Orientation Satellite via Dipôle Magnétique

Contexte : Le contrôle d'attitude des satellites via le magnétismeUtilisation des champs magnétiques pour contrôler l'orientation (attitude) d'un objet dans l'espace, typiquement un satellite..

Les satellites en orbite terrestre basse (LEO) ont besoin de contrôler précisément leur orientation, que ce soit pour pointer une antenne vers la Terre, un télescope vers une étoile, ou des panneaux solaires vers le Soleil. Une méthode élégante et économe en énergie pour les petits satellites (comme les CubeSats) est d'utiliser des magnétorqueursDispositifs électromagnétiques (bobines) qui génèrent un moment magnétique pour interagir avec le champ magnétique terrestre et créer un couple d'orientation.. Ce sont des bobines qui, lorsqu'elles sont parcourues par un courant, génèrent un dipôle magnétique. En interagissant avec le champ magnétique terrestre, ce dipôle subit un couple qui fait pivoter le satellite. Cet exercice vous guidera dans le dimensionnement d'un tel système.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est à la croisée de la physique (électromagnétisme) et de l'ingénierie aérospatiale (contrôle de systèmes). Il illustre comment un principe fondamental — le couple subi par un dipôle dans un champ B — est appliqué pour une tâche d'ingénierie complexe et moderne.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la relation entre un courant dans une bobine et le moment magnétique généré.
Appliquer la formule du couple magnétique pour déterminer le moment magnétique requis.
Dimensionner une bobine (produit courant-tours) pour une application de contrôle d'attitude.
Calculer la puissance électrique nécessaire pour une telle manœuvre.

Données de l'étude

On étudie un CubeSat 3U en orbite terrestre basse qui doit effectuer une manœuvre de réorientation. Pour cela, il utilise une bobine magnétique (magnétorqueur) intégrée sur l'une de ses faces.

Fiche Technique du Satellite

Caractéristique	Valeur
Type de Satellite	CubeSat 3U
Orbite	Orbite Terrestre Basse (LEO)
Mission	Pointage d'antenne vers la Terre

Configuration du Contrôle Magnétique

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Champ magnétique terrestre local	\( B_{\text{Terre}} \)	40	µT (microtesla)
Couple de pointage requis	\( \tau_{\text{requis}} \)	\( 2 \times 10^{-5} \)	N.m
Surface de la bobine	S	80	\(\text{cm}^2\)

Questions à traiter

Calculer le moment magnétique \( \vec{M} \) que la bobine doit générer pour produire le couple requis. On supposera que la bobine est orientée pour un couple maximal.
Déterminer la valeur du produit "Nombre de tours × Courant" (NI) nécessaire pour cette bobine.
Si le courant maximal disponible à bord du satellite est de 100 mA, quel est le nombre minimal de tours (N) que la bobine doit comporter ?
La bobine a une résistance de 15 Ω. Calculer la puissance électrique (P) dissipée par effet Joule lorsqu'elle est activée au courant maximal.
Discuter de l'efficacité du magnétorqueur en fonction de la position du satellite sur son orbite par rapport aux pôles magnétiques terrestres.

Les bases : Couple sur un Dipôle Magnétique

Pour comprendre comment un satellite peut s'orienter grâce à l'électromagnétisme, deux concepts clés sont nécessaires : la création d'un moment magnétique et le couple que ce dernier subit dans un champ magnétique externe.

1. Moment Magnétique d'une Bobine
Une simple boucle de fil parcourue par un courant I et délimitant une surface S crée un moment magnétique \( \vec{M} \). Sa magnitude est \( M = I \cdot S \). Si la bobine comporte N tours (spires), le moment est amplifié d'autant. Le vecteur \( \vec{M} \) est perpendiculaire à la surface de la bobine (selon la règle de la main droite). \[ M = N \cdot I \cdot S \]

2. Couple sur un Dipôle Magnétique
Lorsqu'un dipôle de moment magnétique \( \vec{M} \) est placé dans un champ magnétique externe \( \vec{B} \), il subit un couple \( \vec{\tau} \) qui tend à l'aligner avec le champ. Ce couple est donné par le produit vectoriel : \[ \vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B} \] La magnitude de ce couple est \( \tau = M \cdot B \cdot \sin(\theta) \), où \( \theta \) est l'angle entre les vecteurs \( \vec{M} \) et \( \vec{B} \). Le couple est maximal lorsque \( \vec{M} \) est perpendiculaire à \( \vec{B} \) (\( \theta = 90^\circ \)).

