexe), et \(R\) une résistance (réelle).
5. Formules Utilisées
Formules de base
Pulsation
Le facteur \(2\pi\) vient du fait qu'un tour complet de vecteur correspond à \(360^\circ\) ou \(2\pi\) radians.
Réactances
6. Hypothèses de Modélisation
Nous supposons ici que :
- La bobine est idéale (pas de résistance interne \(r=0\)). Dans la réalité, une bobine a toujours une petite partie résistive.
- Le condensateur est parfait (pas de courant de fuite).
- La fréquence est parfaitement stable à 50 Hz.
7. Données Numériques
| Grandeur | Valeur Brute | Valeur SI (pour calcul) |
|---|---|---|
| Inductance \(L\) | 0.05 H | 0.05 H |
| Capacité \(C\) | 500 \(\mu\text{F}\) | \(500 \times 10^{-6} \text{ F}\) (ou \(5 \times 10^{-4} \text{ F}\)) |
| Fréquence \(f\) | 50 Hz | 50 Hz |
8. Astuces de Calcul Mental
En Europe (50 Hz), la pulsation \(\omega\) vaut environ 314 rad/s (\(100 \times 3.14\)). Aux USA (60 Hz), elle vaut environ 377 rad/s. Retenir "314" vous permet de vérifier instantanément l'ordre de grandeur de vos résultats sur calculatrice.
9. Schémas Situation Initiale
Comportement Fréquentiel
10. Calculs Détaillés
Étape A : Calcul de la pulsation
On commence toujours par calculer \(\omega\), car elle apparaît dans les deux autres formules.
Étape B : Calcul de la Réactance Inductive \(X_L\)
On multiplie l'inductance (en Henry) par la pulsation.
Étape C : Calcul de la Réactance Capacitive \(X_C\)
Attention à l'inversion et aux puissances de 10. C'est souvent ici que les erreurs se glissent.
11. Analyse et Réflexions
Comparons nos deux résultats : \(X_{\text{L}} \approx 15.7 \Omega\) et \(X_{\text{C}} \approx 6.4 \Omega\).
Puisque \(X_{\text{L}} > X_{\text{C}}\), l'effet "freinant" de la bobine est plus fort que celui du condensateur. On dit que le circuit est globalement inductif. Cela signifie que le courant total sera en retard sur la tension totale, et que le vecteur résultant dans le diagramme de Fresnel pointera "vers le haut".
12. Points de vigilance
Erreur classique : Calculer \(X_C = C\omega\) au lieu de \(1/C\omega\).
Vérification dimensionnelle : Une impédance s'exprime en Ohms (\(\Omega\)). Si vous trouvez des valeurs minuscules (genre \(10^{-4}\)), vous avez probablement oublié d'inverser le terme pour le condensateur.
13. Points à Retenir
- \(X_L\) (Bobine) est proportionnel à \(f\) : Plus ça va vite, plus ça bloque.
- \(X_C\) (Condensateur) est inversement proportionnel à \(f\) : Plus ça va vite, plus ça passe.
- À la fréquence de résonance, \(X_L = X_C\).
14. Le saviez-vous ?
Dans les enceintes audio, on utilise exactement ce principe pour diriger le son. On met un condensateur en série avec le tweeter (aigu) car \(X_C\) est faible pour les hautes fréquences (aigus) mais bloque les basses fréquences (graves) qui pourraient déchirer le petit haut-parleur.
15. FAQ
Pourquoi la résistance R n'apparait pas dans ces calculs ?
Car R est une partie réelle constante. Elle ne dépend pas de la fréquence (idéalement) et ne stocke pas d'énergie réactive. Nous calculons ici uniquement les parties imaginaires (réactives).
A vous de jouer
Si la fréquence double (\(f=100 \text{ Hz}\)), que devient \(X_{\text{L}}\) ? (Rappel: \(X_{\text{L}} = 15.7\) à 50Hz)
Indice : La relation est linéaire. Si f double, X_L double aussi.
