Exercices Électricité

Étude des Condensateurs en Parallèle

Étude des Condensateurs en Parallèle

Étude des Condensateurs en Parallèle

Comprendre l'Association de Condensateurs en Parallèle

Lorsque des condensateurs sont connectés en parallèle, ils sont soumis à la même différence de potentiel (tension). La charge totale emmagasinée par le groupement est la somme des charges emmagasinées par chaque condensateur individuel. Une conséquence importante de cette configuration est que la capacité équivalente du groupement en parallèle est la somme des capacités individuelles. Cette méthode d'association est souvent utilisée pour obtenir une capacité plus grande que celle disponible avec un seul composant.

Données de l'étude

On considère trois condensateurs connectés en parallèle à une source de tension continue :

  • Condensateur \(C_1 = 2,0 \, \mu\text{F}\)
  • Condensateur \(C_2 = 3,0 \, \mu\text{F}\)
  • Condensateur \(C_3 = 5,0 \, \mu\text{F}\)

La tension totale appliquée aux bornes du groupement parallèle est \(V_{\text{tot}} = 10,0 \, \text{V}\).

Schéma du Circuit de Condensateurs en Parallèle
{/* Source de tension */} {/* Grande barre + */} {/* Petite barre - */} V_tot 10V {/* Fils vers les points de connexion communs */} {/* Bus supérieur */} {/* Fil de retour */} {/* Bus inférieur */} {/* Condensateur C1 */} C₁ 2µF {/* Condensateur C2 */} C₂ 3µF {/* Condensateur C3 */} C₃ 5µF Condensateurs C₁, C₂, C₃ en parallèle

Schéma du circuit avec les condensateurs \(C_1\), \(C_2\), et \(C_3\) en parallèle.

Questions à traiter

  1. Calculer la capacité équivalente \(C_{\text{eq}}\) du groupement des trois condensateurs en parallèle.
  2. Quelle est la différence de potentiel (tension) \(V_1\), \(V_2\), et \(V_3\) aux bornes de chaque condensateur \(C_1\), \(C_2\), et \(C_3\) respectivement ?
  3. Calculer la charge \(Q_1\) emmagasinée par le condensateur \(C_1\).
  4. Calculer la charge \(Q_2\) emmagasinée par le condensateur \(C_2\).
  5. Calculer la charge \(Q_3\) emmagasinée par le condensateur \(C_3\).
  6. Calculer la charge totale \(Q_{\text{tot}}\) emmagasinée par le groupement de condensateurs. Vérifier que \(Q_{\text{tot}} = Q_1 + Q_2 + Q_3\).
  7. Calculer l'énergie totale \(W_{\text{tot}}\) emmagasinée par le groupement de condensateurs.

Correction : Étude des Condensateurs en Parallèle

Question 1 : Capacité équivalente \(C_{\text{eq}}\)

Principe :

Pour des condensateurs montés en parallèle, la capacité équivalente est la somme des capacités individuelles.

Formule(s) utilisée(s) :
\[C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 + C_3 + \dots\]
Données spécifiques :
  • \(C_1 = 2,0 \, \mu\text{F}\)
  • \(C_2 = 3,0 \, \mu\text{F}\)
  • \(C_3 = 5,0 \, \mu\text{F}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} C_{\text{eq}} &= C_1 + C_2 + C_3 \\ &= 2,0 \, \mu\text{F} + 3,0 \, \mu\text{F} + 5,0 \, \mu\text{F} \\ &= 10,0 \, \mu\text{F} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La capacité équivalente du groupement parallèle est \(C_{\text{eq}} = 10,0 \, \mu\text{F}\).

Question 2 : Tension aux bornes de chaque condensateur

Principe :

Lorsque des composants sont connectés en parallèle, ils sont soumis à la même différence de potentiel. Dans ce cas, la tension aux bornes de chaque condensateur est égale à la tension totale appliquée par la source.

Données spécifiques :
  • \(V_{\text{tot}} = 10,0 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ V_1 = V_2 = V_3 = V_{\text{tot}} = 10,0 \, \text{V} \]
Résultat Question 2 : La tension aux bornes de chaque condensateur est \(V_1 = 10,0 \, \text{V}\), \(V_2 = 10,0 \, \text{V}\), et \(V_3 = 10,0 \, \text{V}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Dans un circuit de condensateurs en parallèle, la tension :

Question 3 : Charge \(Q_1\) sur \(C_1\)

Principe :

La charge emmagasinée par un condensateur est donnée par \(Q = CV\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_1 = C_1 V_1\]
Données spécifiques :
  • \(C_1 = 2,0 \, \mu\text{F} = 2,0 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
  • \(V_1 = 10,0 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_1 &= (2,0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (10,0 \, \text{V}) \\ &= 20,0 \times 10^{-6} \, \text{C} \\ &= 20,0 \, \mu\text{C} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La charge sur \(C_1\) est \(Q_1 = 20,0 \, \mu\text{C}\).

Question 4 : Charge \(Q_2\) sur \(C_2\)

Principe :

Similaire à la question 3.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_2 = C_2 V_2\]
Données spécifiques :
  • \(C_2 = 3,0 \, \mu\text{F} = 3,0 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
  • \(V_2 = 10,0 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_2 &= (3,0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (10,0 \, \text{V}) \\ &= 30,0 \times 10^{-6} \, \text{C} \\ &= 30,0 \, \mu\text{C} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La charge sur \(C_2\) est \(Q_2 = 30,0 \, \mu\text{C}\).