Correction : Contrôle d'Orientation d'un Satellite par Dipôle Magnétique

Question 1 : Calcul du moment magnétique requis

Principe (le concept physique)

Pour générer une force de rotation (un couple) sur le satellite, nous utilisons l'interaction entre un aimant que nous contrôlons (notre bobine, ou magnétorqueur) et un champ magnétique externe fixe (celui de la Terre). Le principe est identique à celui d'une boussole qui s'aligne avec le champ terrestre. Ici, en contrôlant la "force" de notre aimant (son moment magnétique M), nous pouvons contrôler l'intensité du couple qui fait pivoter le satellite.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Physiquement, un dipôle magnétique possède un pôle nord et un pôle sud. Dans un champ externe \( \vec{B} \), le pôle nord est poussé dans la direction de \( \vec{B} \) et le pôle sud dans la direction opposée. Ces deux forces, égales et opposées mais appliquées en des points différents, créent un couple de rotation. La grandeur vectorielle qui modélise ce comportement est le produit vectoriel \( \vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B} \), qui est maximal en magnitude lorsque \( \vec{M} \) et \( \vec{B} \) sont perpendiculaires.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

En ingénierie, on cherche souvent à dimensionner un système au plus juste. Pour calculer le moment magnétique *minimum* requis, il faut se placer dans la situation la plus *efficace* possible. L'efficacité est maximale lorsque le couple est maximal pour un M donné, c'est-à-dire quand l'angle \( \theta \) est de 90°. C'est la meilleure configuration possible, donc si notre bobine est capable de fournir le couple dans ce cas, elle est correctement dimensionnée.

Normes (la référence réglementaire)

La valeur du couple requis (\(2 \times 10^{-5}\) N.m) n'est pas choisie au hasard. Elle découle d'une analyse de la mission du satellite, qui spécifie des exigences de performance (par exemple, "le satellite doit pouvoir se réorienter de 10° en moins de 5 minutes"). Ces exigences sont encadrées par des standards d'ingénierie spatiale (comme ceux de l'ECSS - European Cooperation for Space Standardization) qui garantissent la robustesse et la performance de la mission.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Magnitude du couple

\tau = M \cdot B_{\text{Terre}} \cdot \sin(\theta)

Moment magnétique requis

M = \frac{\tau_{\text{requis}}}{B_{\text{Terre}}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

L'hypothèse fondamentale de ce calcul est que nous pouvons orienter le moment magnétique \( \vec{M} \) de notre bobine de manière parfaitement perpendiculaire au champ magnétique terrestre \( \vec{B}_{\text{Terre}} \) local pour bénéficier du couple maximal.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité (SI)
Couple requis	\( \tau_{\text{requis}} \)	\( 2 \times 10^{-5} \)	\(\text{N.m}\)
Champ magnétique terrestre	\( B_{\text{Terre}} \)	40 µT	\( 40 \times 10^{-6} \) T

Astuces (Pour aller plus vite)

Lors de la division des puissances de dix (\(10^{-5} / 10^{-6}\)), il suffit de soustraire les exposants : \((-5) - (-6) = -5 + 6 = 1\). Le rapport est donc \(10^1\), soit 10. Le calcul devient alors \( (2/40) \times 10 \), ce qui est plus simple à évaluer mentalement.