📝 Mémo Mnémotechnique
L (Inductance) = Linéaire (monte avec f).
C (Condensateur) = Contraire (descend avec f).
Question 2 : Calcul des Tensions Partielles
1. Principe Physique
Dans un circuit en série, la grandeur commune à tous les composants est l'intensité du courant \(I\). C'est notre "fil rouge". Chaque composant, lorsqu'il est traversé par ce courant, va provoquer une "chute de tension" à ses bornes.
Le but ici est de calculer la valeur efficace de cette tension pour chaque dipôle individuellement. C'est ce que mesurerait un voltmètre branché aux bornes de la résistance, puis de la bobine, puis du condensateur.
2. Mini-Cours : La Loi d'Ohm Généralisée
La célèbre loi \(U=R \cdot I\) apprise au collège n'est qu'un cas particulier. En régime alternatif, elle devient :
Ici, \(Z\) est le "frein" total du composant (l'impédance).
- Pour une Résistance, le frein est \(R\). Donc \(U_{\text{R}} = R \cdot I\).
- Pour une Bobine, le frein est la réactance \(X_{\text{L}}\). Donc \(U_{\text{L}} = X_{\text{L}} \cdot I\).
- Pour un Condensateur, le frein est la réactance \(X_{\text{C}}\). Donc \(U_{\text{C}} = X_{\text{C}} \cdot I\).
3. Remarque Pédagogique
Attention : Ces calculs nous donnent la grandeur (la norme) de la tension, mais ils ne disent rien sur le moment où cette tension apparaît (la phase).
Bien que nous calculions trois nombres (des Volts), ces tensions n'existent pas simultanément à leur maximum. Quand \(U_{\text{R}}\) est maximale, \(U_{\text{L}}\) est nulle ! C'est tout le paradoxe de l'alternatif.
4. Normes et Conventions
Nous travaillons en Convention Récepteur : La flèche de tension \(u(t)\) est opposée à la flèche du courant \(i(t)\). C'est la convention standard pour les charges passives (qui consomment ou stockent de l'énergie).
5. Formules Utilisées
Lois d'Ohm Locales
6. Données Numériques
| Grandeur | Valeur | Source |
|---|---|---|
| Intensité \(I\) | 2 \(\text{A}\) | Énoncé |
| Résistance \(R\) | 10 \(\Omega\) | Énoncé |
| Réactance \(X_{\text{L}}\) | 15.71 \(\Omega\) | Calculée en Q1 |
| Réactance \(X_{\text{C}}\) | 6.37 \(\Omega\) | Calculée en Q1 |
7. Astuces de Vérification
L'ordre de grandeur des tensions suit l'ordre de grandeur des impédances.
Puisque \(X_{\text{L}} > R > X_{\text{C}}\), on doit obligatoirement trouver \(U_{\text{L}} > U_{\text{R}} > U_{\text{C}}\). Si ce n'est pas le cas, relisez vos calculs !
8. Schémas Situation Initiale
Localisation des mesures (Voltmètres)
9. Calculs Détaillés
Calcul de la tension résistive \(U_{\text{R}}\)
C'est l'application directe de la loi d'Ohm classique. Cette tension est celle qui "travaille" (crée de la chaleur).
Calcul de la tension inductive \(U_{\text{L}}\)
On utilise la réactance de la bobine. Cette tension est purement réactive (liée au champ magnétique).
Calcul de la tension capacitive \(U_{\text{C}}\)
On utilise la réactance du condensateur. Cette tension est également réactive (liée au champ électrique).
10. Analyse et Réflexions
Un phénomène surprenant apparaît ici : la tension aux bornes de la bobine (\(31.42 \text{V}\)) est supérieure à la tension de la résistance (\(20 \text{V}\)). Pire, comme nous le verrons à la fin, elle est même supérieure à la tension totale du générateur (\(\approx 27 \text{V}\)) !
