Système du Second Ordre et Diagramme de Bode
Contexte : Comment un simple circuit électrique se comporte-t-il comme un filtre ?
Les systèmes du second ordre sont omniprésents en électronique et en automatique. Le circuit RLC série est l'archétype du système du second ordre : son comportement peut être oscillatoire et il réagit différemment selon la fréquence du signal d'entrée. Cette capacité à amplifier certaines fréquences et à en atténuer d'autres est la base de tous les filtres. Le diagramme de BodeReprésentation graphique de la réponse en fréquence d'un système. Il se compose de deux graphiques : le gain (en décibels) et la phase (en degrés), tous deux tracés en fonction de la fréquence sur une échelle logarithmique. est l'outil par excellence pour visualiser et analyser ce comportement fréquentiel. Cet exercice vous guidera dans l'analyse complète d'un filtre passe-bas RLC.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental pour comprendre le lien entre la structure d'un système (ses composants R, L, C), sa modélisation mathématique (la fonction de transfert) et son comportement dynamique (la réponse fréquentielle). Nous allons dériver la fonction de transfert, identifier ses paramètres clés et tracer son diagramme de Bode.
Objectifs Pédagogiques
- Établir la fonction de transfert d'un circuit RLC en utilisant la transformée de Laplace.
- Identifier les paramètres caractéristiques d'un système du second ordre : gain statique, pulsation propre et facteur d'amortissement.
- Déterminer la nature de la réponse du système (sous-amorti, critique, sur-amorti) à partir du facteur d'amortissement.
- Construire le diagramme de Bode asymptotique (gain et phase) d'un système du second ordre.
- Calculer la pulsation de résonance et le facteur de qualité du filtre.
Données de l'étude
Schéma du Circuit RLC Série
| Composant | Valeur |
|---|---|
| Résistance, \(R\) | 10 Ω |
| Inductance, \(L\) | 5 mH (soit \(5 \times 10^{-3}\) H) |
| Capacité, \(C\) | 20 µF (soit \(20 \times 10^{-6}\) F) |
Questions à traiter
- Déterminer la fonction de transfert \(H(p) = \frac{V_s(p)}{V_e(p)}\) du circuit.
- Mettre la fonction de transfert sous la forme canonique d'un système du second ordre : \(H(p) = \frac{K}{1 + \frac{2\zeta}{\omega_0}p + \frac{1}{\omega_0^2}p^2}\).
- Calculer les valeurs numériques du gain statique \(K\), de la pulsation propre \(\omega_0\) et du facteur d'amortissement \(\zeta\).
- À partir de la valeur de \(\zeta\), qualifier la nature du régime transitoire du système.
- Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques pour le gain (en dB) et la phase (en degrés).
Correction : Système du Second Ordre et Diagramme de Bode
Question 1 : Déterminer la fonction de transfert
Principe (le concept physique)
Pour trouver la fonction de transfert, on passe dans le domaine de Laplace où les relations différentielles deviennent algébriques. On modélise chaque composant par son impédance complexe. La relation entre la sortie et l'entrée est alors obtenue en utilisant la règle du pont diviseur de tension.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La transformée de Laplace est un outil mathématique qui transforme une fonction du temps \(f(t)\) en une fonction de la variable complexe \(p\) (ou \(s\)), notée \(F(p)\). Pour les circuits, les impédances sont : \(Z_R(p) = R\), \(Z_L(p) = Lp\), et \(Z_C(p) = \frac{1}{Cp}\). La fonction de transfert \(H(p)\) est le rapport de la sortie sur l'entrée dans ce domaine, et elle caractérise entièrement le comportement linéaire du système.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : La maîtrise de la transformation des circuits en impédances complexes est la première étape essentielle. La règle du pont diviseur est ensuite un raccourci puissant qui évite de poser explicitement les lois de Kirchhoff, bien qu'elle en découle directement.
Astuces (Pour aller plus vite)
Astuce : Pour les circuits en série comme celui-ci, pensez toujours "pont diviseur". Identifiez l'impédance aux bornes de laquelle vous mesurez la sortie (\(Z_{\text{out}}\)) et divisez-la par la somme de toutes les impédances en série (\(Z_{\text{total}}\)).