Schéma (Avant les calculs)

Configuration pour un Couple Maximal

Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la formule

\begin{aligned} M &= \frac{2 \times 10^{-5} \text{ N.m}}{40 \times 10^{-6} \text{ T}} \\ &= \frac{2}{40} \times 10^{(-5 - (-6))} \\ &= 0.05 \times 10^1 \\ &\Rightarrow M = 0.5 \text{ A.m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du Moment Magnétique Requis

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un moment magnétique de 0.5 A.m² est une valeur typique pour un magnétorqueur de CubeSat. Cela signifie que notre bobine doit se comporter comme un aimant droit d'une certaine force. Cette valeur est maintenant le cahier des charges pour l'ingénieur électricien qui va devoir concevoir la bobine capable de générer ce moment magnétique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale source d'erreur est la conversion d'unités. Le champ magnétique est donné en microteslas (µT). Oublier le facteur \(10^{-6}\) lors de la conversion en Teslas (T) conduirait à un résultat un million de fois trop petit, et donc à une bobine totalement sous-dimensionnée et incapable de remplir sa mission.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour réussir cette étape, vous devez absolument maîtriser :

Concept Clé : Le couple dépend de M, B, et de l'angle entre eux.
Formule Essentielle : \( \tau = M \cdot B \cdot \sin(\theta) \).
Méthodologie : Pour dimensionner au minimum, on se place dans le cas le plus favorable (\(\theta=90^\circ\)), puis on isole l'inconnue (M).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le champ magnétique terrestre, que nous utilisons ici comme un outil "gratuit", est en réalité un bouclier vital. Il dévie la majorité des particules énergétiques du vent solaire qui, autrement, éroderaient notre atmosphère et rendraient la vie sur Terre impossible. Les satellites en orbite basse sont encore largement protégés par ce bouclier.

FAQ (pour lever les doutes)

Voici une question fréquente sur ce sujet :

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le moment magnétique que la bobine doit générer est de \(0.5 \text{ A.m}^2\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le satellite passait au-dessus d'une région où le champ magnétique est plus faible, disons 25 µT, quel moment magnétique M serait nécessaire pour obtenir le même couple de \(2 \times 10^{-5}\) N.m ?

Question 2 : Détermination du produit NI

Principe (le concept physique)

Le moment magnétique d'une bobine n'est pas une propriété intrinsèque, mais le résultat direct de son design et de son alimentation. Le principe ici est de relier le moment magnétique (la performance désirée) aux caractéristiques physiques de la bobine (sa surface, son nombre de spires et le courant qui la parcourt) pour en déduire un paramètre de conception essentiel : le produit NI, ou "Ampères-tours".

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En électromagnétisme, la notion d'Ampères-tours (NI) est fondamentale pour le dimensionnement des électroaimants, des moteurs et des transformateurs. Elle représente la "force magnétomotrice", c'est-à-dire la capacité d'un enroulement à générer un flux magnétique. Pour une géométrie donnée (surface S), un moment magnétique M plus élevé exigera toujours une force magnétomotrice (NI) plus grande. Cette relation linéaire est au cœur du design électromagnétique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Voyez le produit NI comme un "budget". Vous avez un certain budget d'Ampères-tours à atteindre (ici, 62.5). Vous pouvez le "dépenser" de différentes manières : soit avec un gros courant (beaucoup d'Ampères) et peu de tours, soit avec un petit courant et beaucoup de tours. Le choix dépendra des contraintes de votre système (tension disponible, limitation en courant, encombrement du fil, etc.).

Normes (la référence réglementaire)

Il n'y a pas de norme réglementaire directe pour ce calcul, mais la conception des magnétorqueurs suit des standards de l'industrie aérospatiale, comme ceux de l'ECSS (European Cooperation for Space Standardization), qui définissent les règles de qualification, de test et de fiabilité des composants embarqués pour garantir leur survie et leur performance dans l'environnement spatial (vibrations, vide, radiations).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Relation Moment-Courant

M = N \cdot I \cdot S \Rightarrow NI = \frac{M}{S}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