Cela semble violer les lois de la physique (comment avoir plus de tension que ce qu'on donne ?), mais c'est normal en résonance ou proche de la résonance. C'est l'effet de "balançoire" énergétique entre L et C qui amplifie les tensions locales.
11. Points de vigilance
Le piège de l'addition : Si vous additionnez ces trois valeurs (\(20 + 31.42 + 12.74\)), vous trouvez \(64.16 \text{V}\).
Or, la tension réelle du générateur n'est que de \(27.37 \text{V}\) (calculé plus loin).
Ne jamais additionner des tensions efficaces en alternatif comme s'il s'agissait de courant continu !
12. Points à Retenir
- La loi d'Ohm \(U=ZI\) s'applique composant par composant.
- Les tensions locales peuvent dépasser la tension d'alimentation.
- L'intensité \(I\) est le pivot du calcul car elle est identique partout.
13. Le saviez-vous ?
Ce phénomène de surtension aux bornes de L ou C est utilisé dans les postes de radio pour amplifier sélectivement la fréquence d'une station (phénomène de surtension à la résonance, coefficient de qualité Q).
14. FAQ
Pourquoi \(U_{\text{L}}\) est plus grand que \(U_{\text{C}}\) ?
Car à 50Hz, la bobine a une réactance plus forte (\(15.7\Omega\)) que le condensateur (\(6.4\Omega\)). Si on baissait la fréquence, \(X_{\text{C}}\) augmenterait et \(X_{\text{L}}\) diminuerait, inversant la tendance.
A vous de jouer
Si I passe à 1A (divisé par 2), que devient \(U_{\text{R}}\) ?
📝 Mémo
\(U = Z \cdot I\) est toujours vrai pour les valeurs efficaces (modules).
Question 3 : Construction du Diagramme de Fresnel
1. Principe Physique et Méthodologique
Nous arrivons au cœur du problème. Nous avons trois tensions sinusoïdales de même fréquence mais décalées dans le temps. L'outil mathématique pour les additionner n'est pas la calculatrice standard, mais la géométrie vectorielle.
Le principe est d'associer à chaque tension un vecteur dont :
- La longueur (norme) est égale à la valeur efficace de la tension (calculée en Q2).
- La direction (angle) correspond au déphasage par rapport à l'intensité \(I\).
2. Mini-Cours : La Règle d'Addition Vectorielle
Pour additionner des vecteurs graphiquement, on utilise la méthode du "bout à bout" (règle de Chasles) :
1. On trace le premier vecteur.
2. On démarre le deuxième vecteur à la pointe du premier.
3. On démarre le troisième vecteur à la pointe du deuxième.
4. Le vecteur résultat part de l'origine du tout premier et arrive à la pointe du tout dernier.
Analogie : Imaginez que vous marchez. Vous faites 20m vers l'Est (R), puis 31m vers le Nord (L), puis 12m vers le Sud (C). Votre déplacement total est la ligne directe du point de départ au point d'arrivée.
3. Remarque Pédagogique
Pourquoi le sens trigonométrique ?
Par convention internationale, les vecteurs tournent dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
- Un angle positif (+90°) tourne vers la "gauche" (vers le haut sur le papier).
- Un angle négatif (-90°) tourne vers la "droite" (vers le bas sur le papier).
4. Normes et Conventions
La norme IEC 60050 impose de représenter les phaseurs (vecteurs de Fresnel) à l'instant \(t=0\). L'axe horizontal vers la droite est l'axe des réels (phase 0).
5. Formules Vectorielles
Loi des Mailles Vectorielle
Attention : les flèches sur les U sont obligatoires ici. Ce n'est pas une somme de nombres !
6. Hypothèses
Référence des phases : Comme le circuit est en série, l'intensité \(I\) est commune à tous les dipôles. C'est notre point de repère fixe. Nous décidons arbitrairement que le vecteur courant \(\vec{I}\) est horizontal et dirigé vers la droite (angle 0°). Toutes les autres phases sont définies par rapport à lui.