Normes (la référence réglementaire)
L'utilisation de la variable de Laplace (notée \(p\) ou \(s\)) est une convention standardisée internationalement (par l'IEC et l'IEEE) pour l'analyse des systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI).
Hypothèses (le cadre du calcul)
Nous supposons que les composants (R, L, C) sont idéaux et linéaires. Nous travaillons également avec des conditions initiales nulles (le circuit est au repos avant l'application de la tension d'entrée), ce qui est une condition requise pour la définition stricte de la fonction de transfert.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pont diviseur de tension :
Impédances complexes :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Pour cette étape, nous travaillons de manière littérale, sans utiliser les valeurs numériques.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s) (l'application numérique)
La fonction de transfert est :
En multipliant le numérateur et le dénominateur par \(Cp\), on obtient :
Schéma (Après les calculs)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat montre un polynôme du second degré en \(p\) au dénominateur. C'est la signature mathématique d'un système du second ordre. La présence simultanée de l'inductance (qui stocke l'énergie cinétique du courant) et du condensateur (qui stocke l'énergie potentielle de la tension) est ce qui crée ce comportement.
Points à retenir
La fonction de transfert d'un système est le rapport de la sortie sur l'entrée dans le domaine de Laplace, en supposant des conditions initiales nulles.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Cette première étape est le fondement de toute l'analyse. La fonction de transfert est un modèle mathématique complet du système. Sans elle, il est impossible de prédire ou d'analyser son comportement de manière rigoureuse.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Erreur d'impédance : L'erreur la plus fréquente est d'utiliser une mauvaise formule pour l'impédance du condensateur (\(Cp\)) ou de l'inductance (\(1/Lp\)). Mémorisez bien : \(Z_L = Lp\) et \(Z_C = 1/Cp\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
FAQ (pour lever les doutes)
À vous de jouer : Quelle serait la fonction de transfert si la sortie \(V_s(p)\) était mesurée aux bornes de la résistance R ?
Question 2 : Mettre sous forme canonique
Principe (le concept physique)
La forme canonique (ou standard) permet de comparer n'importe quel système du second ordre à un modèle de référence. Elle met en évidence trois paramètres fondamentaux qui décrivent entièrement le comportement du système : le gain statique \(K\), la pulsation propre \(\omega_0\), et le facteur d'amortissement \(\zeta\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Chaque paramètre de la forme canonique a une signification physique précise. \(K\) est le gain en régime permanent (fréquence nulle). \(\omega_0\) est la pulsation à laquelle le système oscillerait naturellement s'il n'y avait pas d'amortissement. \(\zeta\) est un nombre sans dimension qui quantifie l'efficacité de l'amortissement à dissiper ces oscillations.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : L'étape cruciale est l'identification terme à terme. Assurez-vous que le terme constant du dénominateur est bien "1" avant de commencer l'identification des coefficients de \(p\) et \(p^2\).
Astuces (Pour aller plus vite)
Astuce : Une fois la fonction de transfert obtenue, identifiez immédiatement le coefficient du terme en \(p^2\). C'est lui qui vous donnera \(1/\omega_0^2\). C'est le point de départ le plus rapide pour trouver les autres paramètres.
Normes (la référence réglementaire)
La forme canonique \(H(p) = \frac{K \omega_0^2}{p^2 + 2\zeta\omega_0 p + \omega_0^2}\) est une autre forme standard que l'on retrouve souvent. Elle est équivalente à celle utilisée dans cet exercice ; il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par \(\omega_0^2\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
Nous supposons que la fonction de transfert que nous avons dérivée est correcte et qu'elle représente bien un système du second ordre (ce qui est le cas, grâce au terme en \(p^2\)).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Forme canonique du second ordre :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
La seule donnée est la fonction de transfert trouvée à la question 1 : \(H(p) = \frac{1}{1 + RCp + LCp^2}\).
Schéma (Avant les calculs)
Objectif : \( \frac{1}{1 + (RC)p + (LC)p^2} \rightarrow \frac{K}{1 + \frac{2\zeta}{\omega_0}p + \frac{1}{\omega_0^2}p^2} \)
Calcul(s) (l'application numérique)
On part de notre fonction de transfert et on la réordonne pour qu'elle ressemble à la forme canonique :
Par identification terme à terme avec la forme canonique, on obtient les relations :
- Gain statique \(K\): Le numérateur est 1, donc \(K = 1\).