La bobine est "plate", c'est-à-dire que toutes les spires ont approximativement la même surface S.
Le champ magnétique généré par la bobine elle-même n'interfère pas de manière significative avec le courant qui la parcourt (l'auto-inductance est négligée pour ce calcul statique).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité (SI)
Moment magnétique requis	M	0.5	\(\text{A.m}^2\)
Surface de la bobine	S	80 \(\text{cm}^2\)	\(8 \times 10^{-3} \text{ m}^2\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour vérifier rapidement la conversion de la surface : 1 m = 100 cm, donc \(1 \text{ m}^2 = (100 \text{ cm})^2 = 10 000 \text{ cm}^2 = 10^4 \text{ cm}^2\). Pour passer des \(\text{cm}^2\) aux \(\text{m}^2\), il faut donc diviser par 10 000 (ou multiplier par \(10^{-4}\)). Ainsi, \(80 \text{ cm}^2 = 80 \times 10^{-4} \text{ m}^2 = 8 \times 10^{-3} \text{ m}^2\). Cette conversion est une source d'erreur très fréquente !

Schéma (Avant les calculs)

Relation entre la Bobine et son Moment Magnétique

Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion de la surface

S = 80 \text{ cm}^2 = 80 \times (10^{-2} \text{ m})^2 = 8 \times 10^{-3} \text{ m}^2

Calcul du produit NI

\begin{aligned} NI &= \frac{M}{S} \\ &= \frac{0.5 \text{ A.m}^2}{8 \times 10^{-3} \text{ m}^2} \\ &= 62.5 \text{ A.tours} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Concept du Produit Ampères-Tours

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat de 62.5 A.tours est une valeur de conception. Il ne nous dit pas comment la bobine est faite, mais il nous donne la "force" électromagnétique qu'elle doit produire. C'est le cahier des charges pour l'ingénieur électricien qui devra ensuite choisir la meilleure combinaison de N et I en fonction des contraintes du satellite.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de se tromper dans les unités de la surface. Si vous aviez utilisé S=80 au lieu de \(8 \times 10^{-3}\), votre résultat aurait été 10 000 fois trop petit ! Toujours convertir toutes les données en unités SI (mètres, ampères, teslas) avant de commencer le moindre calcul.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour maîtriser cette question, retenez les points suivants :

Concept Clé : Le moment magnétique est le produit de la force magnétomotrice (NI) et de la surface (S).
Formule Essentielle : \(NI = M/S\).
Compétence : Savoir convertir correctement les unités (notamment les \(\text{cm}^2\) en \(\text{m}^2\)).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept d'"Ampère-tour" a été développé au 19ème siècle dans le contexte de l'étude des électroaimants. Il est si fondamental qu'il a donné son nom à l'unité de force magnétomotrice dans le Système International : l'Ampère (A), bien qu'on précise souvent "A.tours" par clarté.

FAQ (pour lever les doutes)

Voici quelques questions fréquentes sur ce sujet :

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le produit NI requis pour la bobine est de 62.5 A.tours.

Question 3 : Calcul du nombre de tours

Principe (le concept physique)

Le produit NI = 62.5 A.tours est une contrainte de conception. Le choix de N et I est un compromis. Les systèmes d'alimentation des satellites sont souvent limités en courant pour des raisons d'efficacité et de sécurité. Ce principe consiste donc à utiliser cette limite de courant comme une nouvelle contrainte pour fixer la valeur de l'autre variable, le nombre de tours N.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce problème illustre un concept d'ingénierie fondamental : le "trade-off" (compromis). On ne peut pas optimiser tous les paramètres à la fois. Ici, pour minimiser le courant (I), on est obligé d'augmenter le nombre de tours (N). Augmenter N a cependant des inconvénients : la bobine devient plus lourde, plus encombrante, et sa résistance électrique augmente (car la longueur du fil est plus grande), ce qui peut à son tour augmenter la dissipation de puissance.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous devez porter 62.5 kg de sable (vos A.tours). Si chaque sac pèse 0.1 kg (votre courant en A), vous aurez besoin de 625 sacs (vos tours). Si vous pouviez utiliser des sacs de 1 kg, vous n'en auriez besoin que de 63 (arrondi). L'ingénieur doit choisir la "taille des sacs" (le courant) la plus pratique pour son système, et en déduire le "nombre de sacs" (les tours) nécessaire.