7. Données pour le tracé
| Vecteur | Module (Longueur) | Déphasage / I (Angle) | Direction sur le papier |
|---|---|---|---|
| \(\vec{U}_{\text{R}}\) | 20 V | 0° (En phase) | Horizontale \(\rightarrow\) |
| \(\vec{U}_{\text{L}}\) | 31.42 V | +90° (Avance) | Verticale \(\uparrow\) |
| \(\vec{U}_{\text{C}}\) | 12.74 V | -90° (Retard) | Verticale \(\downarrow\) |
8. Astuces de Tracé
L'ordre facilite la vie : Bien que \(\vec{A}+\vec{B} = \vec{B}+\vec{A}\), il est beaucoup plus simple visuellement de tracer d'abord \(\vec{U}_{\text{R}}\) (horizontal), puis d'enchaîner avec les vecteurs verticaux. Cela fait apparaître clairement le triangle rectangle final.
De plus, tracez \(\vec{U}_{\text{L}}\) et \(\vec{U}_{\text{C}}\) sur la même ligne verticale pour visualiser immédiatement leur soustraction géométrique.
9. Schémas Situation Initiale (Grille)
Espace de tracé Vierge
10. Étapes de Construction Détaillées
Étape A : Le Vecteur Résistance
On commence à l'origine (0,0). On trace un vecteur horizontal de longueur proportionnelle à 20V.
Pourquoi ? Car la résistance ne déphase pas le courant.
Étape B : Le Vecteur Inductance
À partir de la fin du vecteur résistance, on monte verticalement d'une longueur proportionnelle à 31.42V.
Pourquoi ? Car la bobine est en avance de +90° (sens trigonométrique = haut).
Étape C : Le Vecteur Condensateur
À partir de la fin du vecteur inductance (sommet atteint à l'étape B), on descend verticalement d'une longueur proportionnelle à 12.74V.
Pourquoi ? Car le condensateur est en retard de -90° (sens inverse = bas). Le vecteur condensateur vient "manger" une partie du vecteur bobine.
Étape D : Le Vecteur Résultant
On relie l'origine initiale (début du vecteur R) au point final (pointe du vecteur C). Ce vecteur représente \(U_{\text{tot}}\).
11. Schémas Validation (Diagramme Final)
Diagramme de Fresnel Finalisé
12. Analyse et Réflexions
Le graphique met en évidence la compétition entre la bobine et le condensateur.
Le vecteur \(U_{\text{L}}\) tire vers le haut, le vecteur \(U_{\text{C}}\) tire vers le bas.
Comme la flèche verte est plus longue que la flèche orange, la résultante pointe vers le haut. Le circuit est donc inductif.
L'angle \(\varphi\) est positif, ce qui confirme que la tension totale est en avance sur le courant.
13. Points de vigilance
Erreur fréquente : Inverser le sens des vecteurs.
Retenez : "L" comme "Lever" (vers le haut), "C" comme "Chuter" (vers le bas).
14. Points à Retenir
La tension totale n'est pas la longueur de la ligne brisée (somme arithmétique), mais la longueur du segment direct (somme vectorielle).
15. Le saviez-vous ?
Cette construction est identique à l'addition de forces en mécanique. La résistance est un frottement (opposé au mouvement), l'inductance et la capacité sont des forces élastiques et d'inertie.
16. FAQ
Pourquoi tourne-t-on dans le sens anti-horaire ?
C'est une convention mathématique héritée de la trigonométrie. L'angle croît en allant de l'axe X vers l'axe Y.
A vous de jouer
Si \(U_{\text{L}} < U_{\text{C}}\), le vecteur résultant pointe vers le haut ou le bas ? (1 pour haut, 0 pour bas)
📝 Mémo
\(U_{\text{L}}\) monte, \(U_{\text{C}}\) descend. La différence dicte la direction finale.