Question 5 : Charge \(Q_3\) sur \(C_3\)

Principe :

Similaire à la question 3.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_3 = C_3 V_3\]
Données spécifiques :
  • \(C_3 = 5,0 \, \mu\text{F} = 5,0 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
  • \(V_3 = 10,0 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_3 &= (5,0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (10,0 \, \text{V}) \\ &= 50,0 \times 10^{-6} \, \text{C} \\ &= 50,0 \, \mu\text{C} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La charge sur \(C_3\) est \(Q_3 = 50,0 \, \mu\text{C}\).

Question 6 : Charge totale \(Q_{\text{tot}}\)

Principe :

La charge totale emmagasinée par un groupement de condensateurs en parallèle est la somme des charges sur chaque condensateur. On peut aussi la calculer en utilisant la capacité équivalente et la tension totale : \(Q_{\text{tot}} = C_{\text{eq}} V_{\text{tot}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_{\text{tot}} = Q_1 + Q_2 + Q_3\] \[\text{ou} \quad Q_{\text{tot}} = C_{\text{eq}} V_{\text{tot}}\]
Données spécifiques :
  • \(Q_1 = 20,0 \, \mu\text{C}\)
  • \(Q_2 = 30,0 \, \mu\text{C}\)
  • \(Q_3 = 50,0 \, \mu\text{C}\)
  • \(C_{\text{eq}} = 10,0 \, \mu\text{F}\)
  • \(V_{\text{tot}} = 10,0 \, \text{V}\)
Calcul (méthode 1 : somme des charges) :
\[ \begin{aligned} Q_{\text{tot}} &= 20,0 \, \mu\text{C} + 30,0 \, \mu\text{C} + 50,0 \, \mu\text{C} \\ &= 100,0 \, \mu\text{C} \end{aligned} \]
Calcul (méthode 2 : avec \(C_{\text{eq}}\)) :
\[ \begin{aligned} Q_{\text{tot}} &= (10,0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (10,0 \, \text{V}) \\ &= 100,0 \times 10^{-6} \, \text{C} \\ &= 100,0 \, \mu\text{C} \end{aligned} \]

Les deux méthodes donnent le même résultat.

Résultat Question 6 : La charge totale emmagasinée est \(Q_{\text{tot}} = 100,0 \, \mu\text{C}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si on double la tension appliquée à un groupement de condensateurs en parallèle, la charge totale emmagasinée :

Question 7 : Énergie totale \(W_{\text{tot}}\) emmagasinée

Principe :

L'énergie totale emmagasinée par le groupement peut être calculée en utilisant la capacité équivalente et la tension totale (\(W = \frac{1}{2}CV^2\)), ou la charge totale et la tension totale (\(W = \frac{1}{2}QV\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{\text{tot}} = \frac{1}{2} C_{\text{eq}} V_{\text{tot}}^2 \quad \text{ou} \quad W_{\text{tot}} = \frac{1}{2} Q_{\text{tot}} V_{\text{tot}}\]
Données spécifiques :
  • \(C_{\text{eq}} = 10,0 \, \mu\text{F} = 10,0 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
  • \(Q_{\text{tot}} = 100,0 \, \mu\text{C} = 100,0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(V_{\text{tot}} = 10,0 \, \text{V}\)
Calcul (avec \(C_{\text{eq}}\)) :
\[ \begin{aligned} W_{\text{tot}} &= \frac{1}{2} (10,0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (10,0 \, \text{V})^2 \\ &= \frac{1}{2} (10,0 \times 10^{-6}) \times 100 \, \text{J} \\ &= 5,0 \times 10^{-6} \times 100 \, \text{J} \\ &= 500 \times 10^{-6} \, \text{J} \\ &= 500 \, \mu\text{J} \end{aligned} \]
Calcul (avec \(Q_{\text{tot}}\)) :
\[ \begin{aligned} W_{\text{tot}} &= \frac{1}{2} (100,0 \times 10^{-6} \, \text{C}) \times (10,0 \, \text{V}) \\ &= 50,0 \times 10^{-6} \times 10,0 \, \text{J} \\ &= 500 \times 10^{-6} \, \text{J} \\ &= 500 \, \mu\text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : L'énergie totale emmagasinée par le groupement est \(W_{\text{tot}} = 500 \, \mu\text{J}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans une association de condensateurs en parallèle, laquelle des affirmations suivantes est toujours vraie ?

2. Si trois condensateurs \(C_1, C_2, C_3\) sont en parallèle, leur capacité équivalente \(C_{\text{eq}}\) est :

3. L'énergie emmagasinée dans un condensateur de capacité C portant une charge Q est :

Glossaire

Condensateur
Composant électronique passif capable d'emmagasiner de l'énergie sous forme de champ électrique entre deux armatures conductrices.
Capacité (\(C\))
Mesure de l'aptitude d'un condensateur à emmagasiner une charge électrique pour une différence de potentiel donnée. \(C = Q/V\). Unité : Farad (F).
Association en Parallèle
Montage de composants connectés aux mêmes deux points d'un circuit, de sorte que la même tension s'applique à chacun. Pour les condensateurs : \(C_{\text{eq}} = \sum C_i\).
Charge Électrique (\(Q\))
Quantité d'électricité portée par un objet. Unité : Coulomb (C).
Différence de Potentiel (Tension, \(V\) ou \(U\))
Travail nécessaire par unité de charge pour déplacer une charge entre deux points dans un champ électrique. Unité : Volt (V).
Énergie Emmagasinée (\(W\))
Énergie stockée dans le champ électrique d'un condensateur. \(W = \frac{1}{2}CV^2\). Unité : Joule (J).
Microfarad (\(\mu\text{F}\))
Unité de capacité égale à \(10^{-6}\) farads.
Microcoulomb (\(\mu\text{C}\))
Unité de charge électrique égale à \(10^{-6}\) coulombs.
Microjoule (\(\mu\text{J}\))
Unité d'énergie égale à \(10^{-6}\) joules.
Condensateurs en Parallèle

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