Normes (la référence réglementaire)

La limitation du courant (ici 100 mA) n'est pas une norme universelle, mais une spécification de conception ("design specification") typique pour un sous-système de CubeSat. Ces spécifications sont définies par les architectes du satellite pour garantir que la consommation de chaque composant reste dans les limites de ce que le système d'alimentation peut fournir.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Calcul du nombre de tours

N = \frac{(NI)}{I}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous faisons l'hypothèse que le système d'alimentation peut fournir de manière stable et continue le courant de 100 mA demandé. En réalité, le courant peut fluctuer légèrement, et on prendrait une marge de sécurité.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Produit Ampères-tours	NI	62.5	A.tours
Courant maximal disponible	\(I_{\text{max}}\)	100 mA	0.1 A

Astuces (Pour aller plus vite)

Diviser par 0.1 revient à multiplier par 10. C'est un calcul mental rapide qui permet de vérifier l'ordre de grandeur de votre résultat instantanément. \(62.5 / 0.1 = 62.5 \times 10 = 625\). Entraînez-vous à repérer ces simplifications pour gagner en rapidité et en confiance.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s) (l'application numérique)

Application numérique

\begin{aligned} N_{\text{min}} &= \frac{(NI)}{I_{\text{max}}} \\ &= \frac{62.5 \text{ A.tours}}{0.1 \text{ A}} \\ &= 625 \text{ tours} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la Bobine Finale

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un nombre de 625 tours est tout à fait réaliste pour une bobine de cette taille. Cela implique d'enrouler une grande longueur de fil de cuivre très fin sur le support de la bobine. L'ingénieur devra vérifier que l'épaisseur de cet enroulement reste compatible avec l'espace disponible dans le satellite.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique ici est une erreur de préfixe. Si vous oubliez de convertir les 100 mA en 0.1 A et que vous divisez par 100, vous obtiendrez un résultat de 0.625 tours, ce qui est physiquement absurde. Soyez toujours attentif aux "milli-", "micro-", "kilo-", etc.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour cette question, il faut retenir :

Concept Clé : La notion de compromis (trade-off) en ingénierie entre le courant et le nombre de tours.
Logique : Utiliser une contrainte système (courant max) pour fixer un paramètre de conception (nombre de tours).
Compétence : Manipuler les équations et les unités (mA vers A).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Sur certains CubeSats, les magnétorqueurs ne sont pas des bobines ajoutées, mais sont directement intégrés dans les cartes électroniques (PCB). Les "tours" sont en fait des pistes de cuivre dessinées en spirale sur plusieurs couches du circuit imprimé. C'est une méthode très compacte et légère !

FAQ (pour lever les doutes)

Voici quelques questions fréquentes sur ce sujet :

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La bobine doit comporter au minimum 625 tours.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'ingénieur décide que le nombre de tours est trop élevé et qu'il faut le limiter à 500, quel courant serait alors nécessaire ?

Question 4 : Calcul de la puissance dissipée

Principe (le concept physique)

Le principe physique est celui de l'effet Joule : la conversion d'énergie électrique en énergie thermique (chaleur) due aux collisions entre les électrons du courant et les atomes du matériau conducteur. Cette puissance représente une "perte" pour le système, car elle n'est pas utilisée pour le travail magnétique, et une "charge" pour le système thermique, qui doit évacuer cette chaleur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La loi d'Ohm (\(U=RI\)) et la formule de la puissance électrique (\(P=UI\)) sont fondamentales. En combinant les deux, on obtient trois expressions équivalentes pour la puissance : \(P = UI = (RI)I = RI^2\), ou \(P = U(U/R) = U^2/R\). Le choix de la formule dépend des grandeurs connues. Comme nous connaissons la résistance (R) et le courant (I), la formule \(P = RI^2\) est la plus directe et évite de devoir calculer la tension U au préalable.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à la puissance dissipée comme une "taxe" énergétique inévitable. Chaque fois que vous faites passer du courant dans un fil, vous payez cette taxe sous forme de chaleur. L'objectif de l'ingénieur est de rendre le "fil" (la bobine) aussi efficace que possible pour minimiser cette taxe. La dépendance en \(I^2\) est cruciale : doubler le courant ne double pas les pertes, il les quadruple ! C'est une autre raison pour laquelle on préfère des courants faibles dans les applications spatiales.