Question 4 : Tension Totale et Impédance
1. Principe Physique
Nous arrivons à l'étape finale de la synthèse. Nous avons déterminé les tensions individuelles, mais le circuit fonctionne comme un tout. Le diagramme de Fresnel construit à la question précédente a révélé une figure géométrique précise : un triangle rectangle.
L'hypoténuse de ce triangle correspond au vecteur somme \(\vec{U}_{\text{tot}}\). Notre objectif est de calculer la longueur de cette flèche, qui correspond à la valeur efficace de la tension que doit délivrer le générateur pour maintenir le courant de 2A. Nous allons passer de la géométrie (les flèches) à l'algèbre (les nombres).
2. Mini-Cours : Le Triangle des Tensions
Dans un circuit RLC série, les tensions se comportent comme les côtés d'un triangle rectangle :
- Le côté adjacent (Base) : C'est la tension active \(U_{\text{R}}\), en phase avec le courant. Elle représente l'énergie transformée irréversiblement (chaleur, travail).
- Le côté opposé (Hauteur) : C'est la tension réactive nette \(U_{\text{L}} - U_{\text{C}}\). Elle représente l'énergie qui oscille entre la bobine et le condensateur sans être consommée.
- L'hypoténuse : C'est la tension totale \(U_{\text{tot}}\) (ou tension apparente). C'est la somme vectorielle des deux autres.
Le théorème de Pythagore s'applique donc naturellement : \(\text{Hypoténuse}^2 = \text{Base}^2 + \text{Hauteur}^2\).
3. Remarque Pédagogique Fondamentale
La "Compensation" : Le terme \((U_{\text{L}} - U_{\text{C}})\) est crucial. Il montre que la bobine et le condensateur se "combattent". Si \(U_{\text{L}} = 100V\) et \(U_{\text{C}} = 100V\), leur effet combiné est nul (0V) !
C'est contre-intuitif mais réel : vous pouvez avoir 100V aux bornes de chaque composant, mais 0V aux bornes de l'ensemble (c'est la résonance). C'est pourquoi on soustrait leurs valeurs avant de les mettre au carré.
4. Normes et Notation
On note souvent \(U\) (sans indice) la tension totale aux bornes du dipôle équivalent. \(Z\) est l'impédance équivalente du circuit entier vu depuis le générateur.
5. Formules Utilisées
Théorème de Pythagore (en tensions)
Loi d'Ohm Globale
6. Hypothèses
Le générateur est parfait (pas de résistance interne modélisée ici) et délivre une tension purement sinusoïdale.
7. Données pour le calcul
| Terme | Valeur | Carré de la valeur |
|---|---|---|
| \(U_{\text{R}}\) | 20 V | 400 |
| \(U_{\text{L}}\) | 31.42 V | - |
| \(U_{\text{C}}\) | 12.74 V | - |
| Différence \((U_{\text{L}}-U_{\text{C}})\) | 18.68 V | 348.94 |
8. Astuces de Calculatrice
Ne tapez pas tout d'un coup si vous n'êtes pas à l'aise avec les parenthèses.
1. Calculez la différence \(31.42 - 12.74\) et appuyez sur = (résultat : 18.68).
2. Mettez ce résultat au carré (348.94).
3. Ajoutez le carré de \(U_{\text{R}}\) (400).
4. Faites la racine carrée du total à la toute fin.
9. Schémas Situation Initiale (Modélisation)
Le Triangle de Puissance/Tension
10. Calculs Détaillés
Étape A : Calcul de la composante réactive nette
On simplifie d'abord l'axe vertical en soustrayant les tensions opposées. C'est la "tension utile" pour le champ magnétique/électrique combiné.
Étape B : Application de Pythagore (Carré de la tension totale)
On somme les carrés des deux composantes orthogonales (résistive et réactive nette).
Étape C : Obtention de la valeur finale (Racine carrée)
Pour revenir à des Volts, on prend la racine carrée du résultat précédent.
