Exercices Électricité

Effets de la Polarisation Linéaire sur une Onde

Effets de la Polarisation Linéaire sur une Onde

Effets de la Polarisation Linéaire sur une Onde

Comprendre la Polarisation Linéaire

La polarisation d'une onde électromagnétique décrit l'orientation du vecteur champ électrique \(\vec{E}\) dans le plan perpendiculaire à la direction de propagation. Dans le cas d'une polarisation linéaire (ou rectiligne), le vecteur \(\vec{E}\) oscille le long d'une direction fixe dans ce plan. La lumière naturelle est généralement non polarisée, signifiant que l'orientation de \(\vec{E}\) varie aléatoirement. Les polariseurs sont des dispositifs optiques qui peuvent sélectionner une direction de polarisation spécifique, ne laissant passer que la composante du champ électrique alignée avec leur axe de transmission. L'étude de la polarisation est cruciale dans de nombreux domaines, tels que l'optique, les télécommunications (antennes), et l'affichage (écrans LCD).

Données de l'étude

Une onde électromagnétique plane, polarisée linéairement, se propage dans le vide le long de l'axe \(z\). Son champ électrique \(\vec{E}\) a une amplitude \(E_0\) et oscille dans une direction faisant un angle \(\alpha\) avec l'axe \(x\).

Caractéristiques de l'onde et du polariseur :

  • Amplitude du champ électrique incident (\(E_0\)) : \(10 \, \text{V/m}\)
  • Angle de polarisation de l'onde incidente par rapport à l'axe x (\(\alpha\)) : \(60^\circ\)
  • Fréquence de l'onde (\(f\)) : \(100 \, \text{MHz}\)
  • L'onde rencontre un polariseur idéal dont l'axe de transmission est aligné avec l'axe \(x\).

Constantes :

  • Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Permittivité du vide (\(\epsilon_0\)) : \(8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
  • Impédance caractéristique du vide (\(\eta_0\)) : \(\approx 377 \, \Omega\)
Schéma : Onde Polarisée Linéairement et Polariseur
k (prop.) z E₀ x B₀ y Polariseur (axe x) E_transmis Onde Polarisée et Polariseur

Une onde polarisée linéairement avec un champ \(\vec{E}_0\) faisant un angle \(\alpha\) avec l'axe x, incident sur un polariseur aligné avec l'axe x.

Questions à traiter

  1. Écrire les expressions des composantes \(E_x(z,t)\) et \(E_y(z,t)\) du champ électrique de l'onde incidente en fonction de \(E_0, \alpha, \omega, k, z, t\). (Calculer \(\omega\) et \(k\)).
  2. Calculer l'amplitude du champ électrique \(E_t\) de l'onde transmise après le polariseur.
  3. Calculer l'intensité (\(I_0\)) de l'onde incidente (puissance par unité de surface).
  4. Calculer l'intensité (\(I_t\)) de l'onde transmise après le polariseur.
  5. Vérifier la loi de Malus : \(I_t = I_0 \cos^2(\theta)\), où \(\theta\) est l'angle entre la direction de polarisation de l'onde incidente et l'axe de transmission du polariseur.
  6. Si on place un deuxième polariseur identique au premier, mais dont l'axe de transmission fait un angle \(\beta = 45^\circ\) avec l'axe x, quelle sera l'intensité \(I_{t2}\) de l'onde après ce deuxième polariseur ?

Correction : Effets de la Polarisation Linéaire sur une Onde

Question 1 : Composantes du champ électrique incident

Principe :

Le champ électrique d'une onde plane polarisée linéairement se propageant selon \(z\) peut être décomposé en ses composantes \(E_x\) et \(E_y\). Si l'amplitude totale est \(E_0\) et que la direction de polarisation fait un angle \(\alpha\) avec l'axe \(x\), alors \(E_{0x} = E_0 \cos(\alpha)\) et \(E_{0y} = E_0 \sin(\alpha)\). La pulsation \(\omega = 2\pi f\) et le nombre d'onde \(k = \omega/c\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\omega = 2\pi f\] \[k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi f}{c}\] \[E_x(z,t) = E_0 \cos(\alpha) \cos(\omega t - kz)\] \[E_y(z,t) = E_0 \sin(\alpha) \cos(\omega t - kz)\]
Données spécifiques :
  • \(E_0 = 10 \, \text{V/m}\)
  • \(\alpha = 60^\circ\)
  • \(f = 100 \, \text{MHz} = 100 \times 10^6 \, \text{Hz}\)
  • \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \omega &= 2\pi \times (100 \times 10^6 \, \text{Hz}) \\ &= 2\pi \times 10^8 \, \text{rad/s} \\ &\approx 6.283 \times 10^8 \, \text{rad/s} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} k &= \frac{2\pi \times 10^8 \, \text{rad/s}}{3 \times 10^8 \, \text{m/s}} \\ &= \frac{2\pi}{3} \, \text{rad/m} \\ &\approx 2.094 \, \text{rad/m} \end{aligned} \] \[ \cos(60^\circ) = 0.5 \] \[ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \] \[ E_{0x} = 10 \, \text{V/m} \times 0.5 = 5 \, \text{V/m} \] \[ E_{0y} = 10 \, \text{V/m} \times 0.866 \approx 8.66 \, \text{V/m} \]