Normes (la référence réglementaire)

La gestion thermique est critique dans l'espace. Des normes comme l'ECSS-E-ST-31C (Thermal Control) définissent les exigences pour l'analyse thermique des engins spatiaux. Le calcul de la puissance dissipée par chaque composant, comme notre \(P = 0.15\) W, est une donnée d'entrée essentielle pour ces analyses, afin de s'assurer que la température du satellite reste dans des limites acceptables.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Loi de Joule

P = R \cdot I^2

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la résistance de la bobine (15 Ω) est constante. En réalité, la résistance du cuivre augmente légèrement avec la température. Pour un calcul de précision, il faudrait prendre en compte cet effet, mais pour un dimensionnement préliminaire, l'hypothèse d'une résistance constante est acceptable.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance de la bobine	R	15	Ω
Courant maximal	I	0.1	A

Astuces (Pour aller plus vite)

Quand vous mettez au carré un nombre comme 0.1 (\(10^{-1}\)), le résultat est 0.01 (\(10^{-2}\)). De manière générale, \((10^{-n})^2 = 10^{-2n}\). Connaître cette règle des puissances vous aide à vérifier rapidement vos calculs avec des petits nombres. Multiplier par 0.01 revient à décaler la virgule de deux rangs vers la gauche : \(15 \times 0.01 = 0.15\).

Schéma (Avant les calculs)

Modèle Électrique de la Bobine

Calcul(s) (l'application numérique)

Application numérique

\begin{aligned} P &= R \cdot I^2 \\ &= 15 \, \Omega \times (0.1 \text{ A})^2 \\ &= 15 \times 0.01 \\ &\Rightarrow P = 0.15 \text{ W} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Dissipation par Effet Joule

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une puissance de 0.15 W peut sembler très faible, mais dans le vide de l'espace où la chaleur ne peut s'évacuer que par rayonnement, même cette petite quantité de chaleur doit être prise en compte dans le bilan thermique global du satellite pour éviter toute surchauffe des composants électroniques adjacents.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La dépendance quadratique au courant (\(I^2\)) est le point crucial. Si, pour obtenir le même couple, les ingénieurs avaient choisi une bobine avec moins de tours et un courant de 0.5 A, la puissance dissipée aurait été \(15 \times (0.5)^2 = 15 \times 0.25 = 3.75\) W, soit 25 fois plus ! Cela aurait été probablement inacceptable pour le satellite.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La maîtrise de cette question passe par la rétention de :

Concept Clé : L'effet Joule transforme l'énergie électrique en chaleur.
Formule Essentielle : \(P = RI^2\).
Compétence : Comprendre l'impact majeur du courant sur la puissance dissipée à cause du terme au carré.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'effet Joule n'est pas toujours une perte. Il est le principe de base de nombreux appareils : chauffages électriques, grille-pains, ampoules à incandescence (aujourd'hui obsolètes), et même les fusibles qui protègent nos circuits en fondant grâce à la chaleur lorsque le courant devient trop élevé !

FAQ (pour lever les doutes)

Voici une question fréquente sur ce sujet :

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La puissance dissipée par la bobine est de 0.15 Watts.