Étape D : Calcul de l'Impédance Totale \(Z\)
Maintenant que nous connaissons la tension totale appliquée au circuit et le courant qui le traverse, l'impédance totale est simplement le rapport des deux (Loi d'Ohm globale).
Note : On aurait aussi pu calculer \(Z\) directement par \(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\). Le résultat serait identique.
11. Schémas Validation (Après Calcul)
Résultat Numérique Visualisé
12. Analyse et Réflexions
Ce résultat illustre parfaitement la "magie" de l'alternatif :
Somme arithmétique des tensions = \(20 + 31.42 + 12.74 = \mathbf{64.16 \, \text{V}}\).
Tension réelle nécessaire = \(\mathbf{27.37 \, \text{V}}\).
Le générateur a besoin de fournir beaucoup moins de tension que la somme des pics individuels, car les composants s'échangent de l'énergie entre eux. Le condensateur se décharge quand la bobine se charge, agissant comme des tampons énergétiques internes.
13. Points de vigilance
Erreur fréquente : Oublier la racine carrée à la fin du calcul de Pythagore. Un résultat de 748V devrait vous alerter (c'est énorme par rapport à 20V) ! Toujours vérifier la cohérence des ordres de grandeur.
14. Points à Retenir
- La tension efficace totale est toujours inférieure ou égale à la somme arithmétique des tensions partielles.
- L'impédance totale \(Z\) n'est pas \(R+X_{\text{L}}+X_{\text{C}}\), mais la somme vectorielle (quadratique) des impédances.
- La tension \(U_{\text{tot}}\) est l'hypoténuse du triangle de Fresnel.
15. Le saviez-vous ?
Si vous aviez un voltmètre, vous pourriez mesurer 31V aux bornes de la bobine alors que votre prise murale (le générateur dans notre exercice, mis à l'échelle) ne fournit que 27V. C'est possible ! Le circuit génère des surtensions internes par résonance partielle.
16. FAQ
Est-ce que \(Z\) peut être plus petit que \(R\) ?
Non, jamais. Dans la formule \(Z = \sqrt{R^2 + (...)^2}\), le terme sous la racine est toujours au moins égal à \(R^2\). L'impédance minimale est \(Z=R\) (à la résonance).
A vous de jouer
Si on avait une résistance \(U_{\text{R}}=30\text{V}\) et une différence réactive \((U_{\text{L}}-U_{\text{C}})=40\text{V}\), combien vaudrait \(U_{\text{tot}}\) ?
📝 Mémo
Pensez au triangle "3-4-5" : \(\sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\). C'est un excellent moyen de vérifier si vous avez compris Pythagore sans calculatrice.
Schéma Bilan de l'Exercice
Ce schéma bilan, également appelé "Diagramme de Fresnel complet", est la représentation graphique finale de l'état électrique de notre circuit RLC série. Il ne s'agit pas d'un simple dessin, mais d'une véritable "carte d'identité vectorielle" du système à la fréquence de 50 Hz.
Analyse détaillée :
1. La base horizontale (en bleu) : Elle correspond à la tension \(U_R\) (20V). C'est la partie "active" de la tension, celle qui est en phase avec le courant et qui correspond à la puissance réellement consommée et dissipée sous forme de chaleur (effet Joule).
2. La composante verticale (en vert) : Elle représente la "lutte" entre l'effet inductif (bobine) qui tire vers le haut et l'effet capacitif (condensateur) qui tire vers le bas. Ici, la résultante \(U_L - U_C\) (18.68V) est positive et pointe vers le haut. Cela nous indique immédiatement que le circuit est inductif : la bobine "gagne" sur le condensateur.
3. L'hypoténuse (en rouge) : C'est la tension totale \(U_{tot}\) (27.37V) que doit fournir le générateur pour maintenir ce courant de 2A. C'est la somme vectorielle des deux autres composantes.