Donc :

\[ E_x(z,t) = 5 \cos(2\pi \times 10^8 t - \frac{2\pi}{3} z) \, \text{V/m} \] \[ E_y(z,t) = 8.66 \cos(2\pi \times 10^8 t - \frac{2\pi}{3} z) \, \text{V/m} \]
Résultat Question 1 :
  • \(\omega = 2\pi \times 10^8 \, \text{rad/s}\)
  • \(k = \frac{2\pi}{3} \, \text{rad/m}\)
  • \(E_x(z,t) = 5 \cos(2\pi \times 10^8 t - \frac{2\pi}{3} z) \, \text{V/m}\)
  • \(E_y(z,t) \approx 8.66 \cos(2\pi \times 10^8 t - \frac{2\pi}{3} z) \, \text{V/m}\)

Question 2 : Amplitude du champ électrique transmis (\(E_t\))

Principe :

Un polariseur idéal ne transmet que la composante du champ électrique parallèle à son axe de transmission. Si l'axe de transmission du polariseur est aligné avec l'axe \(x\), seule la composante \(E_x\) de l'onde incidente sera transmise.

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_t = E_{0x} = E_0 \cos(\alpha)\]

où \(\alpha\) est l'angle entre la direction de polarisation de \(\vec{E}_0\) et l'axe de transmission du polariseur (ici, l'axe x).

Données spécifiques :
  • \(E_0 = 10 \, \text{V/m}\)
  • \(\alpha = 60^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_t &= 10 \, \text{V/m} \times \cos(60^\circ) \\ &= 10 \times 0.5 \\ &= 5 \, \text{V/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'amplitude du champ électrique transmis est \(E_t = 5 \, \text{V/m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si une onde polarisée linéairement avec une amplitude \(E_0\) est incidente sur un polariseur idéal dont l'axe de transmission est perpendiculaire à la direction de polarisation de l'onde, l'amplitude du champ transmis est :

Question 3 : Intensité de l'onde incidente (\(I_0\))

Principe :

L'intensité (\(I\)) d'une onde électromagnétique plane dans le vide est la puissance moyenne par unité de surface. Elle est liée à l'amplitude du champ électrique \(E_0\) par \(I = \frac{1}{2} \epsilon_0 c E_0^2\) ou \(I = \frac{E_0^2}{2\eta_0}\), où \(\eta_0\) est l'impédance caractéristique du vide.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_0 = \frac{1}{2} \epsilon_0 c E_0^2 \quad \text{ou} \quad I_0 = \frac{E_0^2}{2\eta_0}\]
Données spécifiques :
  • \(E_0 = 10 \, \text{V/m}\)
  • \(\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
  • \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • \(\eta_0 \approx 377 \, \Omega\)
Calcul (avec la première formule) :
\[ \begin{aligned} I_0 &= \frac{1}{2} \times (8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}) \times (3 \times 10^8 \, \text{m/s}) \times (10 \, \text{V/m})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 8.854 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8 \times 100 \, \text{W/m}^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 8.854 \times 3 \times 10^{-12+8+2} \, \text{W/m}^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 26.562 \times 10^{-2} \, \text{W/m}^2 \\ &= 13.281 \times 10^{-2} \, \text{W/m}^2 \\ &\approx 0.1328 \, \text{W/m}^2 \end{aligned} \]

Calcul (avec la seconde formule) :

\[ \begin{aligned} I_0 &= \frac{(10 \, \text{V/m})^2}{2 \times 377 \, \Omega} \\ &= \frac{100}{754} \, \text{W/m}^2 \\ &\approx 0.1326 \, \text{W/m}^2 \end{aligned} \]

Les légères différences sont dues à l'arrondi de \(\eta_0\).

Résultat Question 3 : L'intensité de l'onde incidente est \(I_0 \approx 0.133 \, \text{W/m}^2\).

Question 4 : Intensité de l'onde transmise (\(I_t\))

Principe :

L'intensité de l'onde transmise (\(I_t\)) est liée à l'amplitude du champ électrique transmis (\(E_t\)) par la même relation que pour l'onde incidente : \(I_t = \frac{1}{2} \epsilon_0 c E_t^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_t = \frac{1}{2} \epsilon_0 c E_t^2\]
Données spécifiques :
  • \(E_t = 5 \, \text{V/m}\) (calculé à la Q2)
  • \(\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
  • \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_t &= \frac{1}{2} \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (3 \times 10^8) \times (5)^2 \, \text{W/m}^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 8.854 \times 3 \times 25 \times 10^{-4} \, \text{W/m}^2 \\ &= 13.281 \times 12.5 \times 10^{-4} \, \text{W/m}^2 \\ &= 332.025 \times 10^{-4} \, \text{W/m}^2 \\ &\approx 0.03320 \, \text{W/m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'intensité de l'onde transmise est \(I_t \approx 0.0332 \, \text{W/m}^2\).