Question 5 : Discussion sur l'efficacité orbitale

Principe

L'efficacité d'un magnétorqueur dépend directement de deux choses : son propre moment magnétique \( \vec{M} \) et le champ magnétique externe \( \vec{B}_{\text{Terre}} \). Si l'un des deux est nul ou si les deux vecteurs sont parallèles, le couple (\( \vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B} \)) est nul. Le champ magnétique terrestre n'est pas uniforme autour de la Terre ; sa direction et son intensité varient, ce qui impacte l'efficacité du système.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La Terre se comporte comme un aimant géant (un dipôle magnétique). Les lignes de champ magnétique sortent du pôle sud magnétique, s'étendent dans l'espace, et rentrent au pôle nord magnétique. Près des pôles, ces lignes sont plus resserrées et quasi-verticales par rapport à la surface, ce qui signifie que l'intensité du champ (B) est maximale. Près de l'équateur, ces mêmes lignes sont plus espacées et presque parallèles à la surface, l'intensité du champ y est donc minimale. C'est cette variation d'intensité qui affecte directement l'efficacité du couple (\( \tau = M \cdot B \cdot \sin(\theta) \)).

Schéma

Intensité du Champ Magnétique Terrestre

Réflexions

La formule du couple \( \tau = M \cdot B \cdot \sin(\theta) \) nous apprend plusieurs choses :
1. Le couple est nul si \( \vec{M} \) est parallèle à \( \vec{B} \) (\(\theta = 0^\circ\) ou \(180^\circ\)). Si le satellite a besoin de pivoter mais que sa bobine est déjà alignée avec le champ local, il est impossible de générer un couple avec cette bobine. C'est pourquoi les satellites ont souvent 3 bobines orthogonales.
2. Le couple est plus faible si B est faible. Le champ magnétique terrestre est le plus faible au-dessus de l'équateur magnétique et le plus fort près des pôles magnétiques. Par conséquent, les manœuvres de contrôle d'attitude utilisant les magnétorqueurs sont plus efficaces (plus rapides) lorsque le satellite passe au-dessus des régions polaires. Au-dessus de l'équateur, le couple généré sera plus faible pour le même courant consommé.

Points de vigilance

Ne jamais supposer que le champ magnétique terrestre est une constante en orbite. Son intensité et sa direction changent en permanence le long de la trajectoire du satellite. Un système de contrôle d'attitude doit connaître (via un magnétomètre) le vecteur \( \vec{B} \) local en temps réel pour commander correctement les bobines. De plus, le "point mort" (\(\theta = 0\)) est un vrai problème. Si le satellite doit pivoter autour d'un axe qui est justement aligné avec les lignes de champ locales, les magnétorqueurs sont impuissants.

Points à retenir

Concept Clé : L'efficacité du couple magnétique dépend de l'intensité ET de la direction du champ magnétique local.
Lieu d'efficacité maximale : Près des pôles magnétiques (B est fort).
Condition d'inefficacité : Quand le moment magnétique \( \vec{M} \) est parallèle au champ \( \vec{B} \) local (\(\theta=0^\circ\)).

Résultat Final

L'efficacité est maximale près des pôles magnétiques où le champ est intense, et minimale près de l'équateur magnétique. Le contrôle est impossible si le moment magnétique est parallèle au champ terrestre.

Outil Interactif : Simulateur de Magnétorqueur

Utilisez cet outil pour explorer comment le couple requis et l'intensité du champ magnétique local influencent le dimensionnement de la bobine. La surface de la bobine est fixe à 80 cm².

Paramètres d'Entrée

Couple Requis (\(\tau\)) 20 µN.m

Champ Magnétique (B) 40 µT

Résultats Clés (pour θ = 90°)

Moment Magnétique (M) - A.m²

Produit (NI) - A.tours

Glossaire

Moment Magnétique (M): Grandeur vectorielle qui caractérise l'intensité et l'orientation d'une source magnétique (comme un aimant ou une bobine de courant). Il se mesure en Ampères-mètre carré (\(\text{A.m}^2\)).
Couple Magnétique (\(\tau\)): Effet de rotation (un "moment de force") qu'un champ magnétique externe exerce sur un dipôle magnétique. Il tend à aligner le dipôle avec les lignes de champ.
Magnétorqueur: Également appelé "bobine de couple magnétique", c'est un électroaimant utilisé pour le contrôle d'attitude des satellites. C'est un actionneur qui n'utilise pas d'ergols.