Conclusion physique :
L'angle \(\varphi\) formé entre l'horizontale et l'hypoténuse représente le déphasage. Comme le vecteur rouge "monte", la tension est en avance sur le courant. Si la fréquence augmentait, \(U_L\) grandirait encore et le vecteur monterait plus haut. Si la fréquence diminuait, \(U_C\) prendrait le dessus et le vecteur piquerait vers le bas (comportement capacitif).
| Grandeur | Valeur | Nature Physique | Rôle dans le circuit |
|---|---|---|---|
| \(U_R\) | 20 V | Tension Active | Dissipation d'énergie (Chaleur) |
| \(U_L - U_C\) | 18.68 V | Tension Réactive | Échange d'énergie magnétique/électrique |
| \(U_{tot}\) | 27.37 V | Tension Apparente | Dimensionnement du générateur |
| \(Z\) | 13.68 \(\Omega\) | Impédance Totale | Opposition globale au passage du courant |
📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument
Voici la synthèse détaillée des concepts clés. Ne vous contentez pas de mémoriser les formules, comprenez le raisonnement physique derrière chaque étape.
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Point Clé 1 : Pourquoi utiliser des Vecteurs (Fresnel) ?
En courant continu, 2V + 3V font toujours 5V. En courant alternatif sinusoïdal, c'est faux ! Les tensions ne sont pas synchronisées : elles atteignent leur maximum à des moments différents.
C'est le déphasage. Pour additionner ces grandeurs décalées dans le temps, on utilise une astuce géométrique : on représente chaque tension par un vecteur tournant. Le diagramme de Fresnel est comme une photo de ces vecteurs à l'instant t=0.
- La Résistance ne déphase pas (Vecteur horizontal).
- L'Inductance met la tension en avance (Vecteur vers le haut, +90°).
- Le Condensateur met la tension en retard (Vecteur vers le bas, -90°).
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Point Clé 2 : Le Triangle des Tensions (Pythagore)
Puisque les vecteurs inductifs (haut) et capacitifs (bas) sont verticaux, et que la résistance est horizontale, la somme forme toujours un triangle rectangle.
L'hypoténuse de ce triangle est la tension totale \(U_{tot}\) que l'on cherche.
La base est toujours \(U_R\). La hauteur est la différence nette entre les effets de la bobine et du condensateur : \((U_L - U_C)\).
D'où la formule incontournable issue du théorème de Pythagore :
\[ U_{tot}^2 = \text{Base}^2 + \text{Hauteur}^2 = U_R^2 + (U_L - U_C)^2 \] C'est la seule formule valide pour trouver la tension totale d'un circuit RLC série. -
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Point Clé 3 : La Lutte L vs C et la Résonance
L'inductance et la capacité sont des antagonistes. L'un essaie de faire monter le courant, l'autre de le faire descendre.
- Si \(X_L > X_C\) : Le circuit est inductif (comportement global de bobine).
- Si \(X_C > X_L\) : Le circuit est capacitif.
Dans ce cas, \(U_{tot} = U_R\). L'impédance du circuit devient minimale (égale à R seulement). Le courant devient alors maximal. C'est le phénomène de résonance.
Danger : À la résonance, des surtensions énormes peuvent apparaître aux bornes de L et C, détruisant les composants, même si la tension d'alimentation est faible.
🎛️ Simulateur RLC Interactif
NeutreAjustez les composants pour voir l'impact sur le diagramme vectoriel (à 50Hz) et la courbe de réponse en fréquence.
Paramètres du Circuit
Diagramme de Fresnel (50Hz)
📝 Quiz final : Testez vos connaissances
Répondez à toutes les questions pour vérifier votre compréhension fine du diagramme de Fresnel et des circuits RLC.
1. Dans une bobine idéale (inductance pure), comment se situe la tension par rapport au courant ?
2. Que se passe-t-il exactement lors du phénomène de résonance (\(U_{\text{L}} = U_{\text{C}}\)) ?
3. Pourquoi ne peut-on pas additionner simplement les valeurs efficaces \(U_{\text{R}} + U_{\text{L}} + U_{\text{C}}\) pour trouver \(U_{\text{tot}}\) ?