- Terme en \(p^2\): \(\frac{1}{\omega_0^2} = LC \Rightarrow \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\).
- Terme en \(p\): \(\frac{2\zeta}{\omega_0} = RC \Rightarrow \zeta = \frac{RC\omega_0}{2} = \frac{RC}{2\sqrt{LC}} = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}\).
Schéma (Après les calculs)
Identification réussie !
\(K=1\), \(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\), \(\zeta = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}\)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Ces relations sont fondamentales. Elles montrent comment chaque composant physique (R, L, C) influence les caractéristiques dynamiques abstraites (\(\omega_0, \zeta\)). On voit par exemple que seule la résistance influe sur l'amortissement, tandis que L et C définissent ensemble la pulsation naturelle d'oscillation.
Points à retenir
L'identification des paramètres d'un système du second ordre se fait en comparant sa fonction de transfert à la forme canonique \(H(p) = K / (1 + (2\zeta/\omega_0)p + (1/\omega_0^2)p^2)\).
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Mettre la fonction de transfert sous forme canonique est essentiel car cela nous permet d'utiliser des résultats et des outils d'analyse généraux, valables pour tous les systèmes du second ordre, quel que soit leur domaine physique (électrique, mécanique, etc.).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Erreur d'identification : Ne confondez pas les coefficients. Le terme lié à \(p^2\) donne \(\omega_0\), et celui lié à \(p\) donne la relation pour \(\zeta\). Une erreur courante est d'inverser les rôles.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
FAQ (pour lever les doutes)
À vous de jouer : Pour un autre système, on trouve \(H(p) = \frac{5}{p^2 + 3p + 25}\). Quelle est sa pulsation propre \(\omega_0\) ?
Question 3 : Calculer les valeurs numériques des paramètres
Principe (le concept physique)
Cette étape consiste à appliquer les formules dérivées à la question précédente en utilisant les valeurs numériques des composants pour quantifier le comportement du circuit.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La pulsation propre \(\omega_0\) (en rad/s) est directement liée à la fréquence propre \(f_0\) (en Hz) par la relation \(\omega_0 = 2\pi f_0\). C'est la fréquence centrale autour de laquelle le comportement du filtre change radicalement. Le facteur d'amortissement \(\zeta\) est sans dimension et son inverse est lié au "facteur de qualité" Q (\(Q = 1/(2\zeta)\)) qui mesure l'acuité d'une éventuelle résonance.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : La plus grande source d'erreur ici est la gestion des unités et des puissances de 10. Convertissez systématiquement toutes les valeurs en unités de base du Système International (Henry, Farad, Ohm) avant de commencer le calcul.
Astuces (Pour aller plus vite)
Astuce : Calculez d'abord le produit \(LC\). C'est souvent un nombre simple en termes de puissances de 10. Prenez ensuite sa racine carrée, puis son inverse pour trouver \(\omega_0\). Cela décompose le calcul en étapes plus simples.
Normes (la référence réglementaire)
Les fabricants de composants spécifient des tolérances sur les valeurs de R, L et C (par exemple ±5%). Un ingénieur doit tenir compte de ces tolérances pour s'assurer que les performances calculées (\(\omega_0, \zeta\)) restent dans une plage acceptable pour toutes les combinaisons de valeurs possibles.
Hypothèses (le cadre du calcul)
Nous utilisons les valeurs nominales des composants fournies dans l'énoncé, en supposant qu'elles sont exactes.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formules établies à la question 2 :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(R = 10 \, \Omega\)
- \(L = 5 \times 10^{-3} \, \text{H}\)
- \(C = 20 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Schéma (Avant les calculs)
R, L, C \(\longrightarrow\) K, \(\omega_0\), \(\zeta\)
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Gain statique \(K\) :
Physiquement, cela signifie qu'en régime continu (fréquence nulle), le condensateur se comporte comme un circuit ouvert et l'inductance comme un fil. La tension de sortie est donc égale à la tension d'entrée.
