Étude des Modes de Résonance dans une Cavité

Principe :

Les fréquences de résonance d'une cavité rectangulaire remplie d'un milieu de permittivité \(\epsilon\) et de perméabilité \(\mu\) sont déterminées par les conditions aux limites imposées par les parois conductrices. Pour une cavité remplie d'air (ou de vide), la vitesse de propagation des ondes est \(c = 1/\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Où \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide, \(a, b, d\) sont les dimensions de la cavité le long des axes x, y, z respectivement, et \(m, n, p\) sont des entiers non négatifs représentant les indices du mode. Les conditions spécifiques sur \(m, n, p\) dépendent du type de mode (TE ou TM).

Principe :

Pour les modes TE (Transverse Électrique), les indices \(m\) et \(n\) ne peuvent pas être nuls simultanément. L'indice \(p\) peut être nul (représentant une variation nulle du champ le long de l'axe z pour un guide d'onde, mais pour une cavité, \(p \ge 1\) est généralement considéré pour les modes TEmnp où le champ varie le long de d, sauf si d est la "longueur" du guide qui forme la cavité). Si on considère une cavité fermée, pour un mode TEmnp, \(p\) est généralement \(\ge 1\). Si \(p=0\), cela correspondrait à un mode de guide d'onde bidimensionnel. Pour les cavités, le mode le plus bas est souvent TE101 ou TE011 (si on suppose \(a, b > 0\)). Le mode dominant est le mode TEmnp ayant la plus basse fréquence de résonance non nulle. Typiquement, si \(a > b\), le mode TE101 est souvent dominant si la dimension \(d\) n'est pas trop petite.

Conditions pour les modes TEmnp : \(m, n\) ne sont pas tous les deux nuls. \(p\) est un entier positif (\(p \ge 1\)). (Si \(p=0\), \(m,n \ge 1\) pour TE). Les modes TEmn0 n'existent pas si on définit TE par \(H_z \neq 0\). Si on le définit par \(E_z=0\), alors TEmn0 est possible. Pour une cavité fermée, on s'attend à des variations dans les 3 dimensions. Le mode TE avec la plus basse fréquence est généralement TE101 (si a est la plus grande dimension transverse) ou TE011 (si b est la plus grande dimension transverse), ou TE110 (si d est très grand). Le terme "fréquence de coupure" est plus typique des guides d'ondes. Pour une cavité, on parle de "fréquence de résonance". Le mode dominant est celui avec la plus basse fréquence de résonance.

Nous allons chercher le triplet (m,n,p) qui minimise \( (m/a)^2 + (n/b)^2 + (p/d)^2 \) avec les contraintes TE. Pour TE, \(m\) ou \(n\) peut être nul, mais pas les deux. \(p\) doit être \(\ge 1\) pour une résonance tridimensionnelle. Si \(a=3\text{cm}, b=2\text{cm}, d=4\text{cm}\). Mode TE101: \((1/a)^2 + (0/b)^2 + (1/d)^2 = (1/3)^2 + (1/4)^2 = 1/9 + 1/16 = (16+9)/144 = 25/144\). Mode TE011: \((0/a)^2 + (1/b)^2 + (1/d)^2 = (1/2)^2 + (1/4)^2 = 1/4 + 1/16 = (4+1)/16 = 5/16 = 45/144\). Mode TE110: (Si permis, \(p=0\)) \((1/a)^2 + (1/b)^2 + (0/d)^2 = (1/3)^2 + (1/2)^2 = 1/9 + 1/4 = (4+9)/36 = 13/36 = 52/144\). Le mode TE101 semble être le candidat pour le mode dominant.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques (converties en mètres) :

• \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
• \(a = 3 \, \text{cm} = 0.03 \, \text{m}\)
• \(d = 4 \, \text{cm} = 0.04 \, \text{m}\)

Calcul :

Principe :

Pour les modes TM (Transverse Magnétique), les indices \(m\) et \(n\) doivent être supérieurs ou égaux à 1 (\(m \ge 1, n \ge 1\)). L'indice \(p\) peut être nul (\(p \ge 0\)). Le mode TM le plus bas est donc généralement TM110 ou TM111, selon les dimensions de la cavité.

Nous cherchons le triplet (m,n,p) qui minimise \( (m/a)^2 + (n/b)^2 + (p/d)^2 \) avec \(m \ge 1, n \ge 1, p \ge 0\). Mode TM110: \((1/a)^2 + (1/b)^2 + (0/d)^2 = (1/3)^2 + (1/2)^2 = 1/9 + 1/4 = (4+9)/36 = 13/36 \approx 0.3611\). Mode TM111: \((1/a)^2 + (1/b)^2 + (1/d)^2 = (1/3)^2 + (1/2)^2 + (1/4)^2 = 1/9 + 1/4 + 1/16 = (16+36+9)/144 = 61/144 \approx 0.4236\). Le mode TM110 a la plus basse fréquence.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques (converties en mètres) :

• \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
• \(a = 0.03 \, \text{m}\)
• \(b = 0.02 \, \text{m}\)

Calcul :

Principe :

C'est une application directe de la formule générale avec \(m=1, n=0, p=1\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données et Calcul :

Ce calcul a déjà été effectué pour la Question 2.

Principe :

Application de la formule générale avec \(m=1, n=1, p=0\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données et Calcul :

Ce calcul a déjà été effectué pour la Question 3.

Principe :

Calcul de la fréquence pour le mode TE201 et comparaison avec d'autres modes pour identifier une éventuelle dégénérescence (modes différents ayant la même fréquence de résonance).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques (converties en mètres) :

• \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
• \(a = 0.03 \, \text{m}\)
• \(d = 0.04 \, \text{m}\)

Calcul :

Pour la dégénérescence, il faudrait vérifier si d'autres combinaisons (m,n,p) donnent la même valeur pour \(\sqrt{(m/a)^2 + (n/b)^2 + (p/d)^2}\). Par exemple, le mode TE0n1 pourrait-il être dégénéré ? Pour TE01p, \((0/a)^2 + (1/b)^2 + (p/d)^2 = (1/0.02)^2 + (p/0.04)^2 = 50^2 + (25p)^2 = 2500 + 625p^2\). Pour TE201, la somme des carrés internes est \((2/0.03)^2 + (1/0.04)^2 \approx (66.67)^2 + (25)^2 \approx 4444.44 + 625 = 5069.44\). Si on cherche un mode TE0np tel que \((n/0.02)^2 + (p/0.04)^2 = 5069.44\). Si \(n=1\), \((1/0.02)^2 + (p/0.04)^2 = 50^2 + (25p)^2 = 2500 + 625p^2 = 5069.44\). \(625p^2 = 5069.44 - 2500 = 2569.44\). \(p^2 = 2569.44 / 625 \approx 4.11\). \(p \approx \sqrt{4.11} \approx 2.027\). Ce n'est pas un entier, donc TE012 n'est pas dégénéré avec TE201. La dégénérescence est plus probable si les dimensions sont des multiples simples les unes des autres.