4. Si la fréquence du courant augmente, comment évolue l'influence du condensateur ?
5. Sur un diagramme de Fresnel, si le vecteur résultant \(U_{\text{tot}}\) pointe vers le bas (sous l'axe horizontal), que peut-on dire ?
📚 Glossaire Détaillé
- Impédance Électrique (\(Z\))
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Définition : L'impédance est la mesure globale de l'opposition qu'un circuit présente au passage d'un courant alternatif sinusoïdal. C'est une généralisation de la notion de résistance en courant continu.
Analogie Hydraulique : Si la tension est la pression de l'eau et le courant le débit, l'impédance représente l'ensemble des obstacles (étranglements, turbines, membranes élastiques) qui freinent l'eau.
Composition : Elle combine deux effets distincts :
- La Résistance (\(R\)) : Qui dissipe l'énergie sous forme de chaleur (irréversible).
- La Réactance (\(X\)) : Qui stocke et restitue l'énergie (magnétique ou électrique) sans la consommer.
Unité : L'Ohm (\(\Omega\)).
- Réactance (\(X\))
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Définition : C'est la partie "imaginaire" de l'impédance. Elle quantifie l'opposition au courant due uniquement aux effets de stockage d'énergie (inductance et capacité).
Comportement Fréquentiel : Contrairement à une résistance pure, la réactance dépend de la fréquence :
- Réactance Inductive (\(X_{\text{L}} = L\omega\)) : Elle augmente avec la fréquence. Une bobine "déteste" les changements rapides de courant.
- Réactance Capacitive (\(X_{\text{C}} = 1/C\omega\)) : Elle diminue avec la fréquence. Un condensateur "aime" les changements rapides (il laisse passer les hautes fréquences).
- Pulsation (\(\omega\))
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Définition : La pulsation (oméga) représente la vitesse angulaire de rotation des vecteurs dans le diagramme de Fresnel.
Pourquoi l'utiliser ? En mathématiques, les fonctions sinus et cosinus prennent des angles en entrée. Comme le signal électrique évolue dans le temps, on doit convertir le temps (\(t\)) en angle via la vitesse de rotation.
Formule : \(\omega = 2\pi f\).
Exemple : À 50 Hz, le vecteur fait 50 tours par seconde. Comme un tour = \(2\pi\) radians, la vitesse est \(100\pi \approx 314\) rad/s.Unité : Radian par seconde (\(\text{rad/s}\)).
- Valeur Efficace (RMS)
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Concept Physique : C'est la valeur "thermodynamique" équivalente. Une tension alternative de valeur efficace \(U_{\text{eff}}\) produit exactement le même dégagement de chaleur (effet Joule) dans une résistance qu'une tension continue de valeur \(U_{\text{DC}} = U_{\text{eff}}\).
Relation Mathématique : Pour un signal sinusoïdal pur : \[ \text{Valeur Efficace} = \frac{\text{Valeur Maximale (Crête)}}{\sqrt{2}} \]
Usage : Quand on dit "230V" pour une prise domestique, on parle toujours de la valeur efficace. La tension monte en réalité jusqu'à \(230 \times \sqrt{2} \approx 325 \text{ V}\) en crête !
- Diagramme de Fresnel
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Définition : Outil graphique vectoriel permettant de représenter des grandeurs sinusoïdales (tensions, courants) de même fréquence mais déphasées les unes par rapport aux autres.
Principe : On associe à chaque grandeur sinusoïdale un vecteur tournant. Comme tout tourne à la même vitesse (\(\omega\)), on fige l'image à l'instant \(t=0\). La longueur du vecteur représente l'amplitude (ou la valeur efficace) et l'angle représente la phase à l'origine.
Utilité : Il transforme des additions de fonctions trigonométriques complexes (algébriques) en simples additions de vecteurs (géométriques), ce qui simplifie énormément les calculs en électricité AC.
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