2. Pulsation propre \(\omega_0\) :
3. Facteur d'amortissement \(\zeta\) :
Schéma (Après les calculs)
Paramètres du système
K=1, ω₀ ≈ 3162 rad/s, ζ ≈ 0.316
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Les valeurs numériques nous donnent une image concrète du comportement du filtre. La pulsation propre de 3162 rad/s (environ 503 Hz) est la fréquence charnière du filtre. Le facteur d'amortissement de 0.316, étant inférieur à 0.707, nous indique qu'il y aura un pic de résonance, c'est-à-dire que le filtre amplifiera légèrement les signaux proches de sa fréquence propre avant de les atténuer.
Points à retenir
Les paramètres K, \(\omega_0\) et \(\zeta\) quantifient le comportement d'un système du second ordre et sont calculés directement à partir des valeurs des composants physiques.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Cette étape est essentielle pour passer du modèle symbolique à une prédiction quantitative. C'est avec ces valeurs que nous pourrons tracer un diagramme de Bode précis et comprendre comment le circuit se comportera en pratique.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Erreurs de calculatrice : Faites attention aux puissances de 10 (milli, micro, nano) et à l'ordre des opérations, en particulier avec les racines carrées. Vérifiez vos calculs une deuxième fois.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
FAQ (pour lever les doutes)
À vous de jouer : Si on double la valeur de la résistance R à 20 Ω, quelle est la nouvelle valeur de \(\zeta\) ?
Question 4 : Qualifier la nature du régime transitoire
Principe (le concept physique)
Le facteur d'amortissement \(\zeta\) (zeta) est un nombre sans dimension qui décrit comment les oscillations d'un système sont amorties. Sa valeur détermine la forme de la réponse à une entrée soudaine (comme un échelon de tension).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Il existe trois régimes principaux :
- Si \(\zeta > 1\) : Régime sur-amorti. La réponse est lente et n'oscille pas. L'énergie est dissipée très rapidement.
- Si \(\zeta = 1\) : Régime critique. C'est le compromis idéal : la réponse est la plus rapide possible sans aucun dépassement ni oscillation.
- Si \(0 < \zeta < 1\) : Régime sous-amorti (ou pseudo-périodique). La réponse oscille avant de se stabiliser. L'énergie "rebondit" entre L et C avant d'être dissipée par R.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Retenez les trois seuils : \(\zeta > 1\), \(\zeta = 1\), et \(\zeta < 1\). C'est la première chose à regarder après avoir calculé \(\zeta\) car cela donne une compréhension qualitative immédiate du comportement du système.
Astuces (Pour aller plus vite)
Astuce : Pensez à l'analogie d'une balançoire. \(\zeta > 1\) : vous la poussez dans de la mélasse (sur-amorti). \(\zeta = 1\) : vous l'arrêtez parfaitement en un seul mouvement (critique). \(\zeta < 1\) : vous la laissez osciller dans l'air (sous-amorti).
Normes (la référence réglementaire)
Dans de nombreuses applications d'asservissement (robotique, processus industriels), les cahiers des charges imposent un comportement avec un \(\zeta\) spécifique, souvent autour de 0.707, qui offre un bon compromis entre rapidité et stabilité (faible dépassement).
Hypothèses (le cadre du calcul)
L'analyse se base sur la valeur de \(\zeta\) calculée à la question précédente, en supposant qu'elle est correcte.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Il n'y a pas de nouvelle formule, juste une comparaison de la valeur de \(\zeta\) aux seuils de 1.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
La seule donnée nécessaire est le résultat de la question 3 : \(\zeta = 0.316\).
Schéma (Avant les calculs)
\(\zeta = 0.316 \quad \xrightarrow{\text{Comparaison}} \quad \text{Nature du régime ?}\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Nous avons calculé \(\zeta = 0.316\).
Puisque \(0 < 0.316 < 1\), le système est en régime sous-amorti.
Schéma (Après les calculs)
Réponse à un échelon : Oscillations amorties
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Un régime sous-amorti signifie que si on applique une tension continue brusquement à l'entrée, la tension aux bornes du condensateur va dépasser la valeur finale, osciller plusieurs fois autour de cette valeur, puis se stabiliser. En termes de filtrage, cela se traduira par un pic de résonance dans le diagramme de Bode.