Quiz Intermédiaire 2 : L'intensité d'une onde électromagnétique est proportionnelle :

Question 5 : Vérification de la loi de Malus

Principe :

La loi de Malus stipule que lorsqu'une onde lumineuse polarisée linéairement d'intensité \(I_0\) traverse un polariseur idéal, l'intensité transmise \(I_t\) est donnée par \(I_t = I_0 \cos^2(\theta)\), où \(\theta\) est l'angle entre la direction de polarisation de l'onde incidente et l'axe de transmission du polariseur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_t = I_0 \cos^2(\alpha)\]

Ici, \(\theta = \alpha\).

Données spécifiques :
  • \(I_0 \approx 0.1328 \, \text{W/m}^2\) (de Q3)
  • \(\alpha = 60^\circ\)
  • \(I_t \approx 0.0332 \, \text{W/m}^2\) (de Q4)
Calcul :
\[ \cos(60^\circ) = 0.5 \] \[ \cos^2(60^\circ) = (0.5)^2 = 0.25 \] \[ \begin{aligned} I_0 \cos^2(\alpha) &= 0.1328 \, \text{W/m}^2 \times 0.25 \\ &= 0.0332 \, \text{W/m}^2 \end{aligned} \]

Ce résultat est égal à l'intensité \(I_t\) calculée à la question 4. La loi de Malus est vérifiée.

Résultat Question 5 : La loi de Malus est vérifiée : \(I_t = I_0 \cos^2(60^\circ) \approx 0.0332 \, \text{W/m}^2\).

Question 6 : Intensité après un deuxième polariseur

Principe :

L'onde transmise par le premier polariseur a une intensité \(I_t\) et est polarisée linéairement le long de l'axe x. Cette onde devient l'onde incidente sur le deuxième polariseur. L'angle entre la direction de polarisation de cette onde (axe x) et l'axe de transmission du deuxième polariseur (\(\beta = 45^\circ\) par rapport à l'axe x) est donc de \(45^\circ\).

Formule(s) utilisée(s) (Loi de Malus) :
\[I_{t2} = I_t \cos^2(\beta)\]
Données spécifiques :
  • \(I_t \approx 0.0332 \, \text{W/m}^2\)
  • \(\beta = 45^\circ\)
Calcul :
\[ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071 \] \[ \cos^2(45^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = 0.5 \] \[ \begin{aligned} I_{t2} &= 0.0332 \, \text{W/m}^2 \times 0.5 \\ &= 0.0166 \, \text{W/m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : L'intensité après le deuxième polariseur est \(I_{t2} \approx 0.0166 \, \text{W/m}^2\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La polarisation d'une onde électromagnétique décrit :

2. Si une lumière non polarisée d'intensité \(I_{np}\) traverse un polariseur idéal, l'intensité transmise est :

3. Selon la loi de Malus, si l'angle entre la polarisation d'une onde incidente et l'axe d'un polariseur est de \(0^\circ\), l'intensité transmise est :

Glossaire

Onde Électromagnétique
Onde composée d'un champ électrique et d'un champ magnétique oscillants et perpendiculaires entre eux et à la direction de propagation.
Polarisation Linéaire (ou Rectiligne)
État de polarisation d'une onde électromagnétique où le vecteur champ électrique oscille le long d'une direction fixe dans le plan transverse à la direction de propagation.
Champ Électrique (\(\vec{E}\))
Champ vectoriel décrivant la force électrostatique agissant sur une charge électrique. Unité SI : Volt par mètre (V/m).
Amplitude (\(E_0\))
Valeur maximale du champ électrique oscillant.
Intensité d'une Onde (\(I\))
Puissance moyenne transportée par l'onde par unité de surface perpendiculaire à la direction de propagation. Unité SI : Watt par mètre carré (W/m²).
Polariseur
Dispositif optique qui transmet la lumière d'une polarisation spécifique tout en bloquant la lumière des autres polarisations.
Axe de Transmission
Direction privilégiée d'un polariseur. Seule la composante du champ électrique de l'onde incidente parallèle à cet axe est transmise (pour un polariseur idéal).
Loi de Malus
Loi qui décrit l'intensité d'une onde lumineuse polarisée linéairement après avoir traversé un polariseur idéal. \(I_t = I_0 \cos^2(\theta)\).
Lumière Non Polarisée
Lumière dont le vecteur champ électrique oscille dans toutes les directions possibles perpendiculairement à la direction de propagation, de manière aléatoire.
Effets de la Polarisation Linéaire sur une Onde

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