Points à retenir
La nature du régime transitoire d'un système du second ordre est entièrement déterminée par la valeur de son facteur d'amortissement \(\zeta\) par rapport à 1.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Qualifier le régime est une étape d'interprétation cruciale. Elle traduit un paramètre mathématique (\(\zeta\)) en un comportement physique concret et observable (oscillations, lenteur, etc.), ce qui est le but de l'analyse de système.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Inversion des régimes : Ne confondez pas "sur-amorti" (\(\zeta > 1\)) et "sous-amorti" (\(\zeta < 1\)). "Sous-amorti" signifie "pas assez amorti", donc il y a des oscillations. "Sur-amorti" signifie "trop amorti", donc il n'y en a pas.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
FAQ (pour lever les doutes)
À vous de jouer : Quelle est la valeur minimale de R pour que le système ne soit plus sous-amorti (c'est-à-dire pour atteindre le régime critique) ?
Question 5 : Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques
Principe (le concept physique)
Le diagramme de Bode asymptotique est une approximation simplifiée de la réponse en fréquence. Il est construit en traçant des segments de droite (asymptotes) qui représentent le comportement du système à basses et hautes fréquences. Il permet de visualiser rapidement la nature du filtre et sa fréquence de coupure.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Pour un système du second ordre, le diagramme de gain présente une asymptote horizontale à basses fréquences et une asymptote avec une pente de -40 dB/décade à hautes fréquences. La "cassure" se produit à \(\omega_0\). Le diagramme de phase passe de 0° à -180°, avec une valeur de -90° à \(\omega_0\). La rapidité de cette transition de phase dépend de \(\zeta\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : La construction est simple : tracez l'asymptote basse fréquence, puis l'asymptote haute fréquence. Leur point d'intersection se trouve précisément à la pulsation propre \(\omega_0\). C'est le point le plus important du diagramme.
Astuces (Pour aller plus vite)
Astuce : Pour la pente de -40 dB/décade, partez de \(\omega_0\) (où le gain asymptotique est 0 dB) et placez un point à \(10\omega_0\) avec un gain de -40 dB. Reliez ces deux points pour obtenir la bonne pente.
Normes (la référence réglementaire)
L'utilisation d'une échelle logarithmique pour la fréquence et d'une échelle en décibels (dB) pour le gain est une norme universelle pour les diagrammes de Bode, car elle transforme les multiplications de fonctions de transfert en additions de diagrammes, ce qui simplifie grandement l'analyse de systèmes complexes.
Hypothèses (le cadre du calcul)
Nous traçons le diagramme asymptotique, qui est une approximation. La courbe réelle s'écartera des asymptotes, en particulier près de \(\omega_0\). L'écart maximal dépend de \(\zeta\) et peut être calculé, mais n'est pas requis pour le tracé asymptotique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Comportement asymptotique du gain \(G_{\text{dB}} = 20 \log_{10}|H(j\omega)|\) :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Nous utilisons les valeurs calculées précédemment : \(K=1\) et \(\omega_0 = 3162 \, \text{rad/s}\).
Schéma (Avant les calculs)
Axes de Bode vides, prêts à être tracés.
Calcul(s) (l'application numérique)
Diagramme de Gain :
- Asymptote basse fréquence : Une droite horizontale à \(G_{\text{dB}} = 20 \log_{10}(1) = 0 \, \text{dB}\) pour \(\omega < 3162\) rad/s.
- Asymptote haute fréquence : Une droite de pente -40 dB/décade partant du point (\(\omega_0\), 0 dB). Par exemple, au point \(10\omega_0 = 31620\) rad/s, le gain sera de -40 dB.
Diagramme de Phase :
- Asymptote basse fréquence : Une droite horizontale à 0° pour \(\omega < 0.1\omega_0\).
- Asymptote haute fréquence : Une droite horizontale à -180° pour \(\omega > 10\omega_0\).
- Pente centrale : Une droite reliant le point (0.1\(\omega_0\), 0°) au point (10\(\omega_0\), -180°), passant par (\(\omega_0\), -90°).
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Bode Asymptotique
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le diagramme de gain confirme bien le comportement "passe-bas" : les basses fréquences (\(<\omega_0\)) passent avec un gain de 0 dB (elles ne sont pas atténuées), tandis que les hautes fréquences (\(>\omega_0\)) sont fortement atténuées. La phase qui chute à -180° indique que les signaux de haute fréquence sont non seulement atténués mais aussi inversés et déphasés.
Points à retenir
Le diagramme de Bode d'un système du second ordre est caractérisé par une cassure à \(\omega_0\) avec une pente de \(\pm\)40 dB/décade pour le gain et un déphasage total de \(\pm\)180°.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Le tracé de Bode est l'aboutissement de l'analyse fréquentielle. Il fournit une représentation visuelle et intuitive du comportement du système sur toute la gamme de fréquences, ce qui est indispensable pour la conception et l'analyse de filtres, d'amplificateurs et de systèmes de contrôle.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Erreur d'échelle : N'oubliez pas que l'axe des fréquences est logarithmique. Une décade est un facteur de 10 (par exemple, de 100 à 1000 rad/s). La pente de -40 dB/décade s'applique à cette échelle.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
FAQ (pour lever les doutes)
À vous de jouer : Un système du premier ordre (comme un simple circuit RC) a une pente de -20 dB/décade. Si on met deux de ces filtres en cascade, quelle sera la pente finale à haute fréquence ?
Mini Fiche Mémo : Analyse d'un Filtre RLC Passe-Bas
| Étape | Action | Objectif |
|---|---|---|
| 1. Modélisation | Passer en Laplace et utiliser le pont diviseur. | Obtenir \(H(p) = \frac{1}{1 + RCp + LCp^2}\). |
| 2. Identification | Comparer à la forme canonique. | Extraire les relations pour \(K, \omega_0, \zeta\). |
| 3. Quantification | Calculer \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\) et \(\zeta = \frac{R}{2}\sqrt{C/L}\). | Déterminer les valeurs numériques des paramètres clés. |
| 4. Analyse de Bode | Tracer les asymptotes : 0 dB puis -40 dB/décade. | Visualiser la réponse fréquentielle du filtre. |
Outil Interactif : Simulateur de Filtre RLC
Modifiez les valeurs des composants pour voir l'impact sur les caractéristiques du filtre.
Paramètres d'Entrée
Résultats Calculés
Le Saviez-Vous ?
Le concept de "résonance" dans les circuits RLC, visible par le pic sur le diagramme de Bode pour un faible amortissement, est le même phénomène physique qui permet à une radio de se caler sur une fréquence précise. En ajustant la capacité ou l'inductance du circuit d'antenne, on modifie sa fréquence de résonance pour qu'elle corresponde à celle de la station de radio désirée, amplifiant ainsi son signal tout en ignorant les autres.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi la pente à haute fréquence est-elle de -40 dB/décade et non -20 dB/décade ?
La pente est de -40 dB/décade car un système du second ordre a deux "pôles" qui influencent la réponse en fréquence. Chaque pôle contribue à une pente de -20 dB/décade. Dans notre fonction de transfert \(H(p) = \frac{1}{1 + RCp + LCp^2}\), le terme en \(p^2\) au dénominateur indique la présence de ces deux pôles, d'où une pente totale de -40 dB/décade à haute fréquence.
Que représente physiquement le facteur d'amortissement \(\zeta\) ?
Le facteur d'amortissement représente la dissipation d'énergie dans le système. Dans un circuit RLC, l'énergie oscille entre l'inductance (stockage magnétique) et le condensateur (stockage électrique). La résistance est le composant qui dissipe cette énergie sous forme de chaleur (effet Joule). Un \(\zeta\) élevé correspond à une résistance élevée qui "étouffe" rapidement les oscillations, tandis qu'un \(\zeta\) faible correspond à une faible résistance, permettant à l'énergie d'osciller plus longtemps.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on augmente la valeur de la résistance R dans le circuit RLC, le facteur d'amortissement \(\zeta\) :
2. Un filtre passe-bas idéal devrait avoir un gain de :
- Fonction de Transfert
- Rapport, dans le domaine de Laplace, de la sortie d'un système sur son entrée. Elle décrit comment le système modifie le signal d'entrée.
- Facteur d'Amortissement (\(\zeta\))
- Paramètre sans dimension qui caractérise la vitesse à laquelle les oscillations d'un système s'atténuent après une perturbation.
- Diagramme de Bode
- Outil graphique essentiel en automatique et en électronique pour analyser la réponse en fréquence d'